Cara (geometría)

En geometría sólida, una cara es una superficie plana (una región plana) que forma parte del límite de un objeto sólido; un sólido tridimensional limitado exclusivamente por caras es un poliedro.

En tratamientos más técnicos de la geometría de poliedros y politopos de dimensiones superiores, el término también se usa para referirse a un elemento de cualquier dimensión de un politopo más general (en cualquier número de dimensiones).

Cara poligonal

En geometría elemental, una cara es un polígono en el límite de un poliedro. Otros nombres para una cara poligonal incluyen lado de poliedro y mosaico de plano euclidiano.

Por ejemplo, cualquiera de los seis cuadrados que delimitan un cubo es una cara del cubo. A veces, "cara" también se usa para referirse a las características bidimensionales de un politopo de 4. Con este significado, el teseracto de 4 dimensiones tiene 24 caras cuadradas, cada una de las cuales comparte dos de 8 celdas cúbicas.

Número de caras poligonales de un poliedro

Cualquier superficie de poliedro convexo tiene la característica de Euler

donde V es el número de vértices, E es el número de aristas y F es el número de caras. Esta ecuación se conoce como fórmula del poliedro de Euler. Así, el número de caras es 2 más que el exceso del número de aristas sobre el número de vértices. Por ejemplo, un cubo tiene 12 aristas y 8 vértices y, por lo tanto, 6 caras.

Poliedro	Poliedro estrella	Mosaico euclidiano	Mosaico hiperbólico	4 politopos
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
El cubo tiene 3 caras cuadradas por vértice.	El pequeño dodecaedro estrellado tiene 5 caras pentagrammicas por vértice.	El mosaico cuadrado en el plano euclidiano tiene 4 caras cuadradas por vértice.	El mosaico cuadrado de orden 5 tiene 5 caras cuadradas por vértice.	El teseracto tiene 3 caras cuadradas por arista.

k -cara

En geometría de dimensiones superiores, las caras de un politopo son características de todas las dimensiones. Una cara de dimensión k se llama k -cara. Por ejemplo, las caras poligonales de un poliedro ordinario son 2 caras. En la teoría de conjuntos, el conjunto de caras de un politopo incluye el propio politopo y el conjunto vacío, donde al conjunto vacío se le da una "dimensión" de −1 por coherencia. Para cualquier n -politopo (n -politopo dimensional), −1 ≤ k ≤ n.

Por ejemplo, con este significado, las caras de un cubo comprenden el propio cubo (3 caras), sus facetas (cuadradas) (2 caras), aristas (lineales) (1 cara), vértices (puntuales) (0- caras), y el conjunto vacío. Las siguientes son las caras de un politopo de 4 dimensiones:

• 4 caras: el 4 politopo de 4 dimensiones en sí mismo
• 3 caras: celdas tridimensionales (caras poliédricas)
• 2 caras: crestas bidimensionales (caras poligonales)
• 1-caras - aristas unidimensionales
• 0 caras – 0 vértices dimensionales
• el conjunto vacío, que tiene dimensión −1

En algunas áreas de las matemáticas, como la combinatoria poliédrica, un politopo es, por definición, convexo. Formalmente, una cara de un politopo P es la intersección de P con cualquier medio espacio cerrado cuyo límite es disjunto del interior de P. De esta definición se sigue que el conjunto de caras de un politopo incluye el propio politopo y el conjunto vacío.

En otras áreas de las matemáticas, como las teorías de politopos abstractos y politopos estelares, se relaja el requisito de convexidad. La teoría abstracta aún requiere que el conjunto de caras incluya el politopo mismo y el conjunto vacío.

Celda o 3 caras

Una celda es un elemento poliédrico (3 caras) de un politopo de 4 dimensiones o un teselado de 3 dimensiones, o superior. Las células son facetas para 4 politopos y 3 panales.

Ejemplos:

4 politopos	3 panales
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
El tesseract tiene 3 celdas cúbicas (3 caras) por borde.	El de 120 celdas tiene 3 celdas dodecaédricas (3 caras) por arista.	El panal cúbico llena 3 espacios euclidianos con cubos, con 4 celdas (3 caras) por arista.	El panal dodecaédrico de orden 4 llena el espacio hiperbólico tridimensional con dodecaedros, 4 celdas (3 caras) por borde.

Faceta o (n − 1)-cara

En la geometría de dimensiones superiores, las facetas (también llamadas hipercaras) de un politopo n son las caras (n -1) (caras de dimensión uno menos que el politopo mismo). Un politopo está delimitado por sus facetas.

Por ejemplo:

• Las facetas de un segmento de línea son sus caras 0 o vértices.
• Las facetas de un polígono son sus 1 caras o aristas.
• Las facetas de un poliedro o mosaico plano son sus 2 caras.
• Las facetas de un politopo 4D o panal de 3 abejas son sus 3 caras o celdas.
• Las facetas de un politopo 5D o un panal de abejas 4 son sus 4 caras.

Cresta o (n - 2) -cara

En terminología relacionada, las caras (n − 2) de un politopo n se denominan crestas (también subfacetas). Una cresta se considera el límite entre exactamente dos facetas de un politopo o panal.

Por ejemplo:

• Las crestas de un polígono 2D o mosaico 1D son sus caras 0 o vértices.
• Las crestas de un poliedro 3D o teselado plano son sus 1 caras o aristas.
• Las crestas de un politopo 4D o panal de 3 abejas son sus 2 caras o simplemente caras.
• Las crestas de un politopo 5D o un panal de 4 abejas son sus 3 caras o celdas.

Pico o (n - 3) -cara

Las caras (n − 3) de un politopo n se denominan picos. Un pico contiene un eje de rotación de facetas y crestas en un politopo regular o panal.

Por ejemplo:

• Los picos de un poliedro 3D o mosaico plano son sus caras 0 o vértices.
• Los picos de un politopo 4D o panal 3 son sus 1 caras o bordes.
• Los picos de un politopo 5D o panal de abeja 4 son sus 2 caras o simplemente caras.