Cálculo

El cálculo, originalmente llamado cálculo infinitesimal o "el cálculo de los infinitesimales", es el estudio matemático del cambio continuo, de la misma manera que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de las operaciones aritméticas.

Tiene dos ramas principales, cálculo diferencial y cálculo integral; el primero se refiere a las tasas de cambio instantáneo y las pendientes de las curvas, mientras que el último se refiere a la acumulación de cantidades y áreas debajo o entre las curvas. Estas dos ramas están relacionadas entre sí por el teorema fundamental del cálculo y hacen uso de las nociones fundamentales de convergencia de sucesiones infinitas y series infinitas hasta un límite bien definido.

El cálculo infinitesimal fue desarrollado de forma independiente a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. El trabajo posterior, incluida la codificación de la idea de los límites, colocó estos desarrollos sobre una base conceptual más sólida. Hoy en día, el cálculo tiene usos generalizados en la ciencia, la ingeniería y las ciencias sociales.

Etimología

En educación matemática, el cálculo denota cursos de análisis matemático elemental, que se dedican principalmente al estudio de funciones y límites. La palabra cálculo en latín significa "pequeño guijarro" (el diminutivo de calx, que significa "piedra"), un significado que aún persiste en la medicina. Debido a que tales guijarros se usaban para contar distancias, contar votos y hacer aritmética con ábaco, la palabra llegó a significar un método de cálculo. En este sentido, se usó en inglés al menos desde 1672, varios años antes de las publicaciones de Leibniz y Newton.

Además del cálculo diferencial y el cálculo integral, el término también se usa para nombrar métodos específicos de cálculo y teorías relacionadas que buscan modelar un concepto particular en términos matemáticos. Los ejemplos de esta convención incluyen el cálculo proposicional, el cálculo de Ricci, el cálculo de variaciones, el cálculo lambda y el cálculo de procesos. Además, el término "cálculo" se ha aplicado de diversas formas en ética y filosofía, para sistemas como el cálculo feliz de Bentham y el cálculo ético.

Historia

El cálculo moderno fue desarrollado en la Europa del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (independientemente el uno del otro, publicando por primera vez al mismo tiempo), pero elementos de él aparecieron en la antigua Grecia, luego en China y el Medio Oriente, y aún más tarde nuevamente. en la Europa medieval y en la India.

Precursores antiguos

Egipto

Los cálculos de volumen y área, uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiro egipcio de Moscú (c.  1820 a. C.), pero las fórmulas son instrucciones simples, sin indicación de cómo se obtuvieron.

Grecia

Sentando las bases para el cálculo integral y presagiando el concepto de límite, el antiguo matemático griego Eudoxo de Cnido (c.  390 - 337 a. C.) desarrolló el método de agotamiento para demostrar las fórmulas de los volúmenes de conos y pirámides.

Durante el período helenístico, Arquímedes (c.  287 - c.  212 a. C.) desarrolló aún más este método, quien lo combinó con un concepto de los indivisibles, un precursor de los infinitesimales, lo que le permitió resolver varios problemas que ahora se tratan mediante el cálculo integral. En El método de los teoremas mecánicos describe. por ejemplo, calcular el centro de gravedad de un hemisferio sólido, el centro de gravedad de un tronco de un paraboloide circular y el área de una región limitada por una parábola y una de sus líneas secantes.

Porcelana

El método de agotamiento fue descubierto más tarde de forma independiente en China por Liu Hui en el siglo III dC para encontrar el área de un círculo. En el siglo V d. C., Zu Gengzhi, hijo de Zu Chongzhi, estableció un método que luego se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera.

Medieval

Oriente Medio

En el Medio Oriente, Hasan Ibn al-Haytham, latinizado como Alhazen (c.  965 - c.  1040 EC) derivó una fórmula para la suma de las cuartas potencias. Usó los resultados para llevar a cabo lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas de las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide.

