Historia de la geometría

La geometría (del griego antiguo: γεωμετρία; geo- "tierra", -metron "medida") surgió como el campo del conocimiento que se ocupa de las relaciones espaciales. La geometría era uno de los dos campos de las matemáticas premodernas, siendo el otro el estudio de los números (aritmética).

La geometría clásica se centró en construcciones de compás y regla. La geometría fue revolucionada por Euclides, quien introdujo el rigor matemático y el método axiomático todavía en uso hoy. Su libro, The Elements, es ampliamente considerado como el libro de texto más influyente de todos los tiempos, y fue conocido por todas las personas cultas de Occidente hasta mediados del siglo XX.

En los tiempos modernos, los conceptos geométricos se han generalizado a un alto nivel de abstracción y complejidad, y se han sometido a los métodos de cálculo y álgebra abstracta, de modo que muchas ramas modernas del campo son apenas reconocibles como descendientes de la geometría primitiva. (Consulte Áreas de matemáticas y geometría algebraica).

Geometría temprana

Los primeros comienzos registrados de la geometría se remontan a los primeros pueblos, que descubrieron triángulos obtusos en el antiguo valle del Indo (ver matemáticas de Harappa) y la antigua Babilonia (ver matemáticas babilónicas) alrededor del año 3000 a. La geometría primitiva era una colección de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer alguna necesidad práctica en topografía, construcción, astronomía y diversas artesanías. Entre estos había algunos principios sorprendentemente sofisticados, y un matemático moderno podría tener dificultades para derivar algunos de ellos sin el uso del cálculo y el álgebra. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios conocían las versiones del teorema de Pitágoras unos 1500 años antes de que Pitágoras y los Sulba Sutras de la India alrededor del 800 a. C. contuvieran las primeras declaraciones del teorema;

Geometría egipcia

Los antiguos egipcios sabían que podían aproximar el área de un círculo de la siguiente manera:Área del círculo ≈ [ (diámetro) x 8/9].

El problema 50 del papiro de Ahmes utiliza estos métodos para calcular el área de un círculo, según la regla de que el área es igual al cuadrado de 8/9 del diámetro del círculo. Esto supone que π es 4×(8/9) (o 3,160493...), con un error de poco más del 0,63 por ciento. Este valor fue ligeramente menos preciso que los cálculos de los babilonios (25/8 = 3,125, dentro del 0,53 por ciento), pero no fue superado hasta la aproximación de Arquímedes de 211875/67441 = 3,14163, que tenía un error de poco más de 1 en 10.000.

Ahmes conocía el moderno 22/7 como una aproximación de π y lo usó para dividir una hekat, hekat x 22/xx 7/22 = hekat; sin embargo, Ahmes continuó usando el valor tradicional de 256/81 para π para calcular el volumen hekat que se encuentra en un cilindro.

El problema 48 implicó el uso de un cuadrado con lado 9 unidades. Este cuadrado se cortó en una cuadrícula de 3x3. La diagonal de los cuadrados de las esquinas se usó para hacer un octágono irregular con un área de 63 unidades. Esto dio un segundo valor para π de 3.111...

Los dos problemas juntos indican un rango de valores para π entre 3.11 y 3.16.

El Problema 14 en el Papiro Matemático de Moscú da el único ejemplo antiguo para encontrar el volumen de un tronco de pirámide, describiendo la fórmula correcta:

donde a y b son las longitudes de la base y del lado superior de la pirámide truncada y h es la altura.

Geometría babilónica

Los babilonios pueden haber conocido las reglas generales para medir áreas y volúmenes. Midieron la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo del cuadrado de la circunferencia, lo cual sería correcto si π se estimara en 3. El volumen de un cilindro se tomó como el producto de la base y la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o de una pirámide cuadrada se tomó incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases. El teorema de Pitágoras también era conocido por los babilonios. Además, hubo un descubrimiento reciente en el que una tableta usaba πcomo 3 y 1/8. Los babilonios también son conocidos por la milla babilónica, que era una medida de distancia equivalente a unas siete millas en la actualidad. Esta medida de distancias finalmente se convirtió en una milla de tiempo utilizada para medir el viaje del Sol, por lo tanto, representando el tiempo. Ha habido descubrimientos recientes que muestran que los antiguos babilonios pueden haber descubierto la geometría astronómica casi 1400 años antes que los europeos.

Geometría védica de la India

El período védico indio tenía una tradición de geometría, expresada principalmente en la construcción de altares elaborados. Los primeros textos indios (primer milenio a. C.) sobre este tema incluyen el Satapatha Brahmana y el Śulba Sūtras.

