Geometría no euclidiana

En matemáticas, la geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana. Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín, la geometría no euclidiana surge reemplazando el postulado paralelo con una alternativa o relajando el requisito métrico. En el primer caso se obtiene geometría hiperbólica y geometría elíptica, las geometrías tradicionales no euclidianas. Cuando se relaja el requisito métrico, entonces existen planos afines asociados a las álgebras planas, que dan lugar a geometrías cinemáticas que también se han denominado geometría no euclidiana.

La diferencia esencial entre las geometrías métricas es la naturaleza de las líneas paralelas. El quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas, es equivalente al postulado de Playfair, que establece que, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea dada l y un punto A, que no está en l, hay exactamente una línea que pasa por A que no no intersectar l. En geometría hiperbólica, por el contrario, hay infinitas líneas a través de A que no intersecan a l, mientras que en geometría elíptica, cualquier línea a través de A interseca a l.

Otra forma de describir las diferencias entre estas geometrías es considerar dos líneas rectas indefinidamente extendidas en un plano bidimensional que son ambas perpendiculares a una tercera línea (en el mismo plano):

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