Geometría no euclidiana

En matemáticas, la geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana. Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín, la geometría no euclidiana surge reemplazando el postulado paralelo con una alternativa o relajando el requisito métrico. En el primer caso se obtiene geometría hiperbólica y geometría elíptica, las geometrías tradicionales no euclidianas. Cuando se relaja el requisito métrico, entonces existen planos afines asociados a las álgebras planas, que dan lugar a geometrías cinemáticas que también se han denominado geometría no euclidiana.

La diferencia esencial entre las geometrías métricas es la naturaleza de las líneas paralelas. El quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas, es equivalente al postulado de Playfair, que establece que, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea dada l y un punto A, que no está en l, hay exactamente una línea que pasa por A que no no intersectar l. En geometría hiperbólica, por el contrario, hay infinitas líneas a través de A que no intersecan a l, mientras que en geometría elíptica, cualquier línea a través de A interseca a l.

Otra forma de describir las diferencias entre estas geometrías es considerar dos líneas rectas indefinidamente extendidas en un plano bidimensional que son ambas perpendiculares a una tercera línea (en el mismo plano):

• En la geometría euclidiana, las líneas se mantienen a una distancia constante entre sí (lo que significa que una línea dibujada perpendicularmente a una línea en cualquier punto intersecará a la otra línea y la longitud del segmento de línea que une los puntos de intersección permanece constante) y se conocen como paralelos.
• En geometría hiperbólica, se "curvan alejándose" entre sí, aumentando la distancia a medida que uno se aleja de los puntos de intersección con la perpendicular común; estas líneas a menudo se llaman ultraparalelas.
• En geometría elíptica, las líneas se "curvan hacia" entre sí y se cruzan.

Historia

Fondo

La geometría euclidiana, llamada así por el matemático griego Euclides, incluye algunas de las matemáticas más antiguas conocidas, y las geometrías que se desviaron de esta no fueron ampliamente aceptadas como legítimas hasta el siglo XIX.

El debate que finalmente condujo al descubrimiento de las geometrías no euclidianas comenzó casi tan pronto como Euclides escribió Elementos. En los Elementos, Euclides comienza con un número limitado de suposiciones (23 definiciones, cinco nociones comunes y cinco postulados) y busca probar todos los demás resultados (proposiciones) en el trabajo. El más notorio de los postulados a menudo se denomina "Quinto Postulado de Euclides", o simplemente el postulado paralelo, que en la formulación original de Euclides es:

Si una recta cae sobre dos rectas de tal manera que los ángulos interiores del mismo lado son juntos menores que dos ángulos rectos, entonces las rectas, si se produjeran indefinidamente, se encontrarían en el lado en que están los ángulos menores que la dos ángulos rectos.

Otros matemáticos han ideado formas más simples de esta propiedad. Independientemente de la forma del postulado, sin embargo, siempre parece más complicado que los otros postulados de Euclides:

1. Dibujar una línea recta de cualquier punto a cualquier punto.

2. Para producir [extender] una línea recta finita continuamente en una línea recta.

3. Describir un círculo con cualquier centro y distancia [radio].

4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Durante al menos mil años, los geómetras estuvieron preocupados por la complejidad dispar del quinto postulado y creyeron que podía demostrarse como un teorema de los otros cuatro. Muchos intentaron encontrar una prueba por contradicción, incluidos Ibn al-Haytham (Alhazen, siglo XI), Omar Khayyám (siglo XII), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (siglo XIII) y Giovanni Girolamo Saccheri (siglo XVIII).

Los teoremas de Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi sobre cuadriláteros, incluido el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri, fueron "los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica". Estos teoremas, junto con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair, desempeñaron un papel importante en el desarrollo posterior de la geometría no euclidiana. Estos primeros intentos de desafiar el quinto postulado tuvieron una influencia considerable en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, incluidos Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis y Saccheri. Sin embargo, todos estos primeros intentos realizados para intentar formular una geometría no euclidiana proporcionaron pruebas defectuosas del postulado de las paralelas, que contenían suposiciones que eran esencialmente equivalentes al postulado de las paralelas. Sin embargo, estos primeros intentos proporcionaron algunas propiedades tempranas de las geometrías hiperbólica y elíptica.

