Similitud (geometría)

Cifras similares

En geometría euclidiana, dos objetos son similares si tienen la misma forma, o si uno tiene la misma forma que la imagen especular del otro. Más precisamente, uno puede obtenerse del otro escalando uniformemente (ampliando o reduciendo), posiblemente con traslación, rotación y reflexión adicionales. Esto significa que cualquiera de los objetos se puede volver a escalar, reposicionar y reflejar para que coincida con precisión con el otro objeto. Si dos objetos son similares, cada uno es congruente con el resultado de una escala uniforme particular del otro.

Traducción

Rotación

Reflexión

Escalada

Por ejemplo, todos los círculos son similares entre sí, todos los cuadrados son similares entre sí y todos los triángulos equiláteros son similares entre sí. Por otro lado, las elipses no son todas similares entre sí, los rectángulos no son todos similares entre sí y los triángulos isósceles no son todos similares entre sí.

Las figuras mostradas en el mismo color son similares

Si dos ángulos de un triángulo tienen medidas iguales a las medidas de dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. Los lados correspondientes de polígonos similares están en proporción, y los ángulos correspondientes de polígonos similares tienen la misma medida.

Dos formas congruentes son similares, con un factor de escala de 1. Sin embargo, algunos libros de texto escolares excluyen específicamente los triángulos congruentes de su definición de triángulos similares al insistir en que los tamaños deben ser diferentes para que los triángulos califiquen como similares.

Triángulos semejantes

Dos triángulos, △ABC y △A′B′C′ , son similares si y solo si los ángulos correspondientes tienen la misma medida: esto implica que son similares si y solo si las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales. Se puede demostrar que dos triángulos que tienen ángulos congruentes (triángulos equiángulos) son semejantes, es decir, se puede demostrar que los lados correspondientes son proporcionales. Esto se conoce como el teorema de similitud AAA. Tenga en cuenta que el "AAA" es un mnemotécnico: cada una de las tres A's se refiere a un 'ángulo'. Debido a este teorema, varios autores simplifican la definición de triángulos semejantes para exigir únicamente que los tres ángulos correspondientes sean congruentes.

Hay varios criterios, cada uno de los cuales es necesario y suficiente para que dos triángulos sean semejantes:

• Cualquier dos pares de ángulos congruentes, que en la geometría euclidiana implica que sus tres ángulos son congruentes:

Si ∠BAC es igual en medida ∠B′A′C, y ∠ABC es igual en medida ∠A′B′C, entonces esto implica que ∠ACB es igual en medida ∠A′C′B y los triángulos son similares.

• Todos los lados correspondientes son proporcionales:

AB/A′B = BC/B′C = AC/A′C. Esto equivale a decir que un triángulo (o su imagen del espejo) es una ampliación del otro.

• Cualquier dos pares de lados son proporcionales, y los ángulos incluidos entre estos lados son congruentes:

AB/A′B = BC/B′C y ∠ABC es igual en medida ∠A′B′C.

Esto se conoce como el criterio de similitud de SAS. El "SAS" es un mnemotécnico: cada una de las dos S's se refiere a un "lado"; la A se refiere a un "ángulo" entre los dos lados.

Simbólicamente, escribimos la similitud y disimilitud de dos triángulos △ABC y △A′ B′C′ de la siguiente manera:

${displaystyle ABCsim A'B'C}$

${displaystyle ABCnsim A'B'C}$

Hay varios resultados elementales sobre triángulos semejantes en geometría euclidiana:

• Cualquier dos triángulos equiláteros son similares.
• Dos triángulos, ambos similares a un tercer triángulo, son similares entre sí (transitividad de semejanza de triángulos).
• Las altitudes correspondientes de triángulos similares tienen la misma relación que los lados correspondientes.
• Dos triángulos derecho son similares si la hipotenusa y otro lado tienen longitudes en la misma relación. Hay varias condiciones equivalentes en este caso, como los triángulos rectos que tienen un ángulo agudo de la misma medida, o tener las longitudes de las piernas (lados) en la misma proporción.

Dado un triángulo △ABC y un segmento de recta DE uno puede, con regla y compás, encontrar un punto F tal que △ABC ∼ △DEF. La afirmación de que existe el punto F que satisface esta condición es el postulado de Wallis y es lógicamente equivalente al postulado de las paralelas de Euclides. En geometría hiperbólica (donde el postulado de Wallis es falso) los triángulos semejantes son congruentes.

En el tratamiento axiomático de la geometría euclidiana dado por George David Birkhoff (ver los axiomas de Birkhoff), el criterio de similitud de SAS dado anteriormente se usó para reemplazar tanto el postulado de las paralelas de Euclides como el axioma de SAS que permitió la dramática Acortamiento de los axiomas de Hilbert.

