Matrices de Pauli

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Matrices importantes en la mecánica cuántica y el estudio de la columna

Wolfgang Pauli (1900-1958), ca. 1924. Pauli recibió el Premio Nobel de Física en 1945, nominado por Albert Einstein, por el principio de exclusión Pauli.

En física matemática y matemáticas, las matrices de Pauli son un conjunto de tres $2 \times 2$ matrices complejas que son hermitianas, involutivas y unitarias. Generalmente indicados por la letra griega sigma ( $σ$ ), ocasionalmente se denotan con tau ( $τ$ ) cuando se usa en conexión con simetrías isospin.

{displaystyle {begin{aligned}sigma _{1}=sigma _{mathrm {x} }&={begin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}}\sigma _{2}=sigma _{mathrm {y} }&={begin{pmatrix}0&-i\i&0end{pmatrix}}\sigma _{3}=sigma _{mathrm {z} }&={begin{pmatrix}1&0\0&-1end{pmatrix}}\end{aligned}}}

Estas matrices llevan el nombre del físico Wolfgang Pauli. En mecánica cuántica, ocurren en la ecuación de Pauli que tiene en cuenta la interacción del espín de una partícula con un campo electromagnético externo. También representan los estados de interacción de dos filtros de polarización para polarización horizontal/vertical, polarización de 45 grados (derecha/izquierda) y polarización circular (derecha/izquierda).

Cada matriz de Pauli es hermitiana, y junto con la matriz identidad $I$ (a veces considerada como la matriz cero de Pauli $σ 0$ ), las matrices de Pauli forman una base para el espacio vectorial real de $2 \times 2$ Matrices hermitianas. Esto significa que cualquier matriz hermítica $2 \times 2$ se puede escribir de forma única como una combinación lineal de matrices de Pauli, siendo todos los coeficientes números reales.

Los operadores ermitianos representan observables en la mecánica cuántica, por lo que las matrices Pauli abarcan el espacio de los observables del complejo $2$ -dimensional Hilbert espacio. En el contexto de la obra de Pauli, $σ k$ representa el observable correspondiente a girar a lo largo del $k$ th coordinate axis in three-dimensional Euclidean space $mathbb {R} ^{3}.$

Las matrices Pauli (después de la multiplicación por $i$ para hacerlos anti-Hermitiano) también generan transformaciones en el sentido de los álgebras de Lie: las matrices $iσ 1, iσ 2, iσ 3$ forma una base para el real Lie algebra ${mathfrak {su}}(2)$ , que exponencia al grupo unitario especial SU(2). El álgebra generada por las tres matrices $σ 1, σ 2, σ 3$ es isomorfo al álgebra de Clifford $mathbb {R} ^{3}$ , y el álgebra (unital asociativo) generado por $iσ 1, iσ 2, iσ 3$ es efectivamente idéntica (isómorfa) a la de las quaterniones ( $mathbb {H}$ ).

Propiedades algebraicas

Las tres matrices de Pauli se pueden compactar en una sola expresión:

{displaystyle sigma _{j}={begin{pmatrix}delta _{j3}&delta _{j1}-i,delta _{j2}\delta _{j1}+i,delta _{j2}&-delta _{j3}end{pmatrix}}}

donde la solución de $i 2 = -1$ es la "unidad imaginaria", y $δ jk$ es el delta de Kronecker, que es igual a +1 si $j = k$ y 0 en caso contrario. Esta expresión es útil para "seleccionar" cualquiera de las matrices numéricamente sustituyendo los valores de $j = 1, 2, 3$ , a su vez útil cuando cualquiera de las matrices (pero ninguna en particular) se utilizará en manipulaciones algebraicas.

Las matrices son involutivas:

{displaystyle sigma _{1}^{2}=sigma _{2}^{2}=sigma _{3}^{2}=-i,sigma _{1}sigma _{2}sigma _{3}={begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}=I}

donde $I$ es la matriz de identidad.

Los determinantes y trazas de las matrices de Pauli son:

{displaystyle {begin{aligned}det sigma _{j}&~=,-1,,\operatorname {tr} sigma _{j}&~=~~~;0~.end{aligned}}}

De lo cual podemos deducir que cada matriz $σ jk$ tiene valores propios +1 y −1.

Con la inclusión de la matriz de identidad, $I$ (a veces denotado $σ 0$ ), las matrices Pauli forman una base ortogonal (en el sentido de Hilbert-Schmidt) del espacio Hilbert de $2 \times 2$ Matrices ermitas, $mathcal{H}_2$ sobre $mathbb {R}$ , y el espacio Hilbert de todo complejo $2 \times 2$ matrices, ${displaystyle {mathcal {M}}_{2,2}(mathbb {C})}$ .

