Geometría euclidiana

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La geometría euclidiana (euclídea o parabólica) es un sistema matemático atribuido al antiguo matemático griego Euclides, que describió en su libro de texto sobre geometría: los Elementos. El enfoque de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones (teoremas) a partir de estos. Aunque muchos de los resultados de Euclides se habían expuesto anteriormente, Euclides fue el primero en organizar estas proposiciones en un sistema lógico en el que cada resultado se prueba a partir de axiomas y teoremas previamente probados.

Los Elementos comienza con la geometría plana, todavía enseñada en la escuela secundaria (bachillerato) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostraciones matemáticas. Se pasa a la geometría sólida de tres dimensiones. Gran parte de los Elementos establece los resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números, explicados en lenguaje geométrico.

Durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque no se había concebido otro tipo de geometría. Los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado de las paralelas) que cualquier teorema demostrado a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico. Hoy, sin embargo, se conocen muchas otras geometrías no euclidianas autoconsistentes, las primeras se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí mismo no es euclidiano, y el espacio euclidiano es una buena aproximación para él solo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitatorio).

La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría sintética, ya que procede lógicamente de axiomas que describen propiedades básicas de objetos geométricos, como puntos y líneas, a proposiciones sobre esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica, introducida casi 2000 años después por René Descartes, que usa coordenadas para expresar propiedades geométricas como fórmulas algebraicas.

Los elementos

Los Elementos es principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Rápidamente se reconoció su mejora con respecto a los tratamientos anteriores, con el resultado de que hubo poco interés en conservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos.

Hay 13 libros en los Elementos:

Los libros I–IV y VI analizan la geometría plana. Se prueban muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, "En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos ángulos rectos". (Libro I proposición 17) y el teorema de Pitágoras "En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". (Libro I, proposición 47)

Los libros V y VII-X tratan de la teoría de números, y los números se tratan geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones de superficie. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales. Se demuestra que hay infinitos números primos.

Los libros XI-XIII se refieren a la geometría sólida. Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos.

Demostración del postulado del paralelo de la geometría euclidiana

Axiomas

La geometría euclidiana es un sistema axiomático, en el que todos los teoremas ("enunciados verdaderos") se derivan de un pequeño número de axiomas simples. Hasta el advenimiento de la geometría no euclidiana, estos axiomas se consideraban obviamente verdaderos en el mundo físico, por lo que todos los teoremas serían igualmente verdaderos. Sin embargo, el razonamiento de Euclides desde las suposiciones hasta las conclusiones sigue siendo válido independientemente de su realidad física.

Cerca del comienzo del primer libro de los Elementos, Euclides da cinco postulados (axiomas) para la geometría plana, establecidos en términos de construcciones (traducidos por Thomas Heath):Postúlese lo siguiente:

Para dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
Para producir (extender) una línea recta finita continuamente en una línea recta.
Describir un círculo con cualquier centro y distancia (radio).
Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
[El postulado de las paralelas]: Que, si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos rectas, si se produjeran indefinidamente, se encontrarían en el lado en que los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

Aunque Euclides explícitamente solo afirma la existencia de los objetos construidos, en su razonamiento también asume implícitamente que son únicos.

Los Elementos también incluyen las siguientes cinco "nociones comunes":

Las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí (la propiedad transitiva de una relación euclidiana).
Si se suman iguales a iguales, entonces los enteros son iguales (propiedad de la suma de la igualdad).
Si se restan iguales de iguales, entonces las diferencias son iguales (propiedad de igualdad de la resta).
Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí (propiedad reflexiva).
El todo es mayor que la parte.

Los eruditos modernos están de acuerdo en que los postulados de Euclides no brindan la base lógica completa que Euclides requería para su presentación. Los tratamientos modernos utilizan conjuntos de axiomas más extensos y completos.

Postulado paralelo

Para los antiguos, el postulado de las paralelas parecía menos obvio que los demás. Aspiraban a crear un sistema de proposiciones absolutamente ciertas y, para ellos, parecía como si el postulado de la línea paralela requiriera demostración a partir de enunciados más simples. Ahora se sabe que tal demostración es imposible ya que se pueden construir sistemas de geometría consistentes (obedeciendo los otros axiomas) en los que el postulado de las paralelas es verdadero y otros en los que es falso. El mismo Euclides parece haberlo considerado como cualitativamente diferente de los demás, como lo demuestra la organización de los Elementos: sus primeras 28 proposiciones son las que pueden probarse sin él.

