Poliedro de Kepler-Poinsot

Gran dodecahedron

Pequeño dodecaedro estelar

Great icosahedron

Gran dodecaedro estelar

En geometría, un poliedro de Kepler-Poinsot es cualquiera de los cuatro poliedros regulares en estrella.

Pueden obtenerse estelando el dodecaedro regular convexo y el icosaedro, y se diferencian de éstos por tener caras pentagrammicas regulares o figuras de vértice. Todos pueden verse como análogos tridimensionales del pentagrama de una forma u otra.

Características

No convexidad

Estas figuras tienen pentagramas (pentágonos de estrella) como caras o figuras de vértice. El dodecaedro estrellado pequeño y grande tienen caras de pentagrama regulares no convexas. El gran dodecaedro y el gran icosaedro tienen caras poligonales convexas, pero figuras de vértice pentagrammicas.

En todos los casos, dos caras pueden intersecarse a lo largo de una línea que no es un borde de ninguna de las caras, de modo que parte de cada cara pase por el interior de la figura. Tales líneas de intersección no forman parte de la estructura poliédrica y, a veces, se denominan bordes falsos. Del mismo modo, cuando tres de estas líneas se cortan en un punto que no es una esquina de ninguna cara, estos puntos son vértices falsos. Las imágenes a continuación muestran esferas en los vértices verdaderos y barras azules a lo largo de los bordes verdaderos.

Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras de pentagrama con la parte central pentagonal oculta dentro del sólido. Las partes visibles de cada cara comprenden cinco triángulos isósceles que se tocan en cinco puntos alrededor del pentágono. Podríamos tratar estos triángulos como 60 caras separadas para obtener un nuevo poliedro irregular que parece idéntico en apariencia. Cada arista ahora se dividiría en tres aristas más cortas (de dos tipos diferentes), y los 20 vértices falsos se convertirían en verdaderos, de modo que tenemos un total de 32 vértices (nuevamente de dos tipos). Los pentágonos interiores ocultos ya no forman parte de la superficie poliédrica y pueden desaparecer. Ahora la fórmula de Euler es válida: 60 − 90 + 32 = 2. Sin embargo, este poliedro ya no es el descrito por el símbolo de Schläfli {5/2, 5}, por lo que no puede ser un sólido de Kepler-Poinsot incluso aunque todavía parece uno desde el exterior.

Característica de Euler χ

Un poliedro de Kepler-Poinsot cubre su esfera circunscrita más de una vez, con los centros de las caras actuando como puntos de enrollamiento en las figuras que tienen caras pentagrammicas y los vértices en las otras. Debido a esto, no son necesariamente topológicamente equivalentes a la esfera como lo son los sólidos platónicos, y en particular la relación de Euler

${displaystyle chi =V-E+F=2 }$

no siempre se sostiene. Schläfli sostuvo que todos los poliedros deben tener χ = 2, y rechazó el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro grande como poliedros propios. Esta opinión nunca fue ampliamente sostenida.

Una forma modificada de la fórmula de Euler, usando densidad (D) de las figuras del vértice (${displaystyle d_{v}$) y caras (${displaystyle D_{f}$) fue dado por Arthur Cayley, y tiene ambos para el convexo polihedra (donde los factores de corrección son todos 1), y el Kepler-Poinsot polihedra:

${displaystyle D_{v}V-E+d_{f}F=2D.}$

Polígonos de dualidad y Petrie

Los poliedros de Kepler-Poinsot existen en pares duales. Los duales tienen el mismo polígono de Petrie, o más precisamente, polígonos de Petrie con la misma proyección bidimensional.

Las siguientes imágenes muestran los dos compuestos duales con el mismo radio de borde. También muestran que los polígonos de Petrie están sesgados. Dos relaciones descritas en el siguiente artículo también se ven fácilmente en las imágenes: que los bordes violetas son iguales y que las caras verdes se encuentran en los mismos planos.

Compound of sD and gD with Petrie hexagons

Compound of gI and gsD with Petrie decagrams

Resumen

Nombre (La abreviatura de Conway)	Imagen	Spherical azulejos	Stellation diagrama	Schläfli {p, q} y Coxeter-Dynkin	Caras {p}	Edges	Vertices {q}	Vertexfigure (config.)	Petrie poligon	χ	Densidad	Simmetría	Doble
gran dodecahedron (gD)				{5, 5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	(55)/2	{6}	−6	3	Ih	pequeño dodecaedro estelar
pequeño dodecaedro estelar (sD)				{5/2, 5}	12 {5/2}	30	12 {5}	(5/2)5	{6}	−6	3	Ih	gran dodecahedron
grandes icosahedron (gI)				{3, 5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	(3)5)/2	{10/3}	2	7	Ih	gran dodecaedro estelar
gran dodecaedro estelar (sgD = gsD)				{5/2, 3}	12 {5/2}	30	20 {3}	(5/2)3	{10/3}	2	7	Ih	grandes icosahedron

Relaciones entre los poliedros regulares

Sistema de relaciones entre los seis polihedra (ordenado verticalmente por densidad)

Terminología operativa de Conway

John Conway define los poliedros de Kepler-Poinsot como grandes y estelaciones de los sólidos convexos.
En su convención de nomenclatura, el pequeño dodecaedro estrellado es simplemente el dodecaedro estrellado.

