Simetría

La simetría (del griego συμμετρία symmetria "acuerdo en dimensiones, proporción debida, disposición") en el lenguaje cotidiano se refiere a un sentido de proporción y equilibrio armonioso y hermoso. En matemáticas, "simetría" tiene una definición más precisa y generalmente se usa para referirse a un objeto que es invariante bajo algunas transformaciones; incluyendo traslación, reflexión, rotación o escalado. Aunque estos dos significados de "simetría" a veces se pueden diferenciar, están estrechamente relacionados y, por lo tanto, se analizan juntos en este artículo.

Se puede observar simetría matemática con respecto al paso del tiempo; como relación espacial; a través de transformaciones geométricas; a través de otro tipo de transformaciones funcionales; y como un aspecto de los objetos abstractos, incluidos los modelos teóricos, el lenguaje y la música.

Este artículo describe la simetría desde tres perspectivas: en matemáticas, incluida la geometría, el tipo de simetría más familiar para muchas personas; en ciencia y naturaleza; y en las artes, que abarca la arquitectura, el arte y la música.

Lo opuesto a la simetría es la asimetría, que se refiere a la ausencia o violación de la simetría.

En matemáticas

En geometría

Una forma u objeto geométrico es simétrico si se puede dividir en dos o más piezas idénticas dispuestas de manera organizada. Esto significa que un objeto es simétrico si hay una transformación que mueve piezas individuales del objeto, pero no cambia la forma general. El tipo de simetría viene determinado por la forma en que se organizan las piezas, o por el tipo de transformación:

• Un objeto tiene simetría de reflexión (simetría de línea o de espejo) si hay una línea (o en 3D un plano) que lo atraviesa y lo divide en dos partes que son imágenes especulares entre sí.
• Un objeto tiene simetría rotacional si el objeto se puede girar sobre un punto fijo (o en 3D sobre una línea) sin cambiar la forma general.
• Un objeto tiene simetría traslacional si se puede trasladar (mover cada punto del objeto la misma distancia) sin cambiar su forma general.
• Un objeto tiene simetría helicoidal si se puede trasladar y girar simultáneamente en un espacio tridimensional a lo largo de una línea conocida como eje de tornillo.
• Un objeto tiene simetría de escala si no cambia de forma cuando se expande o se contrae. Los fractales también exhiben una forma de simetría de escala, donde las porciones más pequeñas del fractal tienen una forma similar a las porciones más grandes.
• Otras simetrías incluyen la simetría de reflexión de deslizamiento (una reflexión seguida de una traslación) y la simetría de reflexión del rotor (una combinación de una rotación y una reflexión).

En lógica

Una relación diádica R = S × S es simétrica si para todos los elementos a, b en S, siempre que se cumple que Rab, también se cumple que Rba. Así, la relación "tiene la misma edad que" es simétrica, porque si Pablo tiene la misma edad que María, entonces María tiene la misma edad que Pablo.

En lógica proposicional, los conectivos lógicos binarios simétricos incluyen y (∧, o &), o (∨, o |) y si y solo si (↔), mientras que el conectivo si (→) no es simétrico. Otros conectores lógicos simétricos incluyen nand (no-y, o ⊼), xor (no-bicondicional, o ⊻) y nor (no-o, o ⊽).

Otras áreas de las matemáticas.

Generalizando a partir de la simetría geométrica en la sección anterior, se puede decir que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada, si, cuando se aplica al objeto, esta operación conserva alguna propiedad del objeto. El conjunto de operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo.

En general, cada tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría. Los ejemplos incluyen funciones pares e impares en cálculo, grupos simétricos en álgebra abstracta, matrices simétricas en álgebra lineal y grupos de Galois en teoría de Galois. En estadística, la simetría también se manifiesta como distribuciones de probabilidad simétricas y como asimetría: la asimetría de las distribuciones.