Se pueden formular muchos axiomas alternativos que son lógicamente equivalentes al postulado paralelo (en el contexto de los otros axiomas). Por ejemplo, el axioma de Playfair establece:En un plano, a través de un punto que no está en una línea recta dada, a lo sumo se puede dibujar una línea que nunca se encuentra con la línea dada.

La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede demostrar a partir de los axiomas restantes que existe al menos una línea paralela.

Planteamiento del teorema de pitágoras, el más icónico postulado de la geometría euclidiana

Métodos de prueba

La geometría euclidiana es constructiva. Los postulados 1, 2, 3 y 5 afirman la existencia y unicidad de ciertas figuras geométricas, y estas afirmaciones son de naturaleza constructiva: es decir, no solo se nos dice que ciertas cosas existen, sino que también se nos dan métodos para crearlas con no más que un compás y una regla sin marcar. En este sentido, la geometría euclidiana es más concreta que muchos sistemas axiomáticos modernos como la teoría de conjuntos, que a menudo afirman la existencia de objetos sin decir cómo construirlos, o incluso afirman la existencia de objetos que no pueden construirse dentro de la teoría. En rigor, las líneas en el papel son modelosde los objetos definidos dentro del sistema formal, en lugar de instancias de esos objetos. Por ejemplo, una línea recta euclidiana no tiene ancho, pero cualquier línea real dibujada sí lo tendrá. Aunque casi todos los matemáticos modernos consideran que los métodos no constructivos son tan sólidos como los constructivos, las demostraciones constructivas de Euclides a menudo suplantaron a las no constructivas falaces, por ejemplo, algunas de las demostraciones de Pitágoras que involucraban números irracionales, que generalmente requerían una declaración como "Encuentre la medida común más grande". de..."

Euclides a menudo usaba la prueba por contradicción. La geometría euclidiana también permite el método de superposición, en el que una figura se traslada a otro punto del espacio. Por ejemplo, la proposición I.4, congruencia lado-ángulo-lado de triángulos, se prueba moviendo uno de los dos triángulos de modo que uno de sus lados coincida con el lado igual del otro triángulo, y luego demostrando que los otros lados también coinciden.. Algunos tratamientos modernos agregan un sexto postulado, la rigidez del triángulo, que puede usarse como alternativa a la superposición.

Sistema de medida y aritmética

La geometría euclidiana tiene dos tipos fundamentales de medidas: ángulo y distancia. La escala de ángulos es absoluta, y Euclides usa el ángulo recto como su unidad básica, de modo que, por ejemplo, un ángulo de 45 grados se denominaría la mitad de un ángulo recto. La escala de distancia es relativa; uno elige arbitrariamente un segmento de línea con una cierta longitud distinta de cero como unidad, y otras distancias se expresan en relación con él. La suma de distancias está representada por una construcción en la que un segmento de línea se copia en el extremo de otro segmento de línea para extender su longitud, y de manera similar para la resta.

Las medidas de área y volumen se derivan de las distancias. Por ejemplo, un rectángulo con un ancho de 3 y una longitud de 4 tiene un área que representa el producto, 12. Debido a que esta interpretación geométrica de la multiplicación estaba limitada a tres dimensiones, no había forma directa de interpretar el producto de cuatro o más. números, y Euclides evitó tales productos, aunque están implícitos, por ejemplo, en la demostración del libro IX, proposición 20.

Euclides se refiere a un par de líneas, o un par de figuras planas o sólidas, como "iguales" (ἴσος) si sus longitudes, áreas o volúmenes son iguales respectivamente, y de manera similar para los ángulos. El término más fuerte "congruente" se refiere a la idea de que una figura completa tiene el mismo tamaño y forma que otra figura. Alternativamente, dos figuras son congruentes si una se puede mover encima de la otra para que coincida exactamente. (Se permite darle la vuelta). Así, por ejemplo, un rectángulo de 2x6 y un rectángulo de 3x4 son iguales pero no congruentes, y la letra R es congruente con su imagen especular. Las figuras que serían congruentes excepto por sus diferentes tamaños se denominan similares. Los ángulos correspondientes en un par de figuras similares son congruentes y los lados correspondientes están en proporción entre sí.

