Siméon Denis Poisson

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El barón Siméon Denis Poisson (21 de junio de 1781 - 25 de abril de 1840) fue un matemático y físico francés que trabajó en estadística, análisis complejo, ecuaciones diferenciales parciales, la cálculo de variaciones, mecánica analítica, electricidad y magnetismo, termodinámica, elasticidad y mecánica de fluidos. Además, predijo la mancha de Poisson en su intento de refutar la teoría ondulatoria de Augustin-Jean Fresnel, que luego fue confirmada.

Biografía

Poisson nació en Pithiviers, distrito de Loiret en Francia, hijo de Siméon Poisson, oficial del ejército francés.

En 1798, ingresó a la École Polytechnique de París como primero de su año, e inmediatamente comenzó a llamar la atención de los profesores de la escuela, quienes lo dejaron libre para tomar sus propias decisiones sobre lo que estudiaría. En su último año de estudios, menos de dos años después de su ingreso, publicó dos memorias, una sobre el método de eliminación de Étienne Bézout, la otra sobre el número de integrales de una ecuación en diferencias finitas y fue tan impresionante que se le permitió Graduado en 1800 sin tomar el examen final. La última de las memorias fue examinada por Sylvestre-François Lacroix y Adrien-Marie Legendre, quienes recomendaron que se publicara en el Recueil des savants étrangers,un honor sin precedentes para un joven de dieciocho años. Este éxito propició de inmediato la entrada de Poisson en los círculos científicos. Joseph Louis Lagrange, a cuyas conferencias sobre teoría de funciones asistió en la École Polytechnique, reconoció su talento desde el principio y se convirtió en su amigo. Mientras tanto, Pierre-Simon Laplace, en cuyos pasos siguió Poisson, lo consideraba casi como su hijo. El resto de su carrera, hasta su muerte en Sceaux, cerca de París, la ocupó en la composición y publicación de sus muchas obras y en el cumplimiento de los deberes de los numerosos puestos educativos para los que fue designado sucesivamente.

Inmediatamente después de terminar sus estudios en la École Polytechnique, fue nombrado répétiteur (asistente de enseñanza) allí, puesto que había ocupado como aficionado cuando aún era alumno de la escuela; porque sus compañeros de escuela tenían la costumbre de visitarlo en su habitación después de una conferencia inusualmente difícil para escucharlo repetir y explicarla. Fue nombrado profesor adjunto (professeur suppléant) en 1802 y, en 1806, profesor titular en sustitución de Jean Baptiste Joseph Fourier, a quien Napoleón había enviado a Grenoble. En 1808 se convirtió en astrónomo del Bureau des Longitudes; y cuando se instituyó la Faculté des sciences de Paris [ fr ] en 1809, fue nombrado profesor de mecánica racional (professeur de mécanique rationelle). Luego se convirtió en miembro del Instituto en 1812, examinador en la escuela militar (École Militaire) en Saint-Cyr en 1815, examinador de graduación en la École Polytechnique en 1816, consejero de la universidad en 1820 y geómetra de la Oficina. des Longitudes sucedió a Pierre-Simon Laplace en 1827.

En 1817 se casó con Nancy de Bardi y con ella tuvo cuatro hijos. Su padre, cuyas primeras experiencias lo habían llevado a odiar a los aristócratas, lo crió en el severo credo de la Primera República. A lo largo de la Revolución, el Imperio y la restauración posterior, Poisson no estuvo interesado en la política, concentrándose en cambio en las matemáticas. Fue nombrado a la dignidad de barón en 1825, pero no sacó el diploma ni usó el título. En marzo de 1818, fue elegido miembro de la Royal Society, en 1822 miembro honorario extranjero de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias,y en 1823 miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias. La revolución de julio de 1830 lo amenazó con la pérdida de todos sus honores; pero esta desgracia para el gobierno de Louis-Philippe fue hábilmente evitada por François Jean Dominique Arago, quien, mientras el consejo de ministros tramaba su "revocación", le consiguió una invitación para cenar en el Palais-Royal, donde fue abierta y efusivamente recibido por el ciudadano rey, que lo "recordaba". Después de esto, por supuesto, su degradación fue imposible, y siete años más tarde fue nombrado par de Francia, no por razones políticas, sino como representante de la ciencia francesa.

