Historia del cálculo

El cálculo, conocido en su historia temprana como cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas centrada en los límites, la continuidad, las derivadas, las integrales y las series infinitas. Los primeros en desarrollar una teoría del cálculo fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, cada uno de forma independiente a finales siglo XVII. Tanto Leibniz como Newton afirmaron que el otro había robado su trabajo y la controversia sobre el padre del cálculo (entre Leibniz y Newton) continuó hasta la muerte de Leibniz en 1716.

Todas las grandes civilizaciones del mundo antiguo desarrollaron aproximaciones al cálculo, especialmente al cálculo de volúmenes y áreas, aunque no desarrollaron el concepto de derivadas, necesario para el cálculo moderno. Entre éstas se encuentran los egipcios, babilonios, griegos y chinos.

Pioneros del cálculo

Egipcios y babilonios

El período antiguo introdujo algunas de las ideas que condujeron al cálculo integral, pero no parece haber desarrollado estas ideas de manera rigurosa y sistemática. Los cálculos de volúmenes y áreas, uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiro egipcio de Moscú (c. 1820 a. C.), pero las fórmulas solo se dan para números concretos, algunas son solo aproximadas y no se derivan por deducción. razonamiento. Los babilonios pueden haber descubierto la regla trapezoidal mientras hacían observaciones astronómicas de Júpiter.

Antiguos griegos

Desde la era de las matemáticas griegas, Eudoxo (c. 408–355 a. C.) utilizó el método de agotamiento, que presagia el concepto de límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes (c. 287–212 a. C.) desarrolló esta idea aún más., inventando heurísticas que se asemejan a los métodos del cálculo integral. A los matemáticos griegos también se les atribuye un uso significativo de los infinitesimales. Demócrito es la primera persona registrada que consideró seriamente la división de objetos en un número infinito de secciones transversales, pero su incapacidad para racionalizar secciones transversales discretas con la suave pendiente de un cono le impidió aceptar la idea. Aproximadamente al mismo tiempo, Zenón de Elea desacreditó aún más a los infinitesimales al articular las paradojas que crean.

Arquímedes desarrolló aún más este método, mientras que también inventó métodos heurísticos que se asemejan un poco a los conceptos modernos en su La cuadratura de la parábola, El método y Sobre la esfera y el cilindro. Sin embargo, no debe pensarse que los infinitesimales se pusieron sobre una base rigurosa durante este tiempo. Sólo cuando se complementaba con una prueba geométrica adecuada, los matemáticos griegos aceptaban una proposición como verdadera. No fue hasta el siglo XVII que Cavalieri formalizó el método como el método de los indivisibles y finalmente Newton lo incorporó a un marco general de cálculo integral. Arquímedes fue el primero en encontrar la tangente a una curva distinta de un círculo, en un método similar al cálculo diferencial. Mientras estudiaba la espiral, separó el movimiento de un punto en dos componentes, un componente de movimiento radial y un componente de movimiento circular, y luego continuó sumando los dos componentes de movimiento, encontrando así la tangente a la curva.Los pioneros del cálculo como Isaac Barrow y Johann Bernoulli fueron diligentes estudiantes de Arquímedes; véase, por ejemplo, CS Roero (1983).

China

El método de agotamiento fue reinventado en China por Liu Hui en el siglo IV dC para encontrar el área de un círculo. En el siglo V, Zu Chongzhi estableció un método que luego se llamaría el principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera.

Medieval

Medio Oriente

En el Medio Oriente islámico, el matemático árabe del siglo XI Ibn al-Haytham (Alhazen) derivó una fórmula para la suma de las cuartas potencias. Usó los resultados para llevar a cabo lo que ahora se llamaría una integración, donde las fórmulas de las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide. En el siglo XII, el matemático persa Sharaf al-Dīn al-Tūsī descubrió la derivada de los polinomios cúbicos. Su Tratado de ecuaciones desarrolló conceptos relacionados con el cálculo diferencial, como la función derivada y los máximos y mínimos de las curvas, para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas.

India

Algunas ideas sobre cálculo aparecieron más tarde en las matemáticas indias, en la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala. Madhava de Sangamagrama en el siglo XIV, y matemáticos posteriores de la escuela de Kerala, establecieron componentes del cálculo como la serie de Taylor y las aproximaciones de series infinitas. Sin embargo, no pudieron combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la poderosa herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy.

