Campo / cuerpo (matemáticas)

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Gráfico de multiplicación de dos números complejos — Multiplicación de dos números complejos en el campo de números complejos

En matemáticas, un campo o cuerpo es un conjunto numérico que habilita la suma, resta, multiplicación y división de sus elementos cumpliendo las mismas propiedades que en los números racionales y reales. Es decir que un campo es un sistema algebraico (conjunto numérico) que satisface las propiedades: asociativa, conmutativa, identidad aditiva y multiplicativa, inversión aditiva y multiplicativa, y distributiva. Tanto campo (del inglés field), como cuerpo (del alemán Körper), son nombres válidos en español para referirse a este tipo de conjuntos.

Los campos son estructuras algebraicas básicas y se usan ampliamente en diversas áreas matemáticas, incluyendo el álgebra o la teoría de números. Entre los ejemplos mejor estudiados de campos se encuentran el conjunto de los números racionales, los reales y los complejos. Además, existen otros tipos de campos utilizados frecuentemente en matemáticas, como los campos de funciones racionales, campos de funciones algebraicas, campos numéricos algebraicos y campos p-ádicos (relevantes en teoría de números y geometría algebraica). Además, la mayoría de los protocolos criptográficos se basan en campos finitos, es decir, campos con un número finito de elementos.

A nivel teórico, la teoría de campos demuestra la imposibilidad de trisecar un ángulo o cuadrar un círculo únicamente con compás y regla. La teoría de Galois (por Évariste Galois en 1830), dedicada a comprender las simetrías de las extensiones de campos (relaciones entre dos campos diferentes), proporciona una concisa demostración del teorema de Abel-Ruffini que establece la insolubilidad algebraica de las ecuaciones de quinto grado.

Los campos son fundamentales para las matemáticas. En varias ramas del análisis matemático se utilizan campos con estructuras adicionales. Los teoremas básicos del análisis, por ejemplo, dependen de las propiedades estructurales de los campos de números reales. En el ámbito del álgebra, cualquier campo puede funcionar como escalar para un espacio vectorial, lo que constituye la base del álgebra lineal. Los campos numéricos, estrechamente relacionados con el campo de los números racionales, son objeto de estudio detallado en teoría de números. Por último, los campos de función son herramientas útiles para describir propiedades de objetos geométricos.

HSD

Definición

De manera informal, un campo es un conjunto, junto con dos operaciones definidas en ese conjunto: una operación de suma escrita como $a + b$ , y una operación de multiplicación escrita como $a \cdot b$ , las cuales se comportan de manera similar a como se comportan para números racionales y números reales, incluida la existencia de un inverso aditivo $- a$ para todos los elementos $a$ , y de un inverso multiplicativo $b -1$ para cada elemento distinto de cero $b$ . Esto permite considerar también las llamadas operaciones inversas de resta, $a - b$ , y división, $a / b$ , definiendo:

a - b := a + (- b)

a / b := a \cdot b -1

Definición clásica

Formalmente, un campo es un conjunto $F$ junto con dos operaciones binarias en $F$ llamado suma y multiplicación. Una operación binaria en $F$ es una asignación $F \times F \to F$ , es decir, una correspondencia que se asocia a cada par ordenado de elementos de $F$ un elemento determinado de forma única de $F$ . El resultado de la suma de $a$ y $b$ se denomina suma de $a$ y $b$ , y se denota $a + b$ . De manera similar, el resultado de la multiplicación de $a$ y $b$ es llamado el producto de $a$ y $b$ , y se denota ab o $a \cdot b$ . Estas operaciones son necesarias para satisfacer las siguientes propiedades, denominadas axiomas de campo (en estos axiomas, $a$ , $b$ y $c$ son elementos arbitrarios del campo $F$ ):

Asociación de adición y multiplicación: $a + b + c) = a + b) + c$ , y $a \cdot (continuación) b \cdot c) = a \cdot b) \cdot c$ .
Computatividad de la adición y multiplicación: $a + b = b + a$ , y $a \cdot b = b \cdot a$ .
Identidad aditiva y multiplicativa: existen dos elementos diferentes $0$ y $1$ dentro $F$ tales que $a + 0 = a$ y $a \cdot 1 = a$ .
Inversos aditivos: por cada $a$ dentro $F$ , existe un elemento en $F$ , denotado $- a$ , llamado el aditivo inverso de $a$ , tal que $a + (- a) = 0$ .
Inversos multiplicativos: para cada $a ل 0$ dentro $F$ , existe un elemento en $F$ , denotado por $a -1$ o $1/ a$ , llamado el inverso multiplicativo de $a$ , tal que $a \cdot a -1 = 1$ .
Distribución de la multiplicación sobre adición: $a \cdot (continuación) b + c) = a \cdot b) + (a \cdot c)$ .

Esto se puede resumir diciendo: un campo tiene dos operaciones, llamadas suma y multiplicación; es un grupo abeliano bajo adición con 0 como identidad aditiva; los elementos distintos de cero son un grupo abeliano bajo multiplicación con 1 como identidad multiplicativa; y la multiplicación distribuye sobre la suma.

Aún más resumido: un campo es un anillo comunicativo donde $0neq 1$ y todos los elementos no cero son invertibles bajo la multiplicación.

Definición alternativa

Los campos también se pueden definir de formas diferentes pero equivalentes. Alternativamente, se puede definir un campo mediante cuatro operaciones binarias (suma, resta, multiplicación y división) y sus propiedades requeridas. La división por cero está, por definición, excluida. Para evitar los cuantificadores existenciales, los campos se pueden definir mediante dos operaciones binarias (suma y multiplicación), dos operaciones unarias (que producen los inversos aditivo y multiplicativo respectivamente) y dos operaciones nulas (las constantes $0$ y $1$ ). Estas operaciones están entonces sujetas a las condiciones anteriores. Evitar cuantificadores existenciales es importante en matemáticas constructivas y computación. Se puede definir un campo de manera equivalente mediante las mismas dos operaciones binarias, una operación unaria (el inverso multiplicativo) y dos constantes $1$ y $-1$ , ya que $0 = 1 + (-1)$ y $- a = (-1) a$ .

Ejemplos

Números racionales

Los números racionales han sido ampliamente utilizados mucho antes de la elaboración del concepto de campo.
Son números que se pueden escribir como fracciones.
$a / b$ , donde $a$ y $b$ son números enteros, y $b \neq 0$ . El inverso aditivo de dicha fracción es $- a / b$ , y el inverso multiplicativo (siempre que $a \neq 0$ ) es $b / a$ , que se puede ver de la siguiente manera:

{displaystyle {frac {b}{a}}cdot {frac {a}{b}}={frac {ba}{ab}}=1.}

Los axiomas de campo requeridos abstractamente se reducen a las propiedades estándar de los números racionales. Por ejemplo, la ley de distributividad se puede demostrar de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{aligned}&{frac {a}{b}}cdot left({frac {c}{d}}+{frac {e}{f}}right)\[6pt]={}&{frac {a}{b}}cdot left({frac {c}{d}}cdot {frac {f}{f}}+{frac {e}{f}}cdot {frac {d}{d}}right)\[6pt]={}&{frac {a}{b}}cdot left({frac {cf}{df}}+{frac {ed}{fd}}right)={frac {a}{b}}cdot {frac {cf+ed}{df}}\[6pt]={}&{frac {a(cf+ed)}{bdf}}={frac {acf}{bdf}}+{frac {aed}{bdf}}={frac {ac}{bd}}+{frac {ae}{bf}}\[6pt]={}&{frac {a}{b}}cdot {frac {c}{d}}+{frac {a}{b}}cdot {frac {e}{f}}.end{aligned}}}

Números reales y complejos

Los números reales $R$ , con las operaciones habituales de suma y multiplicación, también forman un campo. Los números complejos $C$ consisten en expresiones

a + bi,

con

a, b

real,

donde $i$ es la unidad imaginaria, es decir, un número (no real) que satisface $i 2 = -1$ .
La suma y la multiplicación de números reales se definen de tal manera que las expresiones de este tipo satisfacen todos los axiomas de campo y, por lo tanto, se cumplen para $C$ . Por ejemplo, la ley distributiva impone

() a + bi) c + di) ac + bci + adi + bdi 2 = ac - bd + bc + ad) i .

