Prisma triangular

En geometría, un prisma triangular o prisma trigonal es un prisma con 2 bases triangulares. Si las aristas coinciden con el vértice de cada triángulo y son perpendiculares a la base, se trata de un prisma triangular rectángulo. Un prisma triangular rectángulo puede ser a la vez semirregular y uniforme.

El prisma triangular se puede utilizar para construir otro poliedro. Algunos ejemplos son algunos de los sólidos de Johnson, el prisma triangular rectángulo truncado y el poliedro de Schönhardt.

Propiedades

Un prisma triangular tiene 6 vértices, 9 aristas y 5 caras. Todo prisma tiene 2 caras congruentes conocidas como bases, y las bases de un prisma triangular son triángulos. El triángulo tiene 3 vértices, cada uno de los cuales se empareja con el vértice de otro triángulo, formando otras 3 aristas. Estas aristas forman 3 paralelogramos como otras caras. Si los bordes del prisma son perpendiculares a la base, las caras laterales son rectángulos y el prisma se llama prisma triangular rectángulo. Este prisma también puede considerarse un caso especial de cuña.

Si la base es equilátera y las caras laterales son cuadradas, entonces el prisma triangular recto es semirregular. Un prisma semirregular significa que el número de aristas de su base poligonal es igual al número de sus caras cuadradas. De manera más general, el prisma triangular es uniforme. Esto significa que un prisma triangular tiene caras regulares y simetría isogonal en los vértices. El grupo de simetría tridimensional de un prisma triangular rectángulo es el grupo diédrico D_3h de orden 12: la apariencia no cambia si el prisma triangular se gira uno y dos tercios de un ángulo completo alrededor de su eje de simetría que pasa por la base del centro y se refleja a través de un plano horizontal. El poliedro dual de un prisma triangular es una bipirámide triangular. La bipirámide triangular tiene la misma simetría que el prisma triangular. El ángulo diédrico entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un triángulo equilátero π/3 = 60°, y que entre un cuadrado y un triángulo es π/2 = 90°.

El volumen de cualquier prisma es el producto del área de la base por la distancia entre las dos bases. En el caso de un prisma triangular, su base es un triángulo, por lo que su volumen se puede calcular multiplicando el área de un triángulo por la longitud del prisma:

bhl2,{displaystyle {frac {}{2}}}

32l2⋅ ⋅ l. . 0.433l3{displaystyle {frac {sqrt {3}{2}cdot lapprox 0.433l^{3}

El prisma triangular se puede representar como el gráfico de prisma Π₃. De manera más general, el gráfico de prisma Π_n representa el prisma de lados n.

Poliedro relacionado

En construcción de poliedro

Más allá de la bipirámide triangular como su poliedro dual, muchos otros poliedros están relacionados con el prisma triangular. Un sólido de Johnson es un poliedro convexo con caras regulares, y esta definición a veces se omite en poliedros uniformes como los sólidos de Arquímedes, los sólidos catalanes, los prismas y los antiprismas. Hay 6 sólidos de Johnson cuya construcción involucra el prisma triangular: pirámide triangular alargada, bipirámide triangular alargada, girobifastigium, prisma triangular aumentado, prisma triangular biaumentado y prisma triangular triaumentado. La pirámide triangular alargada y la pirámide triangular giroelongada se construyen uniendo un tetraedro a la base de un prisma triangular. El prisma triangular aumentado, el prisma triangular biaumentado y el prisma triangular triaumentado se construyen uniendo pirámides cuadradas equiláteras a la cara cuadrada del prisma. El girobifastigium se construye uniendo dos prismas triangulares a lo largo de una de sus caras cuadradas.

