Descuento hiperbólico

En economía, el descuento hiperbólico es un modelo de descuento diferido inconsistente en el tiempo. Es una de las piedras angulares de la economía del comportamiento y los investigadores de neuroeconomía están estudiando activamente su base cerebral.

Según el enfoque de utilidad descontado, las opciones intertemporales no son diferentes de otras opciones, excepto que algunas consecuencias se retrasan y por lo tanto deben ser anticipadas y descartadas (es decir, re ponderadas para tener en cuenta el retraso).

Dadas dos recompensas similares, los humanos muestran preferencia por una que llega en un plazo más rápido. Se dice que los humanos descuentan el valor de la recompensa posterior, mediante un factor que aumenta con la duración del retraso. En el mundo financiero, este proceso normalmente se modela en forma de descuento exponencial, un modelo de descuento consistente en el tiempo. Desde entonces, muchos estudios psicológicos han demostrado desviaciones en la preferencia instintiva de la tasa de descuento constante asumida en el descuento exponencial. El descuento hiperbólico es un modelo matemático alternativo que concuerda más estrechamente con estos hallazgos.

Según el descuento hiperbólico, las valoraciones caen relativamente rápido durante los períodos de retraso anteriores (como desde ahora hasta una semana), pero luego caen más lentamente durante los períodos de retraso más largos (por ejemplo, más de unos pocos días). Por ejemplo, en un estudio inicial los sujetos dijeron que les sería indiferente entre recibir $15 inmediatamente o $30 después de 3 meses, $60 después de 1 año o $100 después de 3 años. Estas indiferencias reflejan tasas de descuento anuales que disminuyeron del 277% al 139% y al 63% a medida que los retrasos se hicieron más largos. Esto contrasta con el descuento exponencial, en el que la valoración cae en un factor constante por unidad de retraso y la tasa de descuento permanece igual.

El experimento estándar utilizado para revelar la curva de descuento hiperbólica de un sujeto de prueba es comparar las preferencias a corto plazo con las preferencias a largo plazo. Por ejemplo: "¿Preferirías un dólar hoy o tres dólares mañana?" o "¿Preferirías un dólar en un año o tres dólares en un año y un día?" Se ha afirmado que una fracción significativa de sujetos recibirán la cantidad menor hoy, pero con gusto esperarán un día más al año para recibir la cantidad mayor. Los individuos con tales preferencias se describen como "sesgados hacia el presente".

La consecuencia más importante del descuento hiperbólico es que crea preferencias temporales por recompensas pequeñas que se producen antes que por recompensas más grandes y tardías. Los individuos que utilizan descuentos hiperbólicos revelan una fuerte tendencia a tomar decisiones que son inconsistentes en el tiempo: hoy toman decisiones que su yo futuro preferiría no haber tomado, a pesar de conocer la misma información. Esta inconsistencia dinámica ocurre porque las hipérbolas distorsionan el valor relativo de las opciones con una diferencia fija en los retrasos en proporción a qué tan lejos está quien toma la decisión de esas opciones.

Observaciones

El fenómeno del descuento hiperbólico está implícito en la "ley de emparejamiento" de Richard Herrnstein, que establece que al dividir su tiempo o esfuerzo entre dos fuentes continuas y no exclusivas de recompensa, la mayoría de los sujetos asignan en proporción directa a la tasa y tamaño de las recompensas de las dos fuentes, y en proporción inversa a sus retrasos. Es decir, los sujetos' opciones "coinciden" estos parámetros.

Después del informe de este efecto en el caso de la demora, George Ainslie señaló que en una única elección entre una recompensa mayor, posterior y una recompensa menor, más temprana, la proporcionalidad inversa a la demora se describiría mediante una gráfica de valor por demora. que tenía una forma hiperbólica, y que cuando se prefiere la recompensa más pequeña y más rápida, esta preferencia se puede revertir aumentando ambas recompensas. retrasos por la misma cantidad absoluta. La investigación de Ainslie mostró que un número sustancial de sujetos informaron que preferirían $50 inmediatamente en lugar de $100 en seis meses, pero NO preferirían $50 en 3 meses en lugar de $100 en nueve meses, a pesar de que esta era la misma opción vista. a los 3 meses' mayor distancia. Más significativamente, aquellos sujetos que dijeron que preferían $50 en 3 meses a $100 en 9 meses dijeron que NO preferirían $50 en 12 meses a $100 en 18 meses (nuevamente, el mismo par de opciones a una distancia diferente), lo que demuestra que la preferencia- El efecto de reversión no dependió de la emoción de obtener una recompensa inmediata. Tampoco depende de la cultura humana; Los primeros hallazgos de reversión de preferencias se produjeron en ratas y palomas.

Muchos experimentos posteriores han confirmado que las preferencias espontáneas de sujetos humanos y no humanos siguen una curva hiperbólica en lugar de la curva exponencial convencional que produciría elecciones consistentes a lo largo del tiempo. Por ejemplo, cuando se les ofrece la opción entre $50 ahora y $100 dentro de un año, muchas personas elegirán los $50 inmediatos. Sin embargo, si tenemos la posibilidad de elegir entre 50 dólares en cinco años o 100 dólares en seis años, casi todo el mundo elegirá 100 dólares en seis años, aunque sea la misma opción que se ve a los cinco años. mayor distancia.

El descuento hiperbólico también se ha encontrado para relacionarse con ejemplos reales de autocontrol. De hecho, una variedad de estudios han utilizado medidas de descuento hiperbólico para encontrar que los individuos dependientes de drogas de descuento retrasan las consecuencias más que los controles no dependientes coincidentes, lo que sugiere que el descuento por demora extrema es un proceso conductual fundamental en la drogodependencia. Algunas pruebas sugieren que los jugadores patológicos también descartan resultados retrasados a tasas más altas que los controles coincidentes. Si las altas tasas de descuento hiperbólico preceden a las adicciones o viceversa es actualmente desconocida, aunque algunos estudios han reportado que los contables de alta calidad tienen más probabilidades de consumir alcohol y cocaína que los contables de baja tasa. Del mismo modo, algunos han sugerido que el descuento hiperbólico de alta calidad hace que los resultados impredecibles (acumulación) sean más satisfactorios.

El grado de descuento es de vital importancia al describir el descuento hiperbólico, especialmente en el descuento de recompensas específicas como el dinero. El descuento de recompensas monetarias varía según los grupos de edad debido a la variación de la tasa de descuento. La tasa depende de una variedad de factores, incluida la especie que se observa, la edad, la experiencia y la cantidad de tiempo necesaria para consumir la recompensa.

Modelo matemático

explicación paso a paso

Supongamos que en un estudio, a los participantes se les ofrece la opción de tomar x dólares inmediatamente o tomar y dólares n días después. Supongamos además que un participante en ese estudio emplea un descuento exponencial y otro emplea un descuento hiperbólico. Ambos participantes saben que pueden invertir el dinero que reciben hoy en un plan de ahorro que les dé un interés de r. Ambos se dan cuenta de que deben tomar x dólares inmediatamente si el valor futuro del plan de ahorro rendirá más de y dólares n días después. Cada participante entiende correctamente la pregunta fundamental que se hace: "Para cualquier valor dado de y dólares y n días, ¿cuál es la cantidad mínima x de dólares, que debería estar dispuesto a aceptar? En otras palabras, ¿cuántos dólares necesitaría invertir hoy para obtener y dólares n días a partir de ahora?" Cada uno tomará x dólares si x es mayor que la respuesta que calculan, y cada uno tomará y dólares n dentro de unos días si x es menor que esa respuesta. Sin embargo, los métodos que utilicen para calcular esa cantidad y las respuestas que obtengan serán diferentes, y sólo el descontador exponencial utilizará el método correcto y obtendrá un resultado confiablemente correcto:

• El descuentor exponencial piensa "El plan de ahorros añade a su valor, en cada día, r por ciento del valor que tenía el día anterior. Así que cada día multiplica su valor una vez por (100% + r%). Así que si tengo la inversión para n días, su valor se habrá multiplicado por esta cantidad n tiempos, haciendo ese valor (100% + r%)ⁿ de lo que era al principio – es decir, (1 + r)ⁿ veces lo que era al principio. Así que para averiguar cuánto necesitaría empezar hoy para conseguir Sí. dólares n días a partir de ahora, necesito dividir Sí. dólares por [1 + r]ⁿ."
• El descuento hiperbólico, sin embargo, piensa "El plan de ahorros añade a su valor, en cada día, r por ciento. Por lo tanto, después n días, añade a su valor r×n porcentaje [Existe el error del contable hiperbólico]. Así que para averiguar cuánto necesitaría empezar hoy para conseguir Sí. dólares n días a partir de ahora, necesito dividir Sí. dólares por [1 + n×r]."

As n se convierte en muy grande, el valor de (1 + r)ⁿ se hace mucho más grande que el valor de [1 + n×r], con el efecto que el valor de Sí. / (1 + r)ⁿ se vuelve mucho más pequeño que el valor Sí./[1 + n×r]. Por consiguiente, el valor mínimo de x (el número de dólares en la elección inmediata) que basta para ser mayor que esa cantidad será mucho menor que el contable hiperbólico piensa, con el resultado de que percibirán x-valores en el rango desde Sí./(1 + r)ⁿ a Sí./[1 + n×r] inclusivo como demasiado pequeño y, como resultado, irracionalmente rechazar esas alternativas cuando son de hecho la mejor inversión.

Modelo formal

El descuento hiperbólico se describe matemáticamente como

g()D)=11+kD{displaystyle g(D)={frac {1}{1+kD},}

donde g(D) es el factor de descuento que multiplica el valor de la recompensa, D es el retraso en la recompensa y k es un parámetro que rige el grado de descuento (por ejemplo, la tasa de interés). Esto se compara con la fórmula de descuento exponencial:

f()D)=e− − kD{displaystyle f(D)=e^{-kD},}

Comparación

Si f()D)=2− − D{displaystyle f(D)=2^{-D},} es una función de descuento exponencial y g()D)=11+D{displaystyle g(D)={frac {1}{1+D},} una función hiperbólica (con D el número de semanas de retraso), luego el descuento exponencial una semana después de "ahora" (D=0) f()1)f()0)=12{displaystyle {frac {f}{f}}={frac {1}{2},}, y el descuento exponencial a una semana de la semana D es f()D+1)f()D)=12{displaystyle {frac {f(D+1)}{f(D)}={frac {1}{2}},}Lo que significa que son iguales. Para g()D), g()1)g()0)=12{displaystyle {frac {g}{g(0)}={frac {1}{2},}, que es el mismo f, mientras g()D+1)g()D)=1− − 1D+2{displaystyle {frac {g(D+1)}{g(D)}=1-{frac {1}{D+2},}. De este se puede ver que los dos tipos de descuento son el mismo "ahora", pero cuando D es mucho mayor que 1, por ejemplo 52 (un año), g()D+1)g()D){displaystyle {frac {g(D+1)}{g(D)},} tenderá a ir a 1, para que el descuento hiperbólico de una semana en el futuro lejano sea prácticamente cero, mientras que el factor de descuento exponencial es todavía 1/2, por lo que todavía hay considerable descuento en el futuro lejano.

Aproximación cuasi-hiperbólica

El concepto "cuasi-hiperbólico" La función de descuento (a veces llamada "descuento beta-delta"), propuesta por Laibson (1997), se aproxima a la función de descuento hiperbólica anterior en tiempo discreto por

f()D)={}1D=0β β δ δ DD=1,2,3,...{displaystyle f(D)={begin{cases}1quad D=0\beta delta ^{D}quad D=1,2,3,...end{cases}

donde β y δ son constantes entre 0 y 1; y D es el retraso en la recompensa, pero ahora solo toma valores enteros. La condición f(0) = 1 establece que las recompensas obtenidas en el momento actual no se descuentan.

Los descuentos cuasi-hiperbólicos conservan gran parte de la capacidad analítica de descuento exponencial mientras capturan la característica cualitativa clave de descuento hiperbólico.

Explicaciones

Riesgos inciertos

Si descontar ganancias futuras es racional o no, y a qué tasa deben descontarse dichas ganancias, depende en gran medida de las circunstancias. Existen muchos ejemplos en el mundo financiero, por ejemplo, en los que es razonable suponer que existe un riesgo implícito de que la recompensa no esté disponible en una fecha futura y, además, que este riesgo aumenta con el tiempo. Considere pagar 50 dólares por la cena hoy o retrasar el pago durante sesenta años pero pagar 100.000 dólares. En este caso, sería razonable que el restaurador descontara el valor futuro prometido, ya que existe un riesgo significativo de que no se pague (por ejemplo, debido a la muerte del restaurador o del comensal).

La incertidumbre de este tipo se puede cuantificar con el análisis bayesiano. Por ejemplo, supongamos que la probabilidad de que la recompensa esté disponible después del tiempo t es, para una tasa de riesgo conocida λ,

P()RtSilencioλ λ )=exp⁡ ⁡ ()− − λ λ t),{displaystyle P(R_{t} foreverlambda)=exp(-lambda t),,}

pero quien toma las decisiones desconoce la tasa. Si la distribución de probabilidad previa de λ es

p()λ λ )=exp⁡ ⁡ ()− − λ λ /k)/k,{displaystyle p(lambda)=exp(-lambda /k)/k,,}

entonces el encargado de la decisión esperará que la probabilidad de la recompensa después del tiempo t es

P()Rt)=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO P()RtSilencioλ λ )p()λ λ )dλ λ =11+kt,{displaystyle P(R_{t})=int _{0}{infty }P(R_{t} durablelambda)p(lambda)dlambda ={frac {1}{1+kt}},,}

que es exactamente la tasa de descuento hiperbólica. Se pueden obtener conclusiones similares a partir de otras distribuciones plausibles para λ.

Aplicaciones

Más recientemente, estas observaciones sobre las funciones de descuento se han utilizado para estudiar el ahorro para la jubilación, los ingresos personales y la adicción a las drogas, los préstamos con tarjetas de crédito y la procrastinación. Se ha utilizado frecuentemente para explicar la adicción. También se han ofrecido descuentos hiperbólicos como explicación de la divergencia entre actitudes y comportamientos en materia de privacidad.

Valores actuales de anualidades

Valor actual de una anualidad estándar

El valor presente de una serie de flujos de efectivo anuales iguales en mora descontados hiperbólicamente es

V=PIn⁡ ⁡ ()1+kD)k,{displaystyle V=P{frac {ln(1+kD)}{k},}

donde V es el valor presente, P es el flujo de caja anual, D es el número de pagos anuales y k es el factor que rige el descuento.

Crítica

Se han propuesto varias explicaciones alternativas del descuento no exponencial. Un artículo de 2003 señaló que este patrón podría explicarse mejor mediante una heurística de similitud que mediante un descuento hiperbólico. Los sujetos también han informado cambios en sus preferencias relativas a medida que ven más detalles de lo que están eligiendo: un efecto de “construcción temporal”.

Un estudio de Daniel Read introduce "descuento subadditivo": el hecho de que el descuento sobre un retraso aumenta si el retraso se divide en intervalos más pequeños. Esta hipótesis puede explicar el hallazgo principal de muchos estudios en apoyo de descuentos hiperbólicos, la observación de que la impaciencia disminuye con el tiempo, mientras que también se contabilizan las observaciones no previstas por el descuento hiperbólico. Sin embargo, aunque estas observaciones se apartan del descuento exponencial, no implican la inversión de preferencia como el tiempo de elección a los aumentos de recompensa anteriores.

La excitación del apetito o de la emoción a veces conduce a una inversión de preferencias, y ésta ha sido la alternativa más ampliamente aceptada a una función simplemente hiperbólica: el descuento hiperboloide o cuasi-hiperbólico fusiona curvas exponenciales con un aumento de excitación a medida que una recompensa visceral se vuelve inminente. Estos casos son evidentemente importantes, pero todavía no tienen en cuenta los casos en los que durante la excitación se hace ninguna elección o ambas cosas.

La objeción más obvia al descuento hiperbólico es que muchas o la mayoría de las personas aprenden a elegir consistentemente con el tiempo en la mayoría de las situaciones. De manera similar, un artículo de 2014 criticó los estudios existentes por utilizar principalmente datos recopilados de estudiantes universitarios y concluir demasiado rápido que el modelo hiperbólico de descuento es correcto. Los experimentos con humanos han informado con frecuencia amplias variaciones entre sujetos. Si superar la tendencia a la preferencia temporal requiere aprendizaje, la siguiente tarea obvia para los experimentadores es probar teorías sobre cómo y cuándo ocurre este aprendizaje (por ejemplo, Ainslie, 2012).