Geometría hiperbólica

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En matemáticas, la geometría hiperbólica (también llamada geometría lobachevskiana o geometría bolyai-lobachevskiana) es una geometría no euclidiana. El postulado de las paralelas de la geometría euclidiana se sustituye por:Para cualquier recta R y punto P dados que no estén en R, en el plano que contiene tanto la recta R como el punto P hay al menos dos rectas distintas que pasan por P que no se cruzan con R.

(Compare lo anterior con el axioma de Playfair, la versión moderna del postulado paralelo de Euclides).

La geometría del plano hiperbólico es también la geometría de las superficies pseudoesféricas, superficies con una curvatura gaussiana negativa constante. Las superficies de silla de montar tienen una curvatura gaussiana negativa en al menos algunas regiones, donde localmente se asemejan al plano hiperbólico.

Un uso moderno de la geometría hiperbólica se encuentra en la teoría de la relatividad especial, particularmente en el modelo de Minkowski.

Cuando los geómetras se dieron cuenta por primera vez de que estaban trabajando con algo diferente a la geometría euclidiana estándar, describieron su geometría con muchos nombres diferentes; Felix Klein finalmente le dio al tema el nombre de geometría hiperbólica para incluirlo en la secuencia ahora raramente utilizada geometría elíptica (geometría esférica), geometría parabólica (geometría euclidiana) y geometría hiperbólica. En la antigua Unión Soviética, comúnmente se le llama geometría lobachevskiana, en honor a uno de sus descubridores, el geómetra ruso Nikolai Lobachevsky.

Esta página trata principalmente sobre la geometría hiperbólica bidimensional (planar) y las diferencias y similitudes entre la geometría euclidiana y la hiperbólica. Consulte el espacio hiperbólico para obtener más información sobre la geometría hiperbólica extendida a tres y más dimensiones.

Propiedades

Relación con la geometría euclidiana

La geometría hiperbólica está más estrechamente relacionada con la geometría euclidiana de lo que parece: la única diferencia axiomática es el postulado de las paralelas. Cuando se elimina el postulado de las paralelas de la geometría euclidiana, la geometría resultante es la geometría absoluta. Hay dos tipos de geometría absoluta, euclidiana e hiperbólica. Todos los teoremas de geometría absoluta, incluidas las primeras 28 proposiciones del libro uno de los Elementos de Euclides, son válidos en geometría euclidiana e hiperbólica. Las proposiciones 27 y 28 del Libro Uno de los Elementos de Euclides prueban la existencia de líneas paralelas/sin intersección.

Esta diferencia también tiene muchas consecuencias: los conceptos que son equivalentes en la geometría euclidiana no lo son en la geometría hiperbólica; es necesario introducir nuevos conceptos. Además, debido al ángulo de paralelismo, la geometría hiperbólica tiene una escala absoluta, una relación entre las medidas de distancia y ángulo.

Líneas

Las líneas simples en geometría hiperbólica tienen exactamente las mismas propiedades que las líneas rectas simples en geometría euclidiana. Por ejemplo, dos puntos definen de forma única una línea y los segmentos de línea se pueden extender infinitamente.

Dos líneas que se intersecan tienen las mismas propiedades que dos líneas que se intersecan en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dos líneas distintas pueden intersecarse en no más de un punto, las líneas que se intersecan forman ángulos opuestos iguales y los ángulos adyacentes de las líneas que se intersecan son suplementarios.

Cuando se introduce una tercera línea, puede haber propiedades de las líneas que se intersecan que difieren de las líneas que se intersecan en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dadas dos líneas que se intersecan, hay un número infinito de líneas que no se intersecan con ninguna de las líneas dadas.

Todas estas propiedades son independientes del modelo utilizado, incluso si las líneas pueden parecer radicalmente diferentes.

Líneas que no se cruzan/paralelas

Las líneas que no se intersecan en la geometría hiperbólica también tienen propiedades que difieren de las líneas que no se intersecan en la geometría euclidiana:Para cualquier línea R y cualquier punto P que no se encuentre en R, en el plano que contiene la línea R y el punto P hay al menos dos líneas distintas a través de P que no intersecan a R.

Esto implica que hay a través de P un número infinito de líneas coplanares que no intersecan a R.

Estas líneas que no se cruzan se dividen en dos clases:

Dos de las líneas (x e y en el diagrama) son paralelas límite (a veces llamadas críticamente paralelas, horoparalelas o simplemente paralelas): hay una en la dirección de cada uno de los puntos ideales en los "extremos" de R, acercándose asintóticamente a R, siempre acercándose a R, pero nunca encontrándolo.
Todas las demás líneas que no se cortan tienen un punto de distancia mínima y divergen de ambos lados de ese punto, y se llaman ultraparalelas, paralelas divergentes o, a veces , no se cortan.

Algunos geómetras simplemente usan la frase " líneas paralelas " para referirse a "líneas paralelas limitantes ", y las líneas ultraparalelas significan simplemente que no se intersecan.

Estos paralelos limitantes forman un ángulo θ con PB; este ángulo depende únicamente de la curvatura gaussiana del plano y de la distancia PB y se denomina ángulo de paralelismo.

Para las líneas ultraparalelas, el teorema de las ultraparalelas establece que existe una única línea en el plano hiperbólico que es perpendicular a cada par de líneas ultraparalelas.

Círculos y discos

En geometría hiperbólica, la circunferencia de un círculo de radio r es mayor que $2pi r$ .

Sea $R={frac{1}{sqrt {-K}}}$ , donde $k$ es la curvatura gaussiana del plano. En geometría hiperbólica, $k$ es negativo, por lo que la raíz cuadrada es de un número positivo.

Entonces la circunferencia de un círculo de radio r es igual a: $2pi Rsinh {frac {r}{R}},.$

Y el área del disco encerrado es: ${displaystyle 4pi R^{2}sinh ^{2}{frac {r}{2R}}=2pi R^{2}left(cosh {frac {r}{R} }-1derecha),.}$

Por lo tanto, en la geometría hiperbólica, la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio siempre es estrictamente mayor que $2pi$ , aunque se puede acercar arbitrariamente seleccionando un círculo lo suficientemente pequeño.

Si la curvatura gaussiana del plano es −1, entonces la curvatura geodésica de un círculo de radio r es: ${displaystyle {frac{1}{tanh(r)}}}$

Hiperciclos y horociclos

En geometría hiperbólica, no existe una línea cuyos puntos sean todos equidistantes de otra línea. En cambio, los puntos que tienen la misma distancia ortogonal desde una línea dada se encuentran en una curva llamada hiperciclo.

Otra curva especial es el horociclo, una curva cuyos radios normales (líneas perpendiculares) son todas paralelas limitantes entre sí (todas convergen asintóticamente en una dirección hacia el mismo punto ideal, el centro del horociclo).

Por cada par de puntos hay dos horociclos. Los centros de los horociclos son los puntos ideales de la bisectriz perpendicular del segmento de línea entre ellos.

Dados tres puntos distintos, todos se encuentran en una línea, hiperciclo, horociclo o círculo.

La longitud del segmento de línea es la longitud más corta entre dos puntos. La longitud del arco de un hiperciclo que conecta dos puntos es más larga que la del segmento de línea y más corta que la de un horociclo que conecta los mismos dos puntos. La longitud del arco de ambos horociclos que conectan dos puntos son iguales. La longitud del arco de un círculo entre dos puntos es mayor que la longitud del arco de un horociclo que conecta dos puntos.

Si la curvatura gaussiana del plano es −1, entonces la curvatura geodésica de un horociclo es 1 y la de un hiperciclo está entre 0 y 1.

Triangulos

A diferencia de los triángulos euclidianos, donde los ángulos siempre suman π radianes (180°, un ángulo recto), en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de un triángulo hiperbólico siempre es estrictamente menor que π radianes (180°, un ángulo recto). La diferencia se denomina defecto.

El área de un triángulo hiperbólico viene dada por su defecto en radianes multiplicado por R. Como consecuencia, todos los triángulos hiperbólicos tienen un área menor o igual a R π. El área de un triángulo ideal hiperbólico en el que los tres ángulos son 0° es igual a este máximo.

Como en la geometría euclidiana, cada triángulo hiperbólico tiene una circunferencia inscrita. En geometría hiperbólica, si los tres vértices se encuentran en un horociclo o hiperciclo, entonces el triángulo no tiene un círculo circunscrito.

Al igual que en la geometría esférica y elíptica, en la geometría hiperbólica si dos triángulos son semejantes, deben ser congruentes.

Apeirogón regular

Un polígono especial en geometría hiperbólica es el apeirogon regular, un polígono uniforme con un número infinito de lados.

En la geometría euclidiana, la única forma de construir un polígono de este tipo es hacer que las longitudes de los lados tiendan a cero y el apeirógono sea indistinguible de un círculo, o hacer que los ángulos interiores tiendan a 180 grados y el apeirógono se acerque a una línea recta.

Sin embargo, en geometría hiperbólica, un apeirogon regular tiene lados de cualquier longitud (es decir, sigue siendo un polígono).

Las bisectrices del lado y del ángulo, dependiendo de la longitud del lado y del ángulo entre los lados, serán paralelas limitantes o divergentes (ver líneas arriba). Si las bisectrices son paralelas limitantes, el apeirogon puede estar inscrito y circunscrito por horociclos concéntricos.

Si las bisectrices divergen paralelas, entonces se puede inscribir un seudágono (claramente diferente de un apeirogon) en hiperciclos (todos los vértices están a la misma distancia de una línea, el eje, también el punto medio de los segmentos laterales son todos equidistantes al mismo eje.)

Teselados

Al igual que el plano euclidiano, también es posible teselar el plano hiperbólico con polígonos regulares como caras.

Hay un número infinito de mosaicos uniformes basados en los triángulos de Schwarz (p q r) donde 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1, donde p, q, r son órdenes de simetría de reflexión en tres puntos de la triángulo de dominio fundamental, el grupo de simetría es un grupo de triángulos hiperbólicos. También hay infinitas teselaciones uniformes que no se pueden generar a partir de triángulos de Schwarz, algunas, por ejemplo, requieren cuadriláteros como dominios fundamentales.

Curvatura gaussiana estandarizada

Aunque la geometría hiperbólica se aplica a cualquier superficie con una curvatura gaussiana negativa constante, es habitual suponer una escala en la que la curvatura K es −1.

Esto da como resultado que algunas fórmulas se vuelvan más simples. Algunos ejemplos son:

El área de un triángulo es igual a su defecto angular en radianes.
El área de un sector horocíclico es igual a la longitud de su arco horocíclico.
Un arco de un horociclo tal que una línea que es tangente en un extremo limita paralela al radio que pasa por el otro extremo tiene una longitud de 1.
La relación de las longitudes de arco entre dos radios de dos horociclos concéntricos donde los horociclos están separados por una distancia de 1 es e : 1.

Sistemas de coordenadas de tipo cartesiano

En geometría hiperbólica, la suma de los ángulos de un cuadrilátero es siempre menor que 360 grados, y los rectángulos hiperbólicos difieren mucho de los rectángulos euclidianos ya que no hay líneas equidistantes, por lo que un rectángulo euclidiano adecuado debería estar encerrado por dos líneas y dos hiperciclos.. Todos estos complican los sistemas de coordenadas.

Sin embargo, existen diferentes sistemas de coordenadas para la geometría del plano hiperbólico. Todos se basan en elegir un punto (el origen) en una línea dirigida elegida (el eje x) y después de eso existen muchas opciones.

Las coordenadas x e y de Lobachevski se encuentran colocando una perpendicular sobre el eje x. x será la etiqueta del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado desde su pie (positiva de un lado y negativa del otro).

Otro sistema de coordenadas mide la distancia desde el punto hasta el horociclo a través del origen centrado alrededor $(0,+infty)$ y la longitud a lo largo de este horociclo.

Otros sistemas de coordenadas utilizan el modelo de Klein o el modelo de disco de Poincaré que se describe a continuación y toman las coordenadas euclidianas como hiperbólicas.

Distancia

Un sistema de coordenadas de tipo cartesiano (x, y) en el plano hiperbólico orientado se construye de la siguiente manera. Elija una línea en el plano hiperbólico junto con una orientación y un origen o en esta línea. Después:

la coordenada x de un punto es la distancia con signo de su proyección sobre la línea (el pie del segmento perpendicular a la línea desde ese punto) hasta el origen;
la coordenada y es la distancia con signo desde el punto hasta la línea, con el signo según si el punto está en el lado positivo o negativo de la línea orientada.

La distancia entre dos puntos representados por (x_i, y_i), i=1,2 en este sistema de coordenadas es

{displaystyle operatorname {dist} (langle x_{1},y_{1}rangle,langle x_{2},y_{2}rangle)=operatorname {arcosh} left(cosh y_{ 1}cosh(x_{2}-x_{1})cosh y_{2}-sinh y_{1}sinh y_{2}right),.}

Esta fórmula se puede derivar de las fórmulas sobre triángulos hiperbólicos.

El campo tensor métrico correspondiente es: $(mathrm {d} s)^{2}=cosh ^{2}y,(mathrm {d} x)^{2}+(mathrm {d} y)^{2}$ .

En este sistema de coordenadas, las líneas rectas toman una de estas formas ((x, y) es un punto en la línea; x ₀, y ₀, A y α son parámetros):

ultraparalelo al eje x ${ estilo de visualización tanh (y) = tanh (y_ {0}) cosh (x-x_ {0})}$

asintóticamente paralelo en el lado negativo ${ estilo de visualización tanh (y) = A exp (x)}$

asintóticamente paralelo en el lado positivo ${ estilo de visualización tanh (y) = A exp (-x)}$

intersectando perpendicularmente $x = x_0$

intersectando en un ángulo α ${displaystyle tanh(y)=tan(alpha)sinh(x-x_{0})}$

Generalmente, estas ecuaciones solo se mantendrán en un dominio acotado (de valores x). En el borde de ese dominio, el valor de y se dispara hasta ±infinito.

Historia

Desde la publicación de los Elementos de Euclides alrededor del año 300 a. C., muchos geómetras intentaron probar el postulado de las paralelas. Algunos trataron de demostrarlo asumiendo su negación y tratando de derivar una contradicción. Los más destacados fueron Proclo, Ibn al-Haytham (Alhacen), Omar Khayyám, Nasīr al-Dīn al-Tūsī, Witelo, Gersonides, Alfonso y, más tarde, Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Johann Heinrich Lambert y Legendre. Sus intentos estaban condenados al fracaso (como ahora sabemos, el postulado de las paralelas no es demostrable a partir de los otros postulados), pero sus esfuerzos condujeron al descubrimiento de la geometría hiperbólica.

Los teoremas de Alhacen, Khayyam y al-Tūsī sobre cuadriláteros, incluido el cuadrilátero de Ibn al-Haytham-Lambert y el cuadrilátero de Khayyam-Saccheri, fueron los primeros teoremas sobre geometría hiperbólica. Sus trabajos sobre geometría hiperbólica tuvieron una influencia considerable en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, incluidos Witelo, Gersonides, Alfonso, John Wallis y Saccheri.

En el siglo XVIII, Johann Heinrich Lambert introdujo las funciones hiperbólicas y calculó el área de un triángulo hiperbólico.

Desarrollos del siglo XIX

En el siglo XIX, Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai, Carl Friedrich Gauss y Franz Taurinus exploraron ampliamente la geometría hiperbólica. A diferencia de sus predecesores, que solo querían eliminar el postulado de las paralelas de los axiomas de la geometría euclidiana, estos autores se dieron cuenta de que habían descubierto una nueva geometría. Gauss escribió en una carta de 1824 a Franz Taurinus que él lo había construido, pero Gauss no publicó su trabajo. Gauss lo llamó "geometría no euclidiana".haciendo que varios autores modernos sigan considerando que la "geometría no euclidiana" y la "geometría hiperbólica" son sinónimos. Taurinus publicó resultados sobre trigonometría hiperbólica en 1826, argumentó que la geometría hiperbólica es autoconsistente, pero aún creía en el papel especial de la geometría euclidiana. El sistema completo de geometría hiperbólica fue publicado por Lobachevsky en 1829/1830, mientras que Bolyai lo descubrió de forma independiente y lo publicó en 1832.

En 1868, Eugenio Beltrami proporcionó modelos (ver más abajo) de geometría hiperbólica y los utilizó para demostrar que la geometría hiperbólica era consistente si y solo si lo era la geometría euclidiana.

El término "geometría hiperbólica" fue introducido por Felix Klein en 1871. Klein siguió una iniciativa de Arthur Cayley de utilizar las transformaciones de la geometría proyectiva para producir isometrías. La idea usaba una sección cónica o cuádrica para definir una región y usaba una relación cruzada para definir una métrica. Las transformaciones proyectivas que dejan estable la sección cónica o cuádrica son las isometrías. "Klein demostró que si el absoluto de Cayley es una curva real, entonces la parte del plano proyectivo en su interior es isométrica al plano hiperbólico..."

Para obtener más información, consulte el artículo sobre geometría no euclidiana y las referencias Coxeter y Milnor.

Consecuencias filosóficas

El descubrimiento de la geometría hiperbólica tuvo importantes consecuencias filosóficas. Antes de su descubrimiento, muchos filósofos (por ejemplo, Hobbes y Spinoza) vieron el rigor filosófico en términos del "método geométrico", refiriéndose al método de razonamiento utilizado en los Elementos de Euclides.

Kant en la Crítica de la razón pura llegó a la conclusión de que el espacio (en la geometría euclidiana) y el tiempo no son descubiertos por los humanos como características objetivas del mundo, sino que son parte de un marco sistemático inevitable para organizar nuestras experiencias.

Se dice que Gauss no publicó nada sobre geometría hiperbólica por miedo al "alboroto de los beocios", que arruinaría su condición de princeps mathematicorum (en latín, "el príncipe de los matemáticos"). El "alboroto de los beocios" vino y se fue, e impulsó grandes avances en el rigor matemático, la filosofía analítica y la lógica. La geometría hiperbólica finalmente demostró ser consistente y, por lo tanto, es otra geometría válida.

Geometría del universo (solo dimensiones espaciales)

Debido a que la geometría euclidiana, hiperbólica y elíptica son todas consistentes, surge la pregunta: ¿cuál es la verdadera geometría del espacio, y si es hiperbólica o elíptica, cuál es su curvatura?

Lobachevsky ya había intentado medir la curvatura del universo midiendo la paralaje de Sirio y tratando a Sirio como el punto ideal de un ángulo de paralelismo. Se dio cuenta de que sus medidas no eran lo suficientemente precisas para dar una respuesta definitiva, pero llegó a la conclusión de que si la geometría del universo es hiperbólica, entonces la longitud absoluta es al menos un millón de veces el diámetro de la órbita terrestre (2 000 000 AU, 10 parsec). Algunos argumentan que sus mediciones fueron metodológicamente defectuosas.

Henri Poincaré, con su experimento mental esfera-mundo, llegó a la conclusión de que la experiencia cotidiana no descarta necesariamente otras geometrías.

La conjetura de la geometrización da una lista completa de ocho posibilidades para la geometría fundamental de nuestro espacio. El problema para determinar cuál se aplica es que, para llegar a una respuesta definitiva, debemos poder observar formas extremadamente grandes, mucho más grandes que cualquier cosa en la Tierra o quizás incluso en nuestra galaxia.

Geometría del universo (relatividad especial)

La relatividad especial coloca el espacio y el tiempo en pie de igualdad, de modo que uno considera la geometría de un espacio-tiempo unificado en lugar de considerar el espacio y el tiempo por separado. La geometría de Minkowski reemplaza a la geometría galileana (que es el espacio euclidiano tridimensional con el tiempo de la relatividad galileana).

En relatividad, en lugar de considerar geometrías euclidianas, elípticas e hiperbólicas, las geometrías apropiadas a considerar son el espacio de Minkowski, el espacio de Sitter y el espacio anti-de Sitter, correspondientes a la curvatura cero, positiva y negativa respectivamente.

La geometría hiperbólica entra en la relatividad especial a través de la rapidez, que representa la velocidad, y se expresa mediante un ángulo hiperbólico. El estudio de esta geometría de la velocidad se ha denominado geometría cinemática. El espacio de velocidades relativistas tiene una geometría hiperbólica tridimensional, donde la función distancia se determina a partir de las velocidades relativas de los puntos "cercanos" (velocidades).

Realizaciones físicas del plano hiperbólico.

El plano hiperbólico es un plano donde cada punto es un punto silla. Existen varias pseudoesferas en el espacio euclidiano que tienen un área finita de curvatura gaussiana negativa constante.

Según el teorema de Hilbert, no es posible sumergir isométricamente un plano hiperbólico completo (una superficie regular completa de curvatura gaussiana negativa constante) en un espacio euclidiano tridimensional.

Existen otros modelos útiles de geometría hiperbólica en el espacio euclidiano, en los que no se conserva la métrica. Un modelo de papel particularmente conocido basado en la pseudoesfera se debe a William Thurston.

Se ha utilizado el arte del ganchillo (ver Matemáticas y artes de la fibra § Tejido y ganchillo) para demostrar planos hiperbólicos, la primera demostración de este tipo la realizó Daina Taimiņa.

En 2000, Keith Henderson hizo una demostración de un modelo de papel de fabricación rápida denominado "balón de fútbol hiperbólico" (más precisamente, un mosaico triangular truncado de orden 7).

Jeff Weeks ha puesto a disposición instrucciones sobre cómo hacer una colcha hiperbólica, diseñada por Helaman Ferguson.

Modelos del plano hiperbólico

Varias pseudoesferas (superficies con curvatura gaussiana negativa constante) se pueden incrustar en un espacio tridimensional bajo la métrica euclidiana estándar y, por lo tanto, se pueden convertir en modelos físicos tangibles. De estos, el tractoide (a menudo llamado pseudoesfera) es el más conocido; usar el tractoide como modelo del plano hiperbólico es análogo a usar un cono o cilindro como modelo del plano euclidiano. Sin embargo, el plano hiperbólico completo no se puede incrustar en el espacio euclidiano de esta manera, y varios otros modelos son más convenientes para explorar de forma abstracta la geometría hiperbólica.

Hay cuatro modelos comúnmente utilizados para la geometría hiperbólica: el modelo de Klein, el modelo de disco de Poincaré, el modelo de semiplano de Poincaré y el modelo de Lorentz o hiperboloide. Estos modelos definen un plano hiperbólico que satisface los axiomas de una geometría hiperbólica. A pesar de sus nombres, los tres primeros mencionados anteriormente fueron presentados como modelos de espacio hiperbólico por Beltrami, no por Poincaré o Klein. Todos estos modelos son extensibles a más dimensiones.

El modelo de Beltrami-Klein

El modelo de Beltrami-Klein, también conocido como modelo de disco proyectivo, modelo de disco de Klein y modelo de Klein, lleva el nombre de Eugenio Beltrami y Felix Klein.

Para las dos dimensiones este modelo utiliza el interior del círculo unitario para el plano hiperbólico completo, y las cuerdas de este círculo son las líneas hiperbólicas.

Para dimensiones mayores este modelo utiliza el interior de la bola unitaria, y las cuerdas de esta n -bola son las líneas hiperbólicas.

Este modelo tiene la ventaja de que las líneas son rectas, pero la desventaja de que los ángulos están distorsionados (el mapeo no es conforme), y además los círculos no se representan como círculos.
La distancia en este modelo es la mitad del logaritmo de la relación cruzada, que fue introducida por Arthur Cayley en geometría proyectiva.

El modelo del disco de Poincaré

El modelo de disco de Poincaré, también conocido como modelo de disco conforme, también emplea el interior del círculo unitario, pero las líneas están representadas por arcos de círculos que son ortogonales al círculo límite, más los diámetros del círculo límite.

Este modelo conserva los ángulos y, por lo tanto, es conforme. Todas las isometrías dentro de este modelo son, por lo tanto, transformaciones de Möbius.
Los círculos completamente dentro del disco siguen siendo círculos, aunque el centro euclidiano del círculo está más cerca del centro del disco que el centro hiperbólico del círculo.
Los horociclos son círculos dentro del disco que son tangentes al círculo límite, menos el punto de contacto.
Los hiperciclos son cuerdas abiertas y arcos circulares dentro del disco que terminan en el círculo límite en ángulos no ortogonales.

El modelo de semiplano de Poincaré

El modelo de semiplano de Poincaré toma la mitad del plano euclidiano, delimitada por una línea B del plano, para ser un modelo del plano hiperbólico. La línea B no está incluida en el modelo.

El plano euclidiano puede tomarse como un plano con el sistema de coordenadas cartesianas y el eje x se toma como la línea B y el semiplano es la mitad superior (y > 0) de este plano.

Las líneas hiperbólicas son entonces semicírculos ortogonales a B o rayos perpendiculares a B.
La longitud de un intervalo en un rayo está dada por una medida logarítmica, por lo que es invariante bajo una transformación homotética. ${displaystyle (x,y)mapsto (lambda x,lambda y),quad lambda >0.}$
Al igual que el modelo de disco de Poincaré, este modelo conserva los ángulos y, por lo tanto, es conforme. Todas las isometrías dentro de este modelo son, por lo tanto, transformaciones de Möbius del plano.
El modelo de semiplano es el límite del modelo de disco de Poincaré cuyo límite es tangente a B en el mismo punto mientras que el radio del modelo de disco tiende a infinito.

El modelo hiperboloide

El modelo hiperboloide o modelo de Lorentz emplea un hiperboloide de revolución bidimensional (de dos hojas, pero usando una) incrustado en un espacio tridimensional de Minkowski. Este modelo generalmente se acredita a Poincaré, pero Reynolds dice que Wilhelm Killing usó este modelo en 1885.

Este modelo tiene una aplicación directa a la relatividad especial, ya que el espacio tridimensional de Minkowski es un modelo para el espacio-tiempo, que suprime una dimensión espacial. Se puede tomar el hiperboloide para representar los eventos (posiciones en el espacio-tiempo) que varios observadores en movimiento inercial, a partir de un evento común, alcanzarán en un tiempo propio fijo.
La distancia hiperbólica entre dos puntos en el hiperboloide se puede identificar con la rapidez relativa entre los dos observadores correspondientes.
El modelo se generaliza directamente a una dimensión adicional: una geometría hiperbólica tridimensional hiperbólica de 3 espacios se relaciona con el 4 espacio de Minkowski.

El modelo del hemisferio

El modelo del hemisferio no suele utilizarse como modelo en sí mismo, pero funciona como una herramienta útil para visualizar las transformaciones entre los otros modelos.

El modelo de hemisferio usa la mitad superior de la esfera unitaria: ${ estilo de visualización x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.}$

Las líneas hiperbólicas son semicírculos ortogonales al límite del hemisferio.

El modelo de hemisferio es parte de una esfera de Riemann, y diferentes proyecciones dan diferentes modelos del plano hiperbólico:

La proyección estereográfica $(0,0,-1)$ sobre el plano $z=0$ proyecta los puntos correspondientes en el modelo de disco de Poincaré
La proyección estereográfica desde $(0,0,-1)$ la superficie $x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0$ proyecta los puntos correspondientes en el modelo hiperboloide
La proyección estereográfica $(-1,0,0)$ sobre el plano $x=1$ proyecta los puntos correspondientes en el modelo de semiplano de Poincaré
La proyección ortográfica sobre un plano $z=C$ proyecta puntos correspondientes en el modelo de Beltrami-Klein.
La proyección central desde el centro de la esfera sobre el plano $z=1$ proyecta los puntos correspondientes en el modelo de Gans

Ver más: Conexión entre los modelos (abajo)

El modelo de Gans

En 1966, David Gans propuso un modelo hiperboloide aplanado en la revista American Mathematical Monthly. Es una proyección ortográfica del modelo hiperboloide sobre el plano xy. Este modelo no se usa tanto como otros modelos pero, sin embargo, es muy útil para comprender la geometría hiperbólica.

A diferencia de los modelos de Klein o Poincaré, este modelo utiliza todo el plano euclidiano.
Las líneas en este modelo se representan como ramas de una hipérbola.

El modelo de la banda

El modelo de banda emplea una parte del plano euclidiano entre dos líneas paralelas. La distancia se conserva a lo largo de una línea a través del medio de la banda. Suponiendo que la banda está dada por ${displaystyle {zin mathbb {C}:|operatorname {Im} z|<pi /2}}$ , la métrica está dada por ${displaystyle |dz|sec(operatorname {Im} z)}$ .

Conexión entre los modelos

Todos los modelos describen esencialmente la misma estructura. La diferencia entre ellos es que representan diferentes gráficos de coordenadas establecidos en el mismo espacio métrico, a saber, el plano hiperbólico. El rasgo característico del propio plano hiperbólico es que tiene una curvatura gaussiana negativa constante, que es indiferente al gráfico de coordenadas utilizado. Las geodésicas son igualmente invariantes: es decir, las geodésicas se asignan a geodésicas bajo transformación de coordenadas. La geometría hiperbólica generalmente se presenta en términos de las geodésicas y sus intersecciones en el plano hiperbólico.

Una vez que elegimos un gráfico de coordenadas (uno de los "modelos"), siempre podemos incrustarlo en un espacio euclidiano de la misma dimensión, pero la incrustación claramente no es isométrica (ya que la curvatura del espacio euclidiano es 0). El espacio hiperbólico se puede representar mediante infinitas cartas diferentes; pero las incrustaciones en el espacio euclidiano debidas a estas cuatro cartas específicas muestran algunas características interesantes.

Dado que los cuatro modelos describen el mismo espacio métrico, cada uno puede transformarse en el otro.

Véase, por ejemplo:

la relación del modelo de Beltrami-Klein con el modelo hiperboloide,
la relación del modelo de Beltrami-Klein con el modelo de disco de Poincaré,
y la relación del modelo de disco de Poincaré con el modelo hiperboloide.

Isometrías del plano hiperbólico

Toda isometría (transformación o movimiento) del plano hiperbólico consigo mismo puede realizarse como la composición de a lo sumo tres reflejos. En un espacio hiperbólico de n dimensiones, pueden ser necesarias hasta n +1 reflexiones. (Esto también es cierto para las geometrías euclidiana y esférica, pero la clasificación a continuación es diferente).

Todas las isometrías del plano hiperbólico se pueden clasificar en estas clases:

Conservación de la orientación
- la isometría de identidad: nada se mueve; cero reflejos; cero grados de libertad.
- inversión a través de un punto (media vuelta) — dos reflexiones a través de líneas perpendiculares entre sí que pasan por el punto dado, es decir, una rotación de 180 grados alrededor del punto; dos grados de libertad.
- rotación alrededor de un punto normal: dos reflexiones a través de líneas que pasan por el punto dado (incluye la inversión como caso especial); los puntos se mueven en círculos alrededor del centro; tres grados de libertad.
- "rotación" alrededor de un punto ideal (horolación): dos reflejos a través de líneas que conducen al punto ideal; los puntos se mueven a lo largo de horociclos centrados en el punto ideal; dos grados de libertad.
- traslación a lo largo de una línea recta — dos reflexiones a través de líneas perpendiculares a la línea dada; los puntos fuera de la línea dada se mueven a lo largo de hiperciclos; tres grados de libertad.
Inversión de orientación
- reflexión a través de una línea — una reflexión; dos grados de libertad.
- reflexión combinada a través de una línea y traducción a lo largo de la misma línea: el intercambio de reflexión y traducción; se requieren tres reflexiones; tres grados de libertad.

Geometría hiperbólica en el arte

Los famosos grabados de MC Escher Circle Limit III y Circle Limit IV ilustran bastante bien el modelo de disco conforme (modelo de disco de Poincaré). Las líneas blancas en III no son del todo geodésicas (son hiperciclos), pero están cerca de ellas. También es posible ver claramente la curvatura negativa del plano hiperbólico, a través de su efecto sobre la suma de los ángulos en triángulos y cuadrados.

Por ejemplo, en Circle Limit III cada vértice pertenece a tres triángulos y tres cuadrados. En el plano euclidiano, sus ángulos sumarían 450°; es decir, un círculo y un cuarto. De esto, vemos que la suma de los ángulos de un triángulo en el plano hiperbólico debe ser menor que 180°. Otra propiedad visible es el crecimiento exponencial. En Circle Limit III, por ejemplo, se puede ver que el número de peces dentro de una distancia de n desde el centro aumenta exponencialmente. Los peces tienen un área hiperbólica igual, por lo que el área de una bola de radio n debe crecer exponencialmente en n.

El arte del ganchillo se ha utilizado para demostrar planos hiperbólicos (en la foto de arriba), siendo el primero realizado por Daina Taimiņa, cuyo libro Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes ganó el premio de librería/diagrama 2009 por el título más extraño del año.

HyperRogue es un juego roguelike ambientado en varios mosaicos del plano hiperbólico.

Dimensiones superiores

La geometría hiperbólica no se limita a 2 dimensiones; existe una geometría hiperbólica para cada número mayor de dimensiones.

Estructura homogénea

El espacio hiperbólico de dimensión n es un caso especial de un espacio simétrico de Riemann de tipo no compacto, ya que es isomorfo al cociente $mathrm {O} (1,n)/(mathrm {O} (1)times mathrm {O} (n)).$

El grupo ortogonal O(1, n) actúa mediante transformaciones que conservan la norma en el espacio de Minkowski R, y actúa transitivamente en el hiperboloide de dos hojas de los vectores de norma 1. Las líneas temporales (es decir, aquellas con tangentes de norma positiva) a través del origen pasan por puntos antípodas en el hiperboloide, por lo que el espacio de tales líneas produce un modelo de n -espacio hiperbólico. El estabilizador de cualquier línea en particular es isomorfo al producto de los grupos ortogonales O(n) y O(1), donde O(n) actúa sobre el espacio tangente de un punto en el hiperboloide, y O(1) refleja la línea que pasa por el origen. Muchos de los conceptos elementales de la geometría hiperbólica se pueden describir en términos algebraicos lineales: las trayectorias geodésicas se describen mediante intersecciones con planos que pasan por el origen, los ángulos diédricos entre hiperplanos se pueden describir mediante productos internos de vectores normales y los grupos de reflexión hiperbólica se pueden describir explícitamente. realizaciones matriciales.

En pequeñas dimensiones, existen isomorfismos excepcionales de grupos de Lie que brindan formas adicionales de considerar simetrías de espacios hiperbólicos. Por ejemplo, en la dimensión 2, los isomorfismos SO (1, 2) ≅ PSL(2, R) ≅ PSU(1, 1) permiten interpretar el modelo del semiplano superior como el cociente SL(2, R)/SO(2) y el modelo de disco de Poincaré como el cociente SU(1, 1)/U(1). En ambos casos, los grupos de simetría actúan por transformaciones lineales fraccionarias, ya que ambos grupos son los estabilizadores que conservan la orientación en PGL(2, C)de los respectivos subespacios de la esfera de Riemann. La transformación de Cayley no solo lleva un modelo del plano hiperbólico al otro, sino que realiza el isomorfismo de los grupos de simetría como conjugación en un grupo más grande. En la dimensión 3, la acción lineal fraccionaria de PGL(2, C) sobre la esfera de Riemann se identifica con la acción sobre el límite conforme del 3-espacio hiperbólico inducido por el isomorfismo O (1, 3) ≅ PGL(2, C). Esto permite estudiar isometrías de 3 espacios hiperbólicos al considerar las propiedades espectrales de matrices complejas representativas. Por ejemplo, las transformaciones parabólicas son conjugadas con traslaciones rígidas en el modelo del semiespacio superior, y son exactamente aquellas transformaciones que pueden representarse mediante matrices triangulares superiores unipotentes.