Los triángulos similares proporcionan la base para muchas pruebas sintéticas (sin el uso de coordenadas) en la geometría euclidiana. Entre los resultados elementales que se pueden probar de esta manera están: el teorema de la bisectriz del ángulo, el teorema de la media geométrica, el teorema de Ceva, el teorema de Menelao y el teorema de Pitágoras. Los triángulos semejantes también proporcionan las bases para la trigonometría de triángulos rectángulos.

Otros polígonos similares

Rectángulos similares

El concepto de similitud se extiende a polígonos con más de tres lados. Dados dos polígonos similares cualesquiera, los lados correspondientes tomados en la misma secuencia (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario a las agujas del reloj para el otro) son proporcionales y los ángulos correspondientes tomados en la misma secuencia tienen la misma medida. Sin embargo, la proporcionalidad de los lados correspondientes no es suficiente por sí misma para probar la similitud de los polígonos más allá de los triángulos (de lo contrario, por ejemplo, todos los rombos serían similares). Asimismo, la igualdad de todos los ángulos en secuencia no es suficiente para garantizar la similitud (de lo contrario, todos los rectángulos serían similares). Una condición suficiente para la similitud de los polígonos es que los lados y las diagonales correspondientes sean proporcionales.

Para n dados, todos los n-ágonos regulares son similares.

Curvas similares

Varios tipos de curvas tienen la propiedad de que todos los ejemplos de ese tipo son similares entre sí. Éstos incluyen:

• Líneas (cuales dos líneas son incluso congruentes)
• Serie de sesiones de línea
• Círculos
• Parabolas
• Hiperbolas de una excentricidad específica
• Elipses de una excentricidad específica
• Catenarios
• Gráficos de la función de logaritmo para diferentes bases
• Gráficos de la función exponencial para diferentes bases
• Las espirales logarítmicas son auto-similares

En el espacio euclidiano

Una similitud (también llamada transformación de similitud o similitud) de un espacio euclidiano es una biyección f del espacio sobre sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo número real positivo r, de modo que para dos puntos x y y tenemos

${displaystyle d(f(x),f(y))=r,d(x,y),,}$

donde "d(x,y)" es la distancia euclidiana de x a y. El escalar r tiene muchos nombres en la literatura, incluyendo; la razón de similitud, el factor de estiramiento y el coeficiente de similitud. Cuando r = 1, una similitud se denomina isometría (transformación rígida). Dos conjuntos se llaman similares si uno es la imagen del otro bajo una similitud.

Como mapa f: ℝⁿ → ℝⁿ, una similitud de proporción r toma la forma

${displaystyle f(x)=rAx+t,}$

donde A ∈ O_n(ℝ) es una matriz ortogonal n × n y t ∈ ℝⁿ es un vector de traducción.

Las similitudes conservan planos, rectas, perpendicularidad, paralelismo, puntos medios, desigualdades entre distancias y segmentos de recta. Las similitudes conservan los ángulos pero no necesariamente conservan la orientación, las similitudes directas conservan la orientación y las similitudes opuestas la cambian.

Las similitudes del espacio euclidiano forman un grupo bajo la operación de composición llamado grupo de similitudes S. Las similitudes directas forman un subgrupo normal de S y el grupo euclidiano E(< i>n) de isometrías también forma un subgrupo normal. El grupo de similitudes S es en sí mismo un subgrupo del grupo afín, por lo que cada similitud es una transformación afín.

Uno puede ver el plano euclidiano como el plano complejo, es decir, como un espacio bidimensional sobre los reales. Las transformaciones de similitud 2D se pueden expresar en términos de aritmética compleja y vienen dadas por f(z) = az + b (similitudes directas) y f(z) = az + b (similitudes opuestas), donde a y b son números complejos, a< /i> ≠ 0. Cuando |a| = 1, estas similitudes son isometrías.

Relación de área y relación de volumen

La tessellación del triángulo grande muestra que es similar al triángulo pequeño con una relación de área de 5. La relación de similitud es 5/h = h/1 = √5. Esto se puede utilizar para construir un nivel infinito no experimental.

La razón entre las áreas de figuras similares es igual al cuadrado de la razón de las longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando el lado de un cuadrado o el radio de un círculo se multiplica por tres, su área se multiplica por nueve, es decir, por tres al cuadrado). Las alturas de triángulos semejantes están en la misma proporción que los lados correspondientes. Si un triángulo tiene un lado de longitud b y una altura dibujada en ese lado de longitud h< /i> entonces un triángulo similar con el lado correspondiente de longitud kb tendrá una altitud dibujada hacia ese lado de longitud kh. El área del primer triángulo es, A = 1/2bh, mientras que el área del triángulo semejante será A′ = 1/2(kb)(kh) = k²A. Las figuras semejantes que se pueden descomponer en triángulos semejantes tendrán áreas relacionadas de la misma manera. La relación se mantiene también para cifras que no son rectificables.

