William Rowan Hamilton

Sir William Rowan Hamilton (3/4 de agosto de 1805 - 2 de septiembre de 1865) fue un matemático, astrónomo y físico irlandés. Fue profesor Andrews de astronomía en Trinity College Dublin y director en el Observatorio Dunsink.

La carrera científica de Hamilton incluyó el estudio de la óptica geométrica, las ideas del análisis de Fourier y su trabajo sobre los cuaterniones que lo convirtieron en uno de los fundadores del álgebra lineal moderna. Hizo importantes contribuciones en óptica, mecánica clásica y álgebra abstracta. Su trabajo fue de importancia para la física teórica, particularmente su reformulación de la mecánica newtoniana, ahora llamada mecánica hamiltoniana. Ahora es fundamental tanto para el electromagnetismo como para la mecánica cuántica.

Primeros años de vida

Hamilton fue el cuarto de los nueve hijos de Sarah Hutton (1780–1817) y Archibald Hamilton (1778–1819), que vivían en Dublín en el número 29 de Dominick Street, que luego pasó a ser 36. El padre de Hamilton, que era de Dublín, trabajaba como abogado. A la edad de tres años, Hamilton había sido enviado a vivir con su tío James Hamilton, un graduado del Trinity College que dirigía una escuela en Talbots Castle en Trim, Co. Meath. La hija de James, Grace, prima de Hamilton, se convirtió en la madre de Mary Elizabeth Townsend, filántropa y cofundadora de Girls' Friendly Society.

Se dice que Hamilton mostró talento a una edad temprana. Su tío observó que Hamilton, desde muy joven, había mostrado una extraña habilidad para aprender idiomas. Esto ha sido cuestionado por algunos historiadores, quienes afirman que solo tenía una comprensión básica de ellos. A la edad de siete años ya había progresado en el hebreo, y antes de los 13 había adquirido, bajo el cuidado de su tío, una docena de lenguas: lenguas europeas clásicas y modernas, con persa, árabe, indostaní, sánscrito, marathi y Malayo. El énfasis en los idiomas se atribuye al deseo del padre de Hamilton de ver a su hijo empleado en la Compañía Británica de las Indias Orientales.

Un experto calculador mental, el joven Hamilton era capaz de calcular el resultado de algún cálculo con muchos decimales. En septiembre de 1813, un prodigio estadounidense del cálculo, Zerah Colburn, estaba siendo exhibido en Dublín. Colburn tenía 9 años, un año mayor que Hamilton. Los dos se enfrentaron en un concurso de aritmética mental, con Colburn emergiendo como el claro vencedor.

En reacción a su derrota, Hamilton pasó menos tiempo estudiando idiomas y más en matemáticas. A los diez años, tropezó con una copia latina de Euclides; ya los doce estudió la Arithmetica Universalis de Newton. Pasó a leer los Principia y, a los 16 años, había cubierto gran parte de él, así como algunos trabajos más recientes sobre geometría analítica y cálculo diferencial. En este período se encontró con lo que creía que era un error lógico en Laplace. Condujo a una presentación de John Brinkley, entonces el primer astrónomo real de Irlanda. Hamilton le mostró algunos trabajos sobre geometría diferencial de curvas.

Años de estudiante

A mediados de 1822, Hamilton comenzó un estudio sistemático de la Mécanique Céleste de Laplace. En julio de 1823 obtuvo una plaza en el Trinity College de Dublín mediante un examen, a los 18 años. Su tutor allí era Charles Boyton, un amigo de la familia. Boyton llamó su atención sobre las matemáticas contemporáneas publicadas por el grupo en la École Polytechnique de París. John Brinkley comentó sobre Hamilton, de 18 años: "Este joven, no digo que será, pero es, el primer matemático de su edad".

La universidad le otorgó a Hamilton dos optimes, o calificaciones extraordinarias, en griego y en física. De hecho, fue el primero en todas las materias y en todos los exámenes. Se esperaba que ganara más honores estudiantiles, pero su carrera universitaria se vio restringida. Obtuvo títulos tanto en clásicos como en matemáticas (BA en 1827, MA en 1837).