Según (Hayashi 2005, p. 363), los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua que existe del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya lo conocían los antiguos babilonios".

La cuerda diagonal (akṣṇayā-rajju) de un (rectángulo) oblongo produce ambas, las cuales el flanco (pārśvamāni) y las <cuerdas> horizontales (tiryaṇmānī) producen por separado".

Contienen listas de ternas pitagóricas, que son casos particulares de ecuaciones diofánticas. También contienen declaraciones (que en retrospectiva sabemos que son aproximadas) sobre la cuadratura del círculo y "rodar el cuadrado".

El Baudhayana Sulba Sutra, el más conocido y antiguo de los Sulba Sutras (que data del siglo VIII o VII a. C.) contiene ejemplos de ternas pitagóricas simples, como: , , , y así como una declaración del teorema de Pitágoras para los lados de un cuadrado: "La cuerda que se estira a lo largo de la diagonal de un cuadrado produce un área del doble del tamaño del cuadrado original". También contiene el enunciado general del teorema de Pitágoras (para los lados de un rectángulo): "La cuerda estirada a lo largo de la diagonal de un rectángulo forma un área que forman juntos los lados vertical y horizontal".

Según el matemático SG Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322 escrita c. 1850 a. C. "contiene quince ternas pitagóricas con entradas bastante grandes, incluidas (13500, 12709, 18541), que es una terna primitiva, lo que indica, en particular, que había un conocimiento sofisticado sobre el tema" en Mesopotamia en 1850 a. C. "Dado que estas tablillas son anteriores al período Sulbasutras por varios siglos, teniendo en cuenta la apariencia contextual de algunos de los triples, es razonable esperar que haya habido una comprensión similar en la India". Dani continúa diciendo:

"Como el objetivo principal de los Sulvasutras era describir la construcción de altares y los principios geométricos involucrados en ellos, el tema de las ternas pitagóricas, incluso si se hubiera entendido bien, aún podría no haber aparecido en los Sulvasutras. La aparición de las ternas en los Sulvasutras es comparable a las matemáticas que uno puede encontrar en un libro de introducción a la arquitectura u otra área aplicada similar, y no correspondería directamente al conocimiento general sobre el tema en ese momento, ya que, lamentablemente, no se han encontrado otras fuentes contemporáneas. puede que nunca sea posible resolver este problema satisfactoriamente".

En total, se compusieron tres Sulba Sutras. Los dos restantes, el Manava Sulba Sutra compuesto por Manava (fl. 750-650 a. C.) y el Apastamba Sulba Sutra, compuesto por Apastamba (c. 600 a. C.), contenían resultados similares al Baudhayana Sulba Sutra.

Geometría griega

Geometría griega clásica

Para los antiguos matemáticos griegos, la geometría era la joya de la corona de sus ciencias, alcanzando una plenitud y perfección de metodología que ninguna otra rama de su conocimiento había alcanzado. Ampliaron la gama de la geometría a muchos tipos nuevos de figuras, curvas, superficies y sólidos; cambiaron su metodología de prueba y error a deducción lógica; reconocieron que la geometría estudia "formas eternas", o abstracciones, de las cuales los objetos físicos son solo aproximaciones; y desarrollaron la idea del "método axiomático", todavía en uso hoy.

Tales y Pitágoras

Tales (635-543 a. C.) de Mileto (ahora en el suroeste de Turquía), fue el primero a quien se atribuye la deducción en matemáticas. Hay cinco proposiciones geométricas para las que escribió pruebas deductivas, aunque sus pruebas no han sobrevivido. Pitágoras (582-496 a. C.) de Jonia y más tarde de Italia, entonces colonizada por los griegos, pudo haber sido alumno de Tales y viajó a Babilonia y Egipto. El teorema que lleva su nombre puede no haber sido su descubrimiento, pero probablemente fue uno de los primeros en dar una prueba deductiva de él. Reunió a un grupo de estudiantes a su alrededor para estudiar matemáticas, música y filosofía, y juntos descubrieron la mayor parte de lo que los estudiantes de secundaria aprenden hoy en sus cursos de geometría. Además, hicieron el profundo descubrimiento de las longitudes inconmensurables y los números irracionales.

