Tensor (definición intrínseca)

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En matemáticas, el enfoque moderno sin componentes de la teoría de un tensor ve un tensor como un objeto abstracto, que expresa algún tipo definido de concepto multilineal. Sus propiedades se pueden derivar de sus definiciones, como mapas lineales o de manera más general; y las reglas para la manipulación de tensores surgen como una extensión del álgebra lineal al álgebra multilineal.

En geometría diferencial, un enunciado geométrico intrínseco puede describirse mediante un campo tensorial en una variedad y, por lo tanto, no necesita hacer referencia a coordenadas en absoluto. Lo mismo es cierto en relatividad general, de campos tensoriales que describen una propiedad física. El enfoque sin componentes también se usa ampliamente en álgebra abstracta y álgebra homológica, donde los tensores surgen de forma natural.

Nota: Este artículo asume una comprensión del producto tensor de espacios vectoriales sin bases escogidas. Una visión general del tema se puede encontrar en el artículo principal del tensor.

Definición mediante productos tensoriales de espacios vectoriales

Dado un conjunto finito { V₁,..., V_n } de espacios vectoriales sobre un campo común F, uno puede formar su producto tensorial V₁ ⊗... ⊗ V_n, un elemento del cual se denomina un tensor.

Un tensor en el espacio vectorial V se define como un elemento de (es decir, un vector en) un espacio vectorial de la forma:

V otimes cdots otimes V otimes V^* otimes cdots otimes V^*

donde V^∗ es el espacio dual de V.

Si hay m copias de V y n copias de V^∗ en nuestro producto, se dice que el tensor es de tipo (m, n) y contravariante de orden m y covariante de orden n y orden total m + n. Los tensores de orden cero son simplemente los escalares (elementos del campo F), los de orden contravariante 1 son los vectores en V, y los de orden covariante 1 son los formas uno en V^∗ (por esta razón, los dos últimos espacios a menudo se denominan vectores contravariante y covariante). El espacio de todos los tensores de tipo (m, n) se denota

{displaystyle T_{n}^{m}(V)=underbrace {Votimes dots otimes V} _{m}otimes underbrace {V^{*}otimes dots otimes V^{*}} _{n}.}

Ejemplo 1. El espacio de tipo (1, 1) Tensores, ${displaystyle T_{1}^{1}(V)=Votimes V^{*},}$ es isomorfo de una manera natural al espacio de transformaciones lineales desde V a V.

Ejemplo 2. Una forma bilineal en un espacio vectorial real V, ${displaystyle Vtimes Vto F,}$ corresponde de forma natural a un tipo (0, 2) Tensor en ${displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}otimes V^{*}.}$ Un ejemplo de tal forma bilineal puede definirse, denominado el asociado métrica tensor, y es generalmente denotado g.

Rango de tensores

Un tensor simple (también llamado tensor de rango uno, tensor elemental o tensor descomponible (Hackbusch 2012, pp. 4)) es un tensor que se puede escribir como un producto de tensores del forma

T=aotimes botimescdotsotimes d

donde a, b,..., d son distintos de cero y en V o V^∗ – es decir, si el tensor es distinto de cero y completamente factorizable. Todo tensor se puede expresar como una suma de tensores simples. El rango de un tensor T es el número mínimo de tensores simples que suman T (Bourbaki 1989, II, §7, no. 8).

El tensor cero tiene rango cero. Un tensor de orden 0 o 1 distinto de cero siempre tiene rango 1. El rango de un tensor de orden 2 o superior distinto de cero es menor o igual que el producto de las dimensiones de todos los vectores excepto los de dimensiones más altas en (una suma de productos de) en el que se puede expresar el tensor, que es dⁿ⁻¹ cuando cada producto es de n vectores de un espacio vectorial de dimensión finita de dimensión d.