Como profesor de matemáticas, se dice que Poisson tuvo un éxito extraordinario, como era de esperar de su temprana promesa como répétiteur en la École Polytechnique. Como trabajador científico, su productividad rara vez ha sido igualada. A pesar de sus muchos deberes oficiales, encontró tiempo para publicar más de trescientas obras, varias de ellas extensos tratados y muchas de ellas memorias que trataban de las ramas más abstrusas de las matemáticas puras, las matemáticas aplicadas, la física matemática y la mecánica racional. (Arago le atribuyó la cita, "La vida es buena solo para dos cosas: hacer matemáticas y enseñarlas").

Una lista de las obras de Poisson, elaborada por él mismo, se da al final de la biografía de Arago. Todo lo que es posible es una breve mención de los más importantes. Fue en la aplicación de las matemáticas a la física donde realizó sus mayores servicios a la ciencia. Quizás las más originales, y ciertamente las más permanentes en su influencia, fueron sus memorias sobre la teoría de la electricidad y el magnetismo, que virtualmente crearon una nueva rama de la física matemática.

A continuación (o en opinión de algunos, primero) en importancia se encuentran las memorias sobre la mecánica celeste, en las que demostró ser un digno sucesor de Pierre-Simon Laplace. Las más importantes son sus memorias Sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes, Sur la variación des constantes arbitraires dans les questiones de mécanique, ambas publicadas en el Journal of the École Polytechnique (1809); Sur la libration de la lune, en Connaissance des temps (1821), etc.; y Sur le mouvement de la terre autour de son centre de gravité, en Mémoires de l'Académie(1827), etc. En la primera de estas memorias, Poisson discute la famosa cuestión de la estabilidad de las órbitas planetarias, que ya había sido resuelta por Lagrange en el primer grado de aproximación de las fuerzas perturbadoras. Poisson demostró que el resultado podía extenderse a una segunda aproximación y, por lo tanto, hizo un avance importante en la teoría planetaria. La memoria es notable en la medida en que incitó a Lagrange, después de un intervalo de inactividad, a componer en su vejez una de las más grandes de sus memorias, titulada Sur la théorie des changes des éléments des planètes, et en particulier des changes des grands axes de leurs orbita. Pensaba tanto en las memorias de Poisson que hizo una copia de su propia mano, que se encontró entre sus papeles después de su muerte. Poisson hizo importantes contribuciones a la teoría de la atracción.

Como tributo al trabajo científico de Poisson, que se extendió a más de 300 publicaciones, se le otorgó un título nobiliario francés en 1837.

El suyo es uno de los 72 nombres inscritos en la Torre Eiffel.

Contribuciones

Teoría del potencial

Ecuación de Poisson

La conocida generalización de Poisson de la ecuación diferencial parcial de segundo orden de Laplace para el potencial $fi$ $nabla ^{2}phi =-4pirho;$

se conoce como ecuación de Poisson en su honor, se publicó por primera vez en el Bulletin de la société philomatique (1813). Si $rho =0$ , recuperamos la ecuación de Laplace ${ estilo de visualización nabla ^ {2} phi = 0. ;}$

Si ${ estilo de visualización rho (x, y, z)}$ es una función continua y si para $rrightarrowinfty$ (o si un punto se 'mueve' al infinito) una función $fi$ tiende a 0 lo suficientemente rápido, una solución de la ecuación de Poisson es el potencial newtoniano de una función ${ estilo de visualización rho (x, y, z)}$ ${displaystyle phi =-{1 over 4pi }iiint {frac {rho (x,y,z)}{r}},dV;}$

donde $r$ es una distancia entre un elemento de volumen $dV$ y un punto $PAGS$ . La integración recorre todo el espacio.

Las dos memorias más importantes de Poisson sobre el tema son Sur l'attraction des sphéroides (Connaiss. ft. temps, 1829) y Sur l'attraction d'un ellipsoide homogène (Mim. ft. l'acad., 1835).

Poisson descubrió que la ecuación de Laplace es válida solo fuera de un sólido. Carl Friedrich Gauss dio por primera vez una prueba rigurosa para masas con densidad variable en 1839. La ecuación de Poisson es aplicable no solo a la gravitación, sino también a la electricidad y al magnetismo.

Electricidad y magnetismo

A medida que el siglo XVIII llegaba a su fin, la comprensión humana de la electrostática se acercaba a la madurez. Benjamin Franklin ya había establecido la noción de carga eléctrica y la conservación de la carga; Charles-Augustin de Coulomb había enunciado su ley del cuadrado inverso de la electrostática. En 1777, Joseph-Louis Lagrange introdujo el concepto de función potencial que puede usarse para calcular la fuerza gravitatoria de un cuerpo extendido. En 1812, Poisson adoptó esta idea y obtuvo la expresión adecuada para la electricidad, que relaciona la función potencial $V$ con la densidad de carga eléctrica $rho$ . El trabajo de Poisson sobre la teoría del potencial inspiró el artículo de George Green de 1828, Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo.