Un prisma triangular truncado es un prisma triangular construido truncando su parte en un ángulo oblicuo. Como resultado, las dos bases no son paralelas y cada altura tiene una longitud de borde diferente. Si las aristas que conectan las bases son perpendiculares a una de sus bases, el prisma se llama prisma triangular rectángulo truncado. Dado que A es el área de la base del prisma triangular, y las tres alturas h₁, h₂ y h₃, su volumen se puede determinar mediante la siguiente fórmula:

A()h1+h2+h3)3.{displaystyle {frac {}}{3}}}} {fn0} {fnMicrosoft Sans Serif}

El poliedro de Schönhardt es otro poliedro construido a partir de un prisma triangular con bases de triángulos equiláteros. De esta manera, una de sus bases gira alrededor de la línea central del prisma y divide las caras cuadradas en polígonos sesgados. Cada cara cuadrada se puede volver a triangular con dos triángulos para formar un ángulo diédrico no convexo. Como resultado, el poliedro de Schönhardt no puede triangularse mediante una partición en tetraedros. Es también que el poliedro de Schönhardt no tiene diagonales internas. Lleva el nombre del matemático alemán Erich Schönhardt, quien lo describió en 1928, aunque la estructura relacionada fue exhibida por el artista Karlis Johansons en 1921.

Hay 4 compuestos uniformes de prismas triangulares. Están compuestos de cuatro prismas triangulares, compuestos de ocho prismas triangulares, compuestos de diez prismas triangulares, compuestos de veinte prismas triangulares.

Panales

Hay 9 panales uniformes que incluyen celdas de prisma triangular:

Gyroelongated alternad cubic honeycomb, elongated alternad cubic honeycomb, gyrated triangular prismatic honeycomb, snub square prismatic honeycomb, triangular prismatic, triangular-hexagonal prismatic honeycomb, truncated hexagonal prismatic honeycomb, rhombitriangular-hexagonal

Politopos relacionados

El prisma triangular es el primero de una serie dimensional de politopos semirregulares. Cada politopo uniforme progresivo se construye como figura de vértice del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como que contiene todas las facetas de politopos regulares, que contienen todos los símplex y ortoplexes (triángulos y cuadrados equiláteros en el caso del prisma triangular). En la notación de Coxeter, al prisma triangular se le asigna el símbolo −1₂₁.

k21 figuras en dimensiones n
Espacio	Finite						Euclidean	Hiperbólico
En	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxetergroup	E3= A2A1	E4= A4	E5= D5	E6	E7	E8	E9 = E~ ~ 8{displaystyle {fnMicrosoft}} {fn}} {fnMicrosoft} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fnK}}} {fnK}}}}}} {fn}}}}} {fnK}}}}}}}} = E8+	E10 = T̄ ̄ 8{displaystyle {bar {}_{8}} = E8++
Coxeterdiagram
Simmetría	[3]−1,2,1]	[3]0,2,1]	[3]1,2,1]	[3]2,1]	[3]3,2,1]	[3]4,2,1]	[3]5,2,1]	[3]6,2,1]
Orden	12	120	1.920	51.840	2,903,040	696.729.600	JUEGO
Gráfico							-	-
Nombre	−121	021	121	221	321	421	521	621

Espacio de cuatro dimensiones

El prisma triangular existe como celdas de una serie de 4 politopos uniformes de cuatro dimensiones, que incluyen:

Cuatro politopes dimensionales con prismas triangulares
Tetraedral prism	El prisma octadral	Prisma cuboctaedral	Prisma Ísajedral	El prisma de Icosidodecedral	Prisma dodecaedral truncado
Rómbado-icosidodecahedral prism	Prisma Rhombi-cuboctahedral	Prisma cúbica truncada	Snub dodecahedral prism	prisma antiprismático n-gonal
Cantellated 5-cell	Cantitruncado 5 celdas	Runcinated 5-cell	Runcitruncated 5-cell	Cantellated tesseract	Tesseract cantitruncado	Tesseract	Runcitruncated tesseract
Cantellated 24-cell	Cantitruncadas 24 celdas	Distintos 24-celadas	Correcitruncadas 24 celdas	Cantellated 120-cell	Cantitruncado 120 celdas	Runcinated 120-cell	Runcitruncated 120-cell