El término rango de un tensor amplía la noción del rango de una matriz en álgebra lineal, aunque el término también se usa a menudo para referirse al orden (o grado) de un tensor. El rango de una matriz es el número mínimo de vectores de columna necesarios para abarcar el rango de la matriz. Por lo tanto, una matriz tiene rango uno si se puede escribir como un producto exterior de dos vectores distintos de cero:

{displaystyle A=vw^{mathrm {T} }.}

El rango de una matriz A es el número más pequeño de tales productos externos que se pueden sumar para producirla:

{displaystyle A=v_{1}w_{1}^{mathrm {T} }+cdots +v_{k}w_{k}^{mathrm {T} }.}

En índices, un tensor de rango 1 es un tensor de la forma

{displaystyle T_{ijdots }^{kell dots }=a_{i}b_{j}cdots c^{k}d^{ell }cdots.}

El rango de un tensor de orden 2 concuerda con el rango cuando el tensor se considera como una matriz (Halmos 1974, §51), y se puede determinar a partir de la eliminación gaussiana, por ejemplo. Sin embargo, el rango de un tensor de orden 3 o superior suele ser muy difícil de determinar, y las descomposiciones de tensores de bajo rango son a veces de gran interés práctico (de Groote 1987). Las tareas computacionales como la multiplicación eficiente de matrices y la evaluación eficiente de polinomios se pueden reformular como el problema de evaluar simultáneamente un conjunto de formas bilineales.

{displaystyle z_{k}=sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}

para las entradas dadas x_i y y_j. Si se conoce una descomposición de bajo rango del tensor T, entonces se conoce una estrategia de evaluación eficiente (Knuth 1998, pp. 506–508).

Propiedad universal

El espacio $T^m_n(V)$ puede caracterizarse por una propiedad universal en términos de mapas multilineales. Entre las ventajas de este enfoque se encuentran que da una manera de demostrar que muchos mapas lineales son "naturales" o "geométricos" (en otras palabras son independientes de cualquier opción de base). La información computacional explícita se puede escribir utilizando bases, y este orden de prioridades puede ser más conveniente que probar una fórmula da lugar a un mapeo natural. Otro aspecto es que los productos tensores no se utilizan sólo para módulos gratuitos, y el enfoque "universal" lleva más fácilmente a situaciones más generales.

Una función con valores escalares en un producto cartesiano (o suma directa) de espacios vectoriales

{displaystyle f:V_{1}times cdots times V_{N}to F}

es multilineal si es lineal en cada argumento. El espacio de todas las asignaciones multilineales de V₁ ×... × V_N a W se denota L^N(V₁,..., V_N; W). Cuando N = 1, un mapeo multilineal es solo un mapeo lineal ordinario, y el espacio de todos los mapeos lineales de V a W se denota L(V; W).

La caracterización universal del producto tensorial implica que, para cada función multilineal

{displaystyle fin L^{m+n}(underbrace {V^{*},ldotsV^{*}} _{m},underbrace {V,ldotsV} _{n};W)}

(donde) $W$ puede representar el campo de los escalares, un espacio vectorial, o un espacio tensor) existe una función lineal única

{displaystyle T_{f}in L(underbrace {V^{*}otimes cdots otimes V^{*}} _{m}otimes underbrace {Votimes cdots otimes V} _{n};W)}

tal que

{displaystyle f(alpha _{1},ldotsalpha _{m},v_{1},ldotsv_{n})=T_{f}(alpha _{1}otimes cdots otimes alpha _{m}otimes v_{1}otimes cdots otimes v_{n})}

para todos $v_{i}in V$ y ${displaystyle alpha _{i}in V^{*}.}$

Usando la propiedad universal, se sigue que el espacio de (m,n)-tensores admite un isomorfismo natural

{displaystyle T_{n}^{m}(V)cong L(underbrace {V^{*}otimes cdots otimes V^{*}} _{m}otimes underbrace {Votimes cdots otimes V} _{n};F)cong L^{m+n}(underbrace {V^{*},ldotsV^{*}} _{m},underbrace {V,ldotsV} _{n};F).}

Cada V en la definición del tensor corresponde a una V^* dentro del argumento de los mapas lineales, y viceversa. (Tenga en cuenta que en el primer caso, hay m copias de V y n copias de V^*, y en este último caso viceversa). En particular, uno tiene

{displaystyle {begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&cong L(V^{*};F)cong V\T_{1}^{0}(V)&cong L(V;F)=V^{*}\T_{1}^{1}(V)&cong L(V;V)end{aligned}}}

Campos tensoriales

La geometría diferencial, la física y la ingeniería a menudo deben lidiar con campos tensoriales en variedades uniformes. El término tensor se usa a veces como abreviatura de campo tensor. Un campo tensorial expresa el concepto de un tensor que varía de un punto a otro en la variedad.

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