Platón

Platón (427-347 aC) fue un filósofo muy estimado por los griegos. Hay una historia que había escrito sobre la entrada de su famosa escuela: "Que nadie ignorante de la geometría entre aquí". Sin embargo, la historia se considera falsa.Aunque él mismo no era matemático, sus puntos de vista sobre las matemáticas tuvieron una gran influencia. Los matemáticos aceptaron así su creencia de que la geometría no debería usar herramientas más que el compás y la regla, nunca instrumentos de medición como una regla marcada o un transportador, porque eran herramientas de un trabajador, no dignas de un erudito. Este dictamen condujo a un estudio profundo de posibles construcciones con regla y compás, y tres problemas de construcción clásicos: cómo usar estas herramientas para trisecar un ángulo, construir un cubo con el doble del volumen de un cubo dado y construir un cuadrado de igual área. a un círculo dado. Las pruebas de la imposibilidad de estas construcciones, finalmente logradas en el siglo XIX, llevaron a principios importantes sobre la estructura profunda del sistema de números reales. Aristóteles (384-322 a. C.), el mejor alumno de Platón,

Geometría helenística

Euclides

Euclides (c. 325-265 a. C.), de Alejandría, probablemente alumno de la Academia fundada por Platón, escribió un tratado en 13 libros (capítulos), titulado Los elementos de la geometría, en el que presentaba la geometría en una forma axiomática ideal, que llegó a conocerse como geometría euclidiana. El tratado no es un compendio de todo lo que los matemáticos helenísticos sabían en ese momento sobre geometría; El propio Euclides escribió ocho libros más avanzados sobre geometría. Sabemos por otras referencias que el de Euclides no fue el primer libro de texto de geometría elemental, pero fue tan superior que los demás cayeron en desuso y se perdieron. Fue llevado a la universidad de Alejandría por Ptolomeo I, rey de Egipto.

Los Elementos comenzaron con definiciones de términos, principios geométricos fundamentales (llamados axiomas o postulados) y principios cuantitativos generales (llamados nociones comunes) a partir de los cuales se podía deducir lógicamente todo el resto de la geometría. Los siguientes son sus cinco axiomas, algo parafraseados para que el inglés sea más fácil de leer.

1. Dos puntos cualesquiera pueden estar unidos por una línea recta.
2. Cualquier línea recta finita se puede extender en línea recta.
3. Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si dos líneas rectas en un plano son cruzadas por otra línea recta (llamada transversal), y los ángulos interiores entre las dos líneas y la transversal que se encuentra en un lado de la transversal suman menos de dos ángulos rectos, entonces en ese lado de la transversal, las dos rectas extendidas se intersecarán (también llamado postulado de las paralelas).

Los conceptos, que ahora se entienden como álgebra, fueron expresados ​​geométricamente por Euclides, un método denominado álgebra geométrica griega.

Arquímedes

Arquímedes (287-212 a. C.), de Siracusa, Sicilia, cuando era una ciudad-estado griega, a menudo se considera el más grande de los matemáticos griegos y, en ocasiones, incluso se lo nombra como uno de los tres más grandes de todos los tiempos (junto con Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss). Si no hubiera sido matemático, aún sería recordado como un gran físico, ingeniero e inventor. En sus matemáticas, desarrolló métodos muy similares a los sistemas de coordenadas de la geometría analítica y el proceso de limitación del cálculo integral. El único elemento que faltaba para la creación de estos campos era una notación algebraica eficiente para expresar sus conceptos.

Después de Arquímedes

Después de Arquímedes, las matemáticas helenísticas comenzaron a decaer. Todavía quedaban algunas estrellas menores por venir, pero la edad de oro de la geometría había terminado. Proclo (410-485), autor del Comentario sobre el primer libro de Euclides, fue uno de los últimos actores importantes de la geometría helenística. Era un geómetra competente, pero lo que es más importante, era un excelente comentarista de las obras que le precedieron. Gran parte de ese trabajo no sobrevivió hasta los tiempos modernos, y solo lo conocemos a través de sus comentarios. La República y el Imperio Romanos que sucedieron y absorbieron a las ciudades-estado griegas produjeron excelentes ingenieros, pero no matemáticos destacados.

Posteriormente se quemó la gran Biblioteca de Alejandría. Existe un consenso cada vez mayor entre los historiadores de que la Biblioteca de Alejandría probablemente sufrió varios eventos destructivos, pero que la destrucción de los templos paganos de Alejandría a fines del siglo IV fue probablemente la más severa y final. La evidencia de esa destrucción es la más definitiva y segura. La invasión de César bien pudo haber provocado la pérdida de unos 40 000-70 000 rollos en un almacén adyacente al puerto (como argumenta Luciano Canfora, probablemente eran copias producidas por la Biblioteca destinadas a la exportación), pero es poco probable que haya afectado a la Biblioteca. o Museo, ya que existe amplia evidencia de que ambos existieron con posterioridad.