En ciencia y naturaleza

En física

La simetría en física se ha generalizado para significar invariancia, es decir, falta de cambio, bajo cualquier tipo de transformación, por ejemplo, transformaciones de coordenadas arbitrarias. Este concepto se ha convertido en una de las herramientas más poderosas de la física teórica, ya que se ha hecho evidente que prácticamente todas las leyes de la naturaleza tienen su origen en las simetrías. De hecho, este papel inspiró al premio Nobel PW Anderson a escribir en su artículo de 1972 más leído Más es diferente que "decir que la física es el estudio de la simetría es solo un poco exagerado". Véase el teorema de Noether (que, de forma muy simplificada, establece que para cada simetría matemática continua, existe una cantidad conservada correspondiente, como la energía o el momento; una corriente conservada, en el lenguaje original de Noether);y también, la clasificación de Wigner, que dice que las simetrías de las leyes de la física determinan las propiedades de las partículas que se encuentran en la naturaleza.

Las simetrías importantes en física incluyen simetrías continuas y simetrías discretas del espacio-tiempo; simetrías internas de partículas; y supersimetría de las teorías físicas.

En biología

En biología, la noción de simetría se utiliza sobre todo explícitamente para describir las formas del cuerpo. Los animales bilaterales, incluidos los humanos, son más o menos simétricos con respecto al plano sagital que divide el cuerpo en mitades izquierda y derecha. Los animales que se mueven en una dirección necesariamente tienen lados superior e inferior, extremos de la cabeza y la cola y, por lo tanto, una izquierda y una derecha. La cabeza se especializa con la boca y los órganos de los sentidos, y el cuerpo se vuelve bilateralmente simétrico para el movimiento, con pares simétricos de músculos y elementos esqueléticos, aunque los órganos internos a menudo permanecen asimétricos.

Las plantas y los animales sésiles (adheridos) como las anémonas de mar a menudo tienen simetría radial o rotacional, lo que les conviene porque la comida o las amenazas pueden llegar desde cualquier dirección. La simetría quíntuple se encuentra en los equinodermos, el grupo que incluye estrellas de mar, erizos de mar y lirios de mar.

En biología, la noción de simetría también se utiliza como en física, es decir, para describir las propiedades de los objetos estudiados, incluidas sus interacciones. Una propiedad notable de la evolución biológica son los cambios de simetría correspondientes a la aparición de nuevas partes y dinámicas.

En Quimica

La simetría es importante para la química porque sustenta esencialmente todas las interacciones específicas entre moléculas en la naturaleza (es decir, a través de la interacción de moléculas quirales naturales y creadas por el hombre con sistemas biológicos inherentemente quirales). El control de la simetría de las moléculas producidas en la síntesis química moderna contribuye a la capacidad de los científicos para ofrecer intervenciones terapéuticas con efectos secundarios mínimos. Una comprensión rigurosa de la simetría explica las observaciones fundamentales en la química cuántica y en las áreas aplicadas de la espectroscopia y la cristalografía. La teoría y la aplicación de la simetría a estas áreas de la ciencia física se basan en gran medida en el área matemática de la teoría de grupos.

En psicología y neurociencia

Para un observador humano, algunos tipos de simetría son más destacados que otros, en particular, el más destacado es un reflejo con un eje vertical, como el presente en el rostro humano. Ernst Mach hizo esta observación en su libro "El análisis de las sensaciones" (1897), y esto implica que la percepción de la simetría no es una respuesta general a todo tipo de regularidades. Tanto estudios conductuales como neurofisiológicos han confirmado la especial sensibilidad a la simetría de reflexión en humanos y también en otros animales.Los primeros estudios dentro de la tradición de la Gestalt sugirieron que la simetría bilateral era uno de los factores clave en la agrupación perceptiva. Esto se conoce como la Ley de la Simetría. El papel de la simetría en el agrupamiento y la organización de figuras/fondos ha sido confirmado en muchos estudios. Por ejemplo, la detección de la simetría de reflexión es más rápida cuando se trata de una propiedad de un solo objeto. Los estudios de percepción humana y psicofísica han demostrado que la detección de simetría es rápida, eficiente y resistente a las perturbaciones. Por ejemplo, la simetría se puede detectar con presentaciones entre 100 y 150 milisegundos.