Vectores propios y valores propios

Cada una de las matrices de Pauli (hermitianas) tiene dos valores propios, $+1$ y $-1$ . Los vectores propios normalizados correspondientes son:

{displaystyle {begin{aligned}psi _{x+}&={frac {1}{sqrt {2,}}}{begin{bmatrix}1\1end{bmatrix}};,&psi _{x-}&={frac {1}{sqrt {2,}}}{begin{bmatrix}1\-1end{bmatrix}};,\psi _{y+}&={frac {1}{sqrt {2,}}}{begin{bmatrix}1\iend{bmatrix}};,&psi _{y-}&={frac {1}{sqrt {2,}}}{begin{bmatrix}1\-iend{bmatrix}};,\psi _{z+}&={begin{bmatrix}1\0end{bmatrix}};,&psi _{z-}&={begin{bmatrix}0\1end{bmatrix}}~.end{aligned}}}

Vector Pauli

El vector de Pauli está definido por

{displaystyle {vec {sigma }}=sigma _{1}{hat {x}}_{1}+sigma _{2}{hat {x}}_{2}+sigma _{3}{hat {x}}_{3}~,}

{displaystyle {hat {x}}_{1}}

{hat {x}}_{2}

{displaystyle {hat {x}}_{3}}

hat{x}

{hat {y}}

{hat {z}}

{displaystyle {hat {x}}_{1},{hat {x}}_{2},{hat {x}}_{3}}

{displaystyle {hat {x}},{hat {y}},{hat {z}}}

El vector de Pauli proporciona un mecanismo de mapeo de una base de vector a una base de matriz de Pauli de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{aligned}{vec {a}}cdot {vec {sigma }}&=left(a_{k}{hat {x}}_{k}right)cdot left(sigma _{ell }{hat {x}}_{ell }right)=a_{k}sigma _{ell }{hat {x}}_{k}cdot {hat {x}}_{ell }\\&=a_{k}sigma _{ell }delta _{kell }=a_{k}sigma _{k}\\&=~a_{1};{begin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}}~+~a_{2};{begin{pmatrix}0&-i\i&;;0end{pmatrix}}~+~a_{3};{begin{pmatrix}1&0\0&-1end{pmatrix}}~=~{begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}end{pmatrix}}end{aligned}}}

Más formalmente, esto define un mapa desde $mathbb {R} ^{3}$ al espacio vectorial de Hermitian sin trazas $2times 2$ matrices. Este mapa codifica estructuras de $mathbb {R} ^{3}$ como un espacio vectorial normalizado y como álgebra Lie (con el producto cruzado como su soporte Lie) a través de funciones de matrices, haciendo el mapa un isomorfismo de álgebras Lie. Esto hace que las matrices Pauli entrelacen desde el punto de vista de la teoría de la representación.

Otra manera de ver el vector Pauli es como $2times 2$ Hermitian trazaless vector dual valorado por matriz, es decir, un elemento de ${displaystyle {text{Mat}}_{2times 2}(mathbb {C})otimes (mathbb {R} ^{3})^{*}}$ que mapas ${displaystyle {vec {a}}mapsto {vec {a}}cdot {vec {sigma }}}$ .

Relación de completitud

Cada componente de ${vec {a}}$ se puede recuperar de la matriz (ver relación de integridad a continuación)

{displaystyle {frac {1}{2}}operatorname {tr} {Bigl (}{bigl (}{vec {a}}cdot {vec {sigma }}{bigr)}{vec {sigma }}{Bigr)}={vec {a}}~.}

Esto constituye un inverso en el mapa ${displaystyle {vec {a}}mapsto {vec {a}}cdot {vec {sigma }}}$ , haciendo que se manifieste que el mapa es una bijeción.

Determinante

La norma viene dada por el determinante (hasta un signo menos)

{displaystyle det {bigl (}{vec {a}}cdot {vec {sigma }}{bigr)}=-{vec {a}}cdot {vec {a}}=-left|{vec {a}}right|^{2}.}

Luego considerando la acción de conjugación de una ${displaystyle {text{SU}}(2)}$ matriz $U$ en este espacio de matrices,

{displaystyle U*{vec {a}}cdot {vec {sigma }}:=U;{vec {a}}cdot {vec {sigma }};U^{-1}}

Nos encontramos ${displaystyle det(U*{vec {a}}cdot {vec {sigma }})=det({vec {a}}cdot {vec {sigma }})}$ , y eso ${displaystyle U*{vec {a}}cdot {vec {sigma }}}$ es Hermitian y sin trazas. Entonces tiene sentido definir ${displaystyle U*{vec {a}}cdot {vec {sigma }}={vec {a}}'cdot {vec {sigma }}}$ Donde ${displaystyle {vec {a}}'}$ tiene la misma norma ${vec {a}}$ , y por lo tanto interpretar $U$ como una rotación del espacio tridimensional. De hecho, resulta que el especiales restricción $U$ implica que la rotación es la preservación de la orientación. Esto permite la definición de un mapa ${displaystyle R:{text{SU}}(2)rightarrow {text{SO}}(3)}$ dado por

{displaystyle U*{vec {a}}cdot {vec {sigma }}={vec {a}}'cdot {vec {sigma }}=:(R(U){vec {a}})cdot {vec {sigma }}}

Donde ${displaystyle R(U)in {text{SO}}(3)}$ . Este mapa es la realización concreta de la doble cubierta ${displaystyle {text{SO}}(3)}$ por ${displaystyle {text{SU}}(2)}$ , y por lo tanto muestra que ${displaystyle {text{SU}}(2)cong {text{Spin}}(3)}$ . Los componentes $R(U)$ se puede recuperar utilizando el proceso de localización anterior:

{displaystyle R(U)_{ij}={frac {1}{2}}{text{tr}}left(sigma _{i}Usigma _{j}U^{-1}right)}

Producto cruzado

El producto cruzado es dado por el conmutador de matriz (hasta un factor de $2i$ )

{displaystyle [{vec {a}}cdot {vec {sigma }},{vec {b}}cdot {vec {sigma }}]=2i({vec {a}}times {vec {b}})cdot {vec {sigma }}.}

De hecho, la existencia de una norma se debe al hecho de que $mathbb {R} ^{3}$ es un álgebra de Lie: ver forma de matar.