Europa

El estudio matemático de la continuidad fue revivido en el siglo XIV por Oxford Calculators y colaboradores franceses como Nicole Oresme. Demostraron el "teorema de la velocidad media de Merton": que un cuerpo uniformemente acelerado viaja la misma distancia que un cuerpo con velocidad uniforme cuya velocidad es la mitad de la velocidad final del cuerpo acelerado.

Modernidad temprana

En el siglo XVII, los matemáticos europeos Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis y otros discutieron la idea de una derivada. En particular, en Methodus ad disquirendam maximam et minima y en De tangentibus linearum curvarum, Fermat desarrolló un método de adecuación para determinar máximos, mínimos y tangentes a varias curvas que estaba estrechamente relacionado con la diferenciación. Isaac Newton escribiría más tarde que sus primeras ideas sobre el cálculo provinieron directamente de "la forma de Fermat de dibujar tangentes".

En el lado integral, Cavalieri desarrolló su método de indivisibles en las décadas de 1630 y 1640, proporcionando una forma más moderna del antiguo método griego de agotamiento y calculando la fórmula de cuadratura de Cavalieri, el área bajo las curvas x de mayor grado, que anteriormente solo había sido calculado para la parábola, por Arquímedes. Torricelli extendió este trabajo a otras curvas como la cicloide, y luego Wallis generalizó la fórmula a potencias fraccionarias y negativas en 1656. En un tratado de 1659, a Fermat se le atribuye un ingenioso truco para evaluar directamente la integral de cualquier función de potencia. Fermat también obtuvo una técnica para encontrar los centros de gravedad de varias figuras planas y sólidas, lo que influyó en su trabajo posterior en cuadratura. James Gregory, influenciado por las contribuciones de Fermat tanto a la tangencia como a la cuadratura, pudo demostrar una versión restringida del segundo teorema fundamental del cálculo a mediados del siglo XVII. Isaac Barrow dio la primera demostración completa del teorema fundamental del cálculo.

Un requisito previo para el establecimiento de un cálculo de funciones de una variable real consistía en encontrar una antiderivada para la función racional. Este problema se puede expresar como la cuadratura de la hipérbola rectangular xy = 1. En 1647, Gregoire de Saint-Vincent señaló que la función requerida F satisfecha de modo que una sucesión geométrica se convirtió, bajo F, en una sucesión aritmética. AA de Sarasa asoció esta característica con algoritmos contemporáneos llamados logaritmos que economizaban la aritmética al convertir las multiplicaciones en sumas. Así que F primero se conoció como el logaritmo hiperbólico. Después de que Euler explotó e = 2.71828..., y Fse identificó como la función inversa de la función exponencial, se convirtió en el logaritmo natural, satisfaciendo

La primera prueba del teorema de Rolle fue dada por Michel Rolle en 1691 utilizando métodos desarrollados por el matemático holandés Johann van Waveren Hudde. El teorema del valor medio en su forma moderna fue formulado por Bernard Bolzano y Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) también después de la fundación del cálculo moderno. Barrow, Huygens y muchos otros también hicieron contribuciones importantes.

Newton y Leibniz

Antes de Newton y Leibniz, la palabra "cálculo" se refería a cualquier cuerpo de matemáticas, pero en los años siguientes, "cálculo" se convirtió en un término popular para un campo de las matemáticas basado en sus conocimientos. Newton y Leibniz, basándose en este trabajo, desarrollaron de forma independiente la teoría circundante del cálculo infinitesimal a fines del siglo XVII. Además, Leibniz trabajó mucho en el desarrollo de notación y conceptos consistentes y útiles. Newton proporcionó algunas de las aplicaciones más importantes de la física, especialmente del cálculo integral. El propósito de esta sección es examinar las investigaciones de Newton y Leibniz en el campo en desarrollo del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII, las matemáticas europeas habían cambiado su depósito principal de conocimiento. En comparación con el siglo pasado que mantuvo las matemáticas helenísticas como punto de partida para la investigación, Newton, Leibniz y sus contemporáneos miraron cada vez más hacia las obras de pensadores más modernos. Europa se había convertido en el hogar de una floreciente comunidad matemática y con la llegada de mejores bases institucionales y organizativas se estaba alcanzando un nuevo nivel de organización e integración académica. Sin embargo, es importante destacar que la comunidad carecía de formalismo; en cambio, consistía en una masa desordenada de varios métodos, técnicas, notaciones, teorías y paradojas.