India

En el siglo XIV, los matemáticos indios dieron un método no riguroso, parecido a la diferenciación, aplicable a algunas funciones trigonométricas. Madhava de Sangamagrama y la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala establecieron así los componentes del cálculo. Una teoría completa que abarca estos componentes ahora es bien conocida en el mundo occidental como la serie de Taylor o aproximaciones de series infinitas. Sin embargo, no pudieron "combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy".

Moderno

El trabajo de Johannes Kepler Stereometrica Doliorum formó la base del cálculo integral. Kepler desarrolló un método para calcular el área de una elipse sumando las longitudes de muchos radios extraídos de un foco de la elipse.

Un trabajo significativo fue un tratado, cuyo origen son los métodos de Kepler, escrito por Bonaventura Cavalieri, quien argumentó que los volúmenes y las áreas deben calcularse como la suma de los volúmenes y áreas de secciones transversales infinitesimalmente delgadas. Las ideas eran similares a las de Arquímedes en El método, pero se cree que este tratado se perdió en el siglo XIII y solo se redescubrió a principios del siglo XX, por lo que Cavalieri lo desconocía. El trabajo de Cavalieri no fue muy respetado ya que sus métodos podían conducir a resultados erróneos, y las cantidades infinitesimales que introdujo fueron de mala reputación al principio.

El estudio formal del cálculo reunió los infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa aproximadamente al mismo tiempo. Pierre de Fermat, afirmando que tomó prestado de Diofanto, introdujo el concepto de adecuación, que representaba la igualdad hasta un término de error infinitesimal. La combinación fue lograda por John Wallis, Isaac Barrow y James Gregory, siendo los dos últimos predecesores del segundo teorema fundamental del cálculo alrededor de 1670.

La regla del producto y la regla de la cadena, las nociones de derivadas superiores y series de Taylor, y de funciones analíticas fueron utilizadas por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que aplicó para resolver problemas de física matemática. En sus obras, Newton reformuló sus ideas para adaptarlas al idioma matemático de la época, reemplazando los cálculos con infinitesimales por argumentos geométricos equivalentes que se consideraban irreprochables. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido en rotación, el achatamiento de la tierra, el movimiento de un peso que se desliza sobre una cicloide y muchos otros problemas discutidos en sus Principia Mathematica.(1687). En otro trabajo, desarrolló expansiones en serie para funciones, incluidas potencias fraccionarias e irracionales, y estaba claro que entendía los principios de la serie de Taylor. No publicó todos estos descubrimientos, y en ese momento los métodos infinitesimales todavía se consideraban de mala reputación.

Estas ideas fueron organizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz, quien originalmente fue acusado de plagio por Newton. Ahora se le considera un inventor independiente y colaborador del cálculo. Su contribución fue proporcionar un conjunto claro de reglas para trabajar con cantidades infinitesimales, permitiendo el cálculo de derivadas segundas y superiores, y proporcionando la regla del producto y la regla de la cadena, en sus formas diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz hizo un gran esfuerzo en sus elecciones de notación.

Hoy en día, a Leibniz y Newton se les suele dar crédito por haber inventado y desarrollado el cálculo de forma independiente. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general y Leibniz desarrolló gran parte de la notación utilizada en el cálculo actual. Las ideas básicas que proporcionaron tanto Newton como Leibniz fueron las leyes de diferenciación e integración, enfatizando que la diferenciación y la integración son procesos inversos, derivadas segundas y superiores, y la noción de una serie polinomial aproximada.

Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, hubo una gran controversia sobre qué matemático (y, por lo tanto, qué país) merecía el crédito. Newton derivó primero sus resultados (que luego se publicarían en su Método de fluxiones), pero Leibniz publicó primero su "Nova Methodus pro Maximis et Minimis". Newton afirmó que Leibniz robó ideas de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la Royal Society. Esta controversia dividió a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos europeos continentales durante muchos años, en detrimento de las matemáticas inglesas.Un examen cuidadoso de los artículos de Leibniz y Newton muestra que llegaron a sus resultados de forma independiente, con Leibniz comenzando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Sin embargo, es Leibniz quien dio nombre a la nueva disciplina. Newton llamó a su cálculo "la ciencia de las fluxiones", un término que perduró en las escuelas inglesas hasta el siglo XIX. El primer tratado completo sobre cálculo que se escribió en inglés y utilizó la notación de Leibniz no se publicó hasta 1815.

Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al desarrollo continuo del cálculo. Uno de los primeros y más completos trabajos sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrito en 1748 por Maria Gaetana Agnesi.

Cimientos

En cálculo, fundamentos se refiere al desarrollo riguroso del tema a partir de axiomas y definiciones. En los primeros cálculos, el uso de cantidades infinitesimales se consideraba poco riguroso y fue criticado ferozmente por varios autores, sobre todo Michel Rolle y Bishop Berkeley. Berkeley describió los infinitesimales como los fantasmas de las cantidades que se fueron en su libro The Analyst en 1734. Desarrollar una base rigurosa para el cálculo ocupó a los matemáticos durante gran parte del siglo después de Newton y Leibniz, y sigue siendo, hasta cierto punto, un área activa de investigación en la actualidad.

Varios matemáticos, entre ellos Maclaurin, intentaron demostrar la sensatez del uso de los infinitesimales, pero no sería hasta 150 años después cuando, gracias al trabajo de Cauchy y Weierstrass, finalmente se encontró la manera de evitar las meras "nociones" de cantidades infinitamente pequeñas.. Se habían sentado las bases del cálculo diferencial e integral. En el Cours d'Analyse de Cauchy, encontramos una amplia gama de enfoques fundamentales, incluida una definición de continuidad en términos de infinitesimales, y un prototipo (algo impreciso) de una definición (ε, δ) de límite en la definición de diferenciación.En su trabajo, Weierstrass formalizó el concepto de límite y eliminó los infinitesimales (aunque su definición en realidad puede validar los infinitesimales nilsquare). Siguiendo el trabajo de Weierstrass, eventualmente se hizo común basar el cálculo en límites en lugar de cantidades infinitesimales, aunque el tema todavía se llama ocasionalmente "cálculo infinitesimal". Bernhard Riemann usó estas ideas para dar una definición precisa de la integral. Fue también durante este período que las ideas del cálculo se generalizaron al plano complejo con el desarrollo del análisis complejo.

En las matemáticas modernas, los fundamentos del cálculo se incluyen en el campo del análisis real, que contiene definiciones y demostraciones completas de los teoremas del cálculo. El alcance del cálculo también se ha ampliado considerablemente. Henri Lebesgue inventó la teoría de la medida, basada en desarrollos anteriores de Émile Borel, y la usó para definir integrales de todas las funciones excepto las más patológicas. Laurent Schwartz introdujo las distribuciones, que pueden usarse para derivar cualquier función.

Los límites no son el único enfoque riguroso de la base del cálculo. Otra forma es utilizar el análisis no estándar de Abraham Robinson. El enfoque de Robinson, desarrollado en la década de 1960, utiliza maquinaria técnica de la lógica matemática para aumentar el sistema de números reales con números infinitesimales e infinitos, como en la concepción original de Newton-Leibniz. Los números resultantes se denominan números hiperreales y se pueden utilizar para dar un desarrollo similar al de Leibniz de las reglas habituales del cálculo. También existe un análisis infinitesimal suave, que se diferencia del análisis no estándar en que obliga a ignorar los infinitesimales de mayor potencia durante las derivaciones.Basado en las ideas de FW Lawvere y empleando los métodos de la teoría de categorías, el análisis infinitesimal suave ve todas las funciones como continuas e incapaces de expresarse en términos de entidades discretas. Un aspecto de esta formulación es que la ley del tercero excluido no se cumple. La ley del medio excluido también se rechaza en las matemáticas constructivas, una rama de las matemáticas que insiste en que las pruebas de la existencia de un número, función u otro objeto matemático deben dar una construcción del objeto. Las reformulaciones del cálculo en un marco constructivo son generalmente parte del tema del análisis constructivo.