Khayyam, por ejemplo, trató de derivarlo de un postulado equivalente que formuló a partir de "los principios del Filósofo" (Aristóteles): "Dos rectas convergentes se intersecan y es imposible que dos rectas convergentes diverjan en la dirección en que se cruzan". converger."Khayyam luego consideró los tres casos recto, obtuso y agudo que pueden tomar los ángulos superiores de un cuadrilátero de Saccheri y después de probar una serie de teoremas sobre ellos, refutó correctamente los casos obtuso y agudo basándose en su postulado y de ahí derivó el postulado clásico de Euclides, que no se dio cuenta de que era equivalente a su propio postulado. Otro ejemplo es el hijo de al-Tusi, Sadr al-Din (a veces conocido como "Pseudo-Tusi"), quien escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en los pensamientos posteriores de al-Tusi, que presentaba otra hipótesis equivalente al postulado paralelo.. "Esencialmente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ".Su obra se publicó en Roma en 1594 y fue estudiada por geómetras europeos, incluido Saccheri, que criticó tanto esta obra como la de Wallis.

Giordano Vitale, en su libro Euclide restituo (1680, 1686), usó el cuadrilátero de Saccheri para probar que si tres puntos son equidistantes en la base AB y la cumbre CD, entonces AB y CD son equidistantes en todas partes.

En un trabajo titulado Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclides libres de todos los defectos), publicado en 1733, Saccheri rápidamente descartó la geometría elíptica como una posibilidad (algunos otros de los axiomas de Euclides deben modificarse para que la geometría elíptica funcione) y se puso a trabajar demostrando una gran número de resultados en geometría hiperbólica.

Finalmente llegó a un punto en el que creía que sus resultados demostraban la imposibilidad de la geometría hiperbólica. Su afirmación parece haber estado basada en presupuestos euclidianos, porque no estaba presente ninguna contradicción lógica. En este intento de probar la geometría euclidiana, descubrió sin querer una nueva geometría viable, pero no se dio cuenta.

En 1766, Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien en la que intentó, como lo hizo Saccheri, probar el quinto postulado. Trabajó con una figura que ahora se conoce como cuadrilátero de Lambert., un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo sea obtuso, como lo habían hecho Saccheri y Khayyam, y luego procedió a probar muchos teoremas bajo la suposición de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que había llegado a una contradicción con esta suposición. Había probado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos en un triángulo aumenta a medida que el área del triángulo disminuye, y esto lo llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó esta idea más allá.

En ese momento, se creía ampliamente que el universo funcionaba de acuerdo con los principios de la geometría euclidiana.

Descubrimiento de la geometría no euclidiana

El comienzo del siglo XIX sería finalmente testigo de pasos decisivos en la creación de la geometría no euclidiana. Alrededor de 1813, Carl Friedrich Gauss e, independientemente, alrededor de 1818, el profesor de derecho alemán Ferdinand Karl Schweikart elaboraron las ideas germinales de la geometría no euclidiana, pero ninguno publicó ningún resultado. El sobrino de Schweikart, Franz Taurinus, publicó importantes resultados de la trigonometría hiperbólica en dos artículos en 1825 y 1826, pero aunque admitía la consistencia interna de la geometría hiperbólica, todavía creía en el papel especial de la geometría euclidiana.

Luego, en 1829-1830, el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y en 1832 el matemático húngaro János Bolyai publicaron por separado e independientemente tratados sobre geometría hiperbólica. En consecuencia, la geometría hiperbólica se denomina geometría lobachevskiana o bolyai-lobachevskiana, ya que ambos matemáticos, independientes entre sí, son los autores básicos de la geometría no euclidiana. Gauss le mencionó al padre de Bolyai, cuando le mostró el trabajo del joven Bolyai, que había desarrollado tal geometría varios años antes, aunque no la publicó. Mientras que Lobachevsky creó una geometría no euclidiana al negar el postulado paralelo, Bolyai elaboró ​​una geometría en la que tanto la geometría hiperbólica como la euclidiana son posibles dependiendo de un parámetro k. Bolyai termina su trabajo mencionando que no es posible decidir a través del razonamiento matemático únicamente si la geometría del universo físico es euclidiana o no euclidiana; esta es una tarea para las ciencias físicas.