Newton llegó al cálculo como parte de sus investigaciones en física y geometría. Veía el cálculo como la descripción científica de la generación de movimiento y magnitudes. En comparación, Leibniz se centró en el problema de la tangente y llegó a creer que el cálculo era una explicación metafísica del cambio. Es importante destacar que el núcleo de su conocimiento fue la formalización de las propiedades inversas entre la integral y la diferencial de una función. Esta idea había sido anticipada por sus predecesores, pero fueron los primeros en concebir el cálculo como un sistema en el que se creaban nuevos términos retóricos y descriptivos. Sus descubrimientos únicos radican no solo en su imaginación, sino también en su capacidad para sintetizar los conocimientos que los rodean en un proceso algorítmico universal, formando así un nuevo sistema matemático.

Newton

Newton no completó ninguna publicación definitiva que formalizara su cálculo fluxional; más bien, muchos de sus descubrimientos matemáticos se transmitieron a través de correspondencia, artículos más pequeños o como aspectos incrustados en sus otras compilaciones definitivas, como Principia y Opticks.. Newton comenzaría su formación matemática como el heredero elegido de Isaac Barrow en Cambridge. Su aptitud fue reconocida temprano y rápidamente aprendió las teorías actuales. Hacia 1664, Newton había realizado su primera contribución importante al promover el teorema del binomio, que había ampliado para incluir exponentes fraccionarios y negativos. Newton logró expandir la aplicabilidad del teorema del binomio al aplicar el álgebra de cantidades finitas en un análisis de series infinitas. Mostró su disposición a ver las series infinitas no solo como dispositivos aproximados, sino también como formas alternativas de expresar un término.

Muchas de las ideas críticas de Newton ocurrieron durante los años de la plaga de 1665-1666, que luego describió como "el mejor momento de mi época para la invención y las matemáticas y la filosofía [natural] más que en cualquier otro momento desde entonces". Fue durante su aislamiento inducido por la plaga que se registró la primera concepción escrita del cálculo fluxionario en el inédito De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas. En este artículo, Newton determinó el área bajo una curva calculando primero una tasa de cambio momentánea y luego extrapolando el área total. Comenzó razonando sobre un triángulo indefinidamente pequeño cuya área es una función de xey . Luego razonó que el aumento infinitesimal en la abscisa creará una nueva fórmula dondex = x + o (importantemente, o es la letra, no el dígito 0). Luego volvió a calcular el área con la ayuda del teorema del binomio, eliminó todas las cantidades que contenían la letra o y volvió a formar una expresión algebraica para el área. Significativamente, Newton entonces "borraría" las cantidades que contienen o porque los términos "multiplicados por él no serán nada con respecto al resto".

En este punto, Newton había comenzado a darse cuenta de la propiedad central de la inversión. Había creado una expresión para el área bajo una curva considerando un aumento momentáneo en un punto. En efecto, el teorema fundamental del cálculo se incorporó a sus cálculos. Si bien su nueva formulación ofrecía un potencial increíble, Newton era muy consciente de sus limitaciones lógicas en ese momento. Admite que "los errores no deben pasarse por alto en matemáticas, por pequeños que sean" y que lo que había logrado fue "explicado brevemente en lugar de demostrado con precisión".

En un esfuerzo por dar al cálculo una explicación y un marco más rigurosos, Newton compiló en 1671 el Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. En este libro, el estricto empirismo de Newton dio forma y definió su cálculo fluxional. Explotó el movimiento instantáneo y los infinitesimales de manera informal. Usó las matemáticas como herramienta metodológica para explicar el mundo físico. La base del cálculo revisado de Newton se convirtió en continuidad; como tal, redefinió sus cálculos en términos de movimiento fluido continuo. Para Newton, las magnitudes variables no son agregados de elementos infinitesimales, sino que se generan por el hecho indiscutible del movimiento. Como ocurre con muchas de sus obras, Newton retrasó la publicación. Methodus Fluxionum no se publicó hasta 1736.