Sstellation cambia caras pentagonales en pentagramas. (En este sentido, la estelación es una operación única y no debe confundirse con la estelación más general que se describe a continuación).

Aumentar mantiene el tipo de caras, cambiándolas y redimensionándolas en planos paralelos.

Relaciones con el continente ilustradas
diagrama	El polihedra en esta sección se muestra con el mismo midradius.
stellation	D SD gD SgD = gsD
grandeza	D y gD I y GI SD y gsD
dualidad	D y I gD y SD GI y gsD

Estelaciones y facetados

El gran icosaedro es una de las estelaciones del icosaedro. (Ver Los cincuenta y nueve icosaedros)
Los otros tres son todas las estelaciones del dodecaedro.

El gran dodecaedro estrellado es una faceta del dodecaedro.
Los otros tres son facetas del icosaedro.

Estabilizaciones y facetas
Convex	icosahedron			dodecahedron
Estabilizaciones	GI (el que tiene caras amarillas)			gD	SD	gsD
Caracteristicas	GI	gD	SD	gsD (el que tiene vértices amarillos)

Si las intersecciones se tratan como nuevas aristas y vértices, las figuras obtenidas no serán regulares, pero aún pueden considerarse estelaciones.

(Consulte también la Lista de modelos de poliedros de Wenninger)

Vértices y aristas compartidas

El gran dodecaedro estrellado comparte sus vértices con el dodecaedro. Los otros tres poliedros de Kepler-Poinsot comparten el suyo con el icosaedro. Los esqueletos de los sólidos que comparten vértices son topológicamente equivalentes.

icosahedron	gran dodecahedron	grandes icosahedron	pequeño dodecaedro estelar	dodecahedron	gran dodecaedro estelar
compartir vertices y bordes		compartir vertices y bordes		compartir vertices, skeletons form dodecahedral graph
compartir vertices, esqueletos forman icosahedral graph

La dodecaedro estrellado

Casco y núcleo

El pequeño y gran dodecaedro estelar se puede ver como un regular y un gran dodecaedro con sus bordes y caras extendidas hasta que se intersectan.
Las caras del pentágono de estos núcleos son las partes invisibles de las caras del pentagrama del polihedra estrella.
Para el pequeño dodecaedro estelar el casco es ${displaystyle varphi }$ tiempos más grandes que el núcleo, y para lo grande es ${displaystyle varphi +1=varphi ^{2}$ veces más grande. (Ver ratio de oro)
(El midradius es una medida común para comparar el tamaño de diferentes poliedros.)

Hull and core of the stellated dodecahedra
Hull	Poliedro estrella	Core	${displaystyle {frac {text{hull midradius} {text{core midradius}}} {f}}}}} {f}}}}}$	${displaystyle {frac {text{core midradius}{text{hull midradius}}} {f}}} {f}}}}} {f}$
			${displaystyle {frac {fnMicroc {fnMicroc} 61803...$	${displaystyle {frac {fnMicroc {fnMicroc} {5}-1}{2}=0.61803...}$
			${fnMicroc} {3+{sqrt {5}} {2}=2.61803...}$	${displaystyle {frac {3-{sqrt {5}} {2}=0.38196...}$
Los cascos platónicos de estas imágenes tienen el mismo midradius. Esto implica que los pentagramas tienen el mismo tamaño, y que los núcleos tienen la misma longitud del borde. (Comparar las 5 proyecciones ortoográficas a continuación.)

Aumentos

Tradicionalmente, los poliedros de dos estrellas se han definido como aumentos (o cumulaciones), es decir, como dodecaedro e icosaedro con pirámides añadidas a sus caras.

Kepler llama a la pequeña estelación un dodecaedro aumentado (entonces apodándolo erizo).

En su opinión, la gran estelación está relacionada con el icosaedro como la pequeña con el dodecaedro.

Todavía se utilizan estas definiciones ingenuas. P.ej. MathWorld afirma que los poliedros de dos estrellas se pueden construir agregando pirámides a las caras de los sólidos platónicos.

Esto es solo una ayuda para visualizar la forma de estos sólidos, y no una afirmación de que las intersecciones de los bordes (vértices falsos) son vértices. Si lo fueran, los poliedros de dos estrellas serían topológicamente equivalentes al dodecaedro pentakis y al icosaedro triakis.

Dodecaedra estelar como aumentos
Core	Poliedro estrella	Funda catalana

Simetría

Todos los poliedros de Kepler-Poinsot tienen simetría icosaédrica completa, al igual que sus cascos convexos.

El gran icosaedro y su dual se parecen al icosaedro y su dual en que tienen caras y vértices en los ejes de simetría de 3 pliegues (amarillo) y 5 pliegues (rojo).
En el gran dodecaedro y su dual, todas las caras y vértices están en ejes de simetría de 5 veces (por lo que no hay elementos amarillos en estas imágenes).