Hamilton tenía como objetivo ganar una beca del Trinity College mediante un examen competitivo. Pero esa ambición fue superada por los acontecimientos, después de que Brinkley en 1826 fuera nombrado obispo de Cloyne. Hamilton todavía era un estudiante universitario, cuando fue designado en 1827 para los puestos vacantes dejados por la partida de Brinkley, Profesor Andrews de Astronomía y Astrónomo Real de Irlanda.

Vida personal y poesía.

En 1824, Hamilton fue presentado en Edgeworthstown a la novelista Maria Edgeworth, por el reverendo Richard Butler, vicario de Trim, condado de Meath, de quien su tío James Hamilton era coadjutor. Al mismo tiempo, su tío le presentó a la familia Disney, en Summerhill, condado de Meath. Los hijos de Disney asistieron al Trinity College y Hamilton tenía amigos entre ellos. En Summerhill conoció a Catherine Disney, su hermana.

Hamilton se sintió atraído por Catherine Disney, pero su familia no lo aprobó; y se requirió que Catherine se casara con el reverendo William Barlow, hermano del esposo de su hermana mayor. La boda tuvo lugar en 1825. Hamilton escribió en 1826 sobre sus sentimientos por ella en un poema extenso, "The Enthusiast". Más de veinte años después, en 1847, le confió a John Herschel que en este período podría haberse convertido en poeta.

En 1825, Hamilton conoció a Arabella Lawrence, hermana menor de Sarah Lawrence, una importante corresponsal y crítica franca de su poesía. Fue un contacto hecho a través del círculo de Maria Edgeworth.

En Dunsink

Hamilton, ahora astrónomo real de Irlanda, fijó su residencia en el Observatorio de Dunsink, donde pasó el resto de su vida. Estuvo allí desde 1827 hasta su muerte en 1865. En sus primeros años en Dunsink, Hamilton observó los cielos con bastante regularidad; dejó la observación de rutina a su asistente Charles Thompson. Las hermanas de Hamilton también apoyaron el trabajo del observatorio.

Se celebraron las conferencias introductorias de Hamilton en astronomía; además de sus alumnos, atrajeron a eruditos, poetas y mujeres; Felicia Hemans escribió su poema La oración del estudiante solitario después de escuchar una de sus conferencias.

Vida personal, viajes y visitas poéticas

Hamilton invitó a sus cuatro hermanas a venir y vivir en el observatorio en 1827 y se hicieron cargo de la casa hasta su matrimonio en 1833. Entre ellas se encontraba Eliza Mary Hamilton (1807–1851), la poeta. En 1827, Hamilton le escribió a su hermana Grace acerca de que "algunas" de las hermanas Lawrence habían conocido a su hermana Eliza en Dublín.

Recién nombrado en el Observatorio, Hamilton emprendió una gira por Irlanda e Inglaterra con Alexander Nimmo, quien lo entrenaba en latitud y longitud. Una llamada fue a la escuela de Sarah Lawrence en Gatacre, cerca de Liverpool, donde Hamilton tuvo la oportunidad de evaluar la calculadora Master Noakes. Visitaron a William Wordsworth en Rydal Mount en septiembre de ese año, donde también estuvo presente Caesar Otway. Después de la visita, Hamilton envió numerosos poemas a Wordsworth, convirtiéndose en un "discípulo poético".

Cuando Wordsworth visitó Dublín en el verano de 1829, en una fiesta con John Marshall y su familia, se quedó en Dunsink con Hamilton. En una segunda gira por Inglaterra con Nimmo en 1831, Hamilton se separó de él en Birmingham para visitar a las hermanas Lawrence y su familia por parte de su madre en el área de Liverpool. Se encontraron de nuevo en el Distrito de los Lagos, donde escalaron el Helvellyn y tomaron el té con Wordsworth. Hamilton regresó a Dublín, vía Edimburgo y Glasgow.

Hamilton visitó a Samuel Taylor Coleridge en Highgate, en 1832, ayudado por una inesperada carta de presentación que le entregó Sarah Lawrence en una visita a Liverpool en marzo de ese año. También hizo una visita, con Arabella, a la familia de William Roscoe, que había muerto en 1831.