Significado

Si bien muchas de las ideas del cálculo se habían desarrollado antes en Grecia, China, India, Irak, Persia y Japón, el uso del cálculo comenzó en Europa durante el siglo XVII, cuando Newton y Leibniz se basaron en el trabajo de matemáticos anteriores para introducir sus principios básicos. El erudito húngaro John von Neumann escribió sobre este trabajo,

El cálculo fue el primer logro de las matemáticas modernas y es difícil sobrestimar su importancia. Creo que define más inequívocamente que cualquier otra cosa el comienzo de las matemáticas modernas, y el sistema de análisis matemático, que es su desarrollo lógico, sigue constituyendo el mayor avance técnico en el pensamiento exacto.

Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos relacionados con la velocidad y la aceleración, la pendiente de una curva y la optimización. Las aplicaciones del cálculo integral incluyen cálculos que involucran área, volumen, longitud de arco, centro de masa, trabajo y presión. Las aplicaciones más avanzadas incluyen series de potencia y series de Fourier.

El cálculo también se utiliza para obtener una comprensión más precisa de la naturaleza del espacio, el tiempo y el movimiento. Durante siglos, matemáticos y filósofos lucharon con paradojas relacionadas con la división por cero o la suma de infinitos números. Estas preguntas surgen en el estudio del movimiento y el área. El antiguo filósofo griego Zenón de Elea dio varios ejemplos famosos de tales paradojas. El cálculo proporciona herramientas, especialmente el límite y la serie infinita, que resuelven las paradojas.

Principios

Límites e infinitesimales

El cálculo generalmente se desarrolla trabajando con cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método para hacerlo fue por infinitesimales. Estos son objetos que pueden tratarse como números reales pero que, en cierto sentido, son "infinitamente pequeños". Por ejemplo, un número infinitesimal podría ser mayor que 0, pero menor que cualquier número en la secuencia 1, 1/2, 1/3,... y por lo tanto menor que cualquier número real positivo. Desde este punto de vista, el cálculo es un conjunto de técnicas para manipular infinitesimales. Los símbolos y se tomaron como infinitesimales, y la derivada fue su razón.

El enfoque infinitesimal cayó en desgracia en el siglo XIX porque era difícil precisar la noción de un infinitesimal. A fines del siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados dentro de la academia por el enfoque epsilon, delta de los límites. Los límites describen el comportamiento de una función en una determinada entrada en términos de sus valores en entradas cercanas. Capturan el comportamiento a pequeña escala utilizando la estructura intrínseca del sistema de números reales (como un espacio métrico con la propiedad de límite superior mínimo). En este tratamiento, el cálculo es una colección de técnicas para manipular ciertos límites. Los infinitesimales se reemplazan por secuencias de números cada vez más pequeños, y el comportamiento infinitamente pequeño de una función se encuentra tomando el comportamiento límite de estas secuencias. Se pensaba que los límites proporcionaban una base más rigurosa para el cálculo, y por esta razón se convirtieron en el enfoque estándar durante el siglo XX. Sin embargo, el concepto infinitesimal revivió en el siglo XX con la introducción del análisis no estándar y el análisis infinitesimal suave, que proporcionaron bases sólidas para la manipulación de los infinitesimales.

Calculo diferencial

El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. Dada una función y un punto en el dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña escala de la función cerca de ese punto. Al encontrar la derivada de una función en cada punto de su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función derivada o simplemente la derivadade la función original. En términos formales, la derivada es un operador lineal que toma una función como entrada y produce una segunda función como salida. Esto es más abstracto que muchos de los procesos estudiados en álgebra elemental, donde las funciones generalmente ingresan un número y generan otro número. Por ejemplo, si a la función de duplicación se le da la entrada tres, entonces da como resultado seis, y si a la función de elevar al cuadrado se le da la entrada tres, entonces da como resultado nueve. La derivada, sin embargo, puede tomar la función de elevar al cuadrado como entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información de la función de elevar al cuadrado, como que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente, y usa esta información para producir otra función.