Es inmediato que se trata nuevamente de una expresión del tipo anterior, por lo que los números complejos forman un campo. Los números complejos se pueden representar geométricamente como puntos en el plano, con coordenadas cartesianas dadas por los números reales de su expresión descriptiva, o como las flechas desde el origen hasta estos puntos, especificadas por su longitud y un ángulo encerrado en alguna dirección distinta. La suma entonces corresponde a combinar las flechas con el paralelogramo intuitivo (sumar las coordenadas cartesianas), y la multiplicación es, de manera menos intuitiva, combinar la rotación y escala de las flechas (sumar los ángulos y multiplicar las longitudes). Los campos de los números reales y complejos se utilizan en las matemáticas, la física, la ingeniería, la estadística y muchas otras disciplinas científicas.

Números construibles

El teorema geométrico afirma que $h 2 = pq$ . Elegir $q = 1$ permite la construcción de la raíz cuadrada de un número constructible dado $p$ .

En la antigüedad, varios problemas geométricos se referían a (en) la viabilidad de construir ciertos números con brújula y rectitud. Por ejemplo, era desconocido para los griegos que es, en general, imposible triseccionar un ángulo dado de esta manera. Estos problemas se pueden resolver utilizando el campo de los números constructibles. Los números verdaderos constructibles son, por definición, longitudes de segmentos de línea que se pueden construir desde los puntos 0 y 1 en finitely muchos pasos utilizando solamente brújula y rectitud. Estos números, dotados de las operaciones de campo de números reales, restringidos a los números constructibles, forman un campo, que incluye adecuadamente el campo $Q$ de números racionales. La ilustración muestra la construcción de raíces cuadradas de números constructibles, no necesariamente contenidas en $Q$ . Utilizando el etiquetado en la ilustración, construye los segmentos $AB$ , $BD$ , y un semicírculo sobre $AD$ (centro en el punto medio $C$ ), que intersecte la línea perpendicular a través de $B$ en un punto $F$ , a una distancia de exactamente ${displaystyle h={sqrt {p}}}$ desde $B$ cuando $BD$ tiene la longitud uno.

No todos los números reales son constructibles. Se puede demostrar que ${displaystyle {sqrt[{3}]{2}}}$ no es un número constructible, lo que implica que es imposible construir con brújula y enderezar la longitud del lado de un cubo con el volumen 2, otro problema planteado por los antiguos griegos.

Un campo con cuatro elementos

Adición

Multiplicación

+	$O$	$I$	$A$	$B$
$O$	$O$	$I$	$A$	$B$
$I$	$I$	$O$	$B$	$A$
$A$	$A$	$B$	$O$	$I$
$B$	$B$	$A$	$I$	$O$

⋅	$O$	$I$	$A$	$B$
$O$	$O$	$O$	$O$	$O$
$I$	$O$	$I$	$A$	$B$
$A$	$O$	$A$	$B$	$I$
$B$	$O$	$B$	$I$	$A$

Además de los sistemas numéricos familiares, como los números racionales, existen otros ejemplos de campos menos inmediatos. El siguiente ejemplo es un campo que consta de cuatro elementos denominados $O$ , $I$ , $A$ y $B$ . La notación se elige de manera que $O$ desempeñe el papel del elemento de identidad aditivo (denotado 0 en los axiomas anteriores), y $I$ es la identidad multiplicativa (indicada como 1 en los axiomas anteriores). Los axiomas de campo se pueden verificar utilizando algo más de teoría de campo o mediante cálculo directo. Por ejemplo,

A \cdot (continuación) B + A) A \cdot I = A

, que es igual

A \cdot B + A \cdot A = I + B = A

, como exige la distributividad.

Este campo se denomina campo finito con cuatro elementos y se denota $F 4$ o $GF(4)$ . El subconjunto que consta de $O$ y $I$ (resaltado en rojo en las tablas de la derecha) también es un campo, conocido como campo binario $F 2$ o $GF(2)$ . En el contexto de la informática y el álgebra booleana, $O$ y $I$ a menudo se denotan respectivamente por falso y verdadero, y la adición se denota entonces como XOR (exclusivo o). En otras palabras, la estructura del campo binario es la estructura básica que permite calcular con bits.

Nociones elementales

En esta sección, $F$ denota un campo arbitrario y $a$ y $b$ son elementos arbitrarios de $F$ .

Consecuencias de la definición

Uno tiene $a \cdot 0 = 0$ y $- a = (- 1) \cdot a$ . En particular, se puede deducir el inverso aditivo de cada elemento tan pronto como se conoce $-1$ .

Si $ab = 0$ entonces $a$ o $b$ debe ser 0, ya que, si $a \neq 0$ , entonces
$b = (a -1 a) b = a -1 (ab) = a -1 \cdot 0 = 0$ . Esto significa que todo campo es un dominio integral.

Además, las siguientes propiedades son verdaderas para cualquier elemento $a$ y $b :$

0 - 0

1 -1 = 1

(-) a) = a

() - a) \cdot b = a \cdot (- b - a \cdot b)

() a -1) -1 = a

a ل 0

El grupo aditivo y multiplicativo de un campo

Los axiomas de un campo $F$ implican que es un grupo abeliano bajo suma. Este grupo se denomina grupo aditivo del campo y, a veces, se indica con $(F, +)$ cuando se indica simplemente como $F$ podría resultar confuso.

Del mismo modo, los elementos distintos de cero de $F$ forman un grupo abeliano bajo multiplicación, llamado grupo multiplicativo, y denotado por $(F {0}, \cdot)$ o simplemente $F {0 }$ o $F *$ .

Por lo tanto, un campo puede definirse como un conjunto $F$ equipado con dos operaciones denotadas como una suma y una multiplicación tales que $F$ es un grupo abeliano bajo adición, $F {0}$ es un grupo abeliano bajo la multiplicación (donde 0 es el elemento de identidad de la suma), y la multiplicación es distributiva sobre la suma. Por lo tanto, se pueden obtener algunos enunciados elementales sobre campos aplicando hechos generales de grupos. Por ejemplo, los inversos aditivos y multiplicativos $- a$ y $a - 1$ están determinados únicamente por $a$ .

Se sigue el requisito $1 \neq 0$ , porque 1 es el elemento de identidad de un grupo que no contiene 0. Por lo tanto, el anillo trivial, que consta de un solo elemento, es no un campo.

Todo subgrupo finito del grupo multiplicativo de un campo es cíclico (ver Raíz de la unidad § Grupos cíclicos).