Muerte

Hamilton conservó sus facultades intactas hasta el final y continuó la tarea de terminar los Elementos de los cuaterniones, que había ocupado los últimos seis años de su vida. Murió el 2 de septiembre de 1865, tras un grave ataque de gota. Está enterrado en el cementerio Mount Jerome de Dublín.

Física

Hamilton hizo importantes contribuciones a la óptica ya la mecánica clásica.

Su primer descubrimiento fue en un artículo temprano que comunicó en 1823 a John Brinkley, quien lo presentó bajo el título de Caustics en 1824 a la Royal Irish Academy. Como de costumbre, se remitió a un comité, que recomendó un mayor desarrollo y simplificación antes de su publicación. Entre 1825 y 1828, el artículo se amplió y se convirtió en una exposición más clara de un método novedoso. Durante este período, Hamilton aprendió a apreciar la naturaleza y la importancia de la óptica.

En 1827, Hamilton presentó una teoría de una sola función, ahora conocida como la función principal de Hamilton, que reúne la mecánica y la teoría óptica. Ayudó a establecer los fundamentos de la teoría ondulatoria de la luz en la física matemática. Lo propuso cuando predijo por primera vez su existencia en el tercer suplemento de sus Sistemas de rayos, leído en 1832.

El artículo de la Royal Irish Academy finalmente se tituló Theory of Systems of Rays (23 de abril de 1827), y la primera parte se imprimió en 1828 en Transactions of the Royal Irish Academy. Los contenidos más importantes de la segunda y tercera partes aparecieron en los tres voluminosos suplementos (a la primera parte) que se publicaron en las mismas Transactions, y en los dos artículos Sobre un método general en dinámica, que aparecieron en Philosophical Transactions en 1834. y 1835. En estos documentos, Hamilton desarrolló su principio central de "acción variable".

Un resultado de este trabajo es una predicción para cristales biaxiales transparentes (es decir, cristales monoclínicos, ortorrómbicos o triclínicos). Un rayo de luz que entra en un cristal de este tipo en un cierto ángulo emergería como un cono hueco de rayos. Este descubrimiento fue conocido como refracción cónica. Hamilton lo encontró a partir de la geometría de la superficie de onda presentada por Augustin-Jean Fresnel, que tiene puntos singulares. Hay una explicación matemática básica del fenómeno, a saber, que la superficie de la onda no es el límite de un cuerpo convexo. Una comprensión más completa aguardaba al análisis microlocal de mediados del siglo XX,

El paso de la óptica a la dinámica en la aplicación del método de "Varying Action" se dio en 1827, y se comunicó a la Royal Society, en cuyas Philosophical Transactions de 1834 y 1835 hay dos artículos sobre el tema.

Contexto e importancia de la obra

La mecánica hamiltoniana era una técnica nueva y poderosa para trabajar con ecuaciones de movimiento. Los avances de Hamilton ampliaron la clase de problemas mecánicos que podían resolverse. Su principio de "acción variable" se basó en el cálculo de variaciones, en la clase general de problemas incluidos en el principio de acción mínima que había sido estudiado anteriormente por Pierre Louis Maupertuis, Euler, Joseph Louis Lagrange y otros. El análisis de Hamilton descubrió una estructura matemática más profunda de lo que se había entendido anteriormente, en particular, una simetría entre el momento y la posición. El crédito por descubrir lo que ahora se llama las ecuaciones de Lagrange y Lagrange también pertenece a Hamilton.

Tanto la mecánica lagrangiana como los enfoques hamiltonianos han demostrado ser importantes en el estudio de sistemas clásicos continuos en física y sistemas mecánicos cuánticos: las técnicas encuentran uso en electromagnetismo, mecánica cuántica, teoría de la relatividad y teoría cuántica de campos. En el Dictionary of Irish Biography, David Spearman escribe:

La formulación que ideó para la mecánica clásica demostró ser igualmente adecuada para la teoría cuántica, cuyo desarrollo facilitó. El formalismo hamiltoniano no muestra signos de obsolescencia; las nuevas ideas continúan encontrando en este el medio más natural para su descripción y desarrollo, y la función que ahora se conoce universalmente como hamiltoniana, es el punto de partida para el cálculo en casi cualquier área de la física.