Newton intentó evitar el uso del infinitesimal formando cálculos basados ​​en proporciones de cambios. En el Methodus Fluxionum definió la tasa de cambio generado como fluxión, que representó con una letra punteada, y la cantidad generada la definió como fluida. Por ejemplo, si y son fluidos, entonces y son sus respectivas fluxiones. Este cálculo revisado de proporciones continuó desarrollándose y se estableció con madurez en el texto de 1676 De Quadratura Curvarum.donde Newton llegó a definir la derivada actual como la relación última de cambio, que definió como la relación entre los incrementos evanescentes (la relación de fluxiones) puramente en el momento en cuestión. Esencialmente, la relación final es la relación a medida que los incrementos se desvanecen en la nada. Es importante destacar que Newton explicó la existencia de la razón última apelando al movimiento;

“Porque por velocidad última se entiende que, con la que el cuerpo se mueve, ni antes de que llegue a su último lugar, cuando el movimiento cesa, ni después sino en el mismo instante en que llega... la relación última de cantidades evanescentes es para ser entendido, la proporción de cantidades no antes de que se desvanezcan, no después, sino con la cual se desvanecen”

Newton desarrolló su cálculo fluxional en un intento de evadir el uso informal de los infinitesimales en sus cálculos.

Leibniz

Si bien Newton comenzó el desarrollo de su cálculo fluxional en 1665-1666, sus hallazgos no circularon ampliamente hasta más tarde. En los años intermedios, Leibniz también se esforzó por crear su cálculo. En comparación con Newton, que llegó a las matemáticas a una edad temprana, Leibniz comenzó sus rigurosos estudios matemáticos con un intelecto maduro. Era un erudito, y sus intereses y logros intelectuales involucraban la metafísica, el derecho, la economía, la política, la lógica y las matemáticas. Para comprender el razonamiento de Leibniz en cálculo, se deben tener en cuenta sus antecedentes. En particular, su metafísica que describe el universo como una Monadología, y sus planes de crear una lógica formal precisa mediante la cual, "un método general en el que todas las verdades de la razón se reduzcan a una especie de cálculo".

En 1672, Leibniz conoció al matemático Huygens, quien convenció a Leibniz de dedicar un tiempo significativo al estudio de las matemáticas. En 1673 había progresado hasta la lectura del Traité des Sinus du Quarte Cercle de Pascal.y fue durante su investigación en gran parte autodidacta que Leibniz dijo "una luz se encendió". Al igual que Newton, Leibniz vio la tangente como una razón, pero la declaró simplemente como la razón entre ordenadas y abscisas. Continuó este razonamiento para argumentar que la integral era de hecho la suma de las ordenadas para intervalos infinitesimales en la abscisa; en efecto, la suma de un número infinito de rectángulos. A partir de estas definiciones, la relación inversa o diferencial quedó clara y Leibniz rápidamente se dio cuenta del potencial para formar un sistema matemático completamente nuevo. Donde Newton a lo largo de su carrera usó varios enfoques además de un enfoque que usa infinitesimales, Leibniz hizo de esto la piedra angular de su notación y cálculo.

En los manuscritos del 25 de octubre al 11 de noviembre de 1675, Leibniz registró sus descubrimientos y experimentos con varias formas de notación. Era muy consciente de los términos de notación utilizados y sus planes anteriores para formar un simbolismo lógico preciso se hicieron evidentes. Eventualmente, Leibniz denotó los incrementos infinitesimales de abscisas y ordenadas dx y dy, y la suma de infinitos rectángulos infinitesimalmente delgados como una s larga (∫), que se convirtió en el símbolo integral actual .