Característica

Además de la multiplicación de dos elementos de F, es posible definir el producto $n \cdot a$ de un elemento arbitrario $a$ de $F$ por un entero positivo $n$ para que sea $n$ - doblar la suma

a + a + \dots + a

(que es un elemento de

F

Si no hay un entero positivo tal que

n \cdot 1 = 0

entonces $F$ se dice que tiene la característica 0. Por ejemplo, el campo de los números racionales $Q$ tiene la característica 0 ya que ningún entero positivo $n$ es cero. De lo contrario, si existe un entero positivo $n$ que satisface esta ecuación, se puede demostrar que el entero positivo más pequeño es un número primo. Por lo general, se indica con $p$ y se dice que el campo tiene la característica $p$ entonces.
Por ejemplo, el campo $F 4$ tiene la característica 2 ya que (en la notación de la tabla de suma anterior) $I + I = O$ .

Si $F$ tiene la característica $p$ , entonces $p \cdot a = 0$ para todos los $a$ en $F$ . Esto implica que

() a + b) p = a p + b p

ya que todos los demás coeficientes binomiales que aparecen en la fórmula binomial son divisibles por $p$ . Aquí, $a p := a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ (factores $p$ ) es el $p$ -ésima potencia, es decir, el producto de $p$ -fold del elemento $a$ . Por lo tanto, el mapa de Frobenius

Fr. F \to F, x ⟼ x p

es compatible con la adición en $F$ (y también con la multiplicación), y por lo tanto es un homomorfismo de campo. La existencia de este homomorfismo hace que los campos de la característica $p$ sean bastante diferentes de los campos de la característica 0.

Subcampos y campos principales

Un subcampo $E$ de un campo $F$ es un subconjunto de $F$ que es un campo con respecto a las operaciones de campo de $F$ . De manera equivalente, $E$ es un subconjunto de $F$ que contiene $1$ , y se cierra bajo suma, multiplicación, inverso aditivo e inverso multiplicativo de un elemento distinto de cero. Esto significa que $1 ∊ E$ , que para todos $a, b ∊ E$ tanto $a + b$ como $a \cdot b$ están en $E$ , y que para todo $a \neq 0$ en $E$ , ambos $- a$ y $1/ a$ están en $E$ .

Los homomorfismos de campo son mapas $φ : E \to F$ entre dos campos tales que $φ (e 1 + e 2) = φ (e 1) + φ (e 2)$ , $φ (e 1 e 2) = φ (e 1) φ (e 2)$ , y $φ (1 E) = 1 F$ , donde $e 1$ y $e 2$ son elementos arbitrarios de $E$ . Todos los homomorfismos de campo son inyectivos. Si $φ$ también es sobreyectiva, se llama isomorfismo (o los campos $E$ y $F$ se denominan isomorfos).

Un campo se llama campo principal si no tiene subcampos propios (es decir, estrictamente más pequeños). Cualquier campo $F$ contiene un campo primo. Si la característica de $F$ es $p$ (un número primo), el campo principal es isomorfo al campo finito $F p$ presentado a continuación. De lo contrario, el campo principal es isomorfo a $Q$ .

Campos finitos

Campos finitos (también llamados campos de Galois) son campos con un número finito de elementos, cuyo número también se conoce como el orden del campo. El ejemplo introductorio anterior $F 4$ es un campo con cuatro elementos. Su subcampo $F 2$ es el campo más pequeño, porque por definición un campo tiene al menos dos elementos distintos $1 \neq 0$ .

En modulo aritmético modular 12, 9 + 4 = 1 desde entonces 9 + 4 = 13 dentro $Z$ , que dividió por 12 hojas restantes 1. Sin embargo, $Z /12 Z$ no es un campo porque 12 no es un número primo.

Los campos finitos más simples, con orden primo, son más directamente accesibles usando aritmética modular. Para un entero positivo fijo $n$ , la aritmética "módulo $n " significa trabajar con los números$

Z / n Z = {0, 1,..., n - 1}.

La suma y la multiplicación sobre este conjunto se realizan realizando la operación en cuestión en el conjunto $Z$ de enteros, dividiendo por $n$ y tomando el resto como resultado. Esta construcción produce un campo precisamente si $n$ es un número primo. Por ejemplo, tomar el primo $n = 2$ da como resultado el campo mencionado anteriormente $F 2$ . Para $n = 4$ y más generalmente, para cualquier número compuesto (es decir, cualquier número $n$ que se puede expresar como un producto $n = r \cdot s$ de dos números naturales estrictamente más pequeños), $Z / n Z$ no es un campo: el producto de dos elementos distintos de cero es cero ya que $r \cdot s = 0$ en $Z / n Z$ , que, como se ha explicado anteriormente, impide $Z / n Z$ de ser un campo. El campo $Z / p Z$ con $p$ ( $p$ siendo primos) construidos de esta manera generalmente se denotan por $F p$ .

Todo campo finito $F$ tiene $q = p n$ elementos, donde $p$ es primo y $n \geq 1$ . Esta afirmación es válida ya que $F$ puede verse como un espacio vectorial sobre su campo principal. La dimensión de este espacio vectorial es necesariamente finita, digamos $n$ , lo que implica la declaración afirmada.

Un campo con $q = p n$ los elementos se pueden construir como el campo de división del polinomio

f () x) x q - x

Tal campo divisorio es una extensión de $F p$ en la que el polinomio $f$ tiene $q$ ceros. Esto significa que $f$ tiene tantos ceros como sea posible desde el grado de $f$ es $q$ . Para $q = 2 2 = 4$ , se puede verificar caso por caso usando la tabla de multiplicar anterior que los cuatro elementos de $F 4$ satisfacen la ecuación $x 4 = x$ , por lo que son ceros de $f$ . Por el contrario, en $F 2$ , $f$ tiene solo dos ceros (es decir, 0 y 1), por lo que $f$ no se divide en factores lineales en este campo más pequeño. Profundizando más en las nociones básicas de la teoría de campos, se puede demostrar que dos campos finitos con el mismo orden son isomorfos. Por lo tanto, es habitual hablar de el campo finito con elementos $q$ , denotados por $F q$ o $GF(q)$ .

Historia

Históricamente, tres disciplinas algebraicas llevaron al concepto de campo: la cuestión de resolver ecuaciones polinómicas, la teoría algebraica de números y la geometría algebraica. Joseph-Louis Lagrange dio un primer paso hacia la noción de campo en 1770, quien observó que permutando los ceros $x 1, x 2, x 3$ de un polinomio cúbico en la expresión

() x 1 + \cdotx 2 + \cdot 2 x 3) 3

(siendo $ω$ una tercera raíz de la unidad) solo produce dos valores. De esta forma, Lagrange explicaba conceptualmente el método de solución clásico de Scipione del Ferro y François Viète, que consiste en reducir una ecuación cúbica para una $x$ desconocida a una ecuación cuadrática para $x 3$ . Junto con una observación similar para las ecuaciones de grado 4, Lagrange vinculó lo que finalmente se convirtió en el concepto de campos y el concepto de grupos. Vandermonde, también en 1770, y en mayor medida Carl Friedrich Gauss, en sus Disquisitiones Arithmeticae (1801), estudiaron la ecuación

x p = 1

para un primo $p$ y, de nuevo usando lenguaje moderno, el grupo de Galois cíclico resultante. Gauss dedujo que se puede construir un p-gon regular si $p = 2 2 k + 1$ . Sobre la base del trabajo de Lagrange, Paolo Ruffini afirmó (1799) que las ecuaciones quínticas (ecuaciones polinomiales de grado 5) no se pueden resolver algebraicamente; sin embargo, sus argumentos eran erróneos. Estos vacíos fueron llenados por Niels Henrik Abel en 1824. Évariste Galois, en 1832, ideó los criterios necesarios y suficientes para que una ecuación polinomial fuera algebraicamente resoluble, estableciendo así en efecto lo que hoy se conoce como teoría de Galois. Tanto Abel como Galois trabajaron con lo que hoy se llama un campo numérico algebraico, pero no concibieron una noción explícita de campo ni de grupo.