Notación y terminología

Denominación de puntos y figuras.

Los puntos se nombran habitualmente usando letras mayúsculas del alfabeto. Otras figuras, como líneas, triángulos o círculos, se nombran enumerando una cantidad suficiente de puntos para seleccionarlos sin ambigüedades de la figura correspondiente, por ejemplo, el triángulo ABC normalmente sería un triángulo con vértices en los puntos A, B y C..

Ángulos complementarios y suplementarios

Los ángulos cuya suma es un ángulo recto se llaman complementarios. Los ángulos complementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que está entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto. El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.

Los ángulos cuya suma es un ángulo llano son suplementarios. Los ángulos suplementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que está entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto (ángulo de 180 grados). El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.

Versiones modernas de la notación de Euclides

En la terminología moderna, los ángulos normalmente se medirían en grados o radianes.

Los libros de texto escolares modernos a menudo definen figuras separadas llamadas líneas (infinitas), rayos (semi-infinitos) y segmentos de línea (de longitud finita). Euclides, en lugar de hablar de un rayo como un objeto que se extiende hasta el infinito en una dirección, normalmente usaría locuciones como "si la línea se extiende a una longitud suficiente", aunque ocasionalmente se refirió a "líneas infinitas". Una "línea" en Euclides podría ser recta o curva, y usó el término más específico "línea recta" cuando fue necesario.

Algunos resultados importantes o bien conocidos

El teorema de la pons asinorum o puente de asnos establece que en un triángulo isósceles, α = β y γ = δ.
El teorema de la suma de los ángulos del triángulo establece que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo, en este caso los ángulos α, β y γ, siempre será igual a 180 grados.
El teorema de Pitágoras establece que la suma de las áreas de los dos cuadrados de los catetos (a y b) de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado de la hipotenusa (c).
El teorema de Thales establece que si AC es un diámetro, entonces el ángulo en B es un ángulo recto.

Pons asinorum

El pons asinorum (puente de asnos) establece que en los triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales entre sí y, si las líneas rectas iguales se prolongan, entonces los ángulos debajo de la base son iguales entre sí. Su nombre puede atribuirse a su papel frecuente como primera prueba real en los Elementos de la inteligencia del lector y como puente hacia las proposiciones más duras que siguieron. También podría llamarse así debido a la semejanza de la figura geométrica con un puente empinado que solo un burro de paso firme podría cruzar.

Congruencia de triángulos

Los triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales (SSS), dos lados y el ángulo entre ellos iguales (SAS), o dos ángulos y un lado iguales (ASA) (Libro I, proposiciones 4, 8 y 26). Los triángulos con tres ángulos iguales (AAA) son similares, pero no necesariamente congruentes. Además, los triángulos con dos lados iguales y un ángulo adyacente no son necesariamente iguales o congruentes.

Suma de ángulos del triángulo

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo recto (180 grados). Esto hace que un triángulo equilátero tenga tres ángulos interiores de 60 grados. Además, hace que todo triángulo tenga al menos dos ángulos agudos y hasta un ángulo obtuso o recto.

Teorema de pitágoras

El célebre teorema de Pitágoras (libro I, proposición 47) establece que en cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son las dos piernas (los dos lados que se encuentran en un ángulo recto).

Teorema de Tales

El teorema de Thales, llamado así por Tales de Mileto, establece que si A, B y C son puntos en un círculo donde la línea AC es un diámetro del círculo, entonces el ángulo ABC es un ángulo recto. Cantor supuso que Tales demostró su teorema por medio de Euclid Book I, Prop. 32 a la manera de Euclid Book III, Prop. 31.

Escalado de área y volumen

En terminología moderna, el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales $Apropto L^{2}$ , y el volumen de un sólido al cubo, $Vpropto L^{3}$ . Euclides demostró estos resultados en varios casos especiales, como el área de un círculo y el volumen de un sólido paralelepípedo. Euclides determinó algunas, pero no todas, las constantes de proporcionalidad relevantes. Por ejemplo, fue su sucesor Arquímedes quien demostró que una esfera tiene 2/3 del volumen del cilindro que la circunscribe.

Aplicaciones

Debido al estatus fundamental de la geometría euclidiana en matemáticas, no es práctico dar aquí más que una muestra representativa de aplicaciones.

