Complemento (teoría de conjuntos)

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Conjunto de los elementos no en un subconjunto dado

A circle filled with red inside a square. The area outside the circle is unfilled. The borders of both the circle and the square are black.

A

es el área de color rojo en esta imagen...

An unfilled circle inside a square. The area inside the square not covered by the circle is filled with red. The borders of both the circle and the square are black.

... entonces el complemento de

A

es todo lo demás.

En la teoría de conjuntos, el complemento de un conjunto $A$ , a menudo indicado por $A ∁$ (o $A'$ ), es el conjunto de elementos que no están en $A$ .

Cuando todos los conjuntos del universo, es decir, todos los conjuntos bajo consideración, se consideran miembros de un conjunto determinado $U$ , el complemento absoluto de $A$ es el conjunto de elementos en estilo $U$ que no están en $A$ .

El complemento relativo de $A$ con respecto a un conjunto $B$ , también llamado el diferencia de configuración de $B$ y $A$ , escrito ${displaystyle Bsetminus A,}$ es el conjunto de elementos en $B$ que no están $A$ .

Complemento absoluto

El complemento absoluto del disco blanco es la región roja

Definición

Si $A$ es un conjunto, entonces el complemento absoluto de $A$ (o simplemente el complemento de $A$ ) es el conjunto de elementos que no están en $A$ (dentro de un conjunto mayor que está definido implícitamente). En otras palabras, sea $U$ un conjunto que contiene todos los elementos bajo estudio; si no hay necesidad de mencionar $U$ , ya sea porque se ha especificado previamente, o es obvio y único, entonces el valor absoluto complemento de $A$ es el complemento relativo de $A$ en $U$ :

{displaystyle A^{complement }=Usetminus A.}

O formalmente:

{displaystyle A^{complement }={xin U:xnotin A}.}

El complemento absoluto $A$ es generalmente denotado por $A ∁ .$ Otras notificaciones incluyen ${displaystyle {overline {A}},A',}$ ${displaystyle complement _{U}A,{text{ and }}complement A.}$

Ejemplos

Supongamos que el universo es el conjunto de enteros. Si $A$ es el conjunto de números extraños, entonces el complemento de $A$ es el conjunto de números. Si $B$ es el conjunto de múltiples de 3, luego el complemento de $B$ es el conjunto de números congruentes a 1 o 2 modulo 3 (o, en términos más simples, los enteros que no son múltiplos de 3).
Supongamos que el universo es la cubierta estándar de 52 cartas. Si el conjunto $A$ es el traje de las palas, luego el complemento de $A$ es la unión de los trajes de clubes, diamantes y corazones. Si el conjunto $B$ es la unión de los trajes de clubes y diamantes, luego el complemento de $B$ es la unión de los trajes de corazones y espadas.

Propiedades

Sean $A$ y $B$ ser dos conjuntos en un universo $U$ . Las siguientes identidades capturan propiedades importantes de los complementos absolutos:

Leyes de De Morgan:

${displaystyle left(Acup Bright)^{complement }=A^{complement }cap B^{complement }.}$
${displaystyle left(Acap Bright)^{complement }=A^{complement }cup B^{complement }.}$

Leyes complementarias:

${displaystyle Acup A^{complement }=U.}$
${displaystyle Acap A^{complement }=varnothing.}$
${displaystyle varnothing ^{complement }=U.}$
${displaystyle U^{complement }=varnothing.}$
${displaystyle {text{If }}Asubseteq B{text{, then }}B^{complement }subseteq A^{complement }.}$
(esto se deriva de la equivalencia de un condicional con su contrapositivo).

Ley de involución o doble complemento:

${displaystyle left(A^{complement }right)^{complement }=A.}$

Relaciones entre complementos relativos y absolutos:

${displaystyle Asetminus B=Acap B^{complement }.}$
${displaystyle (Asetminus B)^{complement }=A^{complement }cup B=A^{complement }cup (Bcap A).}$

Relación con una diferencia establecida:

${displaystyle A^{complement }setminus B^{complement }=Bsetminus A.}$

Las dos primeras leyes del complemento anteriores muestran que si $A$ es un subconjunto propio no vacío de $U$ , luego ${A, A ∁}$ es una partición de $U$ .