Este producto cruzado se puede usar para demostrar la propiedad de conservación de la orientación del mapa de arriba.

Valores propios y vectores propios

Los eigenvalues de ${displaystyle {vec {a}}cdot {vec {sigma }}}$ son ${displaystyle pm |{vec {a}}|}$ . Esto se debe inmediatamente a la falta de traza y a la computación explícita del determinante.

Más abstracto, sin calcular el determinante que requiere propiedades explícitas de las matrices Pauli, esto se deriva de ${displaystyle ({vec {a}}cdot {vec {sigma }})^{2}-|{vec {a}}|^{2}=0}$ , ya que esto se puede considerar ${displaystyle ({vec {a}}cdot {vec {sigma }}-|{vec {a}}|)({vec {a}}cdot {vec {sigma }}+|{vec {a}}|)=0}$ . Un resultado estándar en álgebra lineal (un mapa lineal que satisface una ecuación polinomial escrita en distintos factores lineales es diagonal) significa que esto implica ${displaystyle {vec {a}}cdot {vec {sigma }}}$ es diagonal con posibles eigenvalues ${displaystyle pm |{vec {a}}|}$ . The tracelessness of ${displaystyle {vec {a}}cdot {vec {sigma }}}$ significa que tiene exactamente uno de cada eigenvalue.

Sus vectores propios normalizados son

{displaystyle psi _{+}={frac {1}{sqrt {2|{vec {a}}|(a_{3}+|{vec {a}}|)}}}{begin{bmatrix}a_{3}+|{vec {a}}|\a_{1}+ia_{2}end{bmatrix}};qquad psi _{-}={frac {1}{sqrt {2|{vec {a}}|(a_{3}+|{vec {a}}|)}}}{begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\a_{3}+|{vec {a}}|end{bmatrix}}~.}

4 vectores de Pauli

El Pauli 4-vector, utilizado en la teoría de la espina dorsal, está escrito $sigma ^{mu }$ con componentes

{displaystyle sigma ^{mu }=(I,{vec {sigma }}).}

Esto define un mapa desde ${displaystyle mathbb {R} ^{1,3}}$ al espacio vectorial de las matrices hermitianas,

{displaystyle x_{mu }mapsto x_{mu }sigma ^{mu },}

que también codifica la métrica de Minkowski (con la convención principalmente menos) en su determinante:

{displaystyle det(x_{mu }sigma ^{mu })=eta (x,x).}

Este 4-vector también tiene una relación de completitud. Es conveniente definir un segundo cuadrivector de Pauli

{displaystyle {bar {sigma }}^{mu }=(I,-{vec {sigma }}).}

y permite subir y bajar utilizando el tensor métrico de Minkowski. Entonces la relación se puede escribir

{displaystyle x_{nu }={frac {1}{2}}operatorname {tr} {Bigl (}{bar {sigma }}_{nu }{bigl (}x_{mu }sigma ^{mu }{bigr)}{Bigr)}~.}

Del mismo modo que el caso Pauli 3-vector, podemos encontrar un grupo matriz que actúa como isometrías en ${displaystyle mathbb {R} ^{1,3}}$ ; en este caso el grupo matriz es ${displaystyle {text{SL}}(2,mathbb {C})}$ , y esto muestra ${displaystyle {text{SL}}(2,mathbb {C})cong {text{Spin}}(1,3).}$ Del mismo modo que antes, esto se puede realizar explícitamente para ${displaystyle Sin {text{SL}}(2,mathbb {C})}$ con componentes

{displaystyle Lambda (S)^{mu }{}_{nu }={frac {1}{2}}{text{tr}}left({bar {sigma }}_{nu }Ssigma ^{mu }S^{dagger }right).}

De hecho, la propiedad determinante sigue abstractamente de las propiedades trazas de la $sigma ^{mu }$ . Para $2times 2$ matrices, la siguiente identidad contiene:

{displaystyle det(A+B)=det(A)+det(B)+{text{tr}}(A){text{tr}}(B)-{text{tr}}(AB).}

Es decir, los "cross-terms" pueden ser escritos como rastros. Cuando $A,B$ son elegidos para ser diferentes $sigma ^{mu }$ Los cruces desaparecen. Luego sigue, ahora mostrando summation explícitamente, ${textstyle det left(sum _{mu }x_{mu }sigma ^{mu }right)=sum _{mu }det left(x_{mu }sigma ^{mu }right).}$ Ya que las matrices son $2times 2$ , esto es igual ${textstyle sum _{mu }x_{mu }^{2}det(sigma ^{mu })=eta (x,x).}$

Relaciones de (anti-)conmutación

Las matrices de Pauli obedecen a las siguientes relaciones de conmutación:

{displaystyle [sigma _{i},sigma _{j}]=2ivarepsilon _{ijk},sigma _{k}~,}

donde la constante de estructura $ε ijk$ es el símbolo de Levi-Civita y se usa la notación de suma de Einstein.

Estas relaciones de conmutación hacen las matrices Pauli los generadores de una representación del álgebra Lie ${displaystyle (mathbb {R} ^{3},times)cong {mathfrak {su}}(2)cong {mathfrak {so}}(3).}$

También satisfacen las relaciones de anticonmutación:

{displaystyle {sigma _{j},sigma _{k}}=2delta _{jk},I~,}

donde $δ jk$ es el delta de Kronecker, y $I$ es la matriz de identidad $2 \times 2$ .