Muchos científicos, incluidos Liouville, Jacobi, Darboux, Poincaré, Kolmogorov, Prigogine y Arnold, han ampliado el trabajo de Hamilton en mecánica, ecuaciones diferenciales y geometría simpléctica.

Matemáticas

Los estudios matemáticos de Hamilton parecen haber sido emprendidos y llevados a su pleno desarrollo sin colaboración, y sus escritos no pertenecen a ninguna escuela en particular. Las autoridades universitarias que lo eligieron para la cátedra de astronomía pretendían que pasara su tiempo lo mejor que pudiera para el avance de la ciencia, sin restricciones.

Cuaterniones

Hamilton hizo su descubrimiento del álgebra de cuaterniones en 1843. Entre muchos trabajos anteriores relacionados, en 1840 Benjamin Olinde Rodrigues había llegado a un resultado que equivalía a su descubrimiento en todo menos en el nombre.

Hamilton estaba buscando formas de extender los números complejos (que pueden verse como puntos en un diagrama de Argand bidimensional) a dimensiones espaciales más altas. Al trabajar con cuatro dimensiones, en lugar de tres, creó el álgebra de cuaterniones. Según Hamilton, el 16 de octubre estaba paseando por el Royal Canal de Dublín con su esposa cuando la solución en forma de ecuacióni = j = k = calibración = −1

se le ocurrió; Luego, Hamilton talló esta ecuación usando su navaja en el costado del cercano Broom Bridge (que Hamilton llamó Brougham Bridge).

Los cuaterniones supusieron abandonar la ley conmutativa, un paso radical para la época. En el contexto de este prototipo de álgebra geométrica, Hamilton también introdujo los productos punto y cruz del álgebra vectorial, siendo el producto cuaternión el producto cruz menos el producto punto como escalar. Hamilton también describió un cuaternión como un múltiplo ordenado de cuatro elementos de números reales, y describió el primer elemento como la parte "escalar" y los tres restantes como la parte "vectorial". Acuñó los neologismos "tensor" y "escalar", y fue el primero en utilizar la palabra "vector" en el sentido moderno.

Otros trabajos matemáticos

Hamilton investigó la solución de la quíntica en la teoría de ecuaciones, examinando los resultados a los que llegaron Niels Henrik Abel, George Jerrard y otros en sus investigaciones. Está el artículo de Hamilton sobre funciones fluctuantes en el análisis de Fourier y la invención de la hodógrafa. De sus investigaciones sobre las soluciones, especialmente por aproximación numérica, de ciertas clases de ecuaciones diferenciales físicamente importantes, solo se publicaron partes, a intervalos, en Philosophical Magazine.

Hamilton también introdujo el juego icosiano o el rompecabezas de Hamilton. Se basa en el concepto de camino hamiltoniano en la teoría de grafos.

Publicaciones

• Hamilton, Sir WR (1853), Conferencias sobre cuaterniones Dublín: Hodges y Smith
• Hamilton, Sir WR, Hamilton, WE (ed) (1866), Elements of Quaternions London: Longmans, Green, & Co.
• Hamilton, WR (1833), Conferencia introductoria sobre astronomía Dublin University Review y Quarterly Magazine, vol. Yo, Trinity College de Dublín
• Para los trabajos matemáticos de Hamilton, véase David R. Wilkins, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865): Mathematical Papers

Hamilton introdujo, como método de análisis, tanto cuaterniones como bicuaterniones, la extensión a ocho dimensiones mediante la introducción de coeficientes de números complejos. Cuando se reunió su trabajo en 1853, el libro Lectures on Quaternions había "formado el tema de sucesivos cursos de conferencias, impartidos en 1848 y años posteriores, en los Halls of Trinity College, Dublin". Hamilton declaró con confianza que se descubriría que los cuaterniones tenían una poderosa influencia como instrumento de investigación.

Cuando murió, Hamilton estaba trabajando en una declaración definitiva de la ciencia de los cuaterniones. Su hijo William Edwin Hamilton publicó Elements of Quaternions, un voluminoso volumen de 762 páginas, en 1866. Como las copias se agotaron, Charles Jasper Joly preparó una segunda edición, cuando el libro se dividió en dos volúmenes, el primero apareció 1899 y la segunda en 1901. El índice de materias y las notas al pie en esta segunda edición mejoraron la accesibilidad de los Elementos.

