Superficie de cauchy

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

En el campo matemático de la geometría lorentziana, una superficie de Cauchy es un cierto tipo de subvariedad de una variedad lorentziana. En la aplicación de la geometría lorentziana a la física de la relatividad general, generalmente se interpreta que una superficie de Cauchy define un "instante de tiempo". En las matemáticas de la relatividad general, las superficies de Cauchy proporcionan condiciones de contorno para la estructura causal en la que se pueden resolver las ecuaciones de Einstein (usando, por ejemplo, el formalismo ADM).

Llevan el nombre del matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) debido a su relevancia para el problema de la relatividad general de Cauchy.

Introducción informal

Aunque generalmente se expresa en términos de relatividad general, la noción formal de una superficie Cauchy se puede entender en términos familiares. Supongamos que los humanos pueden viajar a una velocidad máxima de 20 millas por hora. Esto pone restricciones, para cualquier persona dada, en donde pueden llegar en cierto momento. Por ejemplo, es imposible que una persona que está en México a las 3 de la mañana llegue a Libia a las 4 de la mañana; sin embargo, es imposible posible para una persona que está en Manhattan a las 1:00 para llegar a Brooklyn a las 2:00, ya que las ubicaciones están a 10 millas de distancia. Para hablar semiformalmente, ignore las zonas horarias y las dificultades de viaje, y suponga que los viajeros son seres inmortales que han vivido para siempre.

El sistema de todas las formas posibles de completar los cuatro espacios en blanco en

"Una persona en (localización 1) en (tiempo 1) puede llegar (localización 2) por (tiempo 2)"

define la noción de estructura causal. A Superficie de caché para esta estructura causal es una colección de pares de ubicaciones y tiempos tales que, para cualquier viajero hipotético en absoluto, hay exactamente un lugar y par de tiempo en la colección para la que el viajero estaba en la ubicación indicada en el momento indicado.

Hay una serie de superficies de Cauchy poco interesantes. Por ejemplo, una superficie de Cauchy para esta estructura causal se obtiene considerando el emparejamiento de cada ubicación con la hora de la 1 en punto (en un día determinado), ya que cualquier viajero hipotético debe haber estado en una ubicación específica en ese momento. tiempo; además, ningún viajero puede estar en varios lugares en este momento. Por el contrario, no puede haber ninguna superficie de Cauchy para esta estructura causal que contenga tanto el par (Manhattan, 1 en punto) como (Brooklyn, 2 en punto) ya que existen viajeros hipotéticos que podrían haber estado en Manhattan. a la 1 en punto y Brooklyn a las 2 en punto.

También hay algunas superficies de Cauchy más interesantes que son más difíciles de describir verbalmente. Se podría definir una función τ a partir de la colección de todas las ubicaciones en la colección de todos los tiempos, de modo que el gradiente de τ sea en todas partes inferior a 1/20 horas por milla. Luego, otro ejemplo de superficie de Cauchy lo da la colección de pares

{displaystyle {Big {}{big (}p,tau (p){big)}:p{text{ a location on Earth}}{Big }}.}

El punto es que, para cualquier viajero hipotético, debe haber algún lugar $p$ que el viajero estaba a tiempo $τ(p)$ ; esto se deriva del teorema de valor intermedio. Además, es imposible que haya dos lugares $p$ y $q$ y que hay algún viajero que está en $p$ a la vez $τ(p)$ y en $q$ a la vez $τ(q)$ , ya que por el teorema de valor medio que en algún momento habrían tenido que viajar a velocidad $dist(p, q) / τ p - τ q)$ , que debe ser mayor que "20 millas por hora" debido a la condición gradiente en τ: una contradicción.

Las teorías físicas de la relatividad especial y la relatividad general definen estructuras causales que son esquemáticamente del tipo anterior ("un viajero puede o no alcanzar un determinado punto del espacio-tiempo desde otro determinado punto del espacio-tiempo"), con con la excepción de que los lugares y los horarios no son claramente separables entre sí. Por tanto, también se puede hablar de superficies de Cauchy para estas estructuras causales.

Definición matemática y propiedades básicas

Dejemos que $(M, g)$ sea una variedad de Lorentz. Se dice que un mapa $c : (a, b) \to M$ es una curva temporal diferenciable e inextensible en $(M, g)$ si:

es diferente
$c () t)$ es tiempo para cada $t$ en el intervalo $() a, b)$
$c () t)$ no se acerca a un límite como $t$ aumentos $b$ o como $t$ disminuciones a $a$ .

Un subconjunto $S$ de $M$ se llama superficie de Cauchy si cada curva temporal diferenciable e inextensible en $(M, g)$ tiene exactamente un punto de intersección con $S$ ; si existe tal subconjunto, entonces $(M, g)$ se llama globalmente hiperbólico.

Lo siguiente se aplica automáticamente a una superficie de Cauchy $S$ :

El subconjunto $S \subset M$ está cerrado topológicamente y es un submanifold incrustado continuo (y hasta Lipschitz) $M$ . El flujo de cualquier campo vectorial de tiempo continuo define un homeomorfismo $S \times R \to M$ . Al considerar la restricción del inverso a otra superficie Cauchy, uno ve que cualquier dos superficies Cauchy son homeomorfos.