Bernhard Riemann, en una famosa conferencia en 1854, fundó el campo de la geometría riemanniana, discutiendo en particular las ideas ahora llamadas variedades, métrica riemanniana y curvatura. Construyó una familia infinita de geometrías no euclidianas al dar una fórmula para una familia de métricas riemannianas en la bola unitaria en el espacio euclidiano. La más simple de ellas se llama geometría elíptica y se considera una geometría no euclidiana debido a la falta de líneas paralelas.

Al formular la geometría en términos de un tensor de curvatura, Riemann permitió que la geometría no euclidiana se aplicara a dimensiones superiores. Beltrami (1868) fue el primero en aplicar la geometría de Riemann a espacios de curvatura negativa.

Terminología

Fue Gauss quien acuñó el término "geometría no euclidiana". Se refería a su propio trabajo, que hoy llamamos geometría hiperbólica. Varios autores modernos todavía consideran que la geometría no euclidiana y la geometría hiperbólica son sinónimos.

Arthur Cayley señaló que la distancia entre los puntos dentro de una cónica se puede definir en términos de logaritmo y la función proyectiva de relación cruzada. El método se ha denominado métrica de Cayley-Klein porque Felix Klein lo explotó para describir las geometrías no euclidianas en artículos de 1871 y 1873 y más tarde en forma de libro. Las métricas de Cayley-Klein proporcionaron modelos de trabajo de geometrías métricas hiperbólicas y elípticas, así como geometría euclidiana.

Klein es el responsable de los términos "hiperbólica" y "elíptica" (en su sistema llamó a la geometría euclidiana parabólica, un término que generalmente cayó en desuso). Su influencia ha llevado al uso actual del término "geometría no euclidiana" para significar geometría "hiperbólica" o "elíptica".

Hay algunos matemáticos que ampliarían la lista de geometrías que deberían llamarse "no euclidianas" de varias maneras.

Base axiomática de la geometría no euclidiana

La geometría euclidiana se puede describir axiomáticamente de varias maneras. Desafortunadamente, el sistema original de cinco postulados (axiomas) de Euclides no es uno de estos, ya que sus pruebas se basaron en varias suposiciones no declaradas que también deberían haberse tomado como axiomas. El sistema de Hilbert que consta de 20 axiomas.sigue más de cerca el enfoque de Euclides y proporciona la justificación de todas las pruebas de Euclides. Otros sistemas, utilizando diferentes conjuntos de términos indefinidos, obtienen la misma geometría por caminos diferentes. Sin embargo, todos los enfoques tienen un axioma que es lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas. Hilbert usa la forma del axioma de Playfair, mientras que Birkhoff, por ejemplo, usa el axioma que dice que "existe un par de triángulos similares pero no congruentes". En cualquiera de estos sistemas, la eliminación del axioma equivalente al postulado de las paralelas, cualquiera que sea la forma que adopte, y el dejar intactos todos los demás axiomas, produce la geometría absoluta. Como las primeras 28 proposiciones de Euclides (en Los Elementos) no requieren el uso del postulado de las paralelas ni nada equivalente, son todas afirmaciones verdaderas en geometría absoluta.

Para obtener una geometría no euclidiana, el postulado de las paralelas (o su equivalente) debe ser reemplazado por su negación. Negar la forma del axioma de Playfair, ya que es un enunciado compuesto (... existe uno y sólo uno...), se puede hacer de dos formas:

• O existirá más de una línea a través del punto paralelo a la línea dada o no existirá línea a través del punto paralelo a la línea dada. En el primer caso, sustituyendo el postulado de las paralelas (o su equivalente) por el enunciado "En un plano, dado un punto P y una recta l que no pasa por P, existen dos rectas por P que no cortan a l " y manteniendo todos los demás axiomas, produce geometría hiperbólica.
• El segundo caso no se trata tan fácilmente. Reemplazar simplemente el postulado de las paralelas con la declaración, "En un plano, dado un punto P y una línea l que no pasa por P, todas las líneas que pasan por P se encuentran con l ", no da un conjunto consistente de axiomas. Esto se sigue ya que las líneas paralelas existen en la geometría absoluta,pero esta declaración dice que no hay líneas paralelas. Este problema era conocido (de otra forma) por Khayyam, Saccheri y Lambert y fue la base para rechazar lo que se conoció como el "caso del ángulo obtuso". Para obtener un conjunto consistente de axiomas que incluya este axioma acerca de no tener líneas paralelas, se deben modificar algunos otros axiomas. Estos ajustes dependen del sistema de axiomas utilizado. Entre otros, estos ajustes tienen el efecto de modificar el segundo postulado de Euclides de la afirmación de que los segmentos de línea se pueden extender indefinidamente a la afirmación de que las líneas no están acotadas. La geometría elíptica de Riemann surge como la geometría más natural que satisface este axioma.

Modelos de geometría no euclidiana

La geometría euclidiana bidimensional está modelada por nuestra noción de "plano".

Geometría elíptica

El modelo más simple para la geometría elíptica es una esfera, donde las líneas son "grandes círculos" (como el ecuador o los meridianos en un globo), y los puntos opuestos entre sí (llamados puntos antípodas) se identifican (considerados iguales). Este es también uno de los modelos estándar del plano proyectivo real. La diferencia es que como modelo de geometría elíptica se introduce una métrica que permite medir longitudes y ángulos, mientras que como modelo del plano proyectivo no existe tal métrica.

En el modelo elíptico, para cualquier línea dada l y un punto A, que no está en l, todas las líneas a través de A intersecarán l.

Geometría hiperbólica

Incluso después del trabajo de Lobachevsky, Gauss y Bolyai, la pregunta permaneció: "¿Existe tal modelo para la geometría hiperbólica?". El modelo de la geometría hiperbólica fue respondido por Eugenio Beltrami, en 1868, quien demostró por primera vez que una superficie llamada pseudoesfera tiene la curvatura adecuada para modelar una porción del espacio hiperbólico y en un segundo artículo del mismo año definió el modelo de Klein, que modela la totalidad del espacio hiperbólico, y usó esto para mostrar que la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica eran equiconsistentes, de modo que la geometría hiperbólica era lógicamente consistente si y solo si la geometría euclidiana lo era. (La implicación inversa se deriva del modelo de la horósfera de la geometría euclidiana).

En el modelo hiperbólico, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea dada l y un punto A, que no está en l, hay infinitas líneas a través de A que no intersecan l.

En estos modelos, los conceptos de geometrías no euclidianas están representados por objetos euclidianos en un entorno euclidiano. Esto introduce una distorsión perceptiva en la que las líneas rectas de la geometría no euclidiana están representadas por curvas euclidianas que se doblan visualmente. Este "doblar" no es una propiedad de las líneas no euclidianas, solo un artificio de la forma en que se representan.

Geometría tridimensional no euclidiana

En tres dimensiones, hay ocho modelos de geometrías. Hay geometrías euclidianas, elípticas e hiperbólicas, como en el caso bidimensional; geometrías mixtas parcialmente euclidianas y parcialmente hiperbólicas o esféricas; versiones retorcidas de las geometrías mixtas; y una geometría inusual que es completamente anisotrópica (es decir, cada dirección se comporta de manera diferente).

Propiedades poco comunes

Las geometrías euclidianas y no euclidianas tienen naturalmente muchas propiedades similares, es decir, aquellas que no dependen de la naturaleza del paralelismo. Esta similitud es el tema de la geometría absoluta (también llamada geometría neutra). Sin embargo, las propiedades que distinguen una geometría de otras históricamente han recibido la mayor atención.