En 1871, Richard Dedekind introdujo, para un conjunto de números reales o complejos cerrados bajo las cuatro operaciones aritméticas, la palabra alemana Körper, que significa "cuerpo" o "cuerpo" (para sugerir una entidad orgánicamente cerrada). El término inglés "field" fue introducido por Moore (1893).

Por un campo nos referiremos a cada sistema infinito de números reales o complejos tan cerrado en sí mismo y perfecto que la adición, resta, multiplicación y división de cualquiera de estos dos números de nuevo produce un número del sistema.

—Richard Dedekind, 1871

En 1881, Leopold Kronecker definió lo que llamó un dominio de racionalidad, que es un campo de fracciones racionales en términos modernos. La noción de Kronecker no cubría el campo de todos los números algebraicos (que es un campo en el sentido de Dedekind), pero por otro lado era más abstracto que el de Dedekind en el sentido de que no hacía ninguna suposición específica. sobre la naturaleza de los elementos de un campo. Kronecker interpretó un campo como $Q (π)$ de forma abstracta como el campo de función racional $Q (X)$ . Antes de esto, se conocían ejemplos de números trascendentales desde el trabajo de Joseph Liouville en 1844, hasta que Charles Hermite (1873) y Ferdinand von Lindemann (1882) demostraron la trascendencia de $e$ y $π$ , respectivamente.

La primera definición clara de un campo abstracto se debe a Weber (1893). En particular, la noción de Heinrich Martin Weber incluía el campo F_p. Giuseppe Veronese (1891) estudió el campo de las series de potencias formales, lo que llevó a Hensel (1904) a introducir el campo de los números p-ádicos. Steinitz (1910) sintetizó el conocimiento de la teoría abstracta de campos acumulado hasta el momento. Estudió axiomáticamente las propiedades de los campos y definió muchos conceptos importantes de la teoría de campos. La mayoría de los teoremas mencionados en las secciones Teoría de Galois, Construcción de campos y Nociones elementales se pueden encontrar en la obra de Steinitz. Artín &amperio; Schreier (1927) vinculó la noción de ordenamientos en un campo, y por lo tanto el área de análisis, a propiedades puramente algebraicas. Emil Artin volvió a desarrollar la teoría de Galois desde 1928 hasta 1942, eliminando la dependencia del teorema del elemento primitivo.

Construcción de campos

Construcción de campos a partir de anillos

Un anillo conmutativo es un conjunto, dotado de una operación de suma y multiplicación, que satisface todos los axiomas de un cuerpo, excepto la existencia de inversos multiplicativos $a -1$ . Por ejemplo, los números enteros $Z$ forman un anillo conmutativo, pero no un campo: el recíproco de un número entero $n$ no es en sí mismo un número entero, a menos que $n = \pm1$ .

En la jerarquía de las estructuras algebraicas, los campos se pueden caracterizar como los anillos conmutativos $R$ en los que cada elemento distinto de cero es una unidad (lo que significa que cada elemento es reversible). De manera similar, los campos son los anillos conmutativos con precisamente dos ideales distintos, $(0)$ y $R$ . Los campos también son precisamente los anillos conmutativos en los que $(0)$ es el único ideal primo.

Dado un anillo conmutativo $R$ , hay dos formas de construir un campo relacionado con $R$ , es decir, dos formas de modificar $R$ de modo que todos los elementos distintos de cero se vuelvan invertibles: formar el campo de fracciones, y formando campos de residuos. El campo de fracciones de $Z$ es $Q$ , los racionales, mientras que los campos residuales de $Z$ son los campos finitos $F p$ .

Campo de fracciones

Dado un dominio integral $R$ , su campo de fracciones $Q (R)$ se construye con las fracciones de dos elementos de $R$ exactamente como Q se construye a partir de los enteros. Más precisamente, los elementos de $Q (R)$ son las fracciones $a / b$ donde $a$ y $b$ están en $R$ , y $b \neq 0$ . Dos fracciones $a / b$ y $c / d$ son iguales si y solo si $ad = bc$ . La operación sobre las fracciones funciona exactamente como para los números racionales. Por ejemplo,

{displaystyle {frac {a}{b}}+{frac {c}{d}}={frac {ad+bc}{bd}}.}

Es sencillo demostrar que, si el anillo es un dominio integral, el conjunto de las fracciones forma un campo.

El campo $F (x)$ de las fracciones racionales sobre un campo (o un dominio integral) $F$ es el campo de fracciones del anillo polinomial $F [x]$ . El campo $F ((x))$ de la serie Laurent

{displaystyle sum _{i=k}^{infty }a_{i}x^{i} (kin mathbb {Z}a_{i}in F)}

sobre un campo $F$ está el campo de fracciones del anillo $F [[x]]$ de series de potencias formales (en las que $k \geq 0$ ). Dado que cualquier serie de Laurent es una fracción de una serie de potencias dividida por una potencia de $x$ (a diferencia de una serie de potencias arbitraria), la representación de fracciones Sin embargo, es menos importante en esta situación.

Campos de residuos

Además del campo de fracciones, que incrusta $R$ inyectivamente en un campo, se puede obtener un campo a partir de un anillo conmutativo $R$ por medio de un mapa sobreyectivo en un campo $F$ . Cualquier campo obtenido de esta forma es un cociente $R / m$ , donde $m$ es un ideal maximal de $R$ . Si $R$ tiene solo un máximo ideal $m$ , este campo es llamado campo residual de $R$ .

El ideal generado por un solo polinomio $f$ en el anillo polinomial $R = E [X]$ (sobre un campo $E$ ) es máximo si y solo si $f$ es irreducible en $E$ , es decir, si $f$ no se puede expresar como el producto de dos polinomios en $E [X]$ de menor grado. Esto produce un campo

F = E [X ♪ f () X)).

Este campo $F$ contiene un elemento $x$ (a saber la clase de residuo de $X$ ) que satisface la ecuación

f () x) = 0

Por ejemplo, $C$ se obtiene de $R$ mediante junto al símbolo de la unidad imaginaria $i$ , que satisface $f (i) = 0$ , donde $f (X) = X 2 + 1$ . Además, $f$ es irreducible sobre $R$ , lo que implica que el mapa que envía un polinomio $f (X) ∊ R [X]$ a $f (i)$ produce un isomorfismo

{displaystyle mathbf {R} [X]/left(X^{2}+1right) {stackrel {cong }{longrightarrow }} mathbf {C}.}

Construyendo campos dentro de un campo más grande

Los campos se pueden construir dentro de un campo contenedor más grande. Suponga que dado un campo $E$ , y un campo $F$ que contiene $E$ como un subcampo. Para cualquier elemento $x$ de $F$ , hay un subcampo más pequeño de $F$ que contiene $E$ y $x$ , llamado el subcampo de F generado por $x$ y denotado $E (x)$ . El pasaje de $E$ a $E (x) Se hace referencia a$ al juntar un elemento a $E$ . Más generalmente, para un subconjunto $S \subset F$ , hay un subcampo mínimo de $F$ que contiene $E$ y $S$ , indicado por $E (S)$ .

