Conjunto denso en ninguna parte

En matemáticas, un subconjunto de un espacio topológico se llama nada denso o raro si su cierre tiene un interior vacío. En un sentido muy amplio, es un conjunto cuyos elementos no están estrechamente agrupados (según lo definido por la topología del espacio) en ninguna parte. Por ejemplo, los números enteros no son densos en ninguna parte entre los reales, mientras que una bola abierta no lo es.

Una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte se denomina conjunto exiguo. Los conjuntos exiguos juegan un papel importante en la formulación del teorema de la categoría de Baire, que se utiliza en la demostración de varios resultados fundamentales del análisis funcional.

Definición

La densidad en ninguna parte se puede caracterizar de formas diferentes (pero equivalentes). La definición más simple es la de la densidad:

Un subconjunto S{displaystyle S. de un espacio topológico X{displaystyle X} se dice que dense en otro set U{displaystyle U} si la intersección S∩ ∩ U{displaystyle Scap U} es un subconjunto denso U.{displaystyle U.} S{displaystyle S. es De ninguna manera o raro dentro X{displaystyle X} si S{displaystyle S. no es denso en ningún subconjunto abierto no vacío U{displaystyle U} de X.{displaystyle X.}

Ampliando la negación de la densidad, es equivalente a exigir que cada conjunto abierto no vacío U{displaystyle U} contiene un subconjunto abierto no vacío S.{displaystyle S.} Basta comprobar la condición de una base para la topología. X.{displaystyle X.} En particular, densidad en ninguna parte R{displaystyle mathbb {R} a menudo se describe como ser denso en ningún intervalo abierto.

Definición por cierre

La segunda definición anterior equivale a exigir que el cierre, clX⁡ ⁡ S,{displaystyle operatorname {cl} - Sí. no puede contener ningún conjunto abierto no vacío. Esto es lo mismo que decir que el interior del cierre S{displaystyle S. está vacío; es decir,

intX⁡ ⁡ ()clX⁡ ⁡ S)=∅ ∅ .{displaystyle operatorname {int} ¿Por qué? {cl} Nada.

Alternativamente, el complemento del cierre X∖ ∖ ()clX⁡ ⁡ S){displaystyle Xsetminus left(operatorname {cl} - Sí. debe ser un subconjunto denso X;{displaystyle X;} en otras palabras, el exterior S{displaystyle S. es denso en X.{displaystyle X.}

Propiedades

La noción de No hay lugar denso es siempre relativo a un espacio circundante dado. Suppose A⊆ ⊆ Y⊆ ⊆ X,{displaystyle Asubseteq Ysubseteq X. Donde Y{displaystyle Sí. tiene la topología subespacial inducida X.{displaystyle X.} El set A{displaystyle A} puede estar en ninguna parte densa X,{displaystyle X. pero no en ninguna parte Y.{displaystyle Sí. Notablemente, un conjunto siempre es denso en su propia topología subespacial. Así que si A{displaystyle A} no es vacío, no será en ninguna parte densa como un subconjunto de sí mismo. Sin embargo, los siguientes resultados son:

• Si A{displaystyle A} No hay lugar denso en Y,{displaystyle Sí. entonces A{displaystyle A} No hay lugar denso en X.{displaystyle X.}
• Si Y{displaystyle Sí. está abierto X{displaystyle X}, entonces A{displaystyle A} No hay lugar denso en Y{displaystyle Sí. si A{displaystyle A} No hay lugar denso en X.{displaystyle X.}
• Si Y{displaystyle Sí. es denso en X{displaystyle X}, entonces A{displaystyle A} No hay lugar denso en Y{displaystyle Sí. si A{displaystyle A} No hay lugar denso en X.{displaystyle X.}

Un conjunto no es denso en ninguna parte si y solo si su cierre lo es.

Cada subconjunto de un conjunto denso en ninguna parte es denso, y una unión finita de conjuntos densos en ninguna parte es denso. Así, la nada densa establece un ideal de conjuntos, una noción adecuada de conjunto insignificante. En general no forman un σ-ideal, como se establece meager, que son los sindicatos contables de los conjuntos densos en ninguna parte, no necesitan ser densos. Por ejemplo, el conjunto Q{displaystyle mathbb {Q} no está en ninguna parte densa R.{displaystyle mathbb {R}

El límite de cada conjunto abierto y de cada conjunto cerrado está cerrado y en ninguna parte denso. Un conjunto cerrado no es en ninguna parte denso si y sólo si es igual a su límite, si y sólo si es igual al límite de algún conjunto abierto (por ejemplo, el conjunto abierto se puede tomar como el complemento del conjunto). Un conjunto arbitrario A⊆ ⊆ X{displaystyle Asubseteq X} no es en ninguna parte denso si y sólo si es un subconjunto del límite de un conjunto abierto (por ejemplo, el conjunto abierto se puede tomar como el exterior de A{displaystyle A}).

Ejemplos

• El set S={}1/n:n=1,2,...}{displaystyle S={1/n:n=1,2,...} y su cierre S∪ ∪ {}0}{displaystyle Scup {0}} No hay lugar denso en R,{displaystyle mathbb {R} ya que el cierre tiene interior vacío.
• R{displaystyle mathbb {R} visto como el eje horizontal en el plano Euclideano no es denso en ninguna parte R2.{displaystyle mathbb {R} ^{2}
• Z{displaystyle mathbb {Z} No hay lugar denso en R{displaystyle mathbb {R} pero los racionales Q{displaystyle mathbb {Q} no son (son densos en todas partes).
• Z∪ ∪ [()a,b)∩ ∩ Q]{displaystyle mathbb {Z} cup [a,b]cap mathbb {Q}} es no en ningún lugar denso R{displaystyle mathbb {R}: es denso en el intervalo abierto ()a,b),{displaystyle (a,b),} y en particular el interior de su cierre ()a,b).{displaystyle (a,b). }
• El set vacío no es denso. En un espacio discreto, el conjunto vacío es el sólo No hay lugar denso.
• En un espacio T1, cualquier conjunto de un soloton que no sea un punto aislado no es en ninguna parte denso.
• Un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico es ya sea denso o en ninguna parte denso.

Conjuntos densos en ninguna parte con medida positiva

Un conjunto denso en ninguna parte no es necesariamente insignificante en todos los sentidos. Por ejemplo, si X{displaystyle X} es el intervalo de unidad [0,1],{displaystyle [0,1],} no sólo es posible tener un conjunto denso de la medida Lebesgue cero (como el conjunto de racionales), sino que también es posible tener un conjunto denso en ninguna parte con medida positiva.

Por un ejemplo (una variante del conjunto Cantor), eliminar de [0,1]{displaystyle [0,1]} todas las fracciones dyadicas, es decir, fracciones de la forma a/2n{displaystyle a/2^{n} en términos más bajos para números enteros positivos a,n▪ ▪ N,{displaystyle a,nin mathbb {N} y los intervalos alrededor de ellos: ()a/2n− − 1/22n+1,a/2n+1/22n+1).{displaystyle left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}right). } Desde cada uno n{displaystyle n} esto elimina intervalos añadiendo a la mayoría 1/2n+1,{displaystyle 1/2 {n+1},} el conjunto denso en ninguna parte que permanece después de que todos estos intervalos han sido eliminados tiene medida de al menos 1/2{displaystyle 1/2} (De hecho, acaba de terminar) 0,535...... {displaystyle 0.535ldots} por superposiciones) y así en un sentido representa la mayoría del espacio ambiente [0,1].{displaystyle [0,1].} Este conjunto no es denso, ya que está cerrado y tiene un interior vacío: cualquier intervalo ()a,b){displaystyle (a,b)} no está contenido en el conjunto desde las fracciones dyadicas en ()a,b){displaystyle (a,b)} han sido eliminados.

Generalizando este método, se puede construir en el intervalo de unidad en ningún lugar conjuntos densos de cualquier medida menos que 1,{displaystyle 1,} Aunque la medida no puede ser exactamente 1 (porque de lo contrario el complemento de su cierre sería un conjunto abierto no vacío con la medida cero, que es imposible).

Para otro ejemplo más simple, si U{displaystyle U} es cualquier subconjunto abierto denso R{displaystyle mathbb {R} tener finito Lebesgue measure then R∖ ∖ U{displaystyle mathbb {R} setminus U} es necesariamente un subconjunto cerrado R{displaystyle mathbb {R} tener infinito Medida de Lebesgue que también está en ninguna parte densa R{displaystyle mathbb {R} (porque su interior topológico está vacío). Tal subconjunto abierto denso U{displaystyle U} de la medida de Lebesgue finita se construye comúnmente al probar que la medida Lebesgue de los números racionales Q{displaystyle mathbb {Q} es 0.{displaystyle 0.} Esto puede hacerse eligiendo cualquier bijeción f:N→ → Q{displaystyle f:mathbb {N} to mathbb {Q} (en realidad es suficiente para f:N→ → Q{displaystyle f:mathbb {N} to mathbb {Q} para ser simplemente una subjeción) y para cada 0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0,{displaystyle r confía0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ee1bdad381ab757caae14bc628dd1f9005fa5f" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.956ex; height:2.509ex;"/> Dejar

Ur:=⋃ ⋃ n▪ ▪ N()f()n)− − r/2n,f()n)+r/2n)=⋃ ⋃ n▪ ▪ Nf()n)+()− − r/2n,r/2n){displaystyle U_{r}~:=~bigcup _{nin mathbb {N}left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}right)~=~bigcup _{ninmathbb {N}f(n)+left(-r/2^{n},r/2^{n}right)}}

f()n)+()− − r/2n,r/2n):=()f()n)− − r/2n,f()n)+r/2n){displaystyle f(n)+left(-r/2^{n},r/2^{n}right):=left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}right)}

Ur{displaystyle U_{r}

R{displaystyle mathbb {R}

Q{displaystyle mathbb {Q}

.. n▪ ▪ N2r/2n=2r.{displaystyle sum _{nin mathbb 2r/2 = 2r. }

Sr:=⋃ ⋃ n▪ ▪ Nf()n)+[− − r/2n,r/2n]{displaystyle S_{r}~:=~bigcup _{nin mathbb {N}f(n)+left[-r/2^{n},r/2^{n}right]

Sr/2⊆ ⊆ Ur⊆ ⊆ Sr⊆ ⊆ U2r.{displaystyle S_{r/2}subseteq U_{r}subseteq S_{r}subseteq U_{2r}.

R∖ ∖ Sr{displaystyle mathbb {R} setminus S_{r}

R∖ ∖ Ur,{displaystyle mathbb {R} setminus U_{r}

R.{displaystyle mathbb {R}

R{displaystyle mathbb {R}

D:=⋂ ⋂ m=1JUEGO JUEGO U1/m=⋂ ⋂ m=1JUEGO JUEGO S1/m{displaystyle D:=bigcap - ¿Qué? ♪U_{1/m}=bigcap - ¿Qué? }S_{1/m}

R{displaystyle mathbb {R}

Q,{displaystyle mathbb {Q}

D{displaystyle D}

R{displaystyle mathbb {R}

0{displaystyle 0}

R{displaystyle mathbb {R}

D{displaystyle D}

R{displaystyle mathbb {R}

R∖ ∖ D{displaystyle mathbb {R} setminus D}

R{displaystyle mathbb {R}

R{displaystyle mathbb {R}

R∖ ∖ D{displaystyle mathbb {R} setminus D}

R{displaystyle mathbb {R}

R{displaystyle mathbb {R}

Q{displaystyle mathbb {Q}

R{displaystyle mathbb {R}

R{displaystyle mathbb {R}

Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}

0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0.{displaystyle n confianza0.}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ab13b00b6f8bb19aea0dcfcc78f18a2b6cbffc" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.302ex; height:2.176ex;"/>