Además del comportamiento de las rectas con respecto a una perpendicular común, mencionado en la introducción, también tenemos lo siguiente:

• Un cuadrilátero de Lambert es un cuadrilátero con tres ángulos rectos. El cuarto ángulo de un cuadrilátero de Lambert es agudo si la geometría es hiperbólica, un ángulo recto si la geometría es euclidiana u obtuso si la geometría es elíptica. En consecuencia, los rectángulos existen (un enunciado equivalente al postulado de las paralelas) sólo en la geometría euclidiana.
• Un cuadrilátero de Saccheri es un cuadrilátero con dos lados de igual longitud, ambos perpendiculares a un lado llamado base. Los otros dos ángulos de un cuadrilátero de Saccheri se llaman ángulos cumbre y tienen la misma medida. Los ángulos de la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri son agudos si la geometría es hiperbólica, ángulos rectos si la geometría es euclidiana y ángulos obtusos si la geometría es elíptica.
• La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es menor de 180° si la geometría es hiperbólica, igual a 180° si la geometría es euclidiana y mayor de 180° si la geometría es elíptica. El defecto de un triángulo es el valor numérico (180° − suma de las medidas de los ángulos del triángulo). Este resultado también puede expresarse como: el defecto de los triángulos en la geometría hiperbólica es positivo, el defecto de los triángulos en la geometría euclidiana es cero y el defecto de los triángulos en la geometría elíptica es negativo.

Importancia

Antes de que Beltrami, Klein y Poincaré presentaran los modelos de un plano no euclidiano, la geometría euclidiana era indiscutible como el modelo matemático del espacio. Además, dado que la sustancia del tema en la geometría sintética era una exhibición principal de racionalidad, el punto de vista euclidiano representaba la autoridad absoluta.

El descubrimiento de las geometrías no euclidianas tuvo un efecto dominó que fue mucho más allá de los límites de las matemáticas y la ciencia. El tratamiento del conocimiento humano por parte del filósofo Immanuel Kant tuvo un papel especial para la geometría. Fue su principal ejemplo de conocimiento sintético a priori; no derivado de los sentidos ni deducido a través de la lógica: nuestro conocimiento del espacio fue una verdad con la que nacimos. Desafortunadamente para Kant, su concepto de esta geometría inalterablemente verdadera era euclidiano. La teología también se vio afectada por el cambio de la verdad absoluta a la verdad relativa en la forma en que las matemáticas se relacionan con el mundo que las rodea, que fue el resultado de este cambio de paradigma.

La geometría no euclidiana es un ejemplo de una revolución científica en la historia de la ciencia, en la que matemáticos y científicos cambiaron la forma en que veían a sus sujetos. Algunos geómetras llamaron a Lobachevsky el "Copérnico de la Geometría" debido al carácter revolucionario de su obra.

La existencia de geometrías no euclidianas impactó la vida intelectual de la Inglaterra victoriana de muchas maneras y, en particular, fue uno de los principales factores que provocaron un nuevo examen de la enseñanza de la geometría basada en los Elementos de Euclides. Este tema del plan de estudios fue muy debatido en ese momento e incluso fue el tema de un libro, Euclid and his Modern Rivals, escrito por Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), más conocido como Lewis Carroll, el autor de Alicia en el país de las maravillas.

Álgebras planas

En geometría analítica, un plano se describe con coordenadas cartesianas: C = { (x,y): x, y ∈ ℝ }. Los puntos a veces se identifican con números complejos z = x + y ε donde ε ∈ { –1, 0, 1}.

El plano euclidiano corresponde al caso ε = −1 ya que el módulo de z viene dado por

y esta cantidad es el cuadrado de la distancia euclidiana entre z y el origen. Por ejemplo, { z | zz * = 1} es el círculo unitario.

Para el álgebra plana, la geometría no euclidiana surge en los otros casos. Cuando ε = +1, entonces z es un número complejo dividido y, convencionalmente, j reemplaza a épsilon. Entonces

y { z | zz * = 1} es la unidad hipérbola.

Cuando ε = 0, entonces z es un número dual.

Este enfoque de la geometría no euclidiana explica los ángulos no euclidianos: los parámetros de pendiente en el plano numérico dual y ángulo hiperbólico en el plano complejo dividido corresponden al ángulo en la geometría euclidiana. De hecho, cada uno de ellos surge en la descomposición polar de un número complejo z.