La composición de dos subcampos $E$ y $E'$ de algún campo $F$ es el subcampo más pequeño de $F$ que contiene tanto $E$ como $E'.$ El compositum se puede usar para construir el subcampo más grande de $F$ que satisface una determinada propiedad, por ejemplo, el subcampo más grande de $F$ , que es, en el lenguaje presentado a continuación, algebraico sobre $E$ .

Extensiones de campo

La noción de un subcampo $E \subset F$ también se puede considerar desde el punto de vista opuesto, refiriéndose a $F$ siendo una extensión de campo (o simplemente extensión) de $E$ , denotado por

F / E

y lea " $F$ sobre $E$ ".

Un dato básico de una extensión de campo es su grado $[F : E]$ , es decir, la dimensión de $F$ como un espacio vectorial $E$ . Satisface la fórmula

[G : E = G : F [ ] F : E]

Las extensiones cuyo grado es finito se denominan extensiones finitas. Las extensiones $C / R$ y $F 4 / F 2$ son de grado 2, mientras que $R / Q$ es una extensión infinita.

Extensiones algebraicas

Noción pivotal en el estudio de extensiones de campo $F / E$ son elementos algebraicos. Un elemento ${displaystyle xin F}$ es algebraica sobre $E$ si es una raíz de un polinomio con coeficientes en $E$ , es decir, si satisface una ecuación polinomio

e n x n + e n -1 x n -1 + \dots + e 1 x + e 0 = 0

con $e n,..., e 0$ en $E$ , y $e n \neq 0$ .
Por ejemplo, la unidad imaginaria $i$ en $C$ es algebraica sobre $R$ , e incluso sobre $Q$ , ya que satisface la ecuación

i 2 + 1 = 0

Una extensión de campo en la que cada elemento de $F$ es algebraico sobre $E$ se llama extensión algebraica. Cualquier extensión finita es necesariamente algebraica, como se puede deducir de la fórmula de multiplicatividad anterior.

El subcampo $E (x)$ generado por un elemento $x$ , como arriba, es una extensión algebraica de $E$ si y solo si $x$ es un elemento algebraico. Es decir, si $x$ es algebraico, todos los demás elementos de $E (x)$ también son necesariamente algebraicos. Además, el grado de la extensión $E (x) / E$ , es decir, la dimensión de $E (x)$ como una $E$ -espacio vectorial, es igual al grado mínimo $n$ tal que existe una ecuación polinomial que involucra $x$ , como arriba. Si este grado es $n$ , entonces los elementos de $E (x)$ tienen la forma

{displaystyle sum _{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k}, a_{k}in E.}

Por ejemplo, el campo $Q (i)$ de los racionales gaussianos es el subcampo de $C$ que consta de todos los números de la forma $a + bi$ donde tanto $a$ como $b$ son números racionales: sumandos de la forma $i 2$ (y de manera similar para exponentes más altos) no tiene que considerarse aquí, ya que $a + bi + ci 2$ se puede simplificar a a − c + bi.

Bases de trascendencia

El campo de fracciones racionales antes mencionado $E (X)$ , donde $X$ es un indeterminado, no es una extensión algebraica de $E$ ya que no hay una ecuación polinomial con coeficientes en $E$ cuyo cero es $X$ . Los elementos, como $X$ , que no son algebraicos, se denominan trascendentales. Informalmente hablando, el indeterminado $X$ y sus poderes no interactúan con elementos de $E$ . Se puede realizar una construcción similar con un conjunto de indeterminados, en lugar de uno solo.

Una vez más, la extensión de campo $E (x) / E$ discutida anteriormente es un ejemplo clave: si $x$ no es algebraico (es decir, $x$ no es una raíz de un polinomio con coeficientes en $E$ ), entonces $E (x)$ es isomorfo a $E (X)$ . Este isomorfismo se obtiene sustituyendo $x$ por $X$ en fracciones racionales.

Un subconjunto $S$ de un campo $F$ es un base de trascendencia si es algebraicamente independiente (no satisface ninguna relación polinomial) sobre $E$ y si $F$ es una extensión algebraica de $E (S)$ . Cualquier extensión de campo $F / E$ tiene una base de trascendencia. Por lo tanto, las extensiones de campo se pueden dividir en unas de la forma $E (S) / E$ (extensiones puramente trascendentales) y extensiones algebraicas.

Operaciones de cierre

Un campo es algebraicamente cerrado si no tiene extensiones algebraicas estrictamente mayores o, de manera equivalente, si alguna ecuación polinomial

f n x n + f n -1 x n -1 + \dots + f 1 x + f 0 = 0

, con coeficientes

f n,... f 0 ▪ F, n ■ 0

tiene una solución $x ∊ F$ . Por el teorema fundamental del álgebra, $C$ es algebraicamente cerrado, es decir, cualquier ecuación polinomial con coeficientes complejos tiene una solución compleja. Los números racionales y reales no son cerrados algebraicamente ya que la ecuación

x 2 + 1 = 0

no tiene ninguna solución racional o real. Un campo que contiene $F$ se denomina cierre algebraico de $F$ si es algebraico sobre $F$ (en términos generales, no demasiado grande en comparación con $F$ ) y es algebraicamente cerrado (lo suficientemente grande como para contener soluciones de todas las ecuaciones polinomiales).

Por lo anterior, $C$ es un cierre algebraico de $R . La situación en la que la clausura algebraica es una extensión finita del campo F es bastante especial: por el teorema de Artin-Schreier, el grado de esta extensión es necesariamente 2, y F es elementalmente equivalente a R . Estos campos también se conocen como campos cerrados reales.$

Cualquier campo $F$ tiene un cierre algebraico, que además es único hasta el isomorfismo (no único). Se le conoce comúnmente como el cierre algebraico y se denota $F . Por ejemplo, el cierre algebraico Q de Q se llama el campo de los números algebraicos. El campo F suele ser bastante implícito ya que su construcción requiere el lema ultrafiltro, un axioma de teoría de conjuntos que es más débil que el axioma de elección. En este sentido, el cierre algebraico de F q, es excepcionalmente simple. Es la unión de los campos finitos que contienen F q (los de orden q n). Para cualquier campo algebraicamente cerrado F de característica 0, el cierre algebraico del campo F ((t)) de la serie de Laurent es el campo de la serie de Puiseux, obtenido al unir las raíces de t .$

Campos con estructura adicional

Dado que los campos son omnipresentes en las matemáticas y más allá, se han adaptado varios refinamientos del concepto a las necesidades de áreas matemáticas particulares.

Campos ordenados

Un campo F se denomina campo ordenado si se pueden comparar dos elementos cualquiera, de modo que $x + y \geq 0$ y $xy \geq 0$ siempre que $x \geq 0$ y $y \geq 0$ . Por ejemplo, los números reales forman un campo ordenado, con el orden habitual $\geq$ . El teorema de Artin-Schreier establece que un campo puede ser ordenado si y solo si es un campo formalmente real, lo que significa que cualquier ecuación cuadrática

{displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+dots +x_{n}^{2}=0}

solo tiene la solución $x 1 = x 2 = \dots = x n = 0$ . El conjunto de todos los órdenes posibles en un campo fijo $F$ es isomorfo al conjunto de homomorfismos de anillos del anillo de Witt $W(F)$ de formas cuadráticas sobre $F$ , hasta $Z$ .