Estas relaciones anti-commutación hacen que los Pauli matrices los generadores de una representación del álgebra Clifford para $mathbb {R} ^{3}$ , denotado ${displaystyle {text{Cl}}_{3}(mathbb {R}).}$

La construcción habitual de generadores ${textstyle sigma _{ij}={frac {1}{4}}[sigma _{i},sigma _{j}]}$ de ${mathfrak {so}}(3)$ usando el álgebra Clifford recupera las relaciones de conmutación arriba, hasta factores numéricos no importantes.

A continuación, se proporcionan algunos conmutadores y anticonmutadores explícitos como ejemplos:

Commutadores	Anticommutadores
${displaystyle {begin{aligned}left[sigma _{1},sigma _{2}right]&=2isigma _{3}\left[sigma _{2},sigma _{3}right]&=2isigma _{1}\left[sigma _{3},sigma _{1}right]&=2isigma _{2}\left[sigma _{1},sigma _{1}right]&=0end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}left{sigma _{1},sigma _{1}right}&=2I\left{sigma _{1},sigma _{2}right}&=0\left{sigma _{1},sigma _{3}right}&=0\left{sigma _{2},sigma _{2}right}&=2I.end{aligned}}}$

Relación con el producto punto y cruz

Los vectores de Pauli asignan elegantemente estas relaciones de conmutación y anticonmutación a los productos vectoriales correspondientes. Sumar el conmutador al anticonmutador da

{displaystyle {begin{aligned}left[sigma _{j},sigma _{k}right]+{sigma _{j},sigma _{k}}&=(sigma _{j}sigma _{k}-sigma _{k}sigma _{j})+(sigma _{j}sigma _{k}+sigma _{k}sigma _{j})\2ivarepsilon _{jkell },sigma _{ell }+2delta _{jk}I&=2sigma _{j}sigma _{k}end{aligned}}}

para que,

${displaystyle ~~sigma _{j}sigma _{k}=delta _{jk}I+ivarepsilon _{jkell },sigma _{ell }~.~}$

Contracción de cada lado de la ecuación con componentes de dos $3$ -vectores $a p$ y $b q$ (que conmutan con las matrices de Pauli, es decir, $a p σ q = σ q a p)$ para cada matriz $σ q$ y componente vectorial $a p$ (y lo mismo con $b q$ ) rendimientos

{displaystyle ~~{begin{aligned}a_{j}b_{k}sigma _{j}sigma _{k}&=a_{j}b_{k}left(ivarepsilon _{jkell },sigma _{ell }+delta _{jk}Iright)\a_{j}sigma _{j}b_{k}sigma _{k}&=ivarepsilon _{jkell },a_{j}b_{k}sigma _{ell }+a_{j}b_{k}delta _{jk}Iend{aligned}}~.~}

Finalmente, traducir la notación de índice para el producto escalar y el producto cruzado da como resultado

${displaystyle ~~{Bigl (}{vec {a}}cdot {vec {sigma }}{Bigr)}{Bigl (}{vec {b}}cdot {vec {sigma }}{Bigr)}={Bigl (}{vec {a}}cdot {vec {b}}{Bigr)},I+i{Bigl (}{vec {a}}times {vec {b}}{Bigr)}cdot {vec {sigma }}~~}$

()1)

Si $i$ se identifica con el pseudoscalar $σ x σ Sí. σ z$ entonces el lado derecho se convierte ${displaystyle acdot b+awedge b}$ que es también la definición para el producto de dos vectores en álgebra geométrica.

Si definimos el operador de giro como $J = ħ / 2 σ$ , entonces $J$ satisface el relación de conmutación:

{displaystyle mathbf {J} times mathbf {J} =ihbar mathbf {J} }

{displaystyle {frac {vec {sigma }}{2}}times {frac {vec {sigma }}{2}}=i{frac {vec {sigma }}{2}}}

Algunas relaciones de rastreo

Las siguientes trazas se pueden derivar usando las relaciones de conmutación y anticonmutación.

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {tr} left(sigma _{j}right)&=0\operatorname {tr} left(sigma _{j}sigma _{k}right)&=2delta _{jk}\operatorname {tr} left(sigma _{j}sigma _{k}sigma _{ell }right)&=2ivarepsilon _{jkell }\operatorname {tr} left(sigma _{j}sigma _{k}sigma _{ell }sigma _{m}right)&=2left(delta _{jk}delta _{ell m}-delta _{jell }delta _{km}+delta _{jm}delta _{kell }right)end{aligned}}}

Si también se considera la matriz $σ 0 = I$ , estas relaciones se convierten en

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {tr} left(sigma _{alpha }right)&=2delta _{0alpha }\operatorname {tr} left(sigma _{alpha }sigma _{beta }right)&=2delta _{alpha beta }\operatorname {tr} left(sigma _{alpha }sigma _{beta }sigma _{gamma }right)&=2sum _{(alpha beta gamma)}delta _{alpha beta }delta _{0gamma }-4delta _{0alpha }delta _{0beta }delta _{0gamma }+2ivarepsilon _{0alpha beta gamma }\operatorname {tr} left(sigma _{alpha }sigma _{beta }sigma _{gamma }sigma _{mu }right)&=2left(delta _{alpha beta }delta _{gamma mu }-delta _{alpha gamma }delta _{beta mu }+delta _{alpha mu }delta _{beta gamma }right)+4left(delta _{alpha gamma }delta _{0beta }delta _{0mu }+delta _{beta mu }delta _{0alpha }delta _{0gamma }right)-8delta _{0alpha }delta _{0beta }delta _{0gamma }delta _{0mu }+2isum _{(alpha beta gamma mu)}varepsilon _{0alpha beta gamma }delta _{0mu }end{aligned}}}

donde los índices griegos $α, β, γ$ y $μ$ asumir valores ${0, x, Sí., z}$ y la notación ${textstyle sum _{(alpha ldots)}}$ se utiliza para denotar la suma sobre la permutación cíclica de los índices incluidos.