En 1820, Hans Christian Ørsted demostró que era posible desviar una aguja magnética cerrando o abriendo un circuito eléctrico cercano, lo que resultó en una avalancha de artículos publicados que intentaban explicar el fenómeno. La ley de Ampère y la ley de Biot-Savart se dedujeron rápidamente. Nació la ciencia del electromagnetismo. Poisson también estaba investigando el fenómeno del magnetismo en ese momento, aunque insistió en tratar la electricidad y el magnetismo como fenómenos separados. Publicó dos memorias sobre el magnetismo en 1826.En la década de 1830, una pregunta importante de investigación en el estudio de la electricidad era si la electricidad era o no un fluido o fluidos distintos de la materia, o algo que simplemente actúa sobre la materia como la gravedad. Coulomb, Ampère y Poisson pensaron que la electricidad era un fluido distinto de la materia. En su investigación experimental, comenzando con la electrólisis, Michael Faraday trató de demostrar que no era así. La electricidad, creía Faraday, era parte de la materia.

Óptica

Poisson era miembro de la "vieja guardia" académica de la Académie royale des sciences de l'Institut de France, que creía firmemente en la teoría de partículas de la luz y se mostraba escéptico ante su alternativa, la teoría ondulatoria. En 1818, la Académie fijó como tema de su premio la difracción. Uno de los participantes, el ingeniero civil y óptico Augustin-Jean Fresnel presentó una tesis que explica la difracción derivada del análisis tanto del principio de Huygens-Fresnel como del experimento de la doble rendija de Young.

Poisson estudió la teoría de Fresnel en detalle y buscó una manera de demostrar que estaba equivocada. Poisson pensó que había encontrado una falla cuando demostró que la teoría de Fresnel predice un punto brillante en el eje en la sombra de un obstáculo circular que bloquea una fuente puntual de luz, donde la teoría de partículas de la luz predice oscuridad total. Poisson argumentó que esto era absurdo y que el modelo de Fresnel estaba equivocado. (Tal punto no se observa fácilmente en situaciones cotidianas, porque la mayoría de las fuentes de luz cotidianas no son buenas fuentes puntuales).

El jefe del comité, Dominique-François-Jean Arago, realizó el experimento. Moldeó un disco metálico de 2 mm en una placa de vidrio con cera. Para sorpresa de todos, observó el punto brillante predicho, lo que reivindicó el modelo de onda. Fresnel ganó la competencia.

Después de eso, la teoría corpuscular de la luz murió, pero revivió en el siglo XX en una forma diferente, la dualidad onda-partícula. Arago señaló más tarde que el punto brillante de difracción (que más tarde se conoció como el punto de Arago y el punto de Poisson) ya había sido observado por Joseph-Nicolas Delisle y Giacomo F. Maraldi un siglo antes.

Matemáticas puras y estadísticas.

En matemáticas puras, las obras más importantes de Poisson fueron su serie de memorias sobre integrales definidas y su discusión sobre las series de Fourier, esta última allanando el camino para las investigaciones clásicas de Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann sobre el mismo tema; estos se encuentran en el Journal of the École Polytechnique de 1813 a 1823, y en las Memoirs de l'Académie de 1823. También estudió las integrales de Fourier.

Poisson escribió un ensayo sobre el cálculo de variaciones (Mem. de l'acad., 1833) y memorias sobre la probabilidad de los resultados medios de las observaciones (Connaiss. d. temps, 1827, etc.). La distribución de Poisson en la teoría de la probabilidad lleva su nombre.

En 1820 Poisson estudió integraciones a lo largo de caminos en el plano complejo, convirtiéndose en la primera persona en hacerlo.

En 1829, Poisson publicó un artículo sobre cuerpos elásticos que contenía un enunciado y prueba de un caso especial de lo que se conoció como el teorema de la divergencia.

Mecánica

Mecánica analítica y cálculo de variaciones.

Fundado principalmente por Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange en el siglo XVIII, el cálculo de variaciones experimentó un mayor desarrollo y aplicaciones en el siglo XIX.