Si bien la notación de Leibniz es utilizada por las matemáticas modernas, su base lógica era diferente a la actual. Leibniz abrazó los infinitesimales y escribió extensamente para “no hacer de lo infinitamente pequeño un misterio, como lo había hecho Pascal”. Según Gilles Deleuze, los ceros de Leibniz "son nadas, pero no son nadas absolutos, son nadas respectivamente" (citando el texto de Leibniz "Justificación del cálculo de los infinitesimales por el cálculo del álgebra ordinaria"). Alternativamente, los define como "menos de cualquier cantidad dada". Para Leibniz, el mundo era un agregado de puntos infinitesimales y la falta de prueba científica de su existencia no le preocupaba. Los infinitesimales para Leibniz eran cantidades ideales de un tipo diferente a los números apreciables. La verdad de la continuidad fue probada por la existencia misma. Para Leibniz estaba asegurado el principio de continuidad y por tanto la validez de su cálculo. Trescientos años después del trabajo de Leibniz, Abraham Robinson demostró que el uso de cantidades infinitesimales en el cálculo podía tener una base sólida.

Legado

El auge del cálculo se destaca como un momento único en las matemáticas. El cálculo es la matemática del movimiento y el cambio, y como tal, su invención requirió la creación de un nuevo sistema matemático. Es importante destacar que Newton y Leibniz no crearon el mismo cálculo y no concibieron el cálculo moderno. Si bien ambos estaban involucrados en el proceso de creación de un sistema matemático para manejar cantidades variables, su base elemental era diferente. Para Newton, el cambio era una cantidad variable en el tiempo y para Leibniz era la diferencia que se extendía sobre una secuencia de valores infinitamente cercanos. En particular, los términos descriptivos que creó cada sistema para describir el cambio fueron diferentes.

Históricamente, hubo mucho debate sobre si fue Newton o Leibniz quien primero "inventó" el cálculo. Este argumento, la controversia sobre el cálculo de Leibniz y Newton, que involucró a Leibniz, que era alemán, y al inglés Newton, provocó una ruptura en la comunidad matemática europea que duró más de un siglo. Leibniz fue el primero en publicar sus investigaciones; sin embargo, está bien establecido que Newton había comenzado su trabajo varios años antes que Leibniz y ya había desarrollado una teoría de las tangentes cuando Leibniz se interesó en la cuestión. No se sabe cuánto pudo haber influido esto en Leibniz. Las acusaciones iniciales fueron hechas por estudiantes y simpatizantes de los dos grandes científicos de principios de siglo, pero después de 1711 ambos se involucraron personalmente, acusándose mutuamente de plagio.

La disputa de prioridad tuvo el efecto de separar a los matemáticos de habla inglesa de los de la Europa continental durante muchos años. Solo en la década de 1820, debido a los esfuerzos de la Sociedad Analítica, el cálculo analítico leibniziano fue aceptado en Inglaterra. Hoy en día, tanto a Newton como a Leibniz se les atribuye el mérito de haber desarrollado de forma independiente los conceptos básicos del cálculo. Sin embargo, es a Leibniz a quien se le atribuye haber dado a la nueva disciplina el nombre con el que se conoce hoy: "cálculo". El nombre de Newton para esto era "la ciencia de los fluidos y las fluxiones".

El trabajo de Newton y Leibniz se refleja en la notación que se usa hoy. Newton introdujo la notación para la derivada de una función f. Leibniz introdujo el símbolo de la integral y escribió la derivada de una función y de la variable x como , los cuales todavía están en uso.

Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al desarrollo continuo del cálculo. Uno de los primeros y más completos trabajos sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrito en 1748 por Maria Gaetana Agnesi.

Métodos operativos

Antoine Arbogast (1800) fue el primero en separar el símbolo de operación del de cantidad en una ecuación diferencial. Francois-Joseph Servois (1814) parece haber sido el primero en dar reglas correctas sobre el tema. Charles James Hargreave (1848) aplicó estos métodos en sus memorias sobre ecuaciones diferenciales y George Boole los empleó libremente. Hermann Grassmann y Hermann Hankel hicieron un gran uso de la teoría, el primero en el estudio de ecuaciones, el segundo en su teoría de los números complejos.