La razón entre los volúmenes de figuras similares es igual al cubo de la razón de las longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando la arista de un cubo o el radio de una esfera se multiplican por tres, su volumen se multiplica por 27, es decir, por tres al cubo).

La ley del cuadrado-cubo de Galileo se refiere a sólidos similares. Si la relación de similitud (relación de los lados correspondientes) entre los sólidos es k, entonces la relación de las áreas superficiales de los sólidos será k², mientras que la relación de volúmenes será k< sup>3.

Semejanza con un centro

Ejemplo donde cada similitud
compuesto por sí mismo varias veces sucesivamente
tiene centro en el centro de un polígono regular que se encoge.

Ejemplo de similitud directa del centroS
descompuesto en una rotación de 135° ángulo
y una homothety que rehúsa áreas.

Ejemplos de similitudes directas que tienen cada unacentro.

Si una similitud tiene exactamente un punto invariable: un punto que la similitud mantiene sin cambios, entonces este único punto se llama "centro" de la semejanza.

En la primera imagen debajo del título, a la izquierda, una o otra semejanza encoge un polígono regular en uno concéntrico, cuyos vértices están cada uno en un lado del polígono anterior. Esta reducción rotacional se repite, por lo que el polígono inicial se extiende en un abismo de polígonos regulares. Elcentro de la similitud es el centro común de los polígonos sucesivos. Un segmento rojo se une a un vértice del polígono inicial a su imagen bajo la similitud, seguido de un segmento rojo que va a la siguiente imagen del vértice, y así sucesivamente para formar una espiral. En realidad podemos ver más de tres similitudes directas en esta primera imagen, ya que cada polígono regular es invariante bajo ciertas similitudes directas, más precisamente ciertas rotaciones del centro del polígono, y una composición de similitudes directas es también una similitud directa. Por ejemplo, vemos la imagen del pentágono regular inicial bajo una homoteca negativa ${displaystyle {text{ratio }-k,,}$ que es una similitud del ángulo de ±180° y una relación positiva ${displaystyle {text{equal to }k.}$

Debajo del título de la derecha, la segunda imagen muestra una similitud descompuesta en una rotación y una homoteca. La similitud y la rotación tienen el mismo ángulo de +135 grados modulo 360 grados. La similitud y la homoteca tienen la misma relación ${displaystyle {text{ de },{frac {sqrt {2}{2}}}$ inverso multiplicativo del ${displaystyle ,{text{ratio. {2};}$ (raíz cuadrada de 2) de la similitud inversa. PuntoSes el común centro de las tres transformaciones: rotación, homoteca y similitud. Por ejemplo puntoWes la imagen deF bajo la rotación, y puntoTes la imagen deW bajo la homoteca, más brevemente T = H ()W ) H (R ()F) = ()H ∘ R )()F) D ()F ), por nombrar${displaystyle R,;H{y}D,}$ la rotación anterior, homoteca y similitud, con ${displaystyle {text{}D,{text{ > },},}$

Esta similitud directa que transforma el triánguloEFAen triánguloATBse puede descomponer en una rotación y una homoteca del mismo centroS en varios modales. Por ejemplo, ${displaystyle D,=,R,circ ,H,=,H,circ ,R,}$la última descomposición siendo sólo representada en la imagen. Para conseguir${displaystyle D}$ también podemos componer en cualquier orden una rotación ${fnMicrosoft Sans Serif}$ángulo y una homoteca ${displaystyle ,{text{de ratio },{frac {fnMicrosoft Sans {2},} {2}}}$

Con$"Mirror"$ y${displaystyle {text{}}I,{text{ > like “Indirect”,},}$ si${displaystyle M,}$ es la reflexión con respecto a la línea (CW), entonces${displaystyle M,circ ,D,=,I;}$ es indirectassemejanza que transforma el segmento [BF]${displaystyle {text{like}D,}$en segmento [CT], pero transforma puntoE enBy puntoA enAen sí mismo. PlazaACBTes la imagen deABEF bajo similitud${displaystyle I ',{text{ of ratio };1,/{sqrt {2}.$PuntoAes el centro de esta similitud porque cualquier puntoKser invariante bajo ella cumple ${displaystyle AK,=,AK/{sqrt {2},;}$ sólo posible${displaystyle {text{if}, AK,=,0,;}$escrito de otro modo${displaystyle A,=,K}$