En términos más explícitos, la "función de duplicación" se puede denotar por g (x) = 2 x y la "función cuadrática" por f (x) = x. La "derivada" ahora toma la función f (x), definida por la expresión " x ", como entrada, es decir, toda la información, como que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente, y usa esta información para generar otra función, la función g (x) = 2 x, como resultará.

En la notación de Lagrange, el símbolo de una derivada es una marca similar a un apóstrofe llamada prima. Así, la derivada de una función llamada f se denota por f′, pronunciada "f prima" o "f guión". Por ejemplo, si f (x) = x es la función de elevar al cuadrado, entonces f′ (x) = 2 x es su derivada (la función de duplicación g de arriba).

Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si f es una función que toma un tiempo como entrada y da como salida la posición de una pelota en ese momento, entonces la derivada de f es cómo cambia la posición en el tiempo, es decir, es la velocidad de la bola. pelota.

Si una función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función se puede escribir como y = mx + b, donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente, b es la intercepto en y, y:

Esto da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. Sin embargo, si la gráfica de la función no es una línea recta, entonces el cambio en y dividido por el cambio en x varía. Las derivadas dan un significado exacto a la noción de cambio en la salida con respecto al cambio en la entrada. Para ser concretos, sea f una función y fijemos un punto a en el dominio de f. (a, f (a)) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a a. Por lo tanto,(a + h, f (a + h)) está cerca de (a, f (a)). La pendiente entre estos dos puntos es

Esta expresión se llama cociente de diferencias. Una línea que pasa por dos puntos en una curva se llama línea secante, por lo que m es la pendiente de la línea secante entre (a, f (a)) y (a + h, f (a + h)). La recta secante es solo una aproximación al comportamiento de la función en el punto a porque no da cuenta de lo que sucede entre ay a + h. No es posible descubrir el comportamiento en unestableciendo h en cero porque esto requeriría dividir por cero, que no está definido. La derivada se define tomando el límite cuando h tiende a cero, lo que significa que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de h y extrae un valor consistente para el caso en que h es igual a cero:

Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a. La recta tangente es un límite de rectas secantes al igual que la derivada es un límite de cocientes de diferencias. Por esta razón, la derivada a veces se llama la pendiente de la función f.

Aquí hay un ejemplo particular, la derivada de la función de elevar al cuadrado en la entrada 3. Sea f (x) = x la función de elevar al cuadrado.

La pendiente de la recta tangente a la función de elevar al cuadrado en el punto (3, 9) es 6, es decir, sube seis veces más rápido que lo que sube hacia la derecha. El proceso de límite que se acaba de describir se puede realizar para cualquier punto en el dominio de la función de elevar al cuadrado. Esto define la función derivada de la función cuadrática o simplemente la derivada de la función cuadrática para abreviar. Un cálculo similar al anterior muestra que la derivada de la función de elevar al cuadrado es la función de duplicación.

Notación de Leibniz

Una notación común, introducida por Leibniz, para la derivada en el ejemplo anterior es

En un enfoque basado en los límites, el símbolody/dxdebe interpretarse no como el cociente de dos números, sino como una forma abreviada del límite calculado anteriormente. Leibniz, sin embargo, pretendía que representara el cociente de dos números infinitesimalmente pequeños, siendo dy el cambio infinitesimalmente pequeño en y causado por un cambio infinitesimalmente pequeño dx aplicado a x. También podemos pensar end/dxcomo operador de diferenciación, que toma una función como entrada y da otra función, la derivada, como salida. Por ejemplo:

En este uso, el dx en el denominador se lee como "con respecto a x ". Otro ejemplo de notación correcta podría ser:

Incluso cuando el cálculo se desarrolla usando límites en lugar de infinitesimales, es común manipular símbolos como dx y dy como si fueran números reales; aunque es posible evitar tales manipulaciones, a veces son convenientes en notación para expresar operaciones como la derivada total.