Es difícil decir más sobre la naturaleza de las superficies de Cauchy en general. el ejemplo de

{displaystyle {Big {}(t,x,y,z):t^{2}={frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}{Big }}}

como superficie de Cauchy para el espacio de Minkowski $ℝ 3,1$ deja claro que, incluso para las superficies "más simples" En las variedades de Lorentz, las superficies de Cauchy pueden no ser diferenciables en todas partes (en este caso, en el origen), y que el homeomorfismo $S \times ℝ \to M$ puede no ser ni siquiera una $C 1$ -diffeomorfismo. Sin embargo, el mismo argumento que para una superficie de Cauchy general muestra que si una superficie de Cauchy $S$ es una $C k$ -subcolector de $M$ , entonces el flujo de un campo vectorial suave en forma de tiempo define una $C k$ -diffeomorfismo $S \times ℝ \to M$ , y que dos superficies de Cauchy cualesquiera sean $C k$ -subvariedades de $M$ será $C k$ -diffeomorfo.

Además, a costa de no poder considerar superficies de Cauchy arbitrarias, siempre es posible encontrar superficies de Cauchy suaves (Bernal & Sánchez 2003):

Dado cualquier suave manifold Lorentzian $() M, g)$ que tiene una superficie Cauchy, existe una superficie Cauchy $S$ que es un submanifold liso incrustado y espacial $M$ y tal que $S \times R$ es suavemente diffeomorfo a $M$ .

Acontecimientos de precaución

Dejemos que $(M, g)$ sea una variedad lorentziana orientada al tiempo. Se dice que un mapa $c : (a, b) \to M$ es una curva causal diferenciable y no extensible en el pasado en $(M, g) si:$

es diferente
$c . t)$ es un nulo dirigido por el futuro o dirigido por el futuro para cada $t$ en el intervalo $() a, b)$
$c () t)$ no se acerca a un límite como $t$ disminuciones a $a$

Se define una curva causal diferenciable, inextensible en el futuro con el mismo criterio, con la frase "as $t$ disminuye a $a$ " reemplazado por "a medida que $t$ aumenta a $b$ ". Dado un subconjunto $S$ de $M$ , el futuro desarrollo de Cauchy $D + (S)$ de $S$ se define para constar de todos los puntos $p$ de $M$ tal que si $c : (a, b) \to M$ es cualquier curva causal diferenciable, inextensible en el pasado, tal que $c (t) = p$ para algunos $t$ en $(a, b)$ , entonces existe algún $s$ en $(a, b)$ con $c (s) \in S$ . Se define el desarrollo pasado de Cauchy $D - (S)$ por el mismo criterio, reemplazando "pasado-inextensible" con "futuro-inextensible".

Informalmente:

El futuro desarrollo de Cauchy $S$ consta de todos los puntos $p$ que cualquier observador llegue a $p$ Debe haber pasado $S$ ; el desarrollo pasado de Cauchy $S$ consta de todos los puntos $p$ tal que un observador se vaya de $p$ tendrá que pasar $S$ .

El desarrollo de Cauchy $D (S)$ es la unión del futuro Cauchy desarrollo y el desarrollo pasado de Cauchy.

Discusión

Cuando no hay curvas de tiempo cerradas, ${displaystyle D^{+}}$ y ${displaystyle D^{-}}$ son dos regiones diferentes. Cuando la dimensión del tiempo se cierra por todas partes para que haga un círculo, el futuro y el pasado ${displaystyle {mathcal {S}}}$ son los mismos y ambos incluyen ${displaystyle {mathcal {S}}}$ . La superficie Cauchy se define rigurosamente en términos de intersecciones con curvas inextensibles para tratar este caso de tiempo circular. Una curva inextensible es una curva sin extremos: o continúa para siempre, quedando tiempo o nula, o se cierra en sí mismo para hacer un círculo, una curva cerrada no espacial.

Cuando hay curvas cerradas de tipo temporal, o incluso cuando hay curvas cerradas de tipo no espacial, una superficie de Cauchy aún determina el futuro, pero el futuro incluye la superficie misma. Esto significa que las condiciones iniciales obedecen a una restricción y la superficie de Cauchy no tiene el mismo carácter que cuando el futuro y el pasado son disjuntos.

Si no hay curvas de tiempo cerradas, entonces se da ${displaystyle {mathcal {S}}}$ una superficie de Cauchy parcial y si ${displaystyle D^{+}({mathcal {S}})cup {mathcal {S}}cup D^{-}({mathcal {S}})={mathcal {M}}}$ Entonces todo el manifold ${displaystyle {mathcal {S}}}$ es una superficie Cauchy. Cualquier superficie de constante ${displaystyle t}$ en Minkowski espacio-tiempo es una superficie Cauchy.

horizonte caquio

Si ${displaystyle D^{+}({mathcal {S}})cup {mathcal {S}}cup D^{-}({mathcal {S}})not ={mathcal {M}}}$ entonces existe un horizonte Cauchy entre ${displaystyle D^{pm }({mathcal {S}})}$ y regiones del múltiple no completamente determinada por la información sobre ${displaystyle {mathcal {S}}}$ . Un claro ejemplo físico de un horizonte Cauchy es el segundo horizonte dentro de un agujero negro cargado o giratorio. El horizonte más exterior es un horizonte de eventos, más allá de lo cual la información no puede escapar, pero donde el futuro todavía está determinado desde las condiciones exteriores. Dentro del horizonte interior, el horizonte Cauchy, la singularidad es visible y para predecir el futuro requiere datos adicionales sobre lo que sale de la singularidad.

Dado que un horizonte de Cauchy de un agujero negro sólo se forma en una región donde las geodésicas son salientes, en coordenadas radiales, en una región donde la singularidad central es repulsiva, es difícil imaginar exactamente cómo se forma. Por esta razón, Kerr y otros sugieren que nunca se forma un horizonte de Cauchy, sino que el horizonte interior es de hecho una singularidad espacial o temporal. El horizonte interior corresponde a la inestabilidad debida a la inflación masiva.

Un espacio-tiempo homogéneo con un horizonte de Cauchy es un espacio anti-de Sitter.

Contenido relacionado

Más resultados...