Las guerras civiles, la disminución de las inversiones en mantenimiento y adquisición de nuevos rollos y la disminución general del interés en actividades no religiosas probablemente contribuyeron a una reducción en el cuerpo de material disponible en la Biblioteca, especialmente en el siglo IV. El Serapeum ciertamente fue destruido por Teófilo en 391, y el Museo y la Biblioteca pueden haber sido víctimas de la misma campaña.

Geometría india clásica

En el manuscrito de Bakhshali, hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero". Aryabhatiya de Aryabhata (499) incluye el cálculo de áreas y volúmenes.

Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (que incluyen raíces cúbicas, fracciones, razón y proporción, y trueque) y "matemáticas prácticas" (que incluye mezcla, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de grano). En la última sección, enunció su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico:

Teorema de Brahmagupta: si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales que son perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.

El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron), así como una descripción completa de los triángulos racionales (es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).

Fórmula de Brahmagupta: El área, A, de un cuadrilátero cíclico con lados de longitud a, b, c, d, respectivamente, está dada por

donde s, el semiperímetro, dado por:

Teorema de Brahmagupta sobre triángulos racionales: Un triángulo con lados racionales y área racional es de la forma:

para algunos números racionales y .

Geometría china

El primer trabajo definitivo (o al menos el más antiguo existente) sobre geometría en China fue el Mo Jing, el canon mohista del primer filósofo Mozi (470-390 a. C.). Fue compilado años después de su muerte por sus seguidores alrededor del año 330 a.C. Aunque el Mo Jing es el libro de geometría más antiguo existente en China, existe la posibilidad de que existiera material escrito aún más antiguo. Sin embargo, debido a la infame quema de libros en una maniobra política del gobernante de la dinastía Qin, Qin Shihuang (r. 221-210 a. C.), se eliminó una gran cantidad de literatura escrita creada antes de su época. Además, el Mo Jing presenta conceptos geométricos en matemáticas que quizás son demasiado avanzados para no haber tenido una base geométrica previa o un trasfondo matemático sobre el que trabajar.

El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos asociados con la ciencia física y también proporcionó una pequeña cantidad de información sobre matemáticas. Proporcionó una definición 'atómica' del punto geométrico, afirmando que una línea se separa en partes, y la parte que no tiene partes restantes (es decir, no se puede dividir en partes más pequeñas) y, por lo tanto, forma el extremo de una línea es un punto. Al igual que las definiciones primera y tercera de Euclides y el 'comienzo de una línea' de Platón, el Mo Jing afirmó que "un punto puede estar al final (de una línea) o al comienzo como una presentación de la cabeza en el parto. (En cuanto a su invisibilidad) no hay nada parecido a eso". Similar a los atomistas de Demócrito, el Mo Jingafirmó que un punto es la unidad más pequeña y no se puede dividir por la mitad, ya que 'nada' no se puede dividir por la mitad. Afirmó que dos líneas de igual longitud siempre terminarán en el mismo lugar, al tiempo que proporciona definiciones para la comparación de longitudes y paralelos, junto con principios de espacio y espacio acotado. También describió el hecho de que los planos sin la cualidad de espesor no se pueden apilar ya que no pueden tocarse entre sí. El libro proporcionó definiciones de circunferencia, diámetro y radio, junto con la definición de volumen.

El período de la dinastía Han (202 a. C.-220 d. C.) de China fue testigo de un nuevo florecimiento de las matemáticas. Uno de los textos matemáticos chinos más antiguos que presentó progresiones geométricas fue el Suàn shù shū de 186 a. C., durante la era Han occidental. El matemático, inventor y astrónomo Zhang Heng (78-139 dC) utilizó fórmulas geométricas para resolver problemas matemáticos. Aunque se dieron estimaciones aproximadas de pi (π) en el Zhou Li (compilado en el siglo II a. C.),fue Zhang Heng quien fue el primero en hacer un esfuerzo concertado para crear una fórmula más precisa para pi. Zhang Heng calculó pi como 730/232 (o aproximadamente 3,1466), aunque utilizó otra fórmula de pi para encontrar un volumen esférico, utilizando en su lugar la raíz cuadrada de 10 (o aproximadamente 3,162). Zu Chongzhi (429-500 d. C.) mejoró la precisión de la aproximación de pi entre 3,1415926 y 3,1415927, siendo ⁄ ₁₁₃ (密率, Milü, aproximación detallada) y ⁄ ₇ (约率, Yuelü, aproximación aproximada) los otros notables aproximación. En comparación con trabajos posteriores, la fórmula para pi propuesta por el matemático francés Franciscus Vieta (1540-1603) se encontraba a mitad de camino entre las aproximaciones de Zu.

Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático

Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático, cuyo título apareció por primera vez en el año 179 d. C. en una inscripción de bronce, fue editado y comentado por el matemático del siglo III Liu Hui del Reino de Cao Wei. Este libro incluía muchos problemas en los que se aplicaba la geometría, como encontrar áreas de superficie para cuadrados y círculos, los volúmenes de sólidos en varias formas tridimensionales e incluía el uso del teorema de Pitágoras. El libro proporcionó una prueba ilustrada del teorema de Pitágoras, contenía un diálogo escrito entre el anterior duque de Zhou y Shang Gao sobre las propiedades del triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras, al tiempo que se refería al gnomon astronómico, el círculo y el cuadrado. así como medidas de alturas y distancias.El editor Liu Hui enumeró pi como 3,141014 usando un polígono de 192 lados y luego calculó pi como 3,14159 usando un polígono de 3072 lados. Esto fue más preciso que el contemporáneo de Liu Hui, Wang Fan, un matemático y astrónomo del este de Wu, representaría pi como 3.1555 usando ⁄ ₄₅. Liu Hui también escribió sobre topografía matemática para calcular medidas de distancia de profundidad, altura, ancho y área de superficie. En términos de geometría sólida, descubrió que una cuña con base rectangular y ambos lados inclinados podría dividirse en una pirámide y una cuña tetraédrica. También descubrió que se podía hacer una cuña con base trapezoidal y ambos lados inclinados para dar dos cuñas tetraédricas separadas por una pirámide.Además, Liu Hui describió el principio de volumen de Cavalieri, así como la eliminación gaussiana. De los Nueve Capítulos, enumeró las siguientes fórmulas geométricas que se conocían en la época de la antigua dinastía Han (202 a. C.-9 d. C.).

Áreas para el

Volúmenes para el

Continuando con el legado geométrico de la antigua China, hubo muchas figuras posteriores por venir, incluido el famoso astrónomo y matemático Shen Kuo (1031-1095 EC), Yang Hui (1238-1298) quien descubrió el Triángulo de Pascal, Xu Guangqi (1562-1633), y muchos otros.

Edad de oro islámica

A principios del siglo IX, floreció la "Edad de oro islámica", el establecimiento de la Casa de la Sabiduría en Bagdad marcó una tradición separada de la ciencia en el mundo islámico medieval, basándose no solo en fuentes helenísticas sino también indias.

Aunque los matemáticos islámicos son más famosos por su trabajo en álgebra, teoría de números y sistemas numéricos, también hicieron contribuciones considerables a la geometría, la trigonometría y la astronomía matemática, y fueron responsables del desarrollo de la geometría algebraica.

Al-Mahani (nacido en 820) concibió la idea de reducir problemas geométricos como duplicar el cubo a problemas de álgebra. Al-Karaji (nacido en 953) liberó completamente el álgebra de las operaciones geométricas y las reemplazó con el tipo de operaciones aritméticas que son el núcleo del álgebra actual.

Thābit ibn Qurra (conocido como Thebit en latín) (nacido en 836) contribuyó a una serie de áreas de las matemáticas, donde desempeñó un papel importante en la preparación del camino para descubrimientos matemáticos tan importantes como la extensión del concepto de número a (positivo) números reales, cálculo integral, teoremas en trigonometría esférica, geometría analítica y geometría no euclidiana. En astronomía Thabit fue uno de los primeros reformadores del sistema ptolemaico, y en mecánica fue uno de los fundadores de la estática. Un aspecto geométrico importante del trabajo de Thabit fue su libro sobre la composición de proporciones. En este libro, Thabit trata de operaciones aritméticas aplicadas a razones de cantidades geométricas. Los griegos se habían ocupado de cantidades geométricas, pero no las habían considerado como números a los que se podían aplicar las reglas habituales de la aritmética.

En algunos aspectos, Thabit es crítico con las ideas de Platón y Aristóteles, en particular con respecto al movimiento. Parecería que aquí sus ideas se basan en la aceptación del uso de argumentos relacionados con el movimiento en sus argumentos geométricos. Otra contribución importante que hizo Thabit a la geometría fue su generalización del teorema de Pitágoras, que extendió de los triángulos rectángulos especiales a todos los triángulos en general, junto con una demostración general.

Ibrahim ibn Sinan ibn Thabit (nacido en 908), quien introdujo un método de integración más general que el de Arquímedes, y al-Quhi (nacido en 940) fueron figuras destacadas en el renacimiento y continuación de la geometría superior griega en el mundo islámico. Estos matemáticos, y en particular Ibn al-Haytham, estudiaron la óptica e investigaron las propiedades ópticas de los espejos hechos de secciones cónicas.

