Octaedro estrellado
| Octaedro estelar | |
|---|---|
 Visto como un compuesto de dos tetrahedra regular (rojo y amarillo) | |
| Tipo | Compuesto ordinario |
| Signo de hachater | {4,3}[2{3,3} {3,4} |
| símbolos Schläfli | {{3,3}} a{4,3} ß{2,4} ßr{2,2} |
| Coxeter diagramas |    ∪      |
| núcleo de la estelación | Octahedron |
| Convex hull | Cube |
| Índice | UC4, W19 |
| Polyhedra | 2 tetrahedra |
| Caras | 8 triángulos |
| Edges | 12 |
| Vertices | 8 |
| Doble | Auto-dual |
| Grupo de simetría Coxeter group | Oh, [4,3], orden 48 D4h, [4,2], orden 16 D2h[2,2], orden 8 D3d[2]+,6], orden 12 |
| Subgroup restricting a un constitutivo | Td, [3,3], orden 24 D2d[2]+,4], orden 8 D2[2,2]+, orden 4 C3v, [3], orden 6 |
El octaedro estrellado es la única estelación del octaedro. También se la llama stella octangula (en latín, "estrella de ocho puntas"), nombre que le dio Johannes Kepler en 1609, aunque ya era conocida por geómetras anteriores. Fue representado en De Divina Proportione de Pacioli, 1509.
Es el más simple de cinco compuestos poliédricos regulares y el único compuesto regular de dos tetraedros. También es el menos denso de los compuestos poliédricos regulares, con una densidad de 2.
Puede verse como una extensión 3D del hexagrama: el hexagrama es una forma bidimensional formada a partir de dos triángulos equiláteros superpuestos, centralmente simétricos entre sí, y de la misma manera el octaedro estrellado puede formarse a partir de dos triángulos equiláteros centralmente simétricos entre sí. tetraedros superpuestos simétricos. Esto se puede generalizar a cualquier cantidad deseada de dimensiones superiores; la construcción equivalente en cuatro dimensiones es el compuesto de dos celdas de 5. También puede verse como una de las etapas en la construcción de un copo de nieve de Koch en 3D, una forma fractal formada por la unión repetida de tetraedros más pequeños a cada cara triangular de una figura más grande. La primera etapa de la construcción del copo de nieve de Koch es un único tetraedro central, y la segunda etapa, formada añadiendo cuatro tetraedros más pequeños a las caras del tetraedro central, es el octaedro estrellado.
Construcción
Las coordenadas cartesianas del octaedro estrellado son las siguientes:
El octaedro estrellado se puede construir de varias formas:
- Es una estelación del octaedro regular, compartiendo los mismos planos faciales. (Ver modelo Wenninger W19.)
 En perspectiva |  Plano de estabilización | La única estelación de un octaedro regular, con un plano estelar en amarillo. |
- También es un compuesto poliedro regular, cuando se construye como la unión de dos tetrahedra regular (un tetraedro regular y su tetraedro dual).
- Se puede obtener como un aumento del octaedro regular, añadiendo pirámides tetraedral en cada cara. En esta construcción tiene la misma topología que el sólido convexo catalán, el triakis octahedron, que tiene pirámides mucho más cortas.
- Es una facetting del cubo, compartiendo el arreglo del vértice.
- Se puede ver como un antiprisma {4/2}; con {4/2} ser un tetragrama, un compuesto de dos digones duales, y el tetraedro visto como un antiprisma digonal, esto se puede ver como un compuesto de dos antiprismos digonales.
- Se puede ver como una red de una pirámide octaedral de cuatro dimensiones, que consiste en un octaedro central rodeado de ocho tetrahedra.
 Enfrentamiento de un cubo |  Un único triángulo diagonal facetting en rojo |
Conceptos relacionados
Se puede construir un compuesto de dos tetraedros esféricos, como se ilustra.
Los dos tetraedros de la visión compuesta del octaedro estrellado son "désmicos", lo que significa que (cuando se interpreta como una línea en el espacio proyectivo) cada borde de un tetraedro cruza dos bordes opuestos del otro tetraedro. Uno de estos dos cruces es visible en el octaedro estrellado; el otro cruce ocurre en un punto en el infinito del espacio proyectivo, donde cada arista de un tetraedro cruza la arista paralela del otro tetraedro. Estos dos tetraedros se pueden completar en un sistema désmico de tres tetraedros, donde el tercer tetraedro tiene como cuatro vértices los tres puntos de cruce en el infinito y el centroide de los dos tetraedros finitos. Los mismos doce vértices del tetraedro también forman los puntos de la configuración de Reye.
Los números de stella octangula son números figurados que cuentan el número de bolas que se pueden organizar en forma de octaedro estrellado. Ellos son
- 0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990,... A007588 en el OEIS)
En la cultura popular
El octaedro estrellado aparece con varios otros poliedros y compuestos poliédricos en la impresión "Stars" de M. C. Escher, y proporciona la forma central en el Double Planetoid (1949).
El obelisco en el centro de la Plaza de Europa en Zaragoza, España, está rodeado por doce farolas octaédricas estrelladas, diseñadas para formar una versión tridimensional de la Bandera de Europa.
Algunos místicos modernos han asociado esta forma con el "merkaba", que según ellos es un "campo de energía contrarrotativo" llamado así por una antigua palabra egipcia. Sin embargo, la palabra "merkaba" en realidad es hebreo y se refiere más apropiadamente a un carro en las visiones de Ezequiel. También se ha observado con frecuencia el parecido entre esta forma y la estrella bidimensional de David.
El proyecto musical, encabezado por Joe Hawley, miembro de Tally Hall, junto con su compañero de banda Ross Federman y su compañero de banda honorario Bora Karaca, "Miracle Musical" (a menudo estilizado en su título japonés original ミラクルミュージカル, pronunciado "mi-ra-ku-ru myu-ji-ka-ru") hace múltiples referencias al octaedro estrellado como la stella octangula. La forma se muestra en el sitio web principal del proyecto, así como en la tienda de mercancías. La tercera canción de su primer y único álbum de estudio, "Hawaii: Part II", "Black Rainbows" presenta una letra cantada por Madi Diaz que simplemente dice "Stella octangula".
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