Un campo de Arquímedes es un campo ordenado tal que para cada elemento existe una expresión finita

1 + 1 + 1 + 1

cuyo valor es mayor que ese elemento, es decir, no hay infinitos elementos. De manera equivalente, el campo no contiene infinitesimales (elementos más pequeños que todos los números racionales); o, aún equivalente, el campo es isomorfo a un subcampo de $R$ .

Cada conjunto real ligado tiene un límite mínimo superior.

Un campo ordenado es Dedekind-completo si todos los límites superiores, inferiores (ver corte de Dedekind) y límites, que deberían existir, existen. Más formalmente, se requiere que cada subconjunto acotado de $F$ tenga un límite superior mínimo. Todo campo completo es necesariamente arquimediano, ya que en todo campo no arquimediano no existe ni el mayor infinitesimal ni el menor racional positivo, de donde la sucesión $1/2, 1/3, 1/4,...$ , cada elemento del cual es mayor que cada infinitesimal, no tiene límite.

Dado que cada subcampo propio de los reales también contiene estos espacios, $R$ es el único campo ordenado completo, salvo el isomorfismo. Varios resultados fundamentales en cálculo se derivan directamente de esta caracterización de los reales.

Los hiperreales $R *$ forman un campo ordenado que no es arquimediano. Es una extensión de los reales obtenidos al incluir números infinitos e infinitesimales. Estos son más grandes, respectivamente más pequeños que cualquier número real. Los hiperreales forman la base fundamental del análisis no estándar.

Campos topológicos

Otro refinamiento de la noción de campo es un campo topológico, en el que el conjunto $F$ es un espacio topológico, tal que todas las operaciones de el campo (suma, multiplicación, los mapas $a \mapsto - a$ y $a \mapsto a -1$ ) son mapas continuos con respecto a la topología del espacio.
La topología de todos los campos discutidos a continuación se induce a partir de una métrica, es decir, una función

d : F \times F \to R,

que mide una distancia entre dos elementos cualesquiera de $F$ .

La finalización de $F$ es otro campo en el que, informalmente hablando, las "brechas" en el campo original $F$ se rellenan, si los hay. Por ejemplo, cualquier número irracional $x$ , como $x = \sqrt 2$ , es un "brecha" en los racionales $Q$ en el sentido de que es un número real que puede aproximarse arbitrariamente mediante números racionales $p / q$ , en el sentido de que la distancia de $x$ y $p / q$ dado por el valor absoluto $| x - p / q |$ es tan pequeño como se desee.
La siguiente tabla enumera algunos ejemplos de esta construcción. La cuarta columna muestra un ejemplo de secuencia cero, es decir, una secuencia cuyo límite (para $n \to \infty$ ) es cero.

Campo	métrica	Terminación	secuencia cero
$Q$	$Silencio x - Sí. Silencio$ (valor absoluto ordinario)	R	$1/ n$
$Q$	obtenido utilizando la valoración p-adic, para un número primo $p$	$Q p$ (números p-adic)	$p n$
$F () t)$ () $F$ cualquier campo)	obtenido utilizando $t$ - valoración médica	$F () t)$	$t n$

El campo $Q p$ se usa en teoría de números y análisis p-ádico. El cierre algebraico $Q p$ lleva una norma única que amplía la de $Q p$ , pero no está completo. Sin embargo, la terminación de este cierre algebraico es algebraicamente cerrada. Debido a su analogía aproximada con los números complejos, a veces se le llama el campo de los números p-ádicos complejos y se denota por $C p$ .

Campos locales

Los siguientes campos topológicos se denominan campos locales:

extensiones finitas de $Q p$ (campos locales de la característica cero)
extensiones finitas de $F p () t)$ , el campo de la serie Laurent sobre $F p$ (campos locales de características $p$ ).

Estos dos tipos de campos locales comparten algunas similitudes fundamentales. En esta relación, los elementos $p \in Q p$ y $t \in F p ((t))$ (referido como uniformizador) se corresponden entre sí. La primera manifestación de esto es a nivel elemental: los elementos de ambos campos pueden expresarse como series de potencias en el uniformizador, con coeficientes en $F p$ . (Sin embargo, dado que la adición en $Q p$ se realiza mediante transporte, que no es el caso en $F p ((t))$ , estos campos no son isomorfos.) Los siguientes hechos muestran que esta similitud superficial es mucho más profunda:

Cualquier declaración de primera orden que sea verdad para casi todo $Q p$ es también cierto para casi todo $F p () t)$ . Una aplicación de esto es el teorema Ax-Kochen que describe ceros de polinomios homogéneos en $Q p$ .
Las extensiones poco ramificadas de ambos campos están en bijección entre sí.
Adjoining arbitrary $p$ - raíces de poder $p$ (en $Q p$ ), respectivamente de $t$ (en $F p () t)$ ), rendimientos (infinito) extensiones de estos campos conocidos como campos perfectos. Strikingly, los grupos Galois de estos dos campos son isomorfos, que es el primer vistazo de un paralelo notable entre estos dos campos: ${displaystyle operatorname {Gal} left(mathbf {Q} _{p}left(p^{1/p^{infty }}right)right)cong operatorname {Gal} left(mathbf {F} _{p}((t))left(t^{1/p^{infty }}right)right).}$

Campos diferenciales

Los campos diferenciales son campos equipados con una derivación, es decir, permiten tomar derivadas de elementos en el campo. Por ejemplo, el campo R(X), junto con la derivada estándar de polinomios forma un campo diferencial. Estos campos son fundamentales para la teoría diferencial de Galois, una variante de la teoría de Galois que trata con ecuaciones diferenciales lineales.

Teoría de Galois

La teoría de Galois estudia las extensiones algebraicas de un campo mediante el estudio de la simetría en las operaciones aritméticas de suma y multiplicación. Una noción importante en esta área es la de las extensiones finitas de Galois $F / E$ , que son, por definición, aquellas que son separables y normales. El teorema del elemento primitivo muestra que las extensiones separables finitas son necesariamente simples, es decir, de la forma

F = E [X ♪ f () X)

donde $f$ es un polinomio irreducible (como arriba). Para tal extensión, ser normal y separable significa que todos los ceros de $f$ están contenidos en $F$ y que $f$ solo tiene ceros simples. La última condición siempre se cumple si $E$ tiene la característica 0.

Para una extensión galois finita, el grupo Galois $Gal(F / E)$ es el grupo de automorfismos de campo $F$ que son triviales $E$ (i.e., the bijections $σ : F \to F$ que preservan la adición y la multiplicación y que envían elementos $E$ a sí mismos). La importancia de este grupo proviene del teorema fundamental de la teoría de Galois, que construye una correspondencia explícita entre el conjunto de subgrupos de $Gal(F / E)$ y el conjunto de extensiones intermedias de la extensión $F / E$ . Mediante esta correspondencia, las propiedades teóricas de grupo se traducen en hechos sobre campos. Por ejemplo, si el grupo Galois de una extensión Galois como arriba no es solvable (no se puede construir de grupos abelianos), entonces los ceros de $f$ no se expresa en términos de adición, multiplicación y radicales, es decir, expresiones que implican ${displaystyle {sqrt[{n}]{ }}}$ . Por ejemplo, los grupos simétricos $S n$ no es solvable para $n \geq 5$ . En consecuencia, como puede verse, los ceros de los siguientes polinomios no son expresables por sumas, productos y radicales. Para este último polinomio, este hecho se conoce como el teorema Abel-Ruffini:

f () X) X 5 - 4 X + 2

(y)

E = Q

f () X) X n + a n -1 X n -1 + \dots + a 0

(donde)

f

es considerado como un polinomio en

E () a 0,... a n -1)

, para algunos indeterminados

a i

E

es cualquier campo, y

n \geq 5

El producto tensorial de campos no suele ser un campo. Por ejemplo, una extensión finita $F / E$ de grado $n$ es una extensión de Galois si y solo si hay un isomorfismo de $F$ -álgebras

F \otimes E F . F n

Este hecho es el comienzo de la teoría de Galois de Grothendieck, una extensión de largo alcance de la teoría de Galois aplicable a objetos algebro-geométricos.