Cálculo de variaciones

Se puede decir que el cálculo de variaciones comienza con un problema de Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente ocupó la atención de Jakob Bernoulli, pero Leonhard Euler elaboró ​​primero el tema. Sus contribuciones comenzaron en 1733, y su Elementa Calculi Variationumdio a la ciencia su nombre. Joseph Louis Lagrange contribuyó ampliamente a la teoría y Adrien-Marie Legendre (1786) estableció un método, no del todo satisfactorio, para la discriminación de máximos y mínimos. A esta discriminación han contribuido Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834) y Carl Gustav Jakob Jacobi (1837). Una obra general importante es la de Sarrus (1842), que fue condensada y mejorada por Augustin Louis Cauchy (1844). Otros tratados y memorias valiosos han sido escritos por Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885), pero quizás la obra más importante del siglo es la de Karl Weierstrass.

Integrales

Niels Henrik Abel parece haber sido el primero en considerar de manera general la cuestión de qué ecuaciones diferenciales pueden integrarse en forma finita con la ayuda de funciones ordinarias, investigación ampliada por Liouville. Cauchy emprendió temprano la teoría general de la determinación de integrales definidas, y el tema ha sido prominente durante el siglo XIX. Las integrales de Frullani, el trabajo de David Bierens de Haan sobre la teoría y sus elaboradas tablas, las conferencias de Lejeune Dirichlet incorporadas en el tratado de Meyer y numerosas memorias de Legendre, Poisson, Plana, Raabe, Sohncke, Schlömilch, Elliott, Leudesdorf y Kronecker se encuentran entre las contribuciones más destacadas..

Las integrales eulerianas fueron estudiadas por primera vez por Euler y luego investigadas por Legendre, quien las clasificó como integrales eulerianas de primera y segunda especie, de la siguiente manera:

aunque estas no eran las formas exactas del estudio de Euler.

Si n es un entero positivo:

pero la integral converge para todo real positivo y define una continuación analítica de la función factorial para todo el plano complejo excepto para los polos en cero y los enteros negativos. Legendre le asignó el símbolo , y ahora se llama función gamma. Además de ser analítico sobre reales positivos ℝ, también goza de la propiedad singularmente definitoria   de ser convexo, lo que justifica estéticamente esta continuación analítica de la función factorial sobre cualquier otra continuación analítica. Al tema Lejeune Dirichlet ha aportado un importante teorema (Liouville, 1839), que ha sido elaborado por Liouville, Catalan, Leslie Ellis y otros. Raabe (1843-44), Bauer (1859) y Gudermann (1845) han escrito sobre la evaluación y. La gran mesa de Legendre apareció en 1816.

Aplicaciones

La aplicación del cálculo infinitesimal a problemas de física y astronomía fue contemporánea al origen de la ciencia. A lo largo del siglo XVIII, estas aplicaciones se multiplicaron, hasta que, al final, Laplace y Lagrange llevaron toda la gama del estudio de las fuerzas al ámbito del análisis. A Lagrange (1773) debemos la introducción de la teoría del potencial en la dinámica, aunque el nombre de "función potencial" y la memoria fundamental del tema se deben a Green (1827, impreso en 1828). El nombre "potencial" se debe a Gauss (1840), y la distinción entre potencial y función potencial a Clausius. Con su desarrollo están conectados los nombres de Lejeune Dirichlet, Riemann, von Neumann, Heine, Kronecker, Lipschitz, Christoffel, Kirchhoff, Beltrami,

Es imposible en este artículo entrar en la gran variedad de otras aplicaciones del análisis a problemas físicos. Entre ellos se encuentran las investigaciones de Euler sobre cuerdas vibrantes; Sophie Germain sobre membranas elásticas; Poisson, Lamé, Saint-Venant y Clebsch sobre la elasticidad de los cuerpos tridimensionales; Fourier sobre la difusión del calor; Fresnel en luz; Maxwell, Helmholtz y Hertz sobre electricidad; Hansen, Hill y Gyldén sobre astronomía; Maxwell sobre armónicos esféricos; Lord Rayleigh en acústica; y las contribuciones de Lejeune Dirichlet, Weber, Kirchhoff, F. Neumann, Lord Kelvin, Clausius, Bjerknes, MacCullagh y Fuhrmann a la física en general. Cabe mencionar especialmente los trabajos de Helmholtz, ya que contribuyó a las teorías de la dinámica, la electricidad, etc.

Además, el cálculo infinitesimal se introdujo en las ciencias sociales, comenzando con la economía neoclásica. Hoy en día, es una herramienta valiosa en la corriente principal de la economía.