Estudios de neuroimagen más recientes han documentado qué regiones del cerebro están activas durante la percepción de la simetría. Sasaki et al. utilizaron imágenes de resonancia magnética funcional (fMRI) para comparar las respuestas de patrones con puntos simétricos o aleatorios. Una fuerte actividad estuvo presente en las regiones extraestriadas de la corteza occipital pero no en la corteza visual primaria. Las regiones extraestriadas incluían V3A, V4, V7 y el complejo occipital lateral (LOC). Los estudios electrofisiológicos han encontrado una negatividad posterior tardía que se origina en las mismas áreas. En general, una gran parte del sistema visual parece estar involucrada en el procesamiento de la simetría visual, y estas áreas involucran redes similares a las encargadas de detectar y reconocer objetos.

En las interacciones sociales

Las personas observan la naturaleza simétrica, que a menudo incluye un equilibrio asimétrico, de las interacciones sociales en una variedad de contextos. Estos incluyen evaluaciones de reciprocidad, empatía, simpatía, disculpa, diálogo, respeto, justicia y venganza. El equilibrio reflexivo es el equilibrio que puede lograrse mediante el ajuste mutuo deliberativo entre los principios generales y los juicios específicos. Las interacciones simétricas envían el mensaje moral "todos somos iguales", mientras que las interacciones asimétricas pueden enviar el mensaje "Soy especial, mejor que tú". Las relaciones entre pares, como las que pueden regirse por la regla de oro, se basan en la simetría, mientras que las relaciones de poder se basan en la asimetría.

En las artes

Existe una lista de revistas y boletines conocidos por tratar, al menos en parte, sobre simetría y artes.

En arquitectura

La simetría encuentra su camino en la arquitectura en todas las escalas, desde las vistas externas generales de edificios como las catedrales góticas y la Casa Blanca, pasando por el diseño de los planos de planta individuales y hasta el diseño de elementos de construcción individuales como los mosaicos de azulejos. Los edificios islámicos como el Taj Mahal y la mezquita de Lotfollah hacen un uso elaborado de la simetría tanto en su estructura como en su ornamentación. Los edificios moriscos como la Alhambra están ornamentados con patrones complejos hechos usando simetrías de traslación y reflexión, así como rotaciones.

Se ha dicho que sólo los malos arquitectos confían en una "disposición simétrica de bloques, masas y estructuras"; La arquitectura modernista, comenzando con el estilo internacional, se basa en cambio en "alas y equilibrio de masas".

En vasijas de cerámica y metal

Desde los primeros usos de las ruedas de alfarero para ayudar a dar forma a las vasijas de barro, la cerámica ha tenido una fuerte relación con la simetría. La cerámica creada con una rueda adquiere una simetría rotacional completa en su sección transversal, al tiempo que permite una libertad de forma sustancial en la dirección vertical. Sobre este punto de partida inherentemente simétrico, los alfareros desde la antigüedad en adelante han agregado patrones que modifican la simetría rotacional para lograr objetivos visuales.

Las vasijas de metal fundido carecían de la simetría rotacional inherente a la cerámica hecha con torno, pero por lo demás brindaban una oportunidad similar para decorar sus superficies con patrones agradables para quienes las usaban. Los antiguos chinos, por ejemplo, usaban patrones simétricos en sus fundiciones de bronce ya en el siglo XVII a. Las vasijas de bronce exhibieron un motivo principal bilateral y un diseño de borde traducido repetitivo.

En alfombras y tapetes

Una larga tradición del uso de la simetría en los patrones de alfombras y tapetes abarca una variedad de culturas. Los indios navajos americanos usaban diagonales audaces y motivos rectangulares. Muchas alfombras orientales tienen intrincados centros y bordes reflejados que traducen un patrón. No es sorprendente que las alfombras rectangulares tengan típicamente las simetrías de un rectángulo, es decir, motivos que se reflejan en los ejes horizontal y vertical (consulte Geometría de los cuatro grupos de Klein).

En musica

La simetría no se limita a las artes visuales. Su papel en la historia de la música toca muchos aspectos de la creación y percepción de la música.

Forma musical

Muchos compositores han utilizado la simetría como una restricción formal, como la forma de arco (hinchazón) (ABCBA) utilizada por Steve Reich, Béla Bartók y James Tenney. En la música clásica, Bach utilizó los conceptos de simetría de permutación e invariancia.