Cómo construir el centro S de similitud directa${displaystyle D}$${displaystyle {text{ from square},ABEF,,}$ cómo encontrar puntoS centro de rotación de +135° ángulo que transforma el rayo [SEEn Ray.SA)? Este es un problema de ángulo inscrito más una cuestión de orientación. El conjunto de puntos${displaystyle P,{text{ such that };angle {\fnMicrosoft Sans Serif},; {fnMicrosoft Sans Serif} {PA}},=,+,135^{,circ },}$es un arco de círculo${\displaystyle {\\\ssets {\frown\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ - Sí.$ que se une EyA, de los cuales los dos radios conducen aEyAforma un ángulo central ${displaystyle {text{de} };;2,(180^{,circ },-,135^{,circ }),=,2times ,45^{,circ },=,90^{,circ }.$Este conjunto de puntos es el barrio azul del círculo del centroF interiorABEF. De la misma manera, puntoSes miembro del barrio azul del círculo del centroT interiorBCAT. Así es.Ses el punto de intersección de estos dos cuartos de círculos.

En espacios métricos generales

triángulo Sierpiński. Un espacio que tiene dimensión de auto-similaridad log 3/log 2 = tronco₂3, que es aproximadamente 1.58. (De la dimensión Hausdorff.)

En un espacio métrico general (X, d), una similitud exacta es una función f del espacio métrico X en sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo escalar positivo r, llamado f factor de contracción de 's, de modo que para dos puntos x y y tenemos

${displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y).,,}$

Las versiones más débiles de similitud tendrían, por ejemplo, f como una función bi-Lipschitz y el escalar r un límite

${displaystyle lim {frac {d(f(x),f(y)}{d(x,y)}=r.}$

Esta versión más débil se aplica cuando la métrica es una resistencia efectiva en un conjunto topológicamente autosimilar.

Un subconjunto autosimilar de un espacio métrico (X, d) es un conjunto K para el cual existe un conjunto finito de similitudes { f_s }_s∈S con factores de contracción 0 ≤ r_s < 1 tal que K es el único subconjunto compacto de X< /span> para el cual

Un conjunto auto-similar construido con dos similitudes z'=0.1[(4+i)z+4] y z'=0.1[(4+7i)z*+5-2i]

${displaystyle bigcup _{sin S}f_{s}(K)=K,}$

Estos conjuntos autosimilares tienen una medida autosimilar μ^D con dimensión D dada por la fórmula

${displaystyle sum _{sin S}(r_{s}=1,}$

que a menudo (pero no siempre) es igual a la dimensión de Hausdorff y la dimensión de empaque del conjunto. Si las superposiciones entre f_s(K) son "pequeñas&# 34;, tenemos la siguiente fórmula simple para la medida:

${displaystyle mu ^{D}(f_{1}circ f_{s_{2}circ cdots circ f_{s_{n}(K)=(r_{s_{1}cdot ¿Qué?.$

Topología

En topología, se puede construir un espacio métrico definiendo una similitud en lugar de una distancia. La semejanza es una función tal que su valor es mayor cuanto más cerca están dos puntos (al contrario de la distancia, que es una medida de disemejanza: cuanto más cerca están los puntos, menor es la distancia).

La definición de similitud puede variar entre autores, según las propiedades que se deseen. Las propiedades comunes básicas son

1. Definición positiva:

   ${displaystyle forall (a,b),S(a,b)geq 0}$

2. Mayorizado por la similitud de un elemento en sí mismo (auto-similaridad):

   ${displaystyle S(a,b)leq S(a,a)quad {text{and}quad forall (a,b),S(a,b)=S(a,a) Leftrightarrow a=b$

Se pueden invocar más propiedades, como reflectividad ()${displaystyle forall (a,b) S(a,b)=S(b,a)}$) o finiteness ()${displaystyle forall (a,b) S(a,b)se hizo infty$). El valor superior se establece a menudo en 1 (creando una posibilidad para una interpretación probabilística de la similitud).

Tenga en cuenta que, en el sentido topológico utilizado aquí, una similitud es un tipo de medida. Este uso no es el mismo que la transformación de similitud de las secciones § En espacio euclidiano y § En espacios métricos generales de este artículo.

Autosimilitud

La autosimilitud significa que un patrón es no trivialmente similar a sí mismo, por ejemplo, el conjunto {…, 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, …} de números de la forma {2ⁱ, 3·2 ⁱ} donde i abarca todos los enteros. Cuando este conjunto se representa en una escala logarítmica, tiene simetría traslacional unidimensional: sumar o restar el logaritmo de dos al logaritmo de uno de estos números produce el logaritmo de otro de estos números. En el conjunto de números dado, esto corresponde a una transformación de similitud en la que los números se multiplican o dividen por dos.

Psicología

La intuición de la noción de similitud geométrica ya aparece en los niños humanos, como se puede ver en sus dibujos.