La astronomía, el cronometraje y la geografía proporcionaron otras motivaciones para la investigación geométrica y trigonométrica. Por ejemplo, Ibrahim ibn Sinan y su abuelo Thabit ibn Qurra estudiaron las curvas requeridas en la construcción de relojes de sol. Abu'l-Wafa y Abu Nasr Mansur aplicaron la geometría esférica a la astronomía.

Un artículo de 2007 en la revista Science sugirió que las teselas girih poseían propiedades consistentes con las teselaciones cuasicristalinas fractales auto-similares como las teselaciones de Penrose.

Renacimiento

La transmisión de los clásicos griegos a la Europa medieval a través de la literatura árabe de los siglos IX al X "Edad de oro islámica" comenzó en el siglo X y culminó con las traducciones latinas del siglo XII. Enrique Aristipo (muerto en 1162) trajo a Sicilia una copia del Almagesto de Ptolomeo como regalo del emperador al rey Guillermo I (r. 1154-1166). Un estudiante anónimo de Salerno viajó a Sicilia y tradujo el Almagesto y varias obras de Euclides del griego al latín. Aunque los sicilianos generalmente traducían directamente del griego, cuando los textos griegos no estaban disponibles, traducían del árabe. Eugenio de Palermo (m. 1202) tradujo la Óptica de Ptolomeoal latín, basándose en su conocimiento de los tres idiomas en la tarea. Se volvieron a aprender los rigurosos métodos deductivos de la geometría que se encuentran en los Elementos de geometría de Euclides, y continuó el desarrollo de la geometría en los estilos de Euclides (geometría euclidiana) y Khayyam (geometría algebraica), lo que resultó en una abundancia de nuevos teoremas y conceptos, muchos de los cuales ellos muy profundos y elegantes.

En el arte renacentista de los siglos XIV y XV se produjeron avances en el tratamiento de la perspectiva que iban más allá de lo logrado en la antigüedad. En la arquitectura renacentista del Quattrocento, se exploraron conceptos de orden arquitectónico y se formularon reglas. Un excelente ejemplo es la Basílica de San Lorenzo en Florencia de Filippo Brunelleschi (1377-1446).

Cª. 1413 Filippo Brunelleschi demostró el método geométrico de perspectiva, utilizado hoy en día por los artistas, pintando los contornos de varios edificios florentinos en un espejo. Poco después, casi todos los artistas de Florencia e Italia utilizaron la perspectiva geométrica en sus pinturas, en particular Masolino da Panicale y Donatello. Melozzo da Forlì utilizó por primera vez la técnica del escorzo hacia arriba (en Roma, Loreto, Forlì y otros), y fue célebre por ello. La perspectiva no solo era una forma de mostrar la profundidad, sino que también era un nuevo método para componer una pintura. Las pinturas comenzaron a mostrar una sola escena unificada, en lugar de una combinación de varias.

Como lo demuestra la rápida proliferación de pinturas de perspectiva precisa en Florencia, Brunelleschi probablemente entendió (con la ayuda de su amigo el matemático Toscanelli), pero no publicó, las matemáticas detrás de la perspectiva. Décadas más tarde, su amigo Leon Battista Alberti escribió De pictura (1435/1436), un tratado sobre los métodos adecuados para mostrar la distancia en la pintura basado en la geometría euclidiana. Alberti también se formó en la ciencia de la óptica a través de la escuela de Padua y bajo la influencia de Biagio Pelacani da Parma, quien estudió la Óptica de Alhazen.

Piero della Francesca elaboró ​​Della Pittura en su De Prospectiva Pingendi en la década de 1470. Alberti se había limitado a figuras en el plano del suelo y dando una base general para la perspectiva. Della Francesca lo desarrolló, cubriendo explícitamente los sólidos en cualquier área del plano de la imagen. Della Francesca también inició la práctica ahora común de usar figuras ilustradas para explicar los conceptos matemáticos, lo que hizo que su tratado fuera más fácil de entender que el de Alberti. Della Francesca también fue la primera en dibujar con precisión los sólidos platónicos tal como aparecerían en perspectiva.

La perspectiva siguió siendo, durante un tiempo, dominio de Florencia. Jan van Eyck, entre otros, no pudo crear una estructura consistente para las líneas convergentes en las pinturas, como en El retrato de Arnolfini de Londres, porque desconocía el avance teórico que estaba ocurriendo en Italia en ese momento. Sin embargo, logró efectos muy sutiles mediante manipulaciones de escala en sus interiores. Gradualmente, y en parte a través del movimiento de las academias de las artes, las técnicas italianas se convirtieron en parte de la formación de artistas en toda Europa y más tarde en otras partes del mundo. La culminación de estas tradiciones renacentistas encuentra su última síntesis en las investigaciones del arquitecto, geómetra y óptico Girard Desargues sobre perspectiva, óptica y geometría proyectiva.

El Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci (c. 1490) representa a un hombre en dos posiciones superpuestas con los brazos y las piernas separados e inscrito en un círculo y un cuadrado. El dibujo se basa en las correlaciones de las proporciones humanas ideales con la geometría descritas por el antiguo arquitecto romano Vitruvio en el Libro III de su tratado De Architectura.

Geometría moderna

El siglo 17

A principios del siglo XVII, hubo dos desarrollos importantes en la geometría. La primera y más importante fue la creación de la geometría analítica, o geometría con coordenadas y ecuaciones, por parte de René Descartes (1596–1650) y Pierre de Fermat (1601–1665). Este fue un precursor necesario para el desarrollo del cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física. El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva de Girard Desargues (1591-1661). La geometría proyectiva es el estudio de la geometría sin medidas, solo el estudio de cómo los puntos se alinean entre sí. Hubo algunos trabajos tempranos en esta área por parte de geómetras helenísticos, en particular Pappus (c. 340). El mayor florecimiento del campo se produjo con Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

A finales del siglo XVII, Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) desarrollaron el cálculo de forma independiente y casi simultánea. Este fue el comienzo de un nuevo campo de las matemáticas ahora llamado análisis. Aunque en sí misma no es una rama de la geometría, es aplicable a la geometría y resolvió dos familias de problemas que durante mucho tiempo habían sido casi intratables: encontrar líneas tangentes a curvas impares y encontrar áreas encerradas por esas curvas. Los métodos de cálculo redujeron estos problemas principalmente a cuestiones sencillas de cálculo.

Los siglos XVIII y XIX

Geometría no euclidiana

El muy antiguo problema de probar el Quinto Postulado de Euclides, el "Postulado de las Paralelas", a partir de sus primeros cuatro postulados nunca se había olvidado. Comenzando no mucho después de Euclides, se dieron muchos intentos de demostración, pero luego se descubrió que todos eran defectuosos, al permitir en el razonamiento algún principio que en sí mismo no había sido probado a partir de los primeros cuatro postulados. Aunque Omar Khayyám tampoco logró probar el postulado de las paralelas, sus críticas a las teorías de las paralelas de Euclides y su prueba de las propiedades de las figuras en geometrías no euclidianas contribuyeron al eventual desarrollo de la geometría no euclidiana. Hacia 1700 se había descubierto mucho sobre lo que se puede demostrar a partir de los primeros cuatro y cuáles eran los peligros al intentar probar el quinto. Saccheri, Lambert, y Legendre hicieron un excelente trabajo sobre el problema en el siglo XVIII, pero aun así no tuvieron éxito. A principios del siglo XIX, Gauss, Johann Bolyai y Lobatchewsky, cada uno de forma independiente, adoptaron un enfoque diferente. Comenzando a sospechar que era imposible probar el postulado de las paralelas, se propusieron desarrollar una geometría autoconsistente en la que ese postulado era falso. En esto tuvieron éxito, creando así la primera geometría no euclidiana. En 1854, Bernhard Riemann, un estudiante de Gauss, había aplicado métodos de cálculo en un estudio innovador de la geometría intrínseca (autónoma) de todas las superficies lisas y, por lo tanto, encontró una geometría no euclidiana diferente. Este trabajo de Riemann luego se convirtió en fundamental para la teoría de la relatividad de Einstein. A principios del siglo XIX, Gauss, Johann Bolyai y Lobatchewsky, cada uno de forma independiente, adoptaron un enfoque diferente. Comenzando a sospechar que era imposible probar el postulado de las paralelas, se propusieron desarrollar una geometría autoconsistente en la que ese postulado era falso. En esto tuvieron éxito, creando así la primera geometría no euclidiana. En 1854, Bernhard Riemann, un estudiante de Gauss, había aplicado métodos de cálculo en un estudio innovador de la geometría intrínseca (autónoma) de todas las superficies lisas y, por lo tanto, encontró una geometría no euclidiana diferente. Este trabajo de Riemann luego se convirtió en fundamental para la teoría de la relatividad de Einstein. A principios del siglo XIX, Gauss, Johann Bolyai y Lobatchewsky, cada uno de forma independiente, adoptaron un enfoque diferente. Comenzando a sospechar que era imposible probar el postulado de las paralelas, se propusieron desarrollar una geometría autoconsistente en la que ese postulado era falso. En esto tuvieron éxito, creando así la primera geometría no euclidiana. En 1854, Bernhard Riemann, un estudiante de Gauss, había aplicado métodos de cálculo en un estudio innovador de la geometría intrínseca (autónoma) de todas las superficies lisas y, por lo tanto, encontró una geometría no euclidiana diferente. Este trabajo de Riemann luego se convirtió en fundamental para la teoría de la relatividad de Einstein. se propusieron desarrollar una geometría autoconsistente en la que ese postulado era falso. En esto tuvieron éxito, creando así la primera geometría no euclidiana. En 1854, Bernhard Riemann, un estudiante de Gauss, había aplicado métodos de cálculo en un estudio innovador de la geometría intrínseca (autónoma) de todas las superficies lisas y, por lo tanto, encontró una geometría no euclidiana diferente. Este trabajo de Riemann luego se convirtió en fundamental para la teoría de la relatividad de Einstein. se propusieron desarrollar una geometría autoconsistente en la que ese postulado era falso. En esto tuvieron éxito, creando así la primera geometría no euclidiana. En 1854, Bernhard Riemann, un estudiante de Gauss, había aplicado métodos de cálculo en un estudio innovador de la geometría intrínseca (autónoma) de todas las superficies lisas y, por lo tanto, encontró una geometría no euclidiana diferente. Este trabajo de Riemann luego se convirtió en fundamental para la teoría de la relatividad de Einstein.

