Límites superior e inferior

Un conjunto con bordes superiores y su límite inferior superior

En matemáticas, particularmente en teoría del orden, un límite superior o mayor de un subconjunto S de algún conjunto preordenado (K, ≤) es un elemento de K que es mayor o igual que cada elemento de S. Dualmente, un límite inferior o minorante de S se define como un elemento de K que es menor o igual que cada elemento de S. Se dice que un conjunto con un límite superior (respectivamente, inferior) está acotado por arriba o mayorizado (respectivamente acotado por abajo o minorizado) por ese límite. Los términos acotado por arriba (acotado por debajo) también se utilizan en la literatura matemática para conjuntos que tienen límites superiores (respectivamente inferiores).

Ejemplos

Por ejemplo, 5 es un límite inferior para el conjunto S = {5, 8, 42, 34, 13934} (como un subconjunto de los números enteros o de los números reales, etc.), y también lo es 4. Por otro lado, 6 no es un límite inferior para S ya que no es más pequeño que todos los elementos de S.

El conjunto S = {42} tiene 42 como límite superior y límite inferior; todos los demás números son un límite superior o inferior para esa S.

Cada subconjunto de los números naturales tiene un límite inferior ya que los números naturales tienen un elemento mínimo (0 o 1, según la convención). Un subconjunto infinito de los números naturales no se puede acotar desde arriba. Un subconjunto infinito de enteros puede estar acotado por abajo o por arriba, pero no ambos. Un subconjunto infinito de números racionales puede o no estar acotado por abajo, y puede o no estar acotado por arriba.

Todo subconjunto finito de un conjunto totalmente ordenado no vacío tiene límites superiores e inferiores.

Límites de funciones

Las definiciones se pueden generalizar a funciones e incluso a conjuntos de funciones.

Dada una función f con dominio D y un conjunto preordenado (K, ≤) como codominio, un elemento y de K es un límite superior de f si y ≥ f(x) para cada x en D. El límite superior se llama sharp si la igualdad se mantiene para al menos un valor de x. Indica que la restricción es óptima y, por lo tanto, no se puede reducir más sin invalidar la desigualdad.

Del mismo modo, una función g definida en el dominio D y con el mismo codominio (K, ≤) es un límite superior de f, si g(x) ≥ f(x) para cada x en D. La función g se dice además que es un límite superior de un conjunto de funciones, si es un límite superior de cada función en ese conjunto.

La noción de límite inferior para (conjuntos de) funciones se define de manera análoga, reemplazando ≥ con ≤.

Límites estrechos

Se dice que un límite superior es un límite superior estricto, un límite superior mínimo o un supremo, si no hay un valor más pequeño. un límite superior. De manera similar, se dice que un límite inferior es un límite inferior ajustado, un límite inferior máximo o un ínfimo, si ningún valor mayor es un límite inferior.

Límites superiores exactos

Un límite superior u de un subconjunto S de un conjunto preordenado (K, ≤) se dice que es un límite superior exacto para S si cada elemento de K< /span> que está estrictamente mayorizado por u también está mayorizado por algún elemento de S. Los límites superiores exactos de productos reducidos de órdenes lineales juegan un papel importante en la teoría PCF.