Exponencial de un vector de Pauli

Para

{vec {a}}=a{hat {n}},quad |{hat {n}}|=1,

uno tiene, para potencias pares, $2 p, p = 0, 1, 2, 3,...$

{displaystyle ({hat {n}}cdot {vec {sigma }})^{2p}=I}

que se puede mostrar primero para el caso $p = 1$ usando las relaciones anticonmutación. Por conveniencia, el caso $p = 0$ se toma como $Yo$ por convención.

Para potencias impares, $2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3,...$

{displaystyle left({hat {n}}cdot {vec {sigma }}right)^{2q+1}={hat {n}}cdot {vec {sigma }},.}

Expotenciación de matrices y uso de la serie de Taylor para seno y coseno,

{displaystyle {begin{aligned}e^{ialeft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}right)}&=sum _{k=0}^{infty }{frac {i^{k}left[aleft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}right)right]^{k}}{k!}}\&=sum _{p=0}^{infty }{frac {(-1)^{p}(a{hat {n}}cdot {vec {sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+isum _{q=0}^{infty }{frac {(-1)^{q}(a{hat {n}}cdot {vec {sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\&=Isum _{p=0}^{infty }{frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({hat {n}}cdot {vec {sigma }})sum _{q=0}^{infty }{frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\end{aligned}}}

En la última línea, la primera suma es el coseno, mientras que la segunda suma es el seno; así que finalmente,

${displaystyle ~~e^{ialeft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}right)}=Icos {a}+i({hat {n}}cdot {vec {sigma }})sin {a}~~}$

()2)

que es análoga a la fórmula de Euler, extendida a los cuaterniones.

Tenga en cuenta que

det[i a(hat{n} cdot vec{sigma})] = a^2

mientras que el determinante del exponencial en sí mismo es simplemente $1$ , lo que lo convierte en el elemento de grupo genérico de SU(2).

Puede encontrar una versión más abstracta de la fórmula (2) para una matriz general $2 \times 2$ en el artículo sobre matrices exponenciales. Se proporciona una versión general de (2) para una función analítica (en a y −a) mediante la aplicación de la fórmula de Sylvester,

{displaystyle f(a({hat {n}}cdot {vec {sigma }}))=I{frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{hat {n}}cdot {vec {sigma }}{frac {f(a)-f(-a)}{2}}~.}

La ley de composición de grupo de SU(2)

Una aplicación sencilla de la fórmula (2) proporciona una parametrización de la ley de composición del grupo $SU(2)$ . Uno puede resolver directamente $c$ en

{displaystyle {begin{aligned}e^{ialeft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}right)}e^{ibleft({hat {m}}cdot {vec {sigma }}right)}&=Ileft(cos acos b-{hat {n}}cdot {hat {m}}sin asin bright)+ileft({hat {n}}sin acos b+{hat {m}}sin bcos a-{hat {n}}times {hat {m}}~sin asin bright)cdot {vec {sigma }}\&=Icos {c}+ileft({hat {k}}cdot {vec {sigma }}right)sin c\&=e^{icleft({hat {k}}cdot {vec {sigma }}right)},end{aligned}}}

que especifica la multiplicación de grupos genéricos, donde, manifiestamente,

{displaystyle cos c=cos acos b-{hat {n}}cdot {hat {m}}sin asin b~,}

la ley esférica de los cosenos. Dado $c$ , entonces,

{displaystyle {hat {k}}={frac {1}{sin c}}left({hat {n}}sin acos b+{hat {m}}sin bcos a-{hat {n}}times {hat {m}}sin asin bright)~.}

En consecuencia, los parámetros de rotación compuestos en este elemento de grupo (una forma cerrada de la respectiva expansión BCH en este caso) simplemente ascienden a

${displaystyle e^{ic{hat {k}}cdot {vec {sigma }}}=exp left(i{frac {c}{sin c}}left({hat {n}}sin acos b+{hat {m}}sin bcos a-{hat {n}}times {hat {m}}~sin asin bright)cdot {vec {sigma }}right)~.}$

(Por supuesto, cuando ${hat {n}}$ es paralelo a ${hat {m}}$ , así es ${hat {k}}$ , y $c = a + b$ .)

Acción conjunta

También es sencillo trabajar la acción conjunta en el vector Pauli, es decir, la rotación de cualquier ángulo $a$ en cualquier eje ${hat {n}}$ :

{displaystyle R_{n}(-a)~{vec {sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{frac {a}{2}}left({hat {n}}cdot {vec {sigma }}right)}~{vec {sigma }}~e^{-i{frac {a}{2}}left({hat {n}}cdot {vec {sigma }}right)}={vec {sigma }}cos(a)+{hat {n}}times {vec {sigma }}~sin(a)+{hat {n}}~{hat {n}}cdot {vec {sigma }}~(1-cos(a))~.}

Tomar el producto de puntos de cualquier vector de unidad con la fórmula anterior genera la expresión de cualquier operador de qubit único bajo cualquier rotación. Por ejemplo, se puede demostrar que ${textstyle R_{y}{mathord {left(-{frac {pi }{2}}right)}},sigma _{x},R_{y}{mathord {left({frac {pi }{2}}right)}}={hat {x}}cdot left({hat {y}}times {vec {sigma }}right)=sigma _{z}}$ .