Quedaba por demostrar matemáticamente que la geometría no euclidiana era tan autoconsistente como la geometría euclidiana, y Beltrami lo logró por primera vez en 1868. Con esto, la geometría no euclidiana se estableció en igualdad de condiciones matemáticas con la geometría euclidiana.

Si bien ahora se sabía que diferentes teorías geométricas eran matemáticamente posibles, la pregunta seguía siendo: "¿Cuál de estas teorías es la correcta para nuestro espacio físico?" El trabajo matemático reveló que esta pregunta debe ser respondida por experimentación física, no por razonamiento matemático, y descubrió la razón por la cual la experimentación debe involucrar distancias inmensas (interestelares, no terrestres). Con el desarrollo de la teoría de la relatividad en la física, esta pregunta se volvió mucho más complicada.

Introducción del rigor matemático

Todo el trabajo relacionado con el Postulado de las Paralelas reveló que era bastante difícil para un geómetra separar su razonamiento lógico de su comprensión intuitiva del espacio físico y, además, reveló la importancia crítica de hacerlo. Un examen cuidadoso había descubierto algunas insuficiencias lógicas en el razonamiento de Euclides y algunos principios geométricos no declarados a los que Euclides apelaba a veces. Esta crítica fue paralela a la crisis que se produjo en el cálculo y el análisis con respecto al significado de procesos infinitos como la convergencia y la continuidad. En geometría, había una clara necesidad de un nuevo conjunto de axiomas, que fuera completo y que de ninguna manera dependiera de imágenes que dibujáramos o de nuestra intuición del espacio. Tales axiomas, ahora conocidos como axiomas de Hilbert, fueron presentados por David Hilbert en 1894 en su disertación.Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de Geometría). Algunos otros conjuntos completos de axiomas se habían dado unos años antes, pero no coincidían con los de Hilbert en economía, elegancia y similitud con los axiomas de Euclides.

Análisis situs, o topología

A mediados del siglo XVIII, se hizo evidente que ciertas progresiones del razonamiento matemático se repetían cuando se estudiaban ideas similares en la recta numérica, en dos y en tres dimensiones. Por lo tanto, se creó el concepto general de un espacio métrico para que el razonamiento pudiera hacerse de manera más general y luego aplicarse a casos especiales. Este método de estudiar conceptos relacionados con el cálculo y el análisis llegó a conocerse como análisis situs, y más tarde como topología. Los temas importantes en este campo eran las propiedades de figuras más generales, como la conexión y los límites, en lugar de propiedades como la rectitud y la igualdad precisa de las medidas de longitud y ángulo, que habían sido el foco de atención de la geometría euclidiana y no euclidiana. La topología pronto se convirtió en un campo separado de gran importancia, en lugar de un subcampo de la geometría o el análisis.

El siglo 20

Los desarrollos en geometría algebraica incluyeron el estudio de curvas y superficies sobre campos finitos como lo demuestran los trabajos de, entre otros, André Weil, Alexander Grothendieck y Jean-Pierre Serre, así como sobre los números reales o complejos. La geometría finita en sí misma, el estudio de espacios con solo un número finito de puntos, encontró aplicaciones en la teoría de la codificación y la criptografía. Con la llegada de la computadora, nuevas disciplinas como la geometría computacional o la geometría digital tratan con algoritmos geométricos, representaciones discretas de datos geométricos, etc.