Invariantes de campos

Las invariantes básicas de un campo $F$ incluyen la característica y el grado de trascendencia de $F$ sobre su campo principal. Este último se define como el número máximo de elementos en $F$ que son algebraicamente independientes sobre el campo primo. Dos campos algebraicamente cerrados $E$ y $F$ son isomorfos precisamente si estos dos datos concuerdan. Esto implica que dos campos incontables algebraicamente cerrados de la misma cardinalidad y la misma característica son isomorfos. Por ejemplo, $Q p, C p$ y $C$ son isomorfos (pero no isomorfos como campos topológicos).

Teoría de modelos de campos

En la teoría de modelos, una rama de la lógica matemática, dos campos $E$ y $F$ se denominan elementalmente equivalentes si todos los enunciados matemáticos que son verdaderos para $E$ también lo son para $F$ y viceversa. Se requiere que las declaraciones matemáticas en cuestión sean oraciones de primer orden (que involucren 0, 1, la suma y la multiplicación). Un ejemplo típico, para $n > 0$ , n un número entero, es

φ(E)

= "cualquier polinomio de grado

n

dentro

E

tiene un cero en

E

El conjunto de dichas fórmulas para todas las $n$ expresa que $E$ es algebraicamente cerrado.
El principio de Lefschetz establece que $C$ es elementalmente equivalente a cualquier campo algebraicamente cerrado $F$ de característica cero. Además, cualquier declaración fija $φ$ se cumple en $C$ si y solo si se cumple en cualquier algebraicamente cerrado campo de característica suficientemente alta.

Si $U$ es un ultrafiltro en un conjunto $I$ , y $F i$ es un campo para cada $i$ en $I$ , el ultraproducto de la $F i$ con respecto a $U$ es un campo. se denota por

Ulim i \to F i

ya que se comporta de varias formas como límite de los campos $F i$ : El teorema de Łoś establece que cualquier enunciado de primer orden que se cumpla para todos excepto para un número finito de $F i$ , también es válido para el ultraproducto. Aplicado a la oración anterior $φ$ , esto muestra que hay un isomorfismo

{displaystyle operatorname {ulim} _{pto infty }{overline {mathbf {F} }}_{p}cong mathbf {C}.}

El teorema de Ax-Kochen mencionado anteriormente también se deriva de esto y un isomorfismo de los ultraproductos (en ambos casos sobre todos los números primos $p$ )

Ulim p Q p, p F p () t)

Además, la teoría de modelos también estudia las propiedades lógicas de varios otros tipos de campos, como campos cerrados reales o campos exponenciales (que están equipados con una función exponencial $exp: F \to F x$ ).

El grupo absoluto de Galois

Para campos que no están cerrados algebraicamente (o no cerrados separablemente), el grupo de Galois absoluto $Gal(F)$ es fundamentalmente importante: extender el En el caso de las extensiones finitas de Galois descritas anteriormente, este grupo gobierna todas las extensiones separables finitas de $F$ . Por medios elementales, se puede demostrar que el grupo $Gal(F q)$ es el Grupo Prüfer, la finalización profinita de $Z$ . Esta declaración subsume el hecho de que las únicas extensiones algebraicas de $Gal(F q)$ son los campos $Gal(F q n)$ para $n > 0$ , y que los grupos de Galois de estas extensiones finitas están dados por

Gal(F q n / F q) Z / n Z

También se conoce una descripción en términos de generadores y relaciones para los grupos de Galois de $p$ -campos numéricos ádicos (extensiones finitas de $Q p$ ).

Las representaciones de los grupos de Galois y de grupos relacionados, como el grupo de Weil, son fundamentales en muchas ramas de la aritmética, como el programa de Langlands. El estudio cohomológico de tales representaciones se realiza mediante la cohomología de Galois. Por ejemplo, el grupo de Brauer, que se define clásicamente como el grupo de F-álgebras simples centrales, puede reinterpretarse como un grupo de cohomología de Galois, a saber

Br(F) = H 2 () F, G m)

Teoría K

La teoría K de Milnor se define como

{displaystyle K_{n}^{M}(F)=F^{times }otimes cdots otimes F^{times }/leftlangle xotimes (1-x)mid xin Fsetminus {0,1}rightrangle.}

El teorema del isomorfismo del residuo normal, probado alrededor del año 2000 por Vladimir Voevodsky, relaciona esto con la cohomología de Galois por medio de un isomorfismo

{displaystyle K_{n}^{M}(F)/p=H^{n}(F,mu _{l}^{otimes n}).}

La teoría K algebraica está relacionada con el grupo de matrices invertibles con coeficientes en el campo dado. Por ejemplo, el proceso de tomar el determinante de una matriz invertible conduce a un isomorfismo K₁(F) = F^×. El teorema de Matsumoto muestra que K₂(F) concuerda con K₂^M( F). En grados superiores, la teoría K diverge de la teoría K de Milnor y sigue siendo difícil de calcular en general.

Aplicaciones

Álgebra lineal y álgebra conmutativa

Si $a \neq 0$ , entonces la ecuación

ax = b

tiene una solución única $x$ en un campo $F$ , a saber ${displaystyle x=a^{-1}b.}$ Esta consecuencia inmediata de la definición de un campo es fundamental en el álgebra lineal. Por ejemplo, es un ingrediente esencial de la eliminación gausiana y de la prueba de que cualquier espacio vectorial tiene una base.

La teoría de los módulos (la analogía de espacios vectoriales sobre anillos en lugar de campos) es mucho más complicada, porque la ecuación anterior puede tener varias o ninguna solución. En particular los sistemas de ecuaciones lineales sobre un anillo son mucho más difíciles de resolver que en el caso de los campos, incluso en el caso especialmente simple del anillo $mathbb {Z}$ de los enteros.

Campos finitos: criptografía y teoría de la codificación

La suma de tres puntos P, Q, y R sobre una curva elíptica E (rojo) es cero si hay una línea (azul) pasando por estos puntos.

Una rutina criptográfica ampliamente aplicada utiliza el hecho de que la exponenciación discreta, es decir, la computación

a n = a \cdot a \cdot \cdot a

()

n

factores, para un entero

n \geq 1

)

en un campo finito (grande) $F q$ se puede realizar mucho más eficientemente que el logaritmo discreto, que es la operación inversa, es decir, determinar la solución $n$ a una ecuación

a n = b

En la criptografía de curva elíptica, la multiplicación en un campo finito se reemplaza por la operación de sumar puntos en una curva elíptica, es decir, las soluciones de una ecuación de la forma

Sí. 2 = x 3 + ax + b

Los campos finitos también se utilizan en la teoría de la codificación y la combinatoria.

Geometría: campo de funciones

Una superficie compacta Riemann del género dos (dos empuñaduras). El género se puede leer fuera del campo de las funciones meromorfológicas en la superficie.