Un topógrafo usa un nivel
El empaque de esfera se aplica a una pila de naranjas.
Un espejo parabólico trae rayos de luz paralelos a un foco.

Como sugiere la etimología de la palabra, una de las primeras razones de interés y también uno de los usos actuales más comunes de la geometría es la topografía, y ciertos resultados prácticos de la geometría euclidiana, como la propiedad del ángulo recto del 3- 4-5 triángulo, se utilizaron mucho antes de que se demostraran formalmente. Los tipos fundamentales de medidas en la geometría euclidiana son distancias y ángulos, los cuales pueden ser medidos directamente por un topógrafo. Históricamente, las distancias a menudo se medían con cadenas, como la cadena de Gunter, y los ángulos con círculos graduados y, más tarde, con el teodolito.

Una aplicación de la geometría sólida euclidiana es la determinación de arreglos de empaquetamiento, como el problema de encontrar el empaquetamiento de esferas más eficiente en n dimensiones. Este problema tiene aplicaciones en la detección y corrección de errores.

La óptica geométrica utiliza la geometría euclidiana para analizar el enfoque de la luz por lentes y espejos.

La geometría se utiliza en el arte y la arquitectura.
La torre de agua consta de un cono, un cilindro y un hemisferio. Su volumen se puede calcular usando geometría sólida.
La geometría se puede utilizar para diseñar origami.

La geometría se utiliza ampliamente en la arquitectura.

La geometría se puede utilizar para diseñar origami. Algunos problemas de construcción clásicos de la geometría son imposibles usando regla y compás, pero pueden resolverse usando origami.

Gran parte del CAD (diseño asistido por computadora) y CAM (fabricación asistida por computadora) se basa en la geometría euclidiana. La geometría de diseño generalmente consta de formas delimitadas por planos, cilindros, conos, toros, etc. En la actualidad, CAD/CAM es esencial en el diseño de casi todo, incluidos automóviles, aviones, barcos y teléfonos inteligentes. Hace algunas décadas, los dibujantes sofisticados aprendieron algo de geometría euclidiana bastante avanzada, incluyendo cosas como el teorema de Pascal y el teorema de Brianchon. Pero ahora no tienen que hacerlo, porque todas las construcciones geométricas se realizan con programas CAD.

Como una descripción de la estructura del espacio.

Euclides creía que sus axiomas eran declaraciones evidentes sobre la realidad física. Las demostraciones de Euclides dependen de suposiciones que quizás no sean obvias en los axiomas fundamentales de Euclides, en particular que ciertos movimientos de figuras no cambian sus propiedades geométricas, como las longitudes de los lados y los ángulos interiores, los llamados movimientos euclidianos, que incluyen traslaciones, reflexiones y rotaciones. de figuras Tomado como una descripción física del espacio, el postulado 2 (extender una línea) afirma que el espacio no tiene huecos ni fronteras; el postulado 4 (igualdad de los ángulos rectos) dice que el espacio es isótropo y las figuras se pueden mover a cualquier lugar manteniendo la congruencia; y el postulado 5 (el postulado paralelo) de que el espacio es plano (no tiene curvatura intrínseca).

Como se analiza con más detalle a continuación, la teoría de la relatividad de Albert Einstein modifica significativamente este punto de vista.

El carácter ambiguo de los axiomas formulados originalmente por Euclides hace posible que diferentes comentaristas no estén de acuerdo sobre algunas de sus otras implicaciones para la estructura del espacio, como si es infinito o no (ver más abajo) y cuál es su topología. Las reformulaciones modernas y más rigurosas del sistema generalmente apuntan a una separación más clara de estos problemas. Interpretando los axiomas de Euclides en el espíritu de este enfoque más moderno, los axiomas 1 a 4 son consistentes con el espacio infinito o finito (como en la geometría elíptica), y los cinco axiomas son consistentes con una variedad de topologías (p. ej., un plano, un cilindro, o un toro para geometría euclidiana bidimensional).

Trabajo posterior

Arquímedes y Apolonio

Arquímedes (c. 287 a. C. - c. 212 a. C.), una figura colorida sobre la que se registran muchas anécdotas históricas, es recordado junto con Euclides como uno de los más grandes matemáticos antiguos. Aunque Euclides puso los cimientos de su trabajo, se cree que su trabajo, a diferencia del de Euclides, fue completamente original. Demostró ecuaciones para los volúmenes y áreas de varias figuras en dos y tres dimensiones, y enunció la propiedad de Arquímedes de los números finitos.