Relación de completitud

Una notación alternativa que se usa comúnmente para las matrices de Pauli es escribir el índice vectorial $k$ en el superíndice, y el índices de matriz como subíndices, de modo que el elemento en la fila $α$ y la columna $β$ de la $k$ -ésima matriz de Pauli es $σ k αβ .$

En esta notación, la relación de completitud para las matrices de Pauli se puede escribir

{displaystyle {vec {sigma }}_{alpha beta }cdot {vec {sigma }}_{gamma delta }equiv sum _{k=1}^{3}sigma _{alpha beta }^{k},sigma _{gamma delta }^{k}=2,delta _{alpha delta },delta _{beta gamma }-delta _{alpha beta },delta _{gamma delta }~.}

Prueba

El hecho de que las matrices Pauli, junto con la matriz de identidad $I$ , formar una base ortogonal para el espacio Hilbert de las matrices complejas 2 × 2 significa que podemos expresar cualquier matriz $M$ como

{displaystyle M=c,I+sum _{k}a_{k},sigma ^{k}}

Donde

c

es un número complejo, y

a

es un vector complejo de 3 componentes. Es sencillo mostrar, utilizando las propiedades enumeradas anteriormente, que

{displaystyle operatorname {tr} left(sigma ^{j},sigma ^{k}right)=2,delta _{jk}}

Donde

tr

"denota el rastro, y de ahí que

{displaystyle {begin{aligned}c&={}{tfrac {1}{2}},operatorname {tr} ,M,,{begin{aligned}&&a_{k}&={tfrac {1}{2}},operatorname {tr} ,sigma ^{k},M~.end{aligned}}\[3pt]therefore ~~2,M&=I,operatorname {tr} ,M+sum _{k}sigma ^{k},operatorname {tr} ,sigma ^{k}M~,end{aligned}}}

que puede ser reescrito en términos de índices de matriz como

{displaystyle 2,M_{alpha beta }=delta _{alpha beta },M_{gamma gamma }+sum _{k}sigma _{alpha beta }^{k},sigma _{gamma delta }^{k},M_{delta gamma }~,}

donde la suma sobre los índices repetidos es implícita

γ

δ

. Puesto que esto es cierto para cualquier elección de la matriz

M

, la relación de integridad sigue como se ha indicado anteriormente. Q.E.D.

Como se indicó anteriormente, es común denotar la matriz de unidades de 2 × 2 mediante $σ 0,$ entonces σ⁰_αβ = δ_αβ. La relación de completitud se puede expresar alternativamente como

{displaystyle sum _{k=0}^{3}sigma _{alpha beta }^{k},sigma _{gamma delta }^{k}=2,delta _{alpha delta },delta _{beta gamma }~.}

El hecho de que cualquier matriz hermitiana compleja de 2 × 2 pueda expresarse en términos de la matriz identidad y las matrices de Pauli también conduce a la representación de la esfera de Bloch de la matriz de densidad de estados mixtos de 2 × 2 (matrices positivas semidefinidas de 2 × 2 con traza unitaria. Esto se puede ver expresando primero una matriz hermítica arbitraria como una combinación lineal real de ${σ 0, σ 1, σ 2, σ 3}$ como arriba, y luego imponiendo las condiciones positivas semidefinidas y de seguimiento $1$ .

Para un estado puro, en coordenadas polares,

{displaystyle {vec {a}}={begin{pmatrix}sin theta cos phi &sin theta sin phi &cos theta end{pmatrix}},}

{displaystyle {tfrac {1}{2}}left(mathbf {1} +{vec {a}}cdot {vec {sigma }}right)={begin{pmatrix}cos ^{2}left({frac {,theta ,}{2}}right)&e^{-i,phi }sin left({frac {,theta ,}{2}}right)cos left({frac {,theta ,}{2}}right)\e^{+i,phi }sin left({frac {,theta ,}{2}}right)cos left({frac {,theta ,}{2}}right)&sin ^{2}left({frac {,theta ,}{2}}right)end{pmatrix}}}

actos en el eigenvector estatal ${displaystyle {begin{pmatrix}cos left({frac {,theta ,}{2}}right)&e^{+iphi },sin left({frac {,theta ,}{2}}right)end{pmatrix}}}$ con eigenvalue +1, por lo tanto actúa como un operador de proyección.

Relación con el operador de permutación

Vamos $P jk$ ser la transposición (también conocida como una permutación) entre dos giros $σ j$ y $σ k$ viviendo en el espacio del producto tensor ${displaystyle mathbb {C} ^{2}otimes mathbb {C} ^{2}}$ ,

{displaystyle P_{jk}left|sigma _{j}sigma _{k}rightrangle =left|sigma _{k}sigma _{j}rightrangle ~.}

Este operador también se puede escribir de manera más explícita como el operador de intercambio de espín de Dirac,

{displaystyle P_{jk}={frac {1}{2}},left({vec {sigma }}_{j}cdot {vec {sigma }}_{k}+1right)~.}

Por lo tanto, sus valores propios son 1 o −1. Por lo tanto, se puede utilizar como un término de interacción en un hamiltoniano, dividiendo los valores propios de energía de sus estados propios simétricos versus antisimétricos.