Cálculo integral

El cálculo integral es el estudio de las definiciones, propiedades y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida. El proceso de encontrar el valor de una integral se llama integración. La integral indefinida, también conocida como antiderivada, es la operación inversa de la derivada. F es una integral indefinida de f cuando f es una derivada de F . (Este uso de letras minúsculas y mayúsculas para una función y su integral indefinida es común en cálculo). La integral definida ingresa una función y genera un número, lo que da la suma algebraica de áreas entre la gráfica de la entrada y la eje x. La definición técnica de la integral definida involucra el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamada suma de Riemann.

Un ejemplo motivador es la distancia recorrida en un tiempo dado. Si la velocidad es constante, solo se necesita la multiplicación:

Pero si la velocidad cambia, se necesita un método más poderoso para encontrar la distancia. Uno de esos métodos es aproximar la distancia recorrida dividiendo el tiempo en muchos intervalos cortos de tiempo, luego multiplicando el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades en ese intervalo, y luego tomando la suma (una suma de Riemann) de los distancia aproximada recorrida en cada intervalo. La idea básica es que si transcurre poco tiempo, la velocidad se mantendrá más o menos igual. Sin embargo, una suma de Riemann solo da una aproximación de la distancia recorrida. Debemos tomar el límite de todas esas sumas de Riemann para encontrar la distancia exacta recorrida.

Cuando la velocidad es constante, la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo dado se puede calcular multiplicando la velocidad por el tiempo. Por ejemplo, viajar a una velocidad constante de 50 mph durante 3 horas da como resultado una distancia total de 150 millas. Graficar la velocidad como una función del tiempo produce un rectángulo con una altura igual a la velocidad y un ancho igual al tiempo transcurrido. Por lo tanto, el producto de la velocidad y el tiempo también calcula el área rectangular bajo la curva de velocidad (constante). Esta conexión entre el área bajo una curva y la distancia recorrida se puede extender a cualquier región de forma irregular que muestre una velocidad fluctuante durante un período de tiempo dado. Si f (x)representa la velocidad ya que varía con el tiempo, la distancia recorrida entre los tiempos representados por a y b es el área de la región entre f (x) y el eje x, entre x = a y x = b.

Para aproximar esa área, un método intuitivo sería dividir la distancia entre a y b en una cantidad de segmentos iguales, la longitud de cada segmento representada por el símbolo Δ x. Para cada segmento pequeño, podemos elegir un valor de la función f (x). Llame a ese valor h. Luego, el área del rectángulo con base Δx y altura h da la distancia (tiempo Δx multiplicado por la velocidad h) recorrida en ese segmento. Asociado con cada segmento está el valor promedio de la función sobre él, f (x) = h. La suma de todos esos rectángulos da una aproximación del área entre el eje y la curva, que es una aproximación de la distancia total recorrida. Un valor más pequeño para Δ x dará más rectángulos y, en la mayoría de los casos, una mejor aproximación, pero para una respuesta exacta necesitamos tomar un límite cuando Δ x se acerque a cero.

El símbolo de integración es, una S alargada elegida para sugerir la suma. La integral definida se escribe como:

y se lee "la integral de a hasta b de f -de- x con respecto a x ". La notación de Leibniz dx pretende sugerir dividir el área bajo la curva en un número infinito de rectángulos, de modo que su ancho Δ x se convierta en infinitesimalmente pequeño dx.

La integral indefinida, o antiderivada, se escribe:

Las funciones que difieren solo en una constante tienen la misma derivada, y se puede demostrar que la antiderivada de una función dada es en realidad una familia de funciones que difieren solo en una constante. Dado que la derivada de la función y = x + C, donde C es cualquier constante, es y′ = 2 x, la antiderivada de esta última viene dada por:

La constante no especificada C presente en la integral indefinida o antiderivada se conoce como la constante de integración.

Teorema fundamental

El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, relaciona los valores de antiderivadas con integrales definidas. Como suele ser más fácil calcular una antiderivada que aplicar la definición de integral definida, el teorema fundamental del cálculo proporciona una forma práctica de calcular integrales definidas. También puede interpretarse como una declaración precisa del hecho de que la diferenciación es lo contrario de la integración.

