Linealidad

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Propiedad de una relación matemática que puede ser representada como una línea recta

Linealidad es la propiedad de una relación matemática (función) que se puede representar gráficamente como una línea recta. La linealidad está estrechamente relacionada con la proporcionalidad. Los ejemplos en física incluyen el movimiento rectilíneo, la relación lineal de voltaje y corriente en un conductor eléctrico (ley de Ohm) y la relación de masa y peso. Por el contrario, las relaciones más complicadas son no lineales.

Generalizada para funciones en más de una dimensión, la linealidad significa la propiedad de una función de ser compatible con la suma y la escala, también conocida como principio de superposición.

La palabra lineal proviene del latín linearis, "perteneciente o parecido a una línea".

En matemáticas

En matemáticas, un mapa lineal o función lineal f(x) es una función que satisface las dos propiedades:

Estas propiedades se conocen como el principio de superposición. En esta definición, x no es necesariamente un número real, pero en general puede ser un elemento de cualquier espacio vectorial. Una definición más especial de función lineal, que no coincide con la definición de mapa lineal, se usa en matemáticas elementales (ver más abajo).

La aditividad solo implica homogeneidad para el α racional, ya que f()x+x)=f()x)+f()x){displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)} implicación f()nx)=nf()x){displaystyle f(nx)=nf(x)} para cualquier número natural n por inducción matemática, y luego nf()x)=f()nx)=f()mnmx)=mf()nmx){fnK}mf({m}x)=mf({tfrac {m}mf({tfrac {n}x)} implicación f()nmx)=nmf()x){displaystyle f({tfrac {n}}x)={tfrac {n}{m}f(x)}. La densidad de los números racionales en los reales implica que cualquier función continua aditiva es homogénea para cualquier número real α, y por lo tanto es lineal.

El concepto de linealidad se puede extender a los operadores lineales. Ejemplos importantes de operadores lineales incluyen la derivada considerada como un operador diferencial y otros operadores construidos a partir de ella, como del y el laplaciano. Cuando una ecuación diferencial se puede expresar en forma lineal, generalmente se puede resolver dividiendo la ecuación en partes más pequeñas, resolviendo cada una de esas partes y sumando las soluciones.

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de vectores, espacios vectoriales (también llamados 'espacios lineales'), transformaciones lineales (también llamadas 'mapas lineales') y sistemas de ecuaciones lineales.

Para obtener una descripción de las ecuaciones lineales y no lineales, consulte ecuación lineal.

Polinomios lineales

En un uso diferente a la definición anterior, se dice que un polinomio de grado 1 es lineal, porque la gráfica de una función de esa forma es una línea recta.

Sobre los reales, una ecuación lineal es una de las formas:

f()x)=mx+b{displaystyle f(x)=mx+b}

donde m a menudo se denomina pendiente o pendiente; b la intersección y, que da el punto de intersección entre el gráfico de la función y el eje y.

Tenga en cuenta que este uso del término lineal no es el mismo que en la sección anterior, porque los polinomios lineales sobre los números reales en general no satisfacen ni la aditividad ni la homogeneidad. De hecho, lo hacen si y solo si b = 0. Por lo tanto, si b ≠ 0, la función a menudo se denomina función afín (ver transformación afín de mayor generalidad).

Funciones booleanas

Hasse diagrama de una función booleana lineal

En álgebra booleana, una función lineal es una función f{displaystyle f} para los que existen a0,a1,...... ,an▪ ▪ {}0,1}{displaystyle a_{0},a_{1},ldotsa_{n}in {0,1}} tales que

f()b1,...... ,bn)=a0⊕ ⊕ ()a1∧ ∧ b1)⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ ()an∧ ∧ bn){displaystyle f(b_{1},ldotsb_{n}=a_{0}oplus (a_{1}land b_{1})oplus cdots oplus (a_{n}land b_{n}}}}}, donde b1,...... ,bn▪ ▪ {}0,1}.{displaystyle b_{1},ldotsb_{n}in {0,1}

Note que si a0=1{displaystyle A_{0}=1}, la función anterior se considera afine en álgebra lineal (es decir, no linear).

Una función booleana es lineal si uno de los siguientes se cumple para la tabla de verdad de la función:

  1. En cada fila en la que el valor verdadero de la función es T, hay un número extraño de Ts asignados a los argumentos, y en cada fila en la que la función es F hay un número uniforme de Ts asignados a los argumentos. Específicamente, f(F, F,..., F) = F, y estas funciones corresponden a mapas lineales sobre el espacio vectorial booleano.
  2. En cada fila en la que el valor de la función es T, hay un número uniforme de Ts asignados a los argumentos de la función; y en cada fila en la que el valor de la verdad de la función es F, hay un número impar de Ts asignados a los argumentos. En este caso, f(F, F,..., F) = T.