Funciona en un espacio topológico adecuado $X$ en un campo $k$ se puede sumar y multiplicar por puntos, por ejemplo, el producto de dos funciones se define por el producto de sus valores dentro del dominio:

() f \cdot g) x) f () x) \cdot g () x)

Esto convierte a estas funciones en un álgebra conmutativa $k$ .

Para tener un campo de funciones, se deben considerar álgebras de funciones que sean dominios integrales. En este caso, las razones de dos funciones, es decir, expresiones de la forma

{displaystyle {frac {f(x)}{g(x)}},}

forman un campo, llamado campo de funciones.

Esto ocurre en dos casos principales. Cuando $X$ es una variedad compleja $X$ . En este caso, se considera el álgebra de funciones holomorfas, es decir, funciones diferenciables complejas. Sus proporciones forman el campo de funciones meromórficas en $X$ .

El campo de función de una variedad algebraica $X$ (un objeto geométrico definido como los ceros comunes de ecuaciones polinomiales) consiste en proporciones de funciones regulares, es decir, proporciones de funciones polinómicas sobre la variedad. El campo de función del espacio $n$ -dimensional sobre un campo $k$ es $k (x 1,..., x n)$ , es decir, el campo que consta de proporciones de polinomios en $n$ indeterminados. El campo de función de $X$ es el mismo que el de cualquier subvariedad densa abierta. En otras palabras, el campo de función es insensible a la sustitución de $X$ por una subvariedad (ligeramente) más pequeña.

El campo de función es invariante bajo isomorfismo y equivalencia biracional de variedades. Por lo tanto, es una herramienta importante para el estudio de variedades algebraicas abstractas y para la clasificación de variedades algebraicas. Por ejemplo, la dimensión, que es igual al grado de trascendencia de $k (X)$ , es invariable bajo la equivalencia birracional. Para curvas (es decir, la dimensión es uno), el campo de función $k (X)$ está muy cerca de $X$ : si $X$ es suave y adecuado (el análogo de ser compacto), $X$ puede reconstruirse, hasta el isomorfismo, a partir de su campo de funciones. En una dimensión más alta, el campo de función recuerda menos, pero sigue siendo información decisiva sobre $X$ . El estudio de los campos de funciones y su significado geométrico en dimensiones superiores se conoce como geometría biracional. El programa del modelo mínimo intenta identificar las variedades algebraicas más simples (en cierto sentido preciso) con un campo funcional prescrito.

Teoría de números: campos globales

Los campos globales ocupan un lugar destacado en la teoría algebraica de números y la geometría aritmética.
Son, por definición, campos numéricos (extensiones finitas de $Q$ ) o campos de función sobre $F q$ (extensiones finitas de $F q (t)$ ). En cuanto a los campos locales, estos dos tipos de campos comparten varias características similares, aunque son de característica 0 y característica positiva, respectivamente. Esta analogía del campo de funciones puede ayudar a dar forma a las expectativas matemáticas, a menudo primero al comprender las preguntas sobre los campos de funciones y luego al tratar el caso del campo numérico. Este último suele ser más difícil. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann (abierta a partir de 2017) puede considerarse paralela a las conjeturas de Weil (probadas en 1974 por Pierre Deligne).

Las quintas raíces de la unidad forman un pentágono regular.

Los campos ciclotómicos se encuentran entre los campos numéricos más intensamente estudiados. Tienen la forma $Q (ζ n)$ , donde $ζ n$ es una primitiva $n$ -ésima raíz de unidad, es decir, un número complejo que satisface $ζ n = 1$ y $ζ m \neq 1$ para todos los $m < n$ . Dado que $n$ es un número primo regular, Kummer utilizó campos ciclotómicos para demostrar el último teorema de Fermat, que afirma la inexistencia de soluciones racionales distintas de cero. a la ecuacion

x n + Sí. n = z n

Los campos locales son completaciones de campos globales. El teorema de Ostrowski afirma que las únicas terminaciones de $Q$ , un campo global, son los campos locales $Q p$ y $R$ . El estudio de preguntas aritméticas en campos globales a veces se puede hacer mirando las preguntas correspondientes localmente. Esta técnica se denomina principio local-global. Por ejemplo, el teorema de Hasse-Minkowski reduce el problema de encontrar soluciones racionales de ecuaciones cuadráticas a resolver estas ecuaciones en $R$ y $Q p$ , cuyas soluciones pueden describirse fácilmente.

A diferencia de los campos locales, los grupos de Galois de campos globales no se conocen. La teoría inversa de Galois estudia el problema (no resuelto) de si cualquier grupo finito es el grupo de Galois $Gal(F / Q)$ para algún campo numérico $F$ . La teoría del campo de clases describe las extensiones abelianas, es decir, aquellas con un grupo abeliano de Galois, o de manera equivalente, los grupos abelianizados de Galois de campos globales. Un enunciado clásico, el teorema de Kronecker-Weber, describe la extensión abeliana máxima $Q ab$ de $Q$ : es el campo

Q (sensible) n, n \geq 2)

obtenido por la unión de todos los primitivos $n$ - las raíces de la unidad. Jugendtraum de Kronecker pide una descripción igualmente explícita de $F ab$ de números generales $F$ . Para campos cuadráticos imaginarios, ${displaystyle F=mathbf {Q} ({sqrt {-d}})}$ , $d ■ 0$ , la teoría de la multiplicación compleja describe $F ab$ usando curvas elípticas. Para los campos de números generales, no se conoce esa descripción explícita.

Nociones relacionadas

Además de la estructura adicional que pueden tener los campos, los campos admiten varias otras nociones relacionadas. Dado que en cualquier campo 0 ≠ 1, cualquier campo tiene al menos dos elementos. No obstante, existe un concepto de campo con un elemento, que se sugiere como un límite de los campos finitos $F p$ , ya que $p$ tiende a 1. Además de los anillos de división, existen otras estructuras algebraicas más débiles relacionadas con los campos como cuasicampos, campos cercanos y semicampos.

También hay clases propias con estructura de campo, que a veces se denominan Campos, con F mayúscula. Los números surrealistas forman un Campo que contiene los reales, y sería un campo excepto por el hecho de que son una clase adecuada, no un conjunto. Los nimbers, un concepto de la teoría de juegos, también forman ese campo.

Anillos de división

El teorema de bolas peludo declara que una bola no se puede peinar. Más formalmente, no hay campo vectorial continuo en la esfera $S 2$ , que está en todas partes sin cero.

Omitir uno o varios axiomas en la definición de un campo conduce a otras estructuras algebraicas. Como se mencionó anteriormente, los anillos conmutativos satisfacen todos los axiomas de campo excepto la existencia de inversos multiplicativos. En cambio, eliminar la conmutatividad de la multiplicación conduce al concepto de un anillo de división o campo sesgado; a veces la asociatividad también se debilita. Los únicos anillos de división que son $R$ -espacios vectoriales de dimensión finita son $R$ en sí mismo, $C$ (que es un campo) y los cuaterniones $H$ (en el que la multiplicación no es conmutativa). Este resultado se conoce como el teorema de Frobenius. Los octoniones $O$ , para los cuales la multiplicación no es ni conmutativa ni asociativa, es un álgebra de división alternativa normada, pero no es un anillo de división. Este hecho fue probado utilizando métodos de topología algebraica en 1958 por Michel Kervaire, Raoul Bott y John Milnor. La inexistencia de un álgebra de división de dimensiones impares es más clásica. Se puede deducir del teorema de la bola peluda ilustrado a la derecha.

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