Geometrías cinemáticas

La geometría hiperbólica encontró una aplicación en la cinemática con la cosmología física introducida por Hermann Minkowski en 1908. Minkowski introdujo términos como línea de tiempo y tiempo propio en la física matemática. Se dio cuenta de que la subvariedad, de eventos de un momento del tiempo propio en el futuro, podría considerarse un espacio hiperbólico de tres dimensiones. Ya en la década de 1890, Alexander Macfarlane estaba trazando esta subvariedad a través de su Algebra of Physics y cuaterniones hiperbólicos, aunque Macfarlane no usó un lenguaje cosmológico como lo hizo Minkowski en 1908. La estructura relevante ahora se llama modelo hiperboloide de geometría hiperbólica.

Las álgebras planas no euclidianas admiten geometrías cinemáticas en el plano. Por ejemplo, el número complejo dividido z = e puede representar un evento de espacio-tiempo un momento en el futuro de un marco de referencia de rapidez a. Además, la multiplicación por z equivale a un impulso de Lorentz que asigna el marco con rapidez cero al de rapidez a.

El estudio cinemático hace uso de los números duales para representar la descripción clásica del movimiento en tiempo y espacio absolutos: las ecuaciones son equivalentes a un mapeo de corte en álgebra lineal:

Con números duales el mapeo es

EB Wilson y Gilbert Lewis propusieron otra visión de la relatividad especial como una geometría no euclidiana en Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences en 1912. Renovaron la geometría analítica implícita en el álgebra de números complejos divididos en geometría sintética de premisas. y deducciones.

Ficción

La geometría no euclidiana a menudo aparece en obras de ciencia ficción y fantasía.

• En 1895, HG Wells publicó el cuento "El notable caso de los ojos de Davidson". Para apreciar esta historia hay que saber cómo se identifican los puntos antípodas de una esfera en un modelo del plano elíptico. En la historia, en medio de una tormenta eléctrica, Sidney Davidson ve "Olas y una goleta notablemente ordenada" mientras trabaja en un laboratorio eléctrico en Harlow Technical College. Al final de la historia, Davidson demuestra haber visto al HMS Fulmar frente a la isla Antipodes.
• La geometría no euclidiana a veces se relaciona con la influencia del escritor de ficción de terror del siglo XX HP Lovecraft. En sus obras, muchas cosas antinaturales siguen sus propias leyes geométricas únicas: en los Mitos de Cthulhu de Lovecraft, la ciudad sumergida de R'lyeh se caracteriza por su geometría no euclidiana. Está fuertemente implícito que esto se logra como un efecto secundario de no seguir las leyes naturales de este universo en lugar de simplemente usar un modelo geométrico alternativo, ya que se dice que la maldad innata es capaz de volver locos a quienes lo miran.
• El personaje principal de Zen and the Art of Motorcycle Maintenance de Robert Pirsig mencionó la geometría de Riemann en múltiples ocasiones.
• En Los hermanos Karamazov, Dostoievski analiza la geometría no euclidiana a través de su personaje Iván.
• La novela Inverted World de Christopher Priest describe la lucha de vivir en un planeta con la forma de una pseudoesfera giratoria.
• El número de la bestia de Robert Heinlein utiliza geometría no euclidiana para explicar el transporte instantáneo a través del espacio y el tiempo y entre universos paralelos y ficticios.
• HyperRogue de Zeno Rogue es un juego roguelike ambientado en el plano hiperbólico, que permite al jugador experimentar muchas propiedades de esta geometría. Muchas mecánicas, misiones y ubicaciones dependen en gran medida de las características de la geometría hiperbólica.
• En el escenario de ciencia ficción Renegade Legion para el juego de guerra, el juego de rol y la ficción de FASA, los viajes y las comunicaciones más rápidos que la luz son posibles mediante el uso de la Geometría polidimensional no euclidiana de Hsieh Ho, publicada en algún momento a mediados del siglo XXII..
• En Flatterland de Ian Stewart, la protagonista Victoria Line visita todo tipo de mundos no euclidianos.