Función periódica

Una función periódica es una función que repite sus valores a intervalos regulares. Por ejemplo, las funciones trigonométricas, que se repiten a intervalos de radianes, son funciones periódicas. Las funciones periódicas se utilizan en toda la ciencia para describir oscilaciones, ondas y otros fenómenos que exhiben periodicidad. Cualquier función que no es periódica se llama aperiódica.

Definición

Se dice que una función f es periódica si, para alguna constante P distinta de cero, se da el caso de que

para todos los valores de x en el dominio. Una constante P distinta de cero en la que este es el caso se denomina período de la función. Si existe una constante P mínima positiva con esta propiedad, se denomina período fundamental (también período primitivo, período básico o período principal). A menudo, "el" período de una función se usa para referirse a su período fundamental. Una función con período P se repetirá en intervalos de longitud P, y estos intervalos a veces también se conocen como períodos de la función.

Geométricamente, una función periódica se puede definir como una función cuya gráfica exhibe simetría de traslación, es decir, una función f es periódica con período P si la gráfica de f es invariante bajo traslación en la dirección x por una distancia de P. Esta definición de periodicidad puede extenderse a otras formas y patrones geométricos, así como generalizarse a dimensiones superiores, como las teselaciones periódicas del plano. Una secuencia también puede verse como una función definida en los números naturales, y para una secuencia periódica, estas nociones se definen en consecuencia.

Ejemplos

Ejemplos de números reales

La función seno es periódica con período , ya que

para todos los valores de . Esta función se repite en intervalos de longitud (ver el gráfico a la derecha).

Se ven ejemplos cotidianos cuando la variable es el tiempo; por ejemplo, las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. El movimiento periódico es un movimiento en el que la(s) posición(es) del sistema son expresables como funciones periódicas, todas con el mismo período.

Para una función sobre los números reales o sobre los enteros, eso significa que el gráfico completo se puede formar a partir de copias de una parte en particular, repetidas a intervalos regulares.

Un ejemplo simple de una función periódica es la función que da la "parte fraccionaria" de su argumento. Su período es 1. En particular,

La gráfica de la función es la onda de diente de sierra.

Las funciones trigonométricas seno y coseno son funciones periódicas comunes, con período (ver la figura de la derecha). El tema de las series de Fourier investiga la idea de que una función periódica 'arbitraria' es una suma de funciones trigonométricas con períodos coincidentes.

De acuerdo con la definición anterior, algunas funciones exóticas, por ejemplo, la función de Dirichlet, también son periódicas; en el caso de la función de Dirichlet, cualquier número racional distinto de cero es un período.

Ejemplos de números complejos

Usando variables complejas tenemos la función de período común:

Dado que las funciones coseno y seno son periódicas con período , la exponencial compleja se compone de ondas coseno y seno. Esto significa que la fórmula de Euler (arriba) tiene la propiedad de que si es el período de la función, entonces

Funciones de doble periodicidad

Una función cuyo dominio son los números complejos puede tener dos períodos inconmensurables sin ser constante. Las funciones elípticas son tales funciones. ("Inconmensurable" en este contexto significa que no son múltiplos reales entre sí).

Propiedades

Las funciones periódicas pueden tomar valores muchas veces. Más específicamente, si una función es periódica con período , entonces para todo en el dominio de y todos los enteros positivos ,

Si es una función con período , entonces , donde es un número real distinto de cero tal que está dentro del dominio de , es periódica con período . Por ejemplo, tiene período, por lo tanto , tendrá período .

Algunas funciones periódicas pueden describirse mediante series de Fourier. Por ejemplo, para funciones L, el teorema de Carleson establece que tienen una serie de Fourier convergente puntual (Lebesgue) en casi todas partes. Las series de Fourier solo se pueden usar para funciones periódicas o para funciones en un intervalo acotado (compacto). Si es una función periódica con periodo que puede ser descrita por una serie de Fourier, los coeficientes de la serie pueden ser descritos por una integral sobre un intervalo de longitud .

Cualquier función que consta únicamente de funciones periódicas con el mismo período también es periódica (con período igual o menor), incluyendo:

• suma, resta, multiplicación y división de funciones periódicas, y
• tomando una potencia o una raíz de una función periódica (siempre que esté definida para todos ).

Generalizaciones

Funciones antiperiódicas

Un subconjunto común de funciones periódicas es el de las funciones antiperiódicas. Esta es una función tal que for all . (Así, una función -antiperiódica es una función -periódica .) Por ejemplo, las funciones seno y coseno son -antiperiódica y -periódica . Mientras que una función -antiperiódica es una función -periódica , lo contrario no es necesariamente cierto.

Funciones periódicas de Bloch

Aparece una generalización adicional en el contexto de los teoremas de Bloch y la teoría de Floquet, que gobiernan la solución de varias ecuaciones diferenciales periódicas. En este contexto, la solución (en una dimensión) suele ser una función de la forma:

donde es un número real o complejo (el vector de onda de Bloch o el exponente de Floquet). Las funciones de esta forma a veces se denominan Bloch-periódicas en este contexto. Una función periódica es el caso especial , y una función antiperiódica es el caso especial .

Espacios cocientes como dominio

En el procesamiento de señales, se encuentra con el problema de que las series de Fourier representan funciones periódicas y que las series de Fourier satisfacen los teoremas de convolución (es decir, la convolución de la serie de Fourier corresponde a la multiplicación de la función periódica representada y viceversa), pero las funciones periódicas no se pueden convolucionar con la definición habitual, ya que las integrales involucradas divergen. Una posible salida es definir una función periódica en un dominio acotado pero periódico. Con este fin se puede utilizar la noción de espacio cociente:.

Es decir, cada elemento en es una clase de equivalencia de números reales que comparten la misma parte fraccionaria. Por lo tanto, una función como es una representación de una función 1-periódica.

Período de cálculo

Considere una forma de onda real que consta de frecuencias superpuestas, expresadas en un conjunto como relaciones a una frecuencia fundamental, f: F = ¹ ⁄ _f  [f ₁ f ₂ f ₃... f _N ] donde todos los elementos distintos de cero ≥1 y en menos uno de los elementos del conjunto es 1. Para encontrar el período, T, primero encuentra el mínimo común denominador de todos los elementos del conjunto. El período se puede encontrar como T = ^LCD ⁄ _f. Considere que para una sinusoide simple, T = ¹ ⁄ _f. Por lo tanto, la LCD puede verse como un multiplicador de periodicidad.

• Para el conjunto que representa todas las notas de la escala mayor occidental: [1 ⁹ ⁄ ₈ ⁵ ⁄ ₄ ⁴ ⁄ ₃ ³ ⁄ ₂ ⁵ ⁄ ₃ ¹⁵ ⁄ ₈ ] el MCD es 24, por lo que T = ²⁴ ⁄ _f.
• Para el conjunto que representa todas las notas de una tríada mayor: [1 ⁵ ⁄ ₄ ³ ⁄ ₂ ] el MCD es 4, por lo que T = ⁴ ⁄ _f.
• Para el conjunto que representa todas las notas de una tríada menor: [1 ⁶ ⁄ ₅ ³ ⁄ ₂ ] el MCD es 10 por lo tanto T = ¹⁰ ⁄ _f.

Si no existe el mínimo común denominador, por ejemplo, si uno de los elementos anteriores fuera irracional, entonces la onda no sería periódica.