Teorema de imposibilidad de Arrow

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En la teoría de la elección social, el teorema de la imposibilidad de Arrow, el teorema de la posibilidad general o paradoja de Arrow es un teorema de la imposibilidad que establece que cuando los votantes tienen tres o más alternativas distintas (opciones), ningún sistema electoral de votación clasificado puede convertir las preferencias clasificadas de los individuos en una comunidad. clasificación amplia (completa y transitiva) al mismo tiempo que cumple con un conjunto específico de criterios: dominio sin restricciones, no dictadura, eficiencia de Pareto e independencia de alternativas irrelevantes. El teorema se cita a menudo en las discusiones sobre la teoría de la votación tal como se interpreta más adelante por el teorema de Gibbard-Satterthwaite. El teorema lleva el nombre del economista y premio Nobel Kenneth Arrow, quien demostró el teorema en su tesis doctoral y lo popularizó en su libro de 1951 Elección social y valores individuales. El artículo original se titulaba "Una dificultad en el concepto de bienestar social".

En resumen, el teorema establece que no se puede diseñar un sistema electoral de orden de rango que siempre satisfaga estos tres criterios de "equidad":

  • Si todos los votantes prefieren la alternativa X a la alternativa Y, entonces el grupo prefiere X a Y.
  • Si la preferencia de cada votante entre X e Y permanece sin cambios, entonces la preferencia del grupo entre X e Y también permanecerá sin cambios (incluso si cambian las preferencias de los votantes entre otros pares como X y Z, Y y Z, o Z y W).
  • No hay "dictador": ningún votante individual posee el poder de determinar siempre la preferencia del grupo.

Los sistemas electorales de votación cardinal no están cubiertos por el teorema, ya que transmiten más información que los órdenes de rango. Sin embargo, el teorema de Gibbard muestra que la votación estratégica sigue siendo un problema.

El enfoque axiomático que adoptó Arrow puede tratar todas las reglas concebibles (que se basan en preferencias) dentro de un marco unificado. En ese sentido, el enfoque es cualitativamente diferente al anterior en la teoría del voto, en el que las reglas se investigaban una por una. Por lo tanto, se puede decir que el paradigma contemporáneo de la teoría de la elección social partió de este teorema.

Las consecuencias prácticas del teorema son discutibles: Arrow ha dicho: "La mayoría de los sistemas no van a funcionar mal todo el tiempo. Todo lo que probé es que todos pueden funcionar mal a veces".

Declaración

La necesidad de agregar preferencias ocurre en muchas disciplinas: en la economía del bienestar, donde se intenta encontrar un resultado económico que sea aceptable y estable; en la teoría de la decisión, donde una persona tiene que hacer una elección racional basada en varios criterios; y más naturalmente en los sistemas electorales, que son mecanismos para extraer una decisión relacionada con la gobernabilidad de una multitud de preferencias de los votantes.

El marco del teorema de Arrow asume que necesitamos extraer un orden de preferencia en un conjunto dado de opciones (resultados). Cada individuo en la sociedad (o de manera equivalente, cada criterio de decisión) otorga un orden particular de preferencias sobre el conjunto de resultados. Estamos buscando un sistema electoral de votación clasificada, llamado función de bienestar social (regla de agregación de preferencias), que transforma el conjunto de preferencias (perfilde preferencias) en un único orden global de preferencias sociales. El teorema de Arrow dice que si el órgano decisorio tiene al menos dos miembros y al menos tres opciones entre las que decidir, entonces es imposible diseñar una función de bienestar social que satisfaga todas estas condiciones (supuestas como un requisito razonable de un proceso electoral justo). sistema) a la vez:no dictaduraLa función de bienestar social debe dar cuenta de los deseos de múltiples votantes. No puede simplemente imitar las preferencias de un solo votante.Dominio irrestricto o universalidadPara cualquier conjunto de preferencias individuales de los votantes, la función de bienestar social debería generar una clasificación única y completa de las elecciones sociales. Por lo tanto:

  • Debe hacerlo de manera que resulte en una clasificación completa de las preferencias de la sociedad.
  • Debe proporcionar de manera determinista la misma clasificación cada vez que las preferencias de los votantes se presenten de la misma manera.

Independencia de alternativas irrelevantes (IIA)La preferencia social entre x e y debería depender únicamente de las preferencias individuales entre x e y (independencia por pares). En términos más generales, los cambios en las clasificaciones de los individuos de alternativas irrelevantes (aquellas fuera de un determinado subconjunto) no deberían tener impacto en la clasificación social del subconjunto. Por ejemplo, si el candidato x se clasifica socialmente antes que el candidato y, entonces x debería clasificarse socialmente antes que y incluso si un tercer candidato z es eliminado de la participación. (Ver comentarios a continuación).Monotonicidad, o asociación positiva de valores sociales e individuales.Si cualquier individuo modifica su orden de preferencia promoviendo una determinada opción, entonces el orden de preferencia de la sociedad debe responder solo promoviendo esa misma opción o no cambiarla, nunca colocándola más baja que antes. Un individuo no debería poder perjudicar una opción clasificándola más arriba.No imposición o soberanía ciudadanaCada orden de preferencia social posible debería poder lograrse mediante algún conjunto de órdenes de preferencia individuales. Esto significa que la función de bienestar social es sobreyectiva: tiene un espacio objetivo sin restricciones.

Una versión posterior (1963) del teorema de Arrow reemplazó los criterios de monotonicidad y no imposición con:Eficiencia de Pareto o unanimidadSi cada individuo prefiere una cierta opción a otra, entonces también debe hacerlo el orden de preferencia social resultante. Esto, nuevamente, es una demanda de que la función de bienestar social sea mínimamente sensible al perfil de preferencia.

Esta última versión es más general y tiene condiciones más débiles. Los axiomas de monotonicidad, no imposición e IIA juntos implican eficiencia de Pareto, mientras que la eficiencia de Pareto (en sí misma implica no imposición) e IIA juntos no implican monotonicidad.

Independencia de alternativas irrelevantes (IIA)

La condición del IIA tiene tres propósitos (o efectos):NormativoLas alternativas irrelevantes no deberían importar.PrácticoUso de información mínima.EstratégicoProporcionar los incentivos adecuados para la revelación veraz de las preferencias individuales. Aunque la propiedad estratégica es conceptualmente diferente de IIA, está estrechamente relacionada.

El ejemplo de la muerte de un candidato de Arrow (1963, página 26) sugiere que la agenda (el conjunto de alternativas factibles) se reduce de, digamos, X = {a, b, c} a S = {a, b} debido a la muerte del candidato c. Este ejemplo es engañoso ya que puede dar al lector la impresión de que IIA es una condición que involucra dos agendas y un perfil. El hecho es que IIA involucra solo una agenda ({x, y} en caso de independencia por pares) pero dosperfiles. Si la condición se aplica a este ejemplo confuso, requiere lo siguiente: supongamos que una regla de agregación que satisface IIA elige b de la agenda {a, b} cuando el perfil viene dado por (cab, cba), es decir, el individuo 1 prefiere c a a a b, 2 prefiere c a b a a. Entonces, aún debe elegir b de {a, b} si el perfil fuera, digamos: (abc, bac); (acb, bca); (acb, cba); o (abc, cba).

En otras palabras, Arrow define IIA diciendo que las preferencias sociales entre las alternativas x e y dependen solo de las preferencias individuales entre x e y (no de las que involucran a otros candidatos).

Enunciado formal del teorema

Sea A un conjunto de resultados, N un número de votantes o criterios de decisión. Denotaremos el conjunto de todos los ordenamientos lineales completos de A por L(A).

Una función de bienestar social (estricta) (regla de agregación de preferencias) es una funciónF:mathrm {L(A)} ^{N}to mathrm {L(A)}

que agrega las preferencias de los votantes en un solo orden de preferencia en A.

Una N -tupla (R 1, …, R N) ∈ L(A) de las preferencias de los votantes se denomina perfil de preferencia. En su forma más fuerte y simple, el teorema de imposibilidad de Arrow establece que siempre que el conjunto A de alternativas posibles tenga más de 2 elementos, las siguientes tres condiciones se vuelven incompatibles:Unanimidad o eficiencia débil de ParetoSi la alternativa, a, se clasifica estrictamente por encima de b para todos los ordenamientos R 1, …, R N, entonces a se clasifica estrictamente por encima de b por F(R 1, R 2, …, R N). (La unanimidad implica la no imposición.)no dictaduraNo hay individuo cuyas estrictas preferencias prevalezcan siempre . Es decir, no hay i ∈ {1, …, N } tal que para todo (R 1, …, R N) ∈ L(A), un clasificado estrictamente superior a b por R i implica un clasificado estrictamente superior a b por F(R 1, R 2, …, R N), para todo a y b.Independencia de alternativas irrelevantesPara dos perfiles de preferencia (R 1, …, R N) y (S 1, …, S N) tales que para todos los individuos i, las alternativas a y b tienen el mismo orden en R i que en S i, las alternativas a y b tienen el mismo orden en F(R 1, …, R N) que en F(S 1, …, S N).

Prueba informal

Basado en dos demostraciones que aparecen en Economic Theory. Para simplificar, hemos presentado todas las clasificaciones como si los empates fueran imposibles. Una prueba completa que tenga en cuenta posibles vínculos no es esencialmente diferente de la que se da aquí, excepto que se debe decir "no arriba" en lugar de "abajo" o "no abajo" en lugar de "arriba" en algunos casos. Los detalles completos se dan en los artículos originales.

Probaremos que cualquier sistema de elección social que respete el dominio irrestricto, la unanimidad y la independencia de alternativas irrelevantes (IIA) es una dictadura. La idea clave es identificar a un votante fundamental cuya boleta cambie el resultado social. Luego demostramos que este votante es un dictador parcial (en un sentido técnico específico, descrito a continuación). Finalmente concluimos mostrando que todos los dictadores parciales son la misma persona, por lo tanto este votante es un dictador.

Primera parte: hay un votante "fundamental" para B sobre A

Digamos que hay tres opciones para la sociedad, llámelas A, B y C. Supongamos primero que todos prefieren menos la opción B: todos prefieren A a B y todos prefieren C a B. Por unanimidad, la sociedad también debe preferir tanto A como C a B. Llame a este perfil de situación 0.

Por otro lado, si todos prefirieran B a todo lo demás, entonces la sociedad tendría que preferir B a todo lo demás por unanimidad. Ahora organice a todos los votantes en un orden arbitrario pero fijo, y para cada i deje que el perfil i sea el mismo que el perfil 0, pero mueva B a la parte superior de las papeletas para los votantes 1 a i. Entonces, el perfil 1 tiene B en la parte superior de la boleta para el votante 1, pero no para ninguno de los otros. El perfil 2 tiene B en la parte superior para los votantes 1 y 2, pero ningún otro, y así sucesivamente.

Dado que B eventualmente se mueve a la parte superior de la preferencia social, debe haber algún perfil, número k, para el cual B se mueve por encima de A en el rango social. Llamamos al votante cuyo cambio de boleta hace que esto suceda el votante fundamental para B sobre A. Nótese que el votante pivote de B sobre A no es, a priori, el mismo que el votante pivote de A sobre B. En la tercera parte de la prueba mostraremos que estos resultan ser los mismos.

También tenga en cuenta que por IIA se aplica el mismo argumento si el perfil 0 es cualquier perfil en el que A está clasificado por encima de B por cada votante, y el votante fundamental para B sobre A seguirá siendo el votante k. Usaremos esta observación a continuación.

Segunda parte: el votante central de B sobre A es un dictador de B sobre C

En esta parte del argumento nos referimos al votante k, el votante central de B sobre A, como el votante central por simplicidad. Mostraremos que el votante central dicta la decisión de la sociedad para B sobre C. Es decir, mostramos que no importa cómo vote el resto de la sociedad, si el votante fundamental califica B sobre C, entonces ese es el resultado social. Obsérvese de nuevo que el dictador de B sobre C no es a priori el mismo que el de C sobre B. En la parte tres de la prueba veremos que estos también resultan ser los mismos.

A continuación, llamamos a los votantes 1 a k − 1, segmento uno, y a los votantes k + 1 a N, segmento dos. Para empezar, supongamos que las papeletas son las siguientes:

  • Cada votante en el segmento uno clasifica a B por encima de C y C por encima de A.
  • El votante fundamental clasifica A por encima de B y B por encima de C.
  • Cada votante en el segmento dos clasifica A sobre B y B sobre C.

Entonces, según el argumento de la primera parte (y la última observación de esa parte), el resultado social debe clasificar a A por encima de B. Esto se debe a que, excepto por un reposicionamiento de C, este perfil es el mismo que el perfil k − 1 de la primera parte. Además, por unanimidad, el resultado social debe estar clasificado como B por encima de C. Por lo tanto, conocemos completamente el resultado en este caso.

Ahora suponga que el votante fundamental mueve B por encima de A, pero mantiene a C en la misma posición e imagine que cualquier número (¡o todos!) de los demás votantes cambian sus votos para mover B por debajo de C, sin cambiar la posición de A. Luego, aparte de un reposicionamiento de C, esto es lo mismo que el perfil k de la primera parte y, por lo tanto, el resultado social clasifica a B por encima de A. Además, por IIA el resultado social debe clasificarse como A por encima de C, como en el caso anterior. En particular, el resultado social clasifica a B por encima de C, aunque Pivotal Voter puede haber sido el único votante en el rango B por encima de C. Por IIA, esta conclusión se mantiene independientemente de cómo se posicione A en las papeletas, por lo que el votante central es un dictador de B sobre C.

Tercera parte: Existe un dictador

En esta parte del argumento nos remitimos al orden original de los votantes y comparamos las posiciones de los diferentes votantes centrales (identificados al aplicar las partes uno y dos a los otros pares de candidatos). Primero, el votante central de B sobre C debe aparecer antes (o en la misma posición) en la línea que el dictador de B sobre C: como consideramos el argumento de la parte uno aplicado a B y C, moviendo sucesivamente B a la parte superior de las papeletas de los votantes, el punto de pivote donde la sociedad clasifica B sobre C debe llegar en o antes de que lleguemos al dictador para B sobre C. Del mismo modo, invirtiendo los roles de B y C, el votante central de C sobre B debe estar en la fila o más tarde que el dictador de B sobre C. En resumen, si k X/Y denota la posición del votante central de X sobre Y (para dos candidatos cualesquiera X e Y), entonces hemos demostradok segundo / segundo ≤ k segundo / unk segundo / segundo.

Ahora, repitiendo todo el argumento anterior con B y C intercambiados, también tenemosk B/Bk B/C.

Por lo tanto, tenemoskB /C = kB / A = kC /B

y el mismo argumento para otros pares muestra que todos los votantes fundamentales (y por lo tanto todos los dictadores) se encuentran en la misma posición en la lista de votantes. Este votante es el dictador de toda la elección.

Interpretaciones

Aunque el teorema de Arrow es un resultado matemático, a menudo se expresa de una manera no matemática con una afirmación como que ningún método de votación es justo, todos los métodos de votación clasificados tienen fallas o el único método de votación que no tiene fallas es una dictadura. Estas declaraciones son simplificaciones del resultado de Arrow que no se consideran universalmente verdaderas. Lo que sí establece el teorema de Arrow es que un mecanismo de votación preferencial determinista, es decir, uno en el que un orden de preferencia es la única información en una votación, y cualquier posible conjunto de votos da un resultado único, no puede cumplir con todas las condiciones dadas anteriormente simultáneamente..

Varios teóricos han sugerido debilitar el criterio IIA como una salida a la paradoja. Los defensores de los métodos de votación clasificados sostienen que el IIA es un criterio excesivamente fuerte. Es el que se vulnera en los sistemas electorales más útiles. Los defensores de esta posición señalan que la posibilidad de preferencias cíclicas implica trivialmente el incumplimiento del criterio estándar del IIA. Si los votantes emiten sus votos de la siguiente manera:

  • 1 voto para A > B > C
  • 1 voto para B > C > A
  • 1 voto para C > A > B

entonces la preferencia mayoritaria por pares del grupo es que A gana sobre B, B gana sobre C y C gana sobre A: esto produce preferencias de piedra, papel o tijera para cualquier comparación por pares. En esta circunstancia, cualquier regla de agregación que satisfaga el requisito mayoritario muy básico de que un candidato que reciba la mayoría de los votos debe ganar la elección, no cumplirá con el criterio del IIA, si se requiere que la preferencia social sea transitiva (o acíclica). Para ver esto, suponga que tal regla satisface IIA. Como se respetan las preferencias mayoritarias, la sociedad prefiere A a B (dos votos por A > B y uno por B > A), B a C y C a A. Se genera así un ciclo que contradice el supuesto de que la preferencia social es transitivo.

Entonces, lo que realmente muestra el teorema de Arrow es que cualquier sistema electoral en el que la mayoría gana es un juego no trivial, y que la teoría del juego debe usarse para predecir el resultado de la mayoría de los mecanismos de votación. Esto podría verse como un resultado desalentador, porque un juego no necesita tener equilibrios eficientes; por ejemplo, una boleta podría dar como resultado una alternativa que nadie realmente quería en primer lugar, y sin embargo, todos votaron.

Observación: clasificaciones escalares de un vector de atributos y la propiedad IIA

Es posible que la propiedad IIA no se satisfaga en la toma de decisiones humanas de complejidad realista porque la clasificación de preferencia escalar se deriva efectivamente de la ponderación, generalmente no explícita, de un vectorde atributos (un libro que trata sobre el teorema de Arrow invita al lector a considerar el problema relacionado de crear una medida escalar para el evento de decatlón de atletismo; en la carrera de 1500 m) y esta clasificación escalar puede depender sensiblemente de la ponderación de diferentes atributos, con la propia ponderación tácita afectada por el contexto y el contraste creado por elecciones aparentemente "irrelevantes". Edward MacNeal analiza este problema de sensibilidad con respecto a la clasificación de la "ciudad más habitable" en el capítulo "Encuestas" de su libro MathSemantics: haciendo que los números tengan sentido (1994).

Alternativas basadas en funciones de perfiles de preferencia

En un intento por escapar de la conclusión negativa del teorema de Arrow, los teóricos de la elección social han investigado varias posibilidades ("salidas"). Esta sección incluye enfoques que se ocupan de

  • reglas de agregación (funciones que mapean cada perfil de preferencia en una preferencia social), y
  • otras funciones, como funciones que asignan cada perfil de preferencia a una alternativa.

Dado que estos dos enfoques a menudo se superponen, los discutimos al mismo tiempo. Lo característico de estos enfoques es que investigan varias posibilidades al eliminar, debilitar o reemplazar una o más condiciones (criterios) que impuso Arrow.

Infinidad de individuos

Varios teóricos (p. ej., Fishburn y Kirman y Sondermann) señalan que cuando se abandona la suposición de que hay un número finito de individuos, se pueden encontrar reglas de agregación que satisfagan todas las demás condiciones de Arrow.

Sin embargo, tales reglas de agregación tienen un interés prácticamente limitado, ya que se basan en ultrafiltros, objetos matemáticos altamente no constructivos. En particular, Kirman y Sondermann argumentan que hay un "dictador invisible" detrás de tal regla. Mihara muestra que tal regla viola la computabilidad algorítmica. Se puede ver que estos resultados establecen la solidez del teorema de Arrow.

Por otro lado, los ultrafiltros (de hecho, construirlos en un modelo infinito se basa en el axioma de elección) también son inherentes a los modelos finitos (sin necesidad del axioma de elección). Pueden interpretarse como jerarquías decisivas, con la única diferencia de que el nivel superior de la jerarquía, el dictador de Arrow, siempre existe en un modelo finito pero puede ser inalcanzable (= faltante) en una jerarquía infinita. En este último caso, el "dictador invisible" no es más que la misma jerarquía decisiva infinita. Si se desea, se puede complementar con un punto límite, que luego se convierte en un "dictador visible". Dado que los dictadores son inseparables de las jerarquías decisivas, la prohibición de la Dictadura prohíbe automáticamente las jerarquías decisivas, lo que es mucho menos evidente que la prohibición de la Dictadura. Véase también el párrafo "Relajación de la prohibición de la Dictadura".

Limitar el número de alternativas

Cuando solo hay dos alternativas para elegir, el teorema de May muestra que solo la regla de la mayoría simple satisface un cierto conjunto de criterios (p. ej., trato igualitario de los individuos y de las alternativas; un mayor apoyo para una alternativa ganadora no debería convertirla en una perdedora).. Por otro lado, cuando existen al menos tres alternativas, el teorema de Arrow señala la dificultad de la toma colectiva de decisiones. ¿Por qué hay una diferencia tan marcada entre el caso de menos de tres alternativas y el de al menos tres alternativas?

El teorema de Nakamura (sobre el núcleo de los juegos simples) da una respuesta más general. Establece que si el número de alternativas es menor que un número entero llamado número de Nakamura, entonces la regla en cuestión identificará las "mejores" alternativas sin ningún problema; si el número de alternativas es mayor o igual al número de Nakamura, entonces la regla no siempre funcionará, ya que para algún perfil una paradoja de votación (un ciclo como la alternativa A socialmente preferida a la alternativa B, B a C y C a A) surgirá. Dado que el número de Nakamura de la regla de la mayoría es 3 (excepto en el caso de cuatro individuos), se puede concluir del teorema de Nakamura que la regla de la mayoría puede tratar racionalmente hasta con dos alternativas. Algunas reglas de supermayoría (como las que requieren 2/3 de los votos) pueden tener un número de Nakamura superior a 3, pero tales reglas violan otras condiciones dadas por Arrow.

Votación por parejas

Una forma común de "alrededor" de la paradoja de Arrow es limitar el conjunto alternativo a dos alternativas. Así, siempre que se deban poner a prueba más de dos alternativas, parece muy tentador utilizar un mecanismo que las empareje y vote por pares. Por muy tentador que parezca este mecanismo a primera vista, por lo general está lejos de satisfacer incluso la eficiencia de Pareto, sin mencionar la IIA. El orden específico en el que se deciden los pares influye fuertemente en el resultado. Esto no es necesariamente una mala característica del mecanismo. Muchos deportes utilizan el mecanismo del torneo, esencialmente un mecanismo de emparejamiento, para elegir un ganador. Esto brinda una oportunidad considerable para que ganen los equipos más débiles, lo que aumenta el interés y la tensión durante todo el torneo. Esto significa que la persona que controla el orden en que se emparejan las opciones (el creador de la agenda) tiene un gran control sobre el resultado. En cualquier caso, al ver todo el proceso de votación como un solo juego, el teorema de Arrow aún se aplica.

Restricciones de dominio

Otro enfoque es relajar la condición de universalidad, lo que significa restringir el dominio de las reglas de agregación. El resultado más conocido a lo largo de esta línea asume preferencias de "pico único".

Duncan Black ha demostrado que si solo hay una dimensión en la que cada individuo tiene una preferencia de "pico único", entonces todas las condiciones de Arrow se cumplen por la regla de la mayoría. Suponga que existe un ordenamiento lineal predeterminado del conjunto alternativo. La preferencia de un individuo es de un solo picocon respecto a este ordenamiento si tiene algún lugar especial que le guste más a lo largo de esa línea, y su disgusto por una alternativa crece más a medida que la alternativa se aleja más de ese lugar (es decir, la gráfica de su función de utilidad tiene un solo pico si las alternativas se colocan de acuerdo con el orden lineal en el eje horizontal). Por ejemplo, si los votantes estuvieran votando sobre dónde establecer el volumen de la música, sería razonable suponer que cada votante tenía su propia preferencia de volumen ideal y que, a medida que el volumen se volvía demasiado alto o demasiado bajo, estarían cada vez más insatisfechos. Si el dominio se restringe a perfiles en los que cada individuo tiene una única preferencia máxima con respecto al ordenamiento lineal, entonces las reglas de agregación simples, que incluyen la regla de la mayoría, tienen unpreferencia social acíclica (definida a continuación), por lo tanto, la "mejor" alternativa. En particular, cuando hay un número impar de individuos, entonces la preferencia social se vuelve transitiva y la alternativa socialmente "mejor" es igual a la mediana de todos los picos de los individuos (teorema del votante mediano de Black). Bajo las preferencias de un solo pico, la regla de la mayoría es, en algunos aspectos, el mecanismo de votación más natural.

Se puede definir la noción de preferencias "de un solo pico" en conjuntos de alternativas de dimensiones superiores. Sin embargo, uno puede identificar la "mediana" de los picos solo en casos excepcionales. En su lugar, normalmente tenemos la situación destructiva sugerida por el Teorema del Caos de McKelvey: para cualquier x e y, uno puede encontrar una secuencia de alternativas tales que x es vencida por x 1 por mayoría, x 1 por x 2, hasta x k por y.

Transitividad relajante

Al relajar la transitividad de las preferencias sociales, podemos encontrar reglas de agregación que satisfagan las otras condiciones de Arrow. Sin embargo, si imponemos la neutralidad (igualdad de trato de las alternativas) en tales reglas, existe un individuo que tiene un "veto". Por lo tanto, la posibilidad que brinda este enfoque también es muy limitada.

Primero, suponga que una preferencia social es cuasi-transitiva (en lugar de transitiva); esto significa que la preferencia estricta succ("mejor que") es transitiva: si xéxito yy ysucc z, entonces xsucc z. Entonces, existen reglas de agregación no dictatoriales que satisfacen las condiciones de Arrow, pero tales reglas son oligárquicas. Esto significa que existe una coalición L tal que L es decisiva (si cada miembro de L prefiere x a y, entonces la sociedad prefiere x a y), y cada miembro de L tiene derecho a veto (si prefiere x a y, entonces la sociedad no puede preferir y a x).

Segundo, supongamos que una preferencia social es acíclica (en lugar de transitiva): no existen alternativas x_{1},ldots,x_{k}que formen un ciclo (x_{1}succ x_{2},;x_{2}succ x_{3},;ldots,;x_{k-1}succ x_{k},;x_{k} succ x_{1}). Entonces, siempre que haya al menos tantas alternativas como individuos, una regla de agregación que satisfaga las otras condiciones de Arrow es colegial. Esto significa que hay individuos que pertenecen a la intersección ("collegium") de todas las coaliciones decisivas. Si hay alguien que tiene veto, entonces pertenece al colegio. Si se supone que la regla es neutral, entonces tiene alguien que tiene un veto.

Finalmente, el teorema de Brown dejó abierto el caso de preferencias sociales acíclicas donde el número de alternativas es menor que el número de individuos. Uno puede dar una respuesta definitiva para ese caso utilizando el número de Nakamura. Ver limitar el número de alternativas.

Suposición relajante IIA

Hay numerosos ejemplos de reglas de agregación que satisfacen las condiciones de Arrow excepto IIA. La regla Borda es una de ellas. Estas reglas, sin embargo, son susceptibles de manipulación estratégica por parte de los individuos.

Ver también Interpretaciones del teorema anterior.

Relajación del criterio de Pareto

Wilson (1972) muestra que si una regla de agregación no es impuesta ni nula, entonces hay un dictador o un dictador inverso, siempre que también se satisfagan las condiciones de Arrow distintas de las de Pareto. Aquí, un dictador inverso es un individuo i tal que siempre que i prefiera x a y, entonces la sociedad prefiere y a x.

Amartya Sen ofreció tanto la relajación de la transitividad como la eliminación del principio de Pareto. Demostró otro resultado de imposibilidad interesante, conocido como la "imposibilidad del liberal paretiano" (ver paradoja liberal para más detalles). Sen continuó argumentando que esto demuestra la futilidad de exigir la optimización de Pareto en relación con los mecanismos de votación.

Relajación de la prohibición de la Dictadura

Andranik Tangian (2010) introdujo medidas de la "representatividad" del dictador, por ejemplo, el "índice de popularidad" definido como el tamaño promedio del grupo social cuyas preferencias por pares son compartidas (= representadas) por el dictador, promediado sobre todos los pares de alternativas y todos los perfiles de preferencia. Se demostró que siempre existen dictadores "buenos" de Arrow que en promedio representan una mayoría. Dado que son más bien representantes de la sociedad, como presidentes elegidos democráticamente, no hay razones evidentes para prohibirlos. Restringiendo la noción de dictador sólo a los "malos", es decir, aquellos que en promedio representan una minoría, se demostró que los axiomas de Arrow son consistentes.

Elección social en lugar de preferencia social

En la toma de decisiones sociales, clasificar todas las alternativas no suele ser un objetivo. A menudo basta con encontrar alguna alternativa. El enfoque que se centra en elegir una alternativa investiga funciones de elección social (funciones que mapean cada perfil de preferencia en una alternativa) o reglas de elección social (funciones que mapean cada perfil de preferencia en un subconjunto de alternativas).

En cuanto a las funciones de elección social, es bien conocido el teorema de Gibbard-Satterthwaite, que establece que si una función de elección social cuyo rango contiene al menos tres alternativas es a prueba de estrategia, entonces es dictatorial.

En cuanto a las reglas de elección social, debemos asumir que hay una preferencia social detrás de ellas. Es decir, deberíamos considerar una regla como la elección de los elementos máximos (alternativas "mejores") de alguna preferencia social. El conjunto de elementos máximos de una preferencia social se denomina núcleo. Las condiciones para la existencia de una alternativa en el núcleo han sido investigadas en dos enfoques. El primer enfoque asume que las preferencias son al menos acíclicas (lo cual es necesario y suficiente para que las preferencias tengan un elemento máximo en cualquier subconjunto finito). Por ello, está íntimamente relacionado con la transitividad relajante. El segundo enfoque descarta el supuesto de preferencias acíclicas. Kumabe y Miharaadoptar este enfoque. Hacen una suposición más directa de que las preferencias individuales tienen elementos máximos y examinan las condiciones para que la preferencia social tenga un elemento máximo. Consulte el número de Nakamura para obtener detalles de estos dos enfoques.

Otras alternativas

Arrow rechazó originalmente la utilidad cardinal como una herramienta significativa para expresar el bienestar social, por lo que centró su teorema en las clasificaciones de preferencia, pero luego afirmó que un sistema de puntaje cardinal con tres o cuatro clases "es probablemente el mejor".

El marco de Arrow asume que las preferencias individuales y sociales son "ordenamientos" (es decir, satisfacen la integridad y la transitividad) en el conjunto de alternativas. Esto significa que si las preferencias están representadas por una función de utilidad, su valor es una utilidad ordinal en el sentido de que tiene sentido en la medida en que el mayor valor indica la mejor alternativa. Por ejemplo, tener utilidades ordinales de 4, 3, 2, 1 para las alternativas a, b, c, d, respectivamente, es lo mismo que tener 1000, 100.01, 100, 0, que a su vez es lo mismo que tener 99, 98, 1,.997. Todos ellos representan el orden en el que se prefiere a a b a c a d. La suposición de preferencias ordinales, que excluye las comparaciones interpersonales de utilidad, es una parte integral del teorema de Arrow.

Por varias razones, un enfoque basado en la utilidad cardinal, donde la utilidad tiene un significado más allá de simplemente dar una clasificación de alternativas, no es común en la economía contemporánea. Sin embargo, una vez que se adopta ese enfoque, se pueden tener en cuenta las intensidades de las preferencias, o se pueden comparar (i) las ganancias y pérdidas de utilidad o (ii) los niveles de utilidad entre diferentes individuos. En particular, Harsanyi (1955) da una justificación del utilitarismo (que evalúa las alternativas en términos de la suma de las utilidades individuales), con origen en Jeremy Bentham. Hammond (1976) da una justificación del principio maximin (que evalúa las alternativas en términos de la utilidad del individuo en peor situación), con origen en John Rawls.

No todos los métodos de votación utilizan, como entrada, solo una ordenación de todos los candidatos. Los métodos que no lo hacen, a menudo llamados sistemas electorales "clasificados" o "cardinales" (a diferencia de "clasificados", "ordinales" o "preferenciales"), pueden verse como que utilizan información que solo la utilidad cardinal puede transmitir. En ese caso, no es de extrañar que alguno de ellos satisfaga todas las condiciones de Arrow que se reformulan. La votación por rango es un método de este tipo. Si tal afirmación es correcta depende de cómo se reformule cada condición.Otros sistemas electorales calificados que pasan ciertas generalizaciones de los criterios de Arrow incluyen la votación de aprobación y el juicio mayoritario. Tenga en cuenta que el teorema de Arrow no se aplica a los métodos de un solo ganador como estos, pero el teorema de Gibbard todavía se aplica: ningún sistema electoral no defectuoso está totalmente libre de estrategia, por lo que el dicho informal de que "ningún sistema electoral es perfecto" todavía tiene un significado matemático. base.

Finalmente, aunque no es un enfoque que investigue algún tipo de reglas, hay una crítica de James M. Buchanan, Charles Plott y otros. Argumenta que es una tontería pensar que puede haber preferencias sociales análogas a las preferencias individuales. Arrow (1963, capítulo 8) responde a este tipo de críticas vistas en el período inicial, que provienen, al menos en parte, de malentendidos.

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