El teorema fundamental del cálculo establece: Si una función f es continua en el intervalo [ a, b ] y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo (a, b), entonces

Además, para cada x en el intervalo (a, b),

Esta comprensión, realizada tanto por Newton como por Leibniz, fue clave para la proliferación de resultados analíticos después de que se conociera su trabajo. (La medida en que Newton y Leibniz fueron influenciados por sus predecesores inmediatos, y particularmente lo que Leibniz pudo haber aprendido del trabajo de Isaac Barrow, es difícil de determinar debido a la disputa de prioridad entre ellos). El teorema fundamental proporciona un método algebraico para calcular muchas integrales definidas, sin realizar procesos límite, al encontrar fórmulas para antiderivadas. También es una solución prototipo de una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales relacionan una función desconocida con sus derivadas y son omnipresentes en las ciencias.

Aplicaciones

El cálculo se utiliza en todas las ramas de las ciencias físicas, la ciencia actuarial, la informática, la estadística, la ingeniería, la economía, los negocios, la medicina, la demografía y en otros campos en los que un problema puede modelarse matemáticamente y se desea una solución óptima. Permite pasar de tasas de cambio (no constantes) al cambio total o viceversa, y muchas veces al estudiar un problema conocemos uno y estamos tratando de encontrar el otro. El cálculo se puede utilizar junto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, se puede usar con álgebra lineal para encontrar la aproximación lineal de "mejor ajuste" para un conjunto de puntos en un dominio. O bien, se puede utilizar en la teoría de la probabilidad para determinar el valor esperado de una variable aleatoria continua dada una función de densidad de probabilidad.En geometría analítica, el estudio de gráficos de funciones, el cálculo se utiliza para encontrar puntos altos y puntos bajos (máximos y mínimos), pendiente, concavidad y puntos de inflexión. El cálculo también se usa para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones; en la práctica, es la forma estándar de resolver ecuaciones diferenciales y encontrar raíces en la mayoría de las aplicaciones. Algunos ejemplos son métodos como el método de Newton, la iteración de punto fijo y la aproximación lineal. Por ejemplo, las naves espaciales utilizan una variación del método de Euler para aproximar trayectorias curvas en entornos de gravedad cero.

La física hace un uso particular del cálculo; todos los conceptos de mecánica clásica y electromagnetismo se relacionan a través del cálculo. La masa de un objeto de densidad conocida, el momento de inercia de los objetos y las energías potenciales debidas a las fuerzas gravitacionales y electromagnéticas se pueden encontrar mediante el uso del cálculo. Un ejemplo del uso del cálculo en la mecánica es la segunda ley del movimiento de Newton, que establece que la derivada del momento de un objeto con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta sobre él. Alternativamente, la segunda ley de Newton se puede expresar diciendo que la fuerza neta es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración, que es la derivada temporal de la velocidad y, por lo tanto, la segunda derivada temporal de la posición espacial. A partir de saber cómo acelera un objeto, usamos el cálculo para derivar su trayectoria.

La teoría del electromagnetismo de Maxwell y la teoría de la relatividad general de Einstein también se expresan en el lenguaje del cálculo diferencial. La química también utiliza el cálculo para determinar las velocidades de reacción y estudiar la descomposición radiactiva. En biología, la dinámica de la población comienza con las tasas de reproducción y mortalidad para modelar los cambios de población.

El teorema de Green, que da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D delimitada por C, se aplica en un instrumento conocido como planímetro, que se usa para calcular el área de un plano. superficie en un dibujo. Por ejemplo, se puede usar para calcular la cantidad de área que ocupa un macizo de flores o una piscina de forma irregular al diseñar el diseño de una propiedad.

En el ámbito de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de un vaso sanguíneo para maximizar el flujo. El cálculo se puede aplicar para comprender qué tan rápido se elimina una droga de un cuerpo o qué tan rápido crece un tumor canceroso.

En economía, el cálculo permite determinar el beneficio máximo al proporcionar una forma de calcular fácilmente tanto el costo marginal como el ingreso marginal.