UE(2)

El grupo SU(2) es el grupo Lie de unitarios $2 \times 2$ matrices con determinante unitario; su Álgebra de mentira es el conjunto de todos $2 \times 2$ matrices anti-Hermitianas con traza 0. El cálculo directo, como arriba, muestra que el álgebra de Lie $mathfrak{su}_2$ es el álgebra real 3-dimensional abarcado por el conjunto ${} iσ k}$ . En la notación compacta,

{displaystyle {mathfrak {su}}(2)=operatorname {span} {;i,sigma _{1},,;i,sigma _{2},,;i,sigma _{3};}~.}

Como resultado, cada $iσ j$ puede verse como un generador infinitesimal de SU(2). Los elementos de SU(2) son exponenciales de combinaciones lineales de estos tres generadores y se multiplican como se indicó anteriormente al analizar el vector de Pauli. Aunque esto es suficiente para generar SU(2), no es una representación adecuada de su(2), ya que los valores propios de Pauli están escalados de manera no convencional. La normalización convencional es $λ = 1 / 2,$ para que

{displaystyle {mathfrak {su}}(2)=operatorname {span} left{{frac {,i,sigma _{1},}{2}},{frac {,i,sigma _{2},}{2}},{frac {,i,sigma _{3},}{2}}right}~.}

Como SU(2) es un grupo compacto, su descomposición de Cartan es trivial.

SO(3)

El álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {su}}(2)}$ es isomorfo al álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {so}}(3)}$ , que corresponde al grupo Lie SO(3), el grupo de rotaciones en espacio tridimensional. En otras palabras, se puede decir que $iσ j$ son una realización (y, de hecho, la realización más baja-dimensional) de infinitesimal rotaciones en espacio tridimensional. Sin embargo, aunque ${displaystyle {mathfrak {su}}(2)}$ y ${displaystyle {mathfrak {so}}(3)}$ son isomorfos como álgebras Lie, $SU(2)$ y $SO(3)$ no son isomorfos como grupos de mentira. $SU(2)$ es en realidad una cubierta doble $SO(3)$ , lo que significa que hay un homomorfismo de dos a uno $SU(2)$ a $SO(3)$ , ver relación entre SO(3) y SU(2).

Cuaterniones

El verdadero lazo lineal ${} I, iσ 1, iσ 2, iσ 3}$ es isomorfo al álgebra real de las cuaterniones, $mathbb {H}$ , representado por el lapso de los vectores de base ${displaystyle left{;mathbf {1},mathbf {i},mathbf {j},mathbf {k} ;right}.}$ El isomorfismo de $mathbb {H}$ a este conjunto se da por el siguiente mapa (conozca los signos inversos para las matrices Pauli):

{displaystyle mathbf {1} mapsto I,quad mathbf {i} mapsto -sigma _{2}sigma _{3}=-i,sigma _{1},quad mathbf {j} mapsto -sigma _{3}sigma _{1}=-i,sigma _{2},quad mathbf {k} mapsto -sigma _{1}sigma _{2}=-i,sigma _{3}.}

Alternativamente, el isomorfismo se puede lograr mediante un mapa usando las matrices de Pauli en orden inverso,

{displaystyle mathbf {1} mapsto I,quad mathbf {i} mapsto i,sigma _{3},,quad mathbf {j} mapsto i,sigma _{2},,quad mathbf {k} mapsto i,sigma _{1}~.}

Como el conjunto de los versos $mathbb {H}$ forma un grupo isomorfo a $SU(2)$ , $U$ da otra manera de describir $SU(2)$ . El homomorfismo de dos a uno $SU(2)$ a $SO(3)$ se puede dar en términos de las matrices Pauli en esta formulación.

Física

Mecánica clásica

En la mecánica clásica, las matrices Pauli son útiles en el contexto de los parámetros Cayley-Klein. La matriz $P$ correspondiente a la posición ${vec {x}}$ de un punto en el espacio se define en términos de la matriz vectorial Pauli anterior,

{displaystyle P={vec {x}}cdot {vec {sigma }}=x,sigma _{x}+y,sigma _{y}+z,sigma _{z}~.}

En consecuencia, la matriz de transformación $Q θ$ para rotaciones sobre el $x$ -eje a través de un ángulo $θ$ puede escribirse en términos de Pauli matrices y la matriz unitaria como

{displaystyle Q_{theta }={boldsymbol {1}},cos {frac {theta }{2}}+i,sigma _{x}sin {frac {theta }{2}}~.}

Siguen expresiones similares para las rotaciones generales de vectores de Pauli como se detalla anteriormente.

Mecánica cuántica

En la mecánica cuántica, cada matriz de Pauli está relacionada con un operador de momento angular que corresponde a un observable que describe el giro de una partícula de giro 1⁄2, en cada una de las tres direcciones espaciales. Como consecuencia inmediata de la descomposición de Cartan mencionada anteriormente, $iσ j$ son los generadores de una representación proyectiva ( representación de espín) del grupo de rotación SO(3) que actúa sobre partículas no relativistas con espín 1⁄ 2. Los estados de las partículas se representan como espinores de dos componentes. De la misma forma, las matrices de Pauli están relacionadas con el operador isospín.

Una propiedad interesante del espín 1⁄2 partículas es que deben girarse en un ángulo de 4 $π$ para volver a su configuración original. Esto se debe a la correspondencia de dos a uno entre SU(2) y SO(3) mencionada anteriormente, y al hecho de que, aunque uno visualiza el giro arriba/abajo como el polo norte/sur en la clase de 2 esferas S², en realidad están representados por vectores ortogonales en el espacio de Hilbert complejo bidimensional.