Dejar

${displaystyle S=int limits _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x)),dx,}$

donde ${displaystyle y'={frac{dy}{dx}}}$ _ Entonces $S$ se extremiza si satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange

${displaystyle {frac {f parcial}{parcial y}}-{frac {d}{dx}}left({frac {parcial f}{parcial y'}}right)= 0.}$

Pero si $S$ depende de las derivadas de orden superior de $y(x)$ , es decir, si

${displaystyle S=int limits _{a}^{b}fleft(x,y(x),y'(x),...,y^{(n)}(x)right),dx,}$

entonces $y$ debe satisfacer la ecuación de Euler-Poisson,

${displaystyle {frac {f parcial}{parcial y}}-{frac {d}{dx}}left({frac {parcial f}{parcial y'}}right)+...+(-1)^{n}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}left[{frac {f parcial}{y parcial^{(n) }}}derecho]=0.}$

El Traité de mécanique de Poisson (2 vols. 8vo, 1811 y 1833) fue escrito en el estilo de Laplace y Lagrange y fue durante mucho tiempo una obra estándar. Sea $q$ la posición, $T$ sea la energía cinética, $V$ la energía potencial, ambas independientes del tiempo $t$ . La ecuación de movimiento de Lagrange dice

${displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {parcial T}{parcial {dot {q}}_{i}}}right)-{frac {parcial T}{parcial q_{i}}}+{frac {parcial V}{parcial q_{i}}}=0,~~~~i=1,2,...,n.}$

Aquí, se usa la notación de punto para la derivada del tiempo, ${displaystyle {frac {dq}{dt}}={dot {q}}}$ . Conjunto de veneno $L=TV$ . Argumentó que si $V$ es independiente de ${displaystyle {dot {q}}_{i}}$ , podría escribir

${displaystyle {frac {parcial L}{parcial {dot {q}}_{i}}}={frac {parcial T}{parcial {dot {q}}_{i} }},}$

donación

${displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {parcial L}{parcial {dot {q}}_{i}}}right)-{frac {parcial L}{parcial q_{i}}}=0.}$

Introdujo una fórmula explícita para los momentos,

${displaystyle p_{i}={frac {parcial L}{parcial {dot {q}}_{i}}}={frac {parcial T}{parcial {dot {q} }_{i}}}.}$

Así, a partir de la ecuación de movimiento, obtuvo

${displaystyle {dot {p}}_{i}={frac {parcial L}{parcial q_{i}}}.}$

El texto de Poisson influyó en el trabajo de William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi. En 1842 se publicó en Londres una traducción del Tratado de mecánica de Poisson. Sean $tu$ y $v$ sean funciones de las variables canónicas de movimiento $q$ y $pags$ . Entonces su corchete de Poisson está dado por

${displaystyle [u,v]={frac {parcial u}{parcial q_{i}}}{frac {parcial v}{parcial p_{i}}}-{frac {parcial u}{parcial p_{i}}}{frac {parcial v}{parcial q_{i}}}.}$

Evidentemente, la operación anti-conmuta. Más precisamente, ${ estilo de visualización [u, v] = - [v, u]}$ . Por las ecuaciones de movimiento de Hamilton, la derivada del tiempo total de ${ estilo de visualización u = u (q, p, t)}$ es

${displaystyle {begin{alineado}{frac {du}{dt}}&={frac {parcial u}{parcial q_{i}}}{dot {q}}_{i}+ {frac {u parcial}{p parcial_{i}}}{dot {p}}_{i}+{frac {u parcial}{t parcial}}\[6pt]&= {frac {parcial u}{parcial q_{i}}}{frac {parcial H}{parcial p_{i}}}-{frac {parcial u}{parcial p_{i} }}{frac {parcial H}{parcial q_{i}}}+{frac {parcial u}{parcial t}}\[6pt]&=[u,H]+{frac {u parcial}{t parcial}},end{alineado}}}$

donde $H$ está el hamiltoniano. Entonces, en términos de corchetes de Poisson, las ecuaciones de Hamilton se pueden escribir como ${displaystyle {dot {q}}_{i}=[q_{i},H]}$ y ${displaystyle {dot {p}}_{i}=[p_{i},H]}$ . Supongamos $tu$ que es una constante de movimiento, entonces debe satisfacer

${displaystyle [H,u]={frac {u parcial}{t parcial}}.}$

Además, el teorema de Poisson establece que el paréntesis de Poisson de dos constantes de movimiento cualesquiera también es una constante de movimiento.

En septiembre de 1925, Paul Dirac recibió pruebas de un artículo seminal de Werner Heisenberg sobre la nueva rama de la física conocida como mecánica cuántica. Pronto se dio cuenta de que la idea clave del artículo de Heisenberg era la anticonmutatividad de las variables dinámicas y recordó que la construcción matemática análoga en la mecánica clásica eran los corchetes de Poisson. Encontró el tratamiento que necesitaba en Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies de ET Whittaker.

