Conjunto nulo

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Conjunto mensurable cuya medida es cero

El triángulo Sierpiński es un ejemplo de un conjunto nulo de puntos en

mathbb {R} ^{2}

En el análisis matemático, a null set ${displaystyle Nsubset mathbb {R} }$ es un conjunto mensurable que tiene Medida cero. Esto se puede caracterizar como un conjunto que puede ser cubierto por una unión contable de intervalos de longitud total arbitrariamente pequeña.

La noción de conjunto nulo no debe confundirse con el conjunto vacío tal como se define en la teoría de conjuntos. Aunque el conjunto vacío tiene la medida de Lebesgue cero, también hay conjuntos no vacíos que son nulos. Por ejemplo, cualquier conjunto contable no vacío de números reales tiene la medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, es nulo.

Más generalmente, en un espacio de medida determinada ${displaystyle M=(X,Sigmamu)}$ un conjunto nulo es un conjunto ${displaystyle Sin Sigma }$ tales que ${displaystyle mu (S)=0}$ .

Ejemplo

Todo subconjunto finito o numerablemente infinito de los números reales es un conjunto nulo. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números racionales son numerablemente infinitos y, por lo tanto, son conjuntos nulos cuando se los considera como subconjuntos de los números reales.

El conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo incontable.

Definición

Suppose $A$ es un subconjunto de la línea real $mathbb {R}$ tales que

0, exists left{U_{n}right}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})subset mathbb {R}:quad Asubset bigcup _{n=1}^{infty }U_{n} {textrm {and}} sum _{n=1}^{infty }left|U_{n}right|О О ε ε ■0,∃ ∃ {}Un}n:Un=()an,bn)⊂ ⊂ R:A⊂ ⊂ ⋃ ⋃ n=1JUEGO JUEGO Uny.. n=1JUEGO JUEGO SilencioUnSilencio.ε ε ,{displaystyle forall varepsilon √0,\exists left{U_{n}right}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})subset mathbb {R}:quad Asubset bigcup _{n=1} {infty }U_{n} {textrm {and}}\fn} sum _{n=1}{infty } 'izquierda' 'derecha' 'varepsilon ,}0, exists left{U_{n}right}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})subset mathbb {R}:quad Asubset bigcup _{n=1}^{infty }U_{n} {textrm {and}} sum _{n=1}^{infty }left|U_{n}right|

donde $U n$ son intervalos y $| U |$ es la longitud de $U$ , entonces $A$ es un conjunto nulo, también conocido como un conjunto de contenido cero.

En terminología de análisis matemático, esta definición requiere que haya una secuencia de cubiertas abiertas de $A$ para las cuales el límite de las longitudes de las cubiertas es cero.

Propiedades

El conjunto vacío siempre es un conjunto nulo. De manera más general, cualquier unión contable de conjuntos nulos es nula. Cualquier subconjunto de un conjunto nulo es en sí mismo un conjunto nulo. Juntos, estos hechos muestran que los conjuntos nulos m de X forman un ideal sigma en X. De manera similar, los conjuntos medibles m-nulos forman un sigma-ideal del sigma-álgebra de conjuntos medibles. Por lo tanto, los conjuntos nulos pueden interpretarse como conjuntos insignificantes, lo que define una noción de casi todas partes.

Medida de Lebesgue

La medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud, un área o un volumen a subconjuntos del espacio euclidiano.

Un subconjunto N de $mathbb {R}$ ha null Lebesgue medida y se considera un nulo $mathbb {R}$ si y sólo si:

Dado cualquier número positivo ε, hay una secuencia

{} I n}

de intervalos en

mathbb {R}

tales que N está contenida en la unión de la

{} I n}

y la longitud total del sindicato es menor que ε.

Esta condición puede ser generalizada $mathbb {R} ^{n}$ , utilizando n- En vez de intervalos. De hecho, la idea puede ser hecha para tener sentido en cualquier múltiple, incluso si no hay ninguna medida de Lebesgue allí.

Por ejemplo:

Con respecto a $mathbb {R} ^{n}$ , todos los juegos de singleton son null, y por lo tanto todos los juegos contables son null. En particular, el conjunto Q de números racionales es un conjunto nulo, a pesar de ser denso en $mathbb {R}$ .
La construcción estándar del conjunto Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo incontable $mathbb {R}$ ; sin embargo, otras construcciones son posibles que asignan al Cantor establecer cualquier medida.
Todos los subconjuntos de $mathbb {R} ^{n}$ cuya dimensión es menor n han null Lebesgue medida en $mathbb {R} ^{n}$ . Por ejemplo, líneas rectas o círculos son conjuntos nulos $mathbb {R} ^{2}$ .
Lemma de Sard: el conjunto de valores críticos de una función lisa tiene medida cero.

Si λ es la medida de Lebesgue $mathbb {R}$ y π es la medida de Lebesgue para ${mathbb {R}}^{{2}}$ , entonces la medida del producto ${displaystyle lambda times lambda =pi }$ . En términos de conjuntos nulos, la siguiente equivalencia ha sido el teorema de Fubini:

Para ${displaystyle Asubset mathbb {R} ^{2}}$ y $A_x = {y: (x y) isin A }$ $0right}right)=0.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">π π ()A)=0⟺ ⟺ λ λ (){}x:λ λ ()Ax)■0})=0.{displaystyle pi (A)=0iff lambda left(left{x:lambda left(A_{x}right)}right0right)=0.}0right}right)=0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d3ba9de691ddc1f1f179b5ee0ca1dab1512985" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.822ex; height:2.843ex;"/>$

Usos

Los conjuntos nulos juegan un papel clave en la definición de la integral de Lebesgue: si las funciones $f$ y $g$ son iguales excepto en un conjunto nulo, entonces $f$ es integrable si y solo si $g$ es, y sus integrales son iguales. Esto motiva la definición formal de los espacios Lp como conjuntos de clases de equivalencia de funciones que difieren solo en conjuntos nulos.

Una medida en la que todos los subconjuntos de conjuntos nulos son medibles es completo. Cualquier medida incompleta se puede completar para formar una medida completa al afirmar que los subconjuntos de conjuntos nulos tienen una medida cero. La medida de Lebesgue es un ejemplo de medida completa; en algunas construcciones se define como la terminación de una medida Borel no completa.

Un subconjunto del conjunto de Cantor que no es medible por Borel

La medida Borel no está completa. Una construcción simple es comenzar con el conjunto estándar de Cantor $K$ , que es cerrado, por lo tanto Borel medible, y que tiene medida cero, y encontrar un subconjunto $F$ de $K$ que no es Borel medible. (Dado que la medida de Lebesgue está completa, esta $F$ es, por supuesto, medible según Lebesgue).

Primero, debemos saber que todo conjunto de medidas positivas contiene un subconjunto no medible. Sea $f$ la función de Cantor, una función continua que es localmente constante en $K c$ , y aumentando monótonamente en [0, 1], con $f (0) = 0$ y $f (1) = 1$ . Obviamente, $f (K c)$ es contable, ya que contiene un punto por componente de $K c$ . Por lo tanto, $f (K c)$ tiene medida cero, entonces $f (K)$ tiene el compás uno. Necesitamos una función estrictamente monótona, así que considere $g (x) = f (x) + x$ . Dado que $g (x)$ es estrictamente monótono y continuo, es un homeomorfismo. Además, $g (K)$ tiene medida uno. Sea $E \subset g (K)$ no medible, y sea $F = g -1 (E)$ . Como $g$ es inyectiva, tenemos que $F \subset K$ , por lo que $F$ es un conjunto nulo. Sin embargo, si fuera Borel medible, entonces $g (F)$ también sería Borel medible (aquí usamos el hecho que la preimagen de un Borel establecida por una función continua es medible; $g (F) = (g -1) -1 (F)$ es la preimagen de F a través de la función continua $h = g -1$ .) Por lo tanto, $F$ es un conjunto medible nulo, pero no Borel.

Haar nula

(feminine)

En un espacio de Banach separable $(X, +)$ , la operación de grupo mueve cualquier subconjunto $A \subset X$ a la traducción $A + x$ para cualquier $x \in X$ . Cuando hay una medida de probabilidad $μ$ en el σ-álgebra de los subconjuntos de Borel de $X$ , tal que para todos $x$ , $μ (A + x) = 0$ , luego $A$ es un conjunto nulo de Haar.

El término se refiere a la invariancia nula de las medidas de traduce, asociándola con la invariancia completa encontrada con la medida de Haar.

Algunas propiedades algebraicas de los grupos topológicos se han relacionado con el tamaño de los subconjuntos y los conjuntos nulos de Haar. Los conjuntos nulos de Haar se han utilizado en grupos polacos para mostrar que cuando $A$ no es un conjunto escaso, entonces $A -1 A$ contiene un entorno abierto del elemento de identidad. Esta propiedad lleva el nombre de Hugo Steinhaus ya que es la conclusión del teorema de Steinhaus.