Estructuras de tono

La simetría también es una consideración importante en la formación de escalas y acordes, ya que la música tradicional o tonal se compone de grupos de tonos no simétricos, como la escala diatónica o el acorde mayor. Se dice que las escalas o acordes simétricos, como la escala de tonos enteros, el acorde aumentado o el acorde de séptima disminuida (séptima disminuida-disminuida), carecen de dirección o de un sentido de movimiento hacia adelante, son ambiguos en cuanto a la tonalidad o al centro tonal y tienen una funcionalidad diatónica menos específica. Sin embargo, compositores como Alban Berg, Béla Bartók y George Perle han utilizado ejes de simetría y/o ciclos de intervalo de forma análoga a tonalidades o centros tonales no tonales.George Perle explica "C–E, D–F♯, [and] Eb–G, son instancias diferentes del mismo intervalo... el otro tipo de identidad... tiene que ver con los ejes de simetría. C–E pertenece a una familia díadas simétricamente relacionadas de la siguiente manera:"

D

re♯

mi

F

F♯

GRAMO

G♯

D

do♯

C

B

A♯

UN

G♯

Por lo tanto, además de ser parte de la familia del intervalo-4, C–E también es parte de la familia de la suma-4 (con C igual a 0).

+	2		3		4		5		6		7		8
2		1		0		11		10		9		8
4		4		4		4		4		4		4

Los ciclos de intervalo son simétricos y, por lo tanto, no diatónicos. Sin embargo, un segmento de siete tonos de C5 (el ciclo de quintas, que son enarmónicos con el ciclo de cuartas) producirá la escala mayor diatónica. Las progresiones tonales cíclicas en las obras de compositores románticos como Gustav Mahler y Richard Wagner forman un vínculo con las sucesiones tonales cíclicas en la música atonal de modernistas como Bartók, Alexander Scriabin, Edgard Varèse y la escuela de Viena. Al mismo tiempo, estas progresiones señalan el final de la tonalidad.

La primera composición extendida consistentemente basada en relaciones de tono simétricas fue probablemente el Cuarteto de Alban Berg, op. 3 (1910).

Equivalencia

Las filas de tonos o conjuntos de clases de tonos que son invariantes bajo retrógrados son horizontalmente simétricos, bajo inversión verticalmente. Véase también Ritmo asimétrico.

En edredones

Como los edredones están hechos de bloques cuadrados (generalmente 9, 16 o 25 piezas por bloque) y cada pieza más pequeña generalmente consta de triángulos de tela, la artesanía se presta fácilmente a la aplicación de simetría.

En otras artes y oficios

Las simetrías aparecen en el diseño de objetos de todo tipo. Los ejemplos incluyen abalorios, muebles, pinturas de arena, nudos, máscaras e instrumentos musicales. Las simetrías son fundamentales para el arte de MC Escher y las muchas aplicaciones del teselado en formas artísticas y artesanales, como papel tapiz, mosaicos de cerámica, como en la decoración geométrica islámica, batik, ikat, fabricación de alfombras y muchos tipos de patrones textiles y bordados.

La simetría también se utiliza en el diseño de logotipos. Al crear un logotipo en una cuadrícula y usar la teoría de la simetría, los diseñadores pueden organizar su trabajo, crear un diseño simétrico o asimétrico, determinar el espacio entre letras, determinar cuánto espacio negativo se requiere en el diseño y cómo acentuar partes de el logotipo para que se destaque.

En estética

La relación de la simetría con la estética es compleja. Los humanos encuentran la simetría bilateral en los rostros físicamente atractivos; indica salud y aptitud genética. A esto se opone la tendencia a que la excesiva simetría se perciba como aburrida o poco interesante. La gente prefiere formas que tengan algo de simetría, pero suficiente complejidad para que sean interesantes.

En literatura

La simetría se puede encontrar en varias formas en la literatura, un ejemplo simple es el palíndromo donde un texto breve se lee igual hacia adelante o hacia atrás. Las historias pueden tener una estructura simétrica, como el patrón de subida y bajada de Beowulf.