Subgrupo característico

En matemáticas, particularmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos, un subgrupo característico es un subgrupo que se asigna a sí mismo por cada automorfismo del grupo principal. Debido a que cada mapa de conjugación es un automorfismo interno, cada subgrupo característico es normal; aunque lo contrario no está garantizado. Los ejemplos de subgrupos característicos incluyen el subgrupo del conmutador y el centro de un grupo.

Definición

Un subgrupo H de un grupo G se llama un subgrupo característico si para cada automorfismo φ de G, uno tiene φ(H) ≤ H; luego escribe H char G.

Sería equivalente a requerir la condición más fuerte φ(H) = H para cada automorfismo φ de G, porque φ⁻¹(H) ≤ H implica la inclusión inversa H ≤ φ(H).

Propiedades básicas

Dado H char G, cada automorfismo de G induce un automorfismo del grupo cociente G/H, que produce un homomorfismo Aut (G) → Aut(G/H).

Si G tiene un subgrupo único H de un índice dado, entonces H es característico en G.

Conceptos relacionados

Subgrupo normal

Un subgrupo de H que es invariante bajo todos los automorfismos internos se llama normal; también, un subgrupo invariante.

¬Gφ[H≤ H

Dado que Inn(G) ⊆ Aut(G) y un subgrupo característico es invariante bajo todos los automorfismos, cada subgrupo característico es normal. Sin embargo, no todos los subgrupos normales son característicos. Aquí hay varios ejemplos:

• Vamos H ser un grupo no tripartito, y dejar G ser el producto directo, H × H. Luego los subgrupos, {1} × H y H × {1}, ambos son normales, pero tampoco es característica. En particular, ninguno de estos subgrupos es invariable bajo el automorfismo, ()x, Sí.) →Sí., x)Eso cambia los dos factores.
• Para un ejemplo concreto de esto, dejemos V ser el grupo Klein (que es isomorfo al producto directo, Z2× × Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{2}). Puesto que este grupo es abeliano, cada subgrupo es normal; pero cada permutación de los 3 elementos no-identitarios es un automorfismo de V, por lo que los 3 subgrupos de orden 2 no son características. Aquí. V = {}e, a, b, ab} . Considerar H = {}e, a} y considerar el automorfismo, T(e) e, T(a) b, T(b) a, T(ab) ab; entonces T(H) no figura en H.
• En el grupo de cuaternión del orden 8, cada uno de los subgrupos cíclicos del orden 4 es normal, pero ninguno de ellos son característicos. Sin embargo, el subgrupo, {1, −1}, es característico, ya que es el único subgrupo de orden 2.
• Si n es incluso, el grupo dihedral de orden 2n tiene 3 subgrupos del índice 2, todos los cuales son normales. Uno de ellos es el subgrupo cíclico, que es característico. Los otros dos subgrupos son dihedral; estos son permutados por un automorfismo externo del grupo padre, y por lo tanto no son característicos.

Subgrupo estrictamente característico

Un subgrupo estrictamente característico, o un subgrupo distinguido, que es invariante bajo endomorfismos sobreyectivos. Para grupos finitos, la sobreyectividad de un endomorfismo implica inyectividad, por lo que un endomorfismo sobreyectivo es un automorfismo; por tanto, ser estrictamente característico equivale a característico. Este ya no es el caso para grupos infinitos.

Subgrupo completamente característico

Para una restricción aún más fuerte, un subgrupo totalmente característico (también, subgrupo totalmente invariable; cf. subgrupo invariable), H, de un grupo G, es un grupo que permanece invariante bajo todo endomorfismo de G; es decir,

Отели нетеGφ[H≤ H.

Todo grupo se tiene a sí mismo (el subgrupo impropio) y al subgrupo trivial como dos de sus subgrupos completamente característicos. El subgrupo conmutador de un grupo es siempre un subgrupo completamente característico.

Todo endomorfismo de G induce un endomorfismo de G/H, que produce un mapa End(G) → End(G/H).

Subgrupo verbal

Una restricción aún más fuerte es el subgrupo verbal, que es la imagen de un subgrupo completamente invariable de un grupo libre bajo un homomorfismo. Más generalmente, cualquier subgrupo verbal es siempre completamente característico. Para cualquier grupo libre reducido y, en particular, para cualquier grupo libre, también vale lo contrario: todo subgrupo completamente característico es verbal.

Transitividad

La propiedad de ser característico o totalmente característico es transitiva; si H es un subgrupo (totalmente) característico de K, y K es un subgrupo (totalmente) característico de G, entonces H es un subgrupo (totalmente) característico de G.

H char K char G ⇒ H char G.

Además, aunque la normalidad no es transitiva, es cierto que todo subgrupo característico de un subgrupo normal es normal.

H char K ⊲ G ⇒ H ⊲ G

Del mismo modo, si bien ser estrictamente característico (distinguido) no es transitivo, es cierto que todo subgrupo totalmente característico de un subgrupo estrictamente característico es estrictamente característico.

Sin embargo, a diferencia de la normalidad, si H char G y K es un subgrupo de G que contiene H , entonces, en general, H no es necesariamente característico en K.

H char G, H. K. G ⇏ H char K

Contenciones

Cada subgrupo que es completamente característico es ciertamente estrictamente característico y característico; pero un subgrupo característico o incluso estrictamente característico no necesita ser completamente característico.

El centro de un grupo es siempre un subgrupo estrictamente característico, pero no siempre es totalmente característico. Por ejemplo, el grupo finito de orden 12, Sym(3) × Z/2Z{displaystyle mathbb {Z} {Z}, tiene un homomorfismo tomando ()π, Sí.) a ((1, 2)^Sí., 0), que toma el centro, 1× × Z/2Z{displaystyle 1times mathbb {Z} {Z}, en un subgrupo de Sym(3) × 1, que se encuentra con el centro sólo en la identidad.

La relación entre estas propiedades de subgrupos se puede expresar como:

Subgrupo Alternativa Normal subgrupo Alternativa Subgrupo de características ▪ Subgrupo de características estrictas ▪ Subgrupo de características completas

Ejemplos

Ejemplo finito

Considerar el grupo G S₃ × Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2} (el grupo de orden 12 que es el producto directo del grupo simétrico de orden 6 y un grupo cíclico de orden 2). El centro de G es isomorfo a su segundo factor Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}. Tenga en cuenta que el primer factor, S₃, contiene subgrupos isomorfos a Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}, por ejemplo {e, (12)} ; <math alttext="{displaystyle f:mathbb {Z} _{2}f:Z2■ → S3{displaystyle f:mathbb [Z] _{2} Secuerdoderechatext{S}<img alt="{displaystyle f:mathbb {Z} _{2} ser la cartografía del morfismo Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2} en el subgrupo indicado. