Complemento (teoría de conjuntos)

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Conjunto de los elementos no en un subconjunto dado

A circle filled with red inside a square. The area outside the circle is unfilled. The borders of both the circle and the square are black.

A

es el área de color rojo en esta imagen...

An unfilled circle inside a square. The area inside the square not covered by the circle is filled with red. The borders of both the circle and the square are black.

... entonces el complemento de

A

es todo lo demás.

En la teoría de conjuntos, el complemento de un conjunto $A$ , a menudo indicado por $A ∁$ (o $A'$ ), es el conjunto de elementos que no están en $A$ .

Cuando todos los conjuntos del universo, es decir, todos los conjuntos bajo consideración, se consideran miembros de un conjunto determinado $U$ , el complemento absoluto de $A$ es el conjunto de elementos en estilo $U$ que no están en $A$ .

El complemento relativo de $A$ con respecto a un conjunto $B$ , también llamado el diferencia de configuración de $B$ y $A$ , escrito ${displaystyle Bsetminus A,}$ es el conjunto de elementos en $B$ que no están $A$ .

Complemento absoluto

El complemento absoluto del disco blanco es la región roja

Definición

Si $A$ es un conjunto, entonces el complemento absoluto de $A$ (o simplemente el complemento de $A$ ) es el conjunto de elementos que no están en $A$ (dentro de un conjunto mayor que está definido implícitamente). En otras palabras, sea $U$ un conjunto que contiene todos los elementos bajo estudio; si no hay necesidad de mencionar $U$ , ya sea porque se ha especificado previamente, o es obvio y único, entonces el valor absoluto complemento de $A$ es el complemento relativo de $A$ en $U$ :

{displaystyle A^{complement }=Usetminus A.}

O formalmente:

{displaystyle A^{complement }={xin U:xnotin A}.}

El complemento absoluto $A$ es generalmente denotado por $A ∁ .$ Otras notificaciones incluyen ${displaystyle {overline {A}},A',}$ ${displaystyle complement _{U}A,{text{ and }}complement A.}$

Ejemplos

Supongamos que el universo es el conjunto de enteros. Si $A$ es el conjunto de números extraños, entonces el complemento de $A$ es el conjunto de números. Si $B$ es el conjunto de múltiples de 3, luego el complemento de $B$ es el conjunto de números congruentes a 1 o 2 modulo 3 (o, en términos más simples, los enteros que no son múltiplos de 3).
Supongamos que el universo es la cubierta estándar de 52 cartas. Si el conjunto $A$ es el traje de las palas, luego el complemento de $A$ es la unión de los trajes de clubes, diamantes y corazones. Si el conjunto $B$ es la unión de los trajes de clubes y diamantes, luego el complemento de $B$ es la unión de los trajes de corazones y espadas.

Propiedades

Sean $A$ y $B$ ser dos conjuntos en un universo $U$ . Las siguientes identidades capturan propiedades importantes de los complementos absolutos:

Leyes de De Morgan:

${displaystyle left(Acup Bright)^{complement }=A^{complement }cap B^{complement }.}$
${displaystyle left(Acap Bright)^{complement }=A^{complement }cup B^{complement }.}$

Leyes complementarias:

${displaystyle Acup A^{complement }=U.}$
${displaystyle Acap A^{complement }=varnothing.}$
${displaystyle varnothing ^{complement }=U.}$
${displaystyle U^{complement }=varnothing.}$
${displaystyle {text{If }}Asubseteq B{text{, then }}B^{complement }subseteq A^{complement }.}$
(esto se deriva de la equivalencia de un condicional con su contrapositivo).

Ley de involución o doble complemento:

${displaystyle left(A^{complement }right)^{complement }=A.}$

Relaciones entre complementos relativos y absolutos:

${displaystyle Asetminus B=Acap B^{complement }.}$
${displaystyle (Asetminus B)^{complement }=A^{complement }cup B=A^{complement }cup (Bcap A).}$

Relación con una diferencia establecida:

${displaystyle A^{complement }setminus B^{complement }=Bsetminus A.}$

Las dos primeras leyes del complemento anteriores muestran que si $A$ es un subconjunto propio no vacío de $U$ , luego ${A, A ∁}$ es una partición de $U$ .

Complemento relativo

Definición

Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces el complemento relativo de $A$ en $B$ , también denominada diferencia de conjunto de $B$ y $A$ , es el conjunto de elementos en $B$ pero no en $A$ .

El complemento relativo de

A

dentro

B

{displaystyle Bcap A^{complement }=Bsetminus A}

El complemento relativo $A$ dentro $B$ es denotado ${displaystyle Bsetminus A}$ según la norma ISO 31-11. A veces está escrito ${displaystyle B-A,}$ pero esta notación es ambigua, como en algunos contextos (por ejemplo, Minkowski estableció operaciones en análisis funcional) se puede interpretar como el conjunto de todos los elementos ${displaystyle b-a,}$ Donde $b$ se extrae $B$ y $a$ desde $A$ .

Formalmente:

{displaystyle Bsetminus A={xin B:xnotin A}.}

Ejemplos

${displaystyle {1,2,3}setminus {2,3,4}={1}.}$
${displaystyle {2,3,4}setminus {1,2,3}={4}.}$
Si $mathbb {R}$ es el conjunto de números reales y $mathbb {Q}$ es el conjunto de números racionales, entonces ${mathbb {R}}setminus {mathbb {Q}}$ es el conjunto de números irracionales.

Propiedades

Sean $A$ , $B$ y $C$ ser tres conjuntos. Las siguientes identidades capturan propiedades notables de los complementos relativos:

${displaystyle Csetminus (Acap B)=(Csetminus A)cup (Csetminus B).}$
${displaystyle Csetminus (Acup B)=(Csetminus A)cap (Csetminus B).}$
${displaystyle Csetminus (Bsetminus A)=(Ccap A)cup (Csetminus B),}$
con el importante caso especial ${displaystyle Csetminus (Csetminus A)=(Ccap A)}$ demostrando que la intersección se puede expresar utilizando sólo la operación de complemento relativo.
${displaystyle (Bsetminus A)cap C=(Bcap C)setminus A=Bcap (Csetminus A).}$
${displaystyle (Bsetminus A)cup C=(Bcup C)setminus (Asetminus C).}$
${displaystyle Asetminus A=emptyset.}$
${displaystyle emptyset setminus A=emptyset.}$
${displaystyle Asetminus emptyset =A.}$
${displaystyle Asetminus U=emptyset.}$
Si $Asubset B$ , entonces ${displaystyle Csetminus Asupset Csetminus B}$ .
${displaystyle Asupseteq Bsetminus C}$ equivale a ${displaystyle Csupseteq Bsetminus A}$ .

Relación complementaria

Una relación binaria $R$ se define como un subconjunto de un producto de conjuntos ${displaystyle Xtimes Y.}$ El Relación complementaria ${bar {R}}$ es el complemento conjunto de $R$ dentro ${displaystyle Xtimes Y.}$ El complemento de la relación $R$ puede ser escrito

{displaystyle {bar {R}} = (Xtimes Y)setminus R.}

R

X,

Y.

{displaystyle aRb}

a,

{displaystyle b.}

R

Junto con la composición de relaciones y las relaciones inversas, las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son las operaciones elementales del cálculo de relaciones.

Notación LaTeX

En el lenguaje de tipografía LaTeX, el comando setminus se utiliza generalmente para renderizar un símbolo de diferencia de conjunto, que es similar a un símbolo de barras traseras. Cuando se hace, setminus comando se ve idéntico a backslash, excepto que tiene un poco más de espacio en frente y detrás del slash, similar a la secuencia de LaTeX mathbin{backslash}. Una variante smallsetminus está disponible en el paquete amsymb. El símbolo ${displaystyle complement }$ (a diferencia de $C$ ) es producido por complement. (Se corresponde con el símbolo Unicode ∁.)

En lenguajes de programación

Algunos lenguajes de programación tienen conjuntos entre sus estructuras de datos integradas. Tal estructura de datos se comporta como un conjunto finito, es decir, consta de un número finito de datos que no están específicamente ordenados y, por lo tanto, pueden considerarse como los elementos de un conjunto. En algunos casos, los elementos no son necesariamente distintos y la estructura de datos codifica conjuntos múltiples en lugar de conjuntos. Estos lenguajes de programación tienen operadores o funciones para calcular el complemento y las diferencias de conjuntos.

Por lo general, estos operadores también se pueden aplicar a estructuras de datos que no son realmente conjuntos matemáticos, como listas ordenadas o matrices. De ello se deduce que algunos lenguajes de programación pueden tener una función llamada set_difference, incluso si no tienen ninguna estructura de datos para conjuntos.

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