Mecánica continua y flujo de fluidos.

Problema no resuelto de física:

¿Bajo qué condiciones existen soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes y son uniformes? Este es un Problema del Premio del Milenio en matemáticas.(más problemas sin resolver en física)

En 1821, usando una analogía con los cuerpos elásticos, Claude-Louis Navier llegó a las ecuaciones básicas de movimiento para fluidos viscosos, ahora identificadas como ecuaciones de Navier-Stokes. En 1829 Poisson obtuvo de forma independiente el mismo resultado. George Gabriel Stokes los volvió a derivar en 1845 utilizando la mecánica continua. Poisson, Augustin-Louis Cauchy y Sophie Germaine fueron los principales contribuyentes a la teoría de la elasticidad en el siglo XIX. El cálculo de variaciones se utilizó con frecuencia para resolver problemas.

Propagación de onda

Poisson también publicó una memoria sobre la teoría de las ondas (Mém. ft. l'acad., 1825).

Termodinámica

En su trabajo sobre la conducción del calor, Joseph Fourier sostuvo que la función arbitraria puede representarse como una serie trigonométrica infinita y explicitó la posibilidad de desarrollar funciones en términos de funciones de Bessel y polinomios de Legendre, según el contexto del problema. Tomó algún tiempo para que sus ideas fueran aceptadas ya que su uso de las matemáticas no era riguroso. Aunque inicialmente escéptico, Poisson adoptó el método de Fourier. Desde alrededor de 1815 estudió varios problemas en la conducción del calor. Publicó su Théorie mathématique de la chaleur en 1835.

A principios del siglo XIX, Pierre-Simon de Laplace desarrolló una descripción sofisticada, aunque especulativa, de los gases basada en la antigua teoría calórica del calor, con la que los científicos más jóvenes como Poisson estaban menos comprometidos. Un éxito de Laplace fue su corrección de la fórmula de Newton para la velocidad del sonido en el aire que da respuestas satisfactorias en comparación con los experimentos. La fórmula de Newton-Laplace hace uso de los calores específicos de los gases a volumen constante $CV}$ y a presión constante $c_{P}$ . En 1823, Poisson rehizo el trabajo de su maestro y llegó a los mismos resultados sin recurrir a las complejas hipótesis empleadas anteriormente por Laplace. Además, utilizando las leyes de los gases de Robert Boyle y Joseph Louis Gay-Lussac, Poisson obtuvo la ecuación para gases que experimentan cambios adiabáticos, a saber ${displaystyle PV^{gamma }={text{constante}}}$ , donde $PAGS$ es la presión del gas, $V$ su volumen y ${displaystyle gamma ={frac{c_{P}}{c_{V}}}}$ .

Otros trabajos

Además de sus muchas memorias, Poisson publicó una serie de tratados, la mayoría de los cuales estaban destinados a formar parte de una gran obra sobre física matemática, que no llegó a completar. Entre estos se pueden mencionar:

Nouvelle théorie de l'action capillaire (4to, 1831);
Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (4to, 1837), todos publicados en París.
Se puede encontrar un catálogo de todos los artículos y obras de Poisson en Oeuvres complétes de François Arago, vol. 2
Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques (v. 8 en Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France, 1829), copia digitalizada de la Bibliothèque nationale de France

Interacción con Évariste Galois

Después de que el activista político Évariste Galois regresara a las matemáticas después de su expulsión de la École Normale, Poisson le pidió que presentara su trabajo sobre teoría de ecuaciones, lo que hizo en enero de 1831. A principios de julio, Poisson declaró que el trabajo de Galois era "incomprensible", pero animó a Galois a "publicar la totalidad de su obra para formarse una opinión definitiva".Si bien el informe de Poisson se realizó antes del arresto de Galois el 14 de julio, tomó hasta octubre llegar a Galois en prisión. No sorprende, a la luz de su carácter y situación en ese momento, que Galois decidiera con vehemencia no publicar sus artículos a través de la Academia y, en cambio, publicarlos en privado a través de su amigo Auguste Chevalier. Sin embargo, Galois no ignoró el consejo de Poisson. Comenzó a recopilar todos sus manuscritos matemáticos mientras aún estaba en prisión y continuó puliendo sus ideas hasta su liberación el 29 de abril de 1832, después de lo cual fue persuadido de alguna manera para participar en lo que resultó ser un duelo fatal.