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre hace una diferencia en el valor de verdad de la operación o nunca hace una diferencia.

La negación, la bicondicional lógica, la or exclusiva, la tautología y la contradicción son funciones lineales.

Física

En física, la linealidad es una propiedad de las ecuaciones diferenciales que gobiernan muchos sistemas; por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell o la ecuación de difusión.

La linealidad de una ecuación diferencial homogénea significa que si dos funciones f y g son soluciones de la ecuación, entonces cualquier combinación lineal af + bg también lo es.

En instrumentación, la linealidad significa que un cambio dado en una variable de entrada produce el mismo cambio en la salida del aparato de medición: esto es muy deseable en el trabajo científico. En general, los instrumentos son casi lineales en un cierto rango y son más útiles dentro de ese rango. Por el contrario, los sentidos humanos son altamente no lineales: por ejemplo, el cerebro ignora por completo la luz entrante a menos que exceda un cierto umbral absoluto de número de fotones.

Electrónica

En electrónica, la región operativa lineal de un dispositivo, por ejemplo, un transistor, es donde una variable dependiente de salida (como la corriente del colector del transistor) es directamente proporcional a una variable dependiente de entrada (como la corriente base). Esto garantiza que una salida analógica sea una representación precisa de una entrada, normalmente con mayor amplitud (amplificada). Un ejemplo típico de equipo lineal es un amplificador de audio de alta fidelidad, que debe amplificar una señal sin cambiar su forma de onda. Otros son filtros lineales y amplificadores lineales en general.

En la mayoría de las aplicaciones científicas y tecnológicas, a diferencia de las matemáticas, algo puede describirse como lineal si la característica es aproximadamente, pero no exactamente, una línea recta; y la linealidad puede ser válida solo dentro de una determinada región operativa; por ejemplo, un amplificador de alta fidelidad puede distorsionar una señal pequeña, pero lo suficientemente pequeña como para ser aceptable (linealidad aceptable pero imperfecta); y puede distorsionarse mucho si la entrada excede un cierto valor.

Linealidad integral

Para un dispositivo electrónico (u otro dispositivo físico) que convierte una cantidad en otra cantidad, Bertram S. Kolts escribe:

Hay tres definiciones básicas para la linealidad integral en uso común: linealidad independiente, linealidad basada en cero y terminal, o punto final, linealidad. En cada caso, linearity define lo bien que el rendimiento real del dispositivo en un rango de operación especificado aproxima una línea recta. La linealidad se mide generalmente en términos de una desviación, o no linealidad, de una línea recta ideal y se expresa generalmente en términos de porcentaje de escala completa, o en ppm (partes por millón) de escala completa. Típicamente, la línea recta se obtiene realizando un ajuste mínimo de los datos. Las tres definiciones varían en la forma en que la línea recta está posicionada en relación con el rendimiento del dispositivo real. Además, las tres definiciones ignoran cualquier ganancia o compensan errores que puedan estar presentes en las características de rendimiento del dispositivo.

Formaciones tácticas militares

En formaciones tácticas militares, las "formaciones lineales" se adaptaron a partir de formaciones de picas en forma de falange protegidas por artilleros, hacia formaciones poco profundas de artilleros protegidos por cada vez menos picas. Este tipo de formación se hizo progresivamente más delgada hasta su extremo en la era de la 'Delgada Línea Roja' de Wellington. Finalmente, fue reemplazado por el orden de escaramuza cuando la invención del rifle de retrocarga permitió a los soldados moverse y disparar en unidades pequeñas y móviles, sin el apoyo de formaciones a gran escala de cualquier forma.

Arte

Lineal es una de las cinco categorías propuestas por el historiador de arte suizo Heinrich Wölfflin para distinguir el arte "clásico" o renacentista del barroco. Según Wölfflin, los pintores del siglo XV y principios del XVI (Leonardo da Vinci, Raphael o Albrecht Dürer) son más lineales que "pictóricos" Pintores barrocos del siglo XVII (Peter Paul Rubens, Rembrandt y Velázquez) porque utilizan principalmente el contorno para crear formas. La linealidad en el arte también puede ser referenciada en el arte digital. Por ejemplo, la ficción de hipertexto puede ser un ejemplo de narrativa no lineal, pero también hay sitios web diseñados para ir de una manera específica y organizada, siguiendo un camino lineal.

Música

En la música el aspecto lineal es la sucesión, ya sea de intervalos o de melodía, frente a la simultaneidad o el aspecto vertical.

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