La siguiente tabla muestra los sólidos en pares de duales. En la fila superior se muestran con simetría piritoédrica, en la fila inferior con simetría icosaédrica (a los que se refieren los colores mencionados).

La siguiente tabla muestra proyecciones ortográficas de los ejes de simetría de 5 pliegues (rojo), 3 pliegues (amarillo) y 2 pliegues (azul).

{3, 5} (I) y {5, 3} (D)	{5, 5/2} (gD) y {5/2, 5} (sD)	{3, 5/2} (gI) y {5/2, 3} (gsD)
(animaciones)	(animaciones)	(animaciones)
(animaciones)	(animaciones)	(animaciones)

proyecciones ortoográficas
Los cascos platónicos de estas imágenes tienen el mismo midradius, por lo que todas las 5 proyecciones de abajo están en un decagon del mismo tamaño. (Comparar la proyección del compuesto.)Esto implica que sD, gsD y gI tienen la misma longitud del borde, es decir, la longitud lateral de un pentagrama en el decágono circundante.

Historia

La mayoría, si no todos, los poliedros de Kepler-Poinsot se conocían de una forma u otra antes de Kepler. Un pequeño dodecaedro estrellado aparece en una tarsia de mármol (panel de incrustaciones) en el piso de la Basílica de San Marcos, Venecia, Italia. Data del siglo XV y en ocasiones se atribuye a Paolo Uccello.

En su Perspectiva corporum regularium (Perspectivas de los sólidos regulares), un libro de xilografías publicado en 1568, Wenzel Jamnitzer representa el gran dodecaedro estrellado y un gran dodecaedro (ambos se muestran a continuación). También hay una versión truncada del pequeño dodecaedro estrellado. Está claro por la disposición general del libro que él consideraba regulares sólo los cinco sólidos platónicos.

Los dodecaedros estrellados pequeños y grandes, a veces llamados poliedros de Kepler, fueron reconocidos por primera vez como regulares por Johannes Kepler alrededor de 1619. Los obtuvo estrellando el dodecaedro convexo regular, tratándolo por primera vez. como una superficie en lugar de un sólido. Notó que al extender las aristas o caras del dodecaedro convexo hasta que se volvieran a encontrar, podía obtener pentágonos en estrella. Además, reconoció que estos pentágonos de estrellas también son regulares. De esta manera construyó los dos dodecaedros estrellados. Cada uno tiene la región convexa central de cada cara "oculta" dentro del interior, con sólo los brazos triangulares visibles. El paso final de Kepler fue reconocer que estos poliedros encajaban en la definición de regularidad, aunque no fueran convexos, como lo eran los sólidos platónicos tradicionales.

En 1809, Louis Poinsot redescubrió las figuras de Kepler ensamblando pentágonos de estrellas alrededor de cada vértice. También ensambló polígonos convexos alrededor de los vértices de las estrellas para descubrir otras dos estrellas regulares, el gran icosaedro y el gran dodecaedro. Algunas personas llaman a estos dos los poliedros de Poinsot. Poinsot no sabía si había descubierto todos los poliedros de estrellas regulares.

Tres años más tarde, Augustin Cauchy demostró que la lista estaba completa al estelar los sólidos platónicos, y casi medio siglo después, en 1858, Bertrand proporcionó una prueba más elegante al facetarlos.

Al año siguiente, Arthur Cayley le dio a los poliedros de Kepler-Poinsot los nombres por los que generalmente se les conoce en la actualidad.

Cien años después, John Conway desarrolló una terminología sistemática para estelaciones en hasta cuatro dimensiones. Dentro de este esquema, el pequeño dodecaedro estrellado es simplemente el dodecaedro estrellado.

Mosaico de piso en San Marcos, Venecia (posiblemente por Paolo Uccello)

Gran dodecaedro y gran dodecaedro estelar en Perspectiva Corporum Regularium (1568)

Dodecaedra estelar, Harmonices Mundi por Johannes Kepler (1619)

Modelo de cartón de la Universidad de Tübingen (alrededor de 1860)

Poliedros regulares en estrella en el arte y la cultura

Estrella de Alexander

Se usó una disección del gran dodecaedro para el rompecabezas Alexander's Star de la década de 1980. Los poliedros en estrella regulares aparecen por primera vez en el arte renacentista. Un pequeño dodecaedro estrellado está representado en una tarsia de mármol en el piso de la Basílica de San Marcos, Venecia, Italia, que data de ca. 1430 y a veces atribuido a Paulo Ucello.

En el siglo XX, el interés del artista M. C. Escher por las formas geométricas a menudo llevó a obras basadas en sólidos regulares o que los incluían; La Gravitación se basa en un pequeño dodecaedro estrellado.

La escultura La estrella de Kepler del artista noruego Vebjørn Sand se exhibe cerca del aeropuerto de Oslo, Gardermoen. La estrella mide 14 metros y consta de un icosaedro y un dodecaedro dentro de un gran dodecaedro estrellado.