Para un giro 1⁄2 partícula, el operador de espín viene dado por $J = ħ / 2 σ$ , la representación fundamental de SU(2). Tomando los productos de Kronecker de esta representación consigo mismo repetidamente, uno puede construir todas las representaciones irreductibles superiores. Es decir, los operadores de espín resultantes para sistemas de espín superior en tres dimensiones espaciales, para j arbitrariamente grandes, se pueden calcular usando este operador de espín y operadores de escalera. Se pueden encontrar en el grupo de Rotación SO(3) § Una nota sobre álgebras de Lie. La fórmula análoga a la generalización anterior de la fórmula de Euler para matrices de Pauli, el elemento de grupo en términos de matrices de espín, es manejable, pero menos simple.

También útil en la mecánica cuántica de sistemas multipartícula, el grupo general de Pauli $G n$ se define para consistir en todos los productos tensoriales $n$ -fold de las matrices de Pauli.

Mecánica cuántica relativista

En la mecánica cuántica relativista, los espinores en cuatro dimensiones son matrices de 4 × 1 (o 1 × 4). Por lo tanto, las matrices de Pauli o las matrices Sigma que operan en estos espinores tienen que ser matrices de 4 × 4. Se definen en términos de matrices de Pauli 2 × 2 como

{displaystyle {mathsf {Sigma }}_{k}={begin{pmatrix}{mathsf {sigma }}_{k}&0\0&{mathsf {sigma }}_{k}end{pmatrix}}.}

De esta definición se desprende que ${displaystyle ;{mathsf {Sigma }}_{k};}$ matrices tienen las mismas propiedades algebraicas que las $σ k$ matrices.

Sin embargo, el impulso angular relativista no es un tri-vector, sino un segundo orden de cuatro-tensor. Por lo tanto ${displaystyle {mathsf {Sigma }}_{k}}$ necesita ser reemplazada por $. μ,$ el generador de transformaciones de Lorentz en espinas. Por la antisimetría del impulso angular, la $. μ$ son también antisimétricos. Por lo tanto sólo hay seis matrices independientes.

Los primeros tres son los ${displaystyle ;Sigma _{jk}equiv epsilon _{jkell }{mathsf {Sigma }}_{j}~.}$ Los tres restantes, ${displaystyle ;-i,Sigma _{0k}equiv {mathsf {alpha }}_{k};,}$ donde las matrices Dirac αk se definen como

{displaystyle {mathsf {alpha }}_{k}={begin{pmatrix}0&{mathsf {sigma }}_{k}\{mathsf {sigma }}_{k}&0end{pmatrix}}~.}

Las matrices de espín relativistas $Σ μν$ se escriben en forma compacta en términos de conmutador de matrices gamma como

{displaystyle Sigma _{mu nu }={frac {i}{2}}left[gamma _{mu },gamma _{nu }right]~.}

Información cuántica

En la información cuántica, las puertas cuánticas de un solo qubit son matrices unitarias de 2 × 2. Las matrices de Pauli son algunas de las operaciones de un solo qubit más importantes. En ese contexto, la descomposición de Cartan dada anteriormente se denomina 'descomposición Z-Y de una puerta de un solo qubit'. La elección de un par de Cartan diferente da una descomposición "X–Y similar de una puerta de un solo qubit".

Observaciones

^ Esto se ajusta a la convención en matemáticas para la matriz exponencial, $iσ \mapsto exp(iσ)$ . En la convención en física, $σ \mapsto exp(- iσ)$ , por lo tanto en él ninguna premultiplicación por $i$ es necesario aterrizar en $SU(2)$ .
^ El vector Pauli es un dispositivo formal. Puede ser considerado como un elemento ${displaystyle {mathcal {M}}_{2}(mathbb {C})otimes mathbb {R} ^{3}}$ , donde el espacio del producto tensor está dotado con un mapeo ${displaystyle cdot:mathbb {R} ^{3}times ({mathcal {M}}_{2}(mathbb {C})otimes mathbb {R} ^{3})to {mathcal {M}}_{2}(mathbb {C})}$ inducido por el producto de punto en $mathbb {R} ^{3}.$
^ La relación entre $a, b, c, n, m, k$ derivado aquí en $2 \times 2$ representación espera todas las representaciones de $SU(2)$ , ser un identidad de grupo. Tenga en cuenta que, en virtud de la normalización estándar de los generadores de ese grupo como mitad las matrices Pauli, los parámetros a,b,c corresponde a mitad los ángulos de rotación del grupo de rotación.
^ Explícitamente, en la convención de "matrices de espacio derecho en elementos de matrices del espacio izquierdo", es ${displaystyle left({begin{smallmatrix}1&0&0&0\0&0&1&0\0&1&0&0\0&0&0&1end{smallmatrix}}right)~.}$

Matrices de Pauli

Propiedades algebraicas

Vectores propios y valores propios

Vector Pauli

Relación de completitud

Determinante

Producto cruzado

Valores propios y vectores propios

4 vectores de Pauli

Relaciones de (anti-)conmutación

Relación con el producto punto y cruz

Algunas relaciones de rastreo

Exponencial de un vector de Pauli

La ley de composición de grupo de SU(2)

Acción conjunta

Relación de completitud

Relación con el operador de permutación

UE(2)

SO(3)

Cuaterniones

Física

Mecánica clásica

Mecánica cuántica

Mecánica cuántica relativista

Información cuántica

Observaciones

Coeficiente binomial

La identidad de euler

Apertura numérica