Estructura Weaire-Phelan

Estructura Weaire-Phelan
Grupo espacial Notación de doble fibrilación Coxeter notation	Pm3n (223) 2o [[4,3,4]+]

En geometría, la estructura Weaire-Phelan es una estructura tridimensional que representa una espuma idealizada de burbujas del mismo tamaño, con dos formas diferentes. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan descubrieron que esta estructura era una mejor solución al problema de Kelvin de mosaico del espacio mediante celdas de igual volumen de área de superficie mínima que la solución anterior más conocida, la estructura Kelvin.

La historia y el problema de Kelvin

En dos dimensiones, la subdivisión del plano en celdas de igual área con perímetro promedio mínimo viene dada por el mosaico hexagonal, pero aunque el primer registro de esta conjetura del panal se remonta al antiguo erudito romano Marco Terencio Varro, fue no probado hasta el trabajo de Thomas C. Hales en 1999. En 1887, Lord Kelvin formuló la pregunta correspondiente al espacio tridimensional: ¿cómo se puede dividir el espacio en células de igual volumen con la menor superficie de superficie entre ellas? O, en definitiva, ¿cuál era la espuma de pompas de jabón más eficaz? Desde entonces, este problema se conoce como el problema de Kelvin.

Kelvin propuso una espuma llamada Estructura de Kelvin. Su espuma se basa en el panal cúbico de miel, un panal uniforme convexo formado por el octaedro truncado, un poliedro convexo lleno de espacio con 6 caras cuadradas y 8 caras hexagonales. Sin embargo, este panal no satisface las leyes de Plateau, formuladas por Joseph Plateau en el siglo XIX, según las cuales las superficies mínimas de espuma se encuentran en 120∘ ∘ {displaystyle 120^{circ } ángulos en sus bordes, con estos bordes se encuentran en conjuntos de cuatro con ángulos de Arccos⁡ ⁡ 13. . 109.47∘ ∘ {displaystyle arccos {tfrac {1}{3}approx 109.47^{circ }. Los ángulos de la estructura poliedral son diferentes; por ejemplo, sus bordes se encuentran en ángulos de 90∘ ∘ {displaystyle 90^{circ } en caras cuadradas, o 120∘ ∘ {displaystyle 120^{circ } en caras hexagonales. Por lo tanto, la estructura propuesta de Kelvin utiliza bordes curvilíneas y superficies mínimas ligeramente curvadas para sus rostros, obedeciendo las leyes de Plateau y reduciendo el área de la estructura en un 0,2% en comparación con la estructura poliedral correspondiente.

Aunque Kelvin no lo expresó explícitamente como una conjetura, la idea de que la espuma del panal cúbico bitruncado es la espuma más eficiente y resuelve el problema de Kelvin, se conoció como la conjetura de Kelvin. Era una creencia generalizada y durante más de 100 años no se conoció ningún contraejemplo. Finalmente, en 1993, el físico Denis Weaire del Trinity College de Dublín y su alumno Robert Phelan descubrieron la estructura Weaire-Phelan mediante simulaciones por computadora de espuma y demostraron que era más eficiente, refutando la conjetura de Kelvin.

Desde el descubrimiento de la estructura Weaire-Phelan, se han encontrado otros contraejemplos de la conjetura de Kelvin, pero la estructura Weaire-Phelan sigue teniendo la superficie por celda más pequeña conocida de estos contraejemplos. Aunque los experimentos numéricos sugieren que la estructura Weaire-Phelan es óptima, esto aún no se ha demostrado. En general, ha sido muy difícil demostrar la optimización de estructuras que involucran superficies mínimas. La minimalidad de la esfera como superficie que encierra un solo volumen no se demostró hasta el siglo XIX, y el siguiente problema más simple de este tipo, la conjetura de la doble burbuja sobre el encierro de dos volúmenes, permaneció abierta durante más de 100 años hasta que se demostró en 2002.

Descripción

Dodecahedro irregular

Tetrakaidecahedron

La estructura de Weaire-Phelan se diferencia de la de Kelvin en que utiliza dos tipos de células, aunque tienen el mismo volumen. Al igual que las celdas de la estructura de Kelvin, estas celdas son combinatoriamente equivalentes a poliedros convexos. Uno es un piritoedro, un dodecaedro irregular con caras pentagonales, que posee simetría tetraédrica (T_h). El segundo es una forma de trapezoedro hexagonal truncado, una especie de tetracaidecaedro con dos caras hexagonales y doce pentagonales, que en este caso sólo posee dos planos especulares y una simetría de reflexión de rotor. Al igual que los hexágonos de la estructura Kelvin, los pentágonos de ambos tipos de celdas están ligeramente curvados. El área de superficie de la estructura Weaire-Phelan es un 0,3% menor que la de la estructura Kelvin.

Las células tetracaidecaedro, unidas en cadenas de células cara a cara a lo largo de sus caras hexagonales, forman cadenas en tres direcciones perpendiculares. Se puede crear una estructura combinatoriamente equivalente a la estructura de Weaire-Phelan como un mosaico del espacio mediante cubos unitarios, alineados cara a cara en infinitos prismas cuadrados de la misma manera para formar una estructura de prismas entrelazados llamada tetrastix. Estos prismas rodean huecos cúbicos que forman una cuarta parte de las celdas del mosaico cúbico; los tres cuartos restantes de las celdas llenan los prismas, desplazados media unidad de la cuadrícula entera alineada con las paredes del prisma. De manera similar, en la propia estructura de Weaire-Phelan, que tiene las mismas simetrías que la estructura tetrastix, 1/4 de las células son dodecaedros y 3/4 son tetracaidecaedros.

El panal poliédrico asociado con la estructura Weaire-Phelan (que se obtiene aplanando las caras y enderezando los bordes) también se conoce en términos generales como estructura Weaire-Phelan. Se conocía mucho antes de que se descubriera la estructura Weaire-Phelan, pero se pasó por alto su aplicación al problema de Kelvin.

Aplicaciones

En sistemas físicos

Los experimentos han demostrado que, con condiciones límite favorables, burbujas de igual volumen se autoensamblan espontáneamente en la estructura Weaire-Phelan.

El panal poliédrico asociado se encuentra en dos geometrías relacionadas de estructura cristalina en química. Cuando los componentes del cristal se encuentran en los centros de los poliedros, se forma una de las fases de Frank-Kasper, la fase A15.

Cuando los componentes del cristal se encuentran en las esquinas de los poliedros, se conoce como "estructura de clatrato tipo I". Los hidratos de gas formados por metano, propano y dióxido de carbono a bajas temperaturas tienen una estructura en la que las moléculas de agua se encuentran en los nodos de la estructura Weaire-Phelan y están unidas por enlaces de hidrógeno, y las moléculas de gas más grandes quedan atrapadas en las jaulas poliédricas. Algunos hidruros, siliciuros y germanuros de metales alcalinos también forman esta estructura, con silicio o germanio en los nodos y metales alcalinos en jaulas.

En arquitectura

La estructura Weaire-Phelan es la inspiración para el diseño de Tristram Carfrae del Centro Acuático Nacional de Beijing, el "Cubo de Agua", para los Juegos Olímpicos de Verano de 2008.