Honores y premios

Hamilton recibió dos veces la Medalla Cunningham de la Royal Irish Academy. El primer premio, en 1834, fue por su trabajo sobre la refracción cónica, por el que también recibió la Medalla Real de la Royal Society al año siguiente. Iba a ganarlo de nuevo en 1848.

En 1835, siendo secretario de la reunión de la Asociación Británica que se celebró ese año en Dublín, Hamilton fue nombrado caballero por el lord teniente. Otros honores se sucedieron rápidamente, entre los que se encuentran su elección en 1837 para la silla de presidente en la Royal Irish Academy, y la rara distinción de ser nombrado miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Más tarde, en 1864, la recién establecida Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos eligió a sus primeros Asociados Extranjeros y decidió poner el nombre de Hamilton en la parte superior de su lista.

Legado

Éamon de Valera descubrió una placa debajo del puente Broom, asociada con el descubrimiento de los cuaterniones, el 13 de noviembre de 1958. Desde 1989, la Universidad Nacional de Irlanda, Maynooth, organiza una peregrinación llamada Hamilton Walk, en la que los matemáticos dan un paseo. desde el Observatorio de Dunsink hasta el puente, donde no queda ningún rastro de la talla, aunque una placa de piedra conmemora el descubrimiento.

El Instituto Hamilton es un instituto de investigación de matemáticas aplicadas en la Universidad de Maynooth y la Royal Irish Academy celebra una conferencia pública anual de Hamilton en la que han hablado Murray Gell-Mann, Frank Wilczek, Andrew Wiles y Timothy Gowers. El año 2005 fue el 200 aniversario del nacimiento de Hamilton y el gobierno irlandés lo designó como el Año Hamilton, celebrando la ciencia irlandesa. Trinity College Dublin marcó el año con el lanzamiento del Instituto de Matemáticas Hamilton.

Irlanda emitió dos sellos conmemorativos en 1943 para conmemorar el centenario del anuncio de los cuaterniones. El Banco Central de Irlanda emitió una moneda de prueba de plata conmemorativa de 10 euros en 2005 para conmemorar los 200 años de su nacimiento.

Conmemoraciones

• Las ecuaciones de Hamilton son una formulación de la mecánica clásica.
• Numerosos otros conceptos y objetos en mecánica, como el principio de Hamilton, la función principal de Hamilton, la ecuación de Hamilton-Jacobi, el teorema de Cayley-Hamilton llevan el nombre de Hamilton.
• El hamiltoniano es el nombre tanto de una función (clásica) como de un operador (cuántico) en física y, en un sentido diferente, un término de la teoría de grafos.
• El álgebra de cuaterniones generalmente se denota con H, o en negrita de pizarra con , en honor a Hamilton.
• El edificio Hamilton en Trinity College Dublin lleva su nombre.

En literatura

Algunos matemáticos modernos creen que el trabajo de Hamilton sobre los cuaterniones fue satirizado por Charles Lutwidge Dodgson en Alicia en el país de las maravillas. En particular, la fiesta del té del Sombrerero Loco estaba destinada a representar la locura de los cuaterniones y la necesidad de volver a la geometría euclidiana.

Familia

Hamilton se casó con Helen Bayly, hija del reverendo Henry Bayly, rector de Nenagh, condado de Tipperary, en 1833; era hermana de vecinos del observatorio. Tuvieron tres hijos: William Edwin Hamilton (nacido en 1834), Archibald Henry (nacido en 1835) y Helen Eliza Amelia (nacida en 1840). Helen se quedó con su madre viuda en Bayly Farm, Nenagh durante períodos prolongados, hasta la muerte de su madre en 1837. También estuvo lejos de Dunsink, quedándose con hermanas, durante gran parte del tiempo desde 1840 hasta 1842. Según los informes, la vida matrimonial de Hamilton fue difícil. En el período turbulento de principios de la década de 1840, su hermana Sydney dirigía su hogar; cuando Helen regresó, estaba más feliz después de una depresión.