Apolonio de Perge (c. 262 a. C. - c. 190 a. C.) es conocido principalmente por su investigación de las secciones cónicas.

Siglo XVII: Descartes

René Descartes (1596-1650) desarrolló la geometría analítica, un método alternativo para formalizar la geometría que se centró en convertir la geometría en álgebra.

En este enfoque, un punto en un plano está representado por sus coordenadas cartesianas (x, y), una línea está representada por su ecuación, y así sucesivamente.

En el enfoque original de Euclides, el teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de Euclides. En el enfoque cartesiano, los axiomas son los axiomas del álgebra, y la ecuación que expresa el teorema de Pitágoras es entonces una definición de uno de los términos de los axiomas de Euclides, que ahora se consideran teoremas.

La ecuacion $|PQ|={raíz cuadrada {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}},$

definir la distancia entre dos puntos P = (p _x, p _y) y Q = (q _x, q _y) se conoce como la métrica euclidiana, y otras métricas definen geometrías no euclidianas.

En términos de geometría analítica, la restricción de la geometría clásica a las construcciones con compás y regla significa una restricción a las ecuaciones de primer y segundo orden, por ejemplo, y = 2 x + 1 (una línea), o x + y = 7 (un círculo).).

También en el siglo XVII, Girard Desargues, motivado por la teoría de la perspectiva, introdujo el concepto de puntos, líneas y planos idealizados en el infinito. El resultado se puede considerar como un tipo de geometría generalizada, geometría proyectiva, pero también se puede utilizar para producir pruebas en geometría euclidiana ordinaria en las que se reduce el número de casos especiales.

Siglo 18

Los geómetras del siglo XVIII se esforzaron por definir los límites del sistema euclidiano. Muchos intentaron en vano probar el quinto postulado de los primeros cuatro. Para 1763, se habían publicado al menos 28 pruebas diferentes, pero todas resultaron incorrectas.

Antes de este período, los geómetras también intentaron determinar qué construcciones se podían lograr en la geometría euclidiana. Por ejemplo, el problema de la trisección de un ángulo con regla y compás es uno que se da naturalmente dentro de la teoría, ya que los axiomas se refieren a operaciones constructivas que se pueden realizar con esas herramientas. Sin embargo, siglos de esfuerzos no lograron encontrar una solución a este problema, hasta que Pierre Wantzel publicó una prueba en 1837 de que tal construcción era imposible. Otras construcciones que resultaron imposibles incluyen doblar el cubo y cuadrar el círculo. En el caso de duplicar el cubo, la imposibilidad de la construcción se origina en que el método del compás y la regla involucran ecuaciones cuyo orden es una potencia integral de dos,mientras que duplicar un cubo requiere la solución de una ecuación de tercer orden.

Euler discutió una generalización de la geometría euclidiana llamada geometría afín, que retiene el quinto postulado sin modificar mientras debilita los postulados tres y cuatro de una manera que elimina las nociones de ángulo (por lo que los triángulos rectángulos pierden sentido) y de igualdad de longitud de los segmentos de línea en general (por lo que los círculos pierden sentido) mientras se conservan las nociones de paralelismo como una relación de equivalencia entre líneas, y la igualdad de longitud de los segmentos de línea paralelos (por lo que los segmentos de línea siguen teniendo un punto medio).

Siglo XIX y geometría no euclidiana

A principios del siglo XIX, Carnot y Möbius desarrollaron sistemáticamente el uso de ángulos con signo y segmentos de línea como una forma de simplificar y unificar los resultados.

El desarrollo más significativo del siglo en geometría ocurrió cuando, alrededor de 1830, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaron por separado un trabajo sobre geometría no euclidiana, en el que el postulado paralelo no es válido. Dado que la geometría no euclidiana es demostrablemente relativamente consistente con la geometría euclidiana, el postulado paralelo no puede probarse a partir de los otros postulados.

En el siglo XIX, también se dio cuenta de que los diez axiomas y las nociones comunes de Euclides no son suficientes para probar todos los teoremas establecidos en los Elementos. Por ejemplo, Euclides asumió implícitamente que cualquier línea contiene al menos dos puntos, pero esta suposición no puede probarse a partir de los otros axiomas y, por lo tanto, debe ser un axioma en sí mismo. La primera prueba geométrica en los Elementos,que se muestra en la figura anterior, es que cualquier segmento de línea es parte de un triángulo; Euclid construye esto de la forma habitual, dibujando círculos alrededor de ambos extremos y tomando su intersección como el tercer vértice. Sus axiomas, sin embargo, no garantizan que los círculos realmente se intersequen, porque no afirman la propiedad geométrica de continuidad, que en términos cartesianos es equivalente a la propiedad de completitud de los números reales. A partir de Moritz Pasch en 1882, se han propuesto muchos sistemas axiomáticos mejorados para la geometría, siendo los más conocidos los de Hilbert, George Birkhoff y Tarski.

Siglo XX y relatividad

La teoría de la relatividad especial de Einstein implica un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el espacio de Minkowski, que no es euclidiano. Esto demuestra que las geometrías no euclidianas, que se introdujeron unos años antes para demostrar que el postulado de las paralelas no se puede probar, también son útiles para describir el mundo físico.

Sin embargo, la "parte del espacio" tridimensional del espacio de Minkowski sigue siendo el espacio de la geometría euclidiana. Este no es el caso de la relatividad general, para la cual la geometría de la parte espacial del espacio-tiempo no es la geometría euclidiana.Por ejemplo, si un triángulo se construye con tres rayos de luz, entonces, en general, los ángulos interiores no suman 180 grados debido a la gravedad. Un campo gravitacional relativamente débil, como el de la Tierra o el del Sol, se representa mediante una métrica que es aproximadamente, pero no exactamente, euclidiana. Hasta el siglo XX no había tecnología capaz de detectar estas desviaciones en los rayos de luz de la geometría euclidiana, pero Einstein predijo que tales desviaciones existirían. Más tarde fueron verificados por observaciones tales como la ligera desviación de la luz de las estrellas por parte del Sol durante un eclipse solar en 1919, y tales consideraciones son ahora una parte integral del software que ejecuta el sistema GPS.

Transcripción de un pasaje del libro de Euclides: Los Elementos, Libro I Proposición I

Tratamiento del infinito

Objetos infinitos

Euclides a veces distinguió explícitamente entre "líneas finitas" (p. ej., Postulado 2) y "líneas infinitas" (libro I, proposición 12). Sin embargo, normalmente no hacía tales distinciones a menos que fueran necesarias. Los postulados no se refieren explícitamente a líneas infinitas, aunque, por ejemplo, algunos comentaristas interpretan el postulado 3, existencia de un círculo con cualquier radio, como implicando que el espacio es infinito.

La noción de cantidades infinitesimales había sido previamente discutida extensamente por la Escuela Eleática, pero nadie había podido ponerlas sobre una base lógica firme, ocurriendo paradojas como la paradoja de Zenón que no habían sido resueltas a satisfacción universal. Euclides usó el método de agotamiento en lugar de los infinitesimales.

Los comentaristas antiguos posteriores, como Proclo (410–485 d. C.), trataron muchas preguntas sobre el infinito como cuestiones que exigían prueba y, por ejemplo, Proclo afirmó probar la divisibilidad infinita de una línea, basándose en una prueba por contradicción en la que consideró los casos. de números pares e impares de puntos que lo constituyen.

A principios del siglo XX, Otto Stolz, Paul du Bois-Reymond, Giuseppe Veronese y otros produjeron un trabajo controvertido sobre modelos no arquimedianos de la geometría euclidiana, en los que la distancia entre dos puntos puede ser infinita o infinitesimal, en el Newton –Sentido de Leibniz. Cincuenta años después, Abraham Robinson proporcionó una base lógica rigurosa para el trabajo de Veronese.

Procesos infinitos

Una de las razones por las que los antiguos consideraban que el postulado de las paralelas era menos seguro que los demás es que verificarlo físicamente requeriría que inspeccionáramos dos líneas para verificar que nunca se cruzaran, incluso en algún punto muy distante, y esta inspección podría tomar una cantidad infinita de tiempo. de tiempo.

La formulación moderna de prueba por inducción no se desarrolló hasta el siglo XVII, pero algunos comentaristas posteriores la consideran implícita en algunas de las pruebas de Euclides, por ejemplo, la prueba de la infinitud de los números primos.

Las supuestas paradojas que involucran series infinitas, como la paradoja de Zenón, son anteriores a Euclides. Euclides evitó tales discusiones, dando, por ejemplo, la expresión de las sumas parciales de la serie geométrica en IX.35 sin comentar la posibilidad de dejar que el número de términos se hiciera infinito.

Base lógica

Lógica clásica

Euclides usó con frecuencia el método de prueba por contradicción y, por lo tanto, la presentación tradicional de la geometría euclidiana asume la lógica clásica, en la que cada proposición es verdadera o falsa, es decir, para cualquier proposición P, la proposición "P o no P" es automáticamente verdadera..

Estándares modernos de rigor

Situar la geometría euclidiana sobre una base axiomática sólida fue una preocupación de los matemáticos durante siglos. El papel de las nociones primitivas, o conceptos indefinidos, fue presentado claramente por Alessandro Padoa de la delegación de Peano en la conferencia de París de 1900:

...cuando comenzamos a formular la teoría, podemos imaginar que los símbolos indefinidos están completamente desprovistos de significado y que las proposiciones no demostradas son simplemente condiciones impuestas sobre los símbolos indefinidos.

Entonces, el sistema de ideas que hemos elegido inicialmente es simplemente una interpretación de los símbolos indefinidos; pero... esta interpretación puede ser ignorada por el lector, quien es libre de reemplazarla en su mente por otra interpretación... que satisfaga las condiciones...

Las preguntas lógicas se vuelven así completamente independientes de las preguntas empíricas o psicológicas...

El sistema de símbolos indefinidos puede entonces considerarse como la abstracción obtenida de las teorías especializadas que resultan cuando... el sistema de símbolos indefinidos es reemplazado sucesivamente por cada una de las interpretaciones...— Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie deductive quelconque

Es decir, las matemáticas son conocimiento independiente del contexto dentro de un marco jerárquico. Como dijo Bertrand Russell:

Si nuestra hipótesis es sobre cualquier cosa, y no sobre una o más cosas particulares, entonces nuestras deducciones constituyen matemáticas. Así, las matemáticas pueden definirse como la materia en la que nunca sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que estamos diciendo es verdad.— Bertrand Russell, Las matemáticas y los metafísicos

Tales enfoques fundacionales oscilan entre el fundacionalismo y el formalismo.

Formulaciones axiomáticas

La geometría es la ciencia del razonamiento correcto sobre figuras incorrectas.— George Pólya, Cómo resolverlo, p. 208

Los axiomas de Euclides: en su disertación en el Trinity College de Cambridge, Bertrand Russell resumió el papel cambiante de la geometría de Euclides en la mente de los filósofos hasta ese momento. Era un conflicto entre cierto conocimiento, independiente del experimento, y el empirismo, que requería aportes experimentales. Este problema quedó claro cuando se descubrió que el postulado de las paralelas no era necesariamente válido y su aplicabilidad era un asunto empírico, decidiendo si la geometría aplicable era euclidiana o no euclidiana.
Axiomas de Hilbert: Los axiomas de Hilbert tenían como objetivo identificar un conjunto simple y completo de axiomas independientes a partir de los cuales se pudieran deducir los teoremas geométricos más importantes. Los objetivos destacados eran hacer rigurosa la geometría euclidiana (evitando supuestos ocultos) y aclarar las ramificaciones del postulado de las paralelas.
Axiomas de Birkhoff: Birkhoff propuso cuatro postulados para la geometría euclidiana que se pueden confirmar experimentalmente con escala y transportador. Este sistema se basa en gran medida en las propiedades de los números reales. Las nociones de ángulo y distancia se convierten en conceptos primitivos.
Axiomas de Tarski: Alfred Tarski (1902-1983) y sus alumnos definieron la geometría euclidiana elemental como la geometría que se puede expresar en lógica de primer orden y no depende de la teoría de conjuntos para su base lógica, en contraste con los axiomas de Hilbert, que involucran punto conjuntos Tarski probó que su formulación axiomática de la geometría euclidiana elemental es consistente y completa en cierto sentido: hay un algoritmo que, para cada proposición, puede demostrarse que es verdadera o falsa. (Esto no viola el teorema de Gödel, porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad suficiente de aritmética para que se aplique el teorema). Esto es equivalente a la decidibilidad de campos cerrados reales, de los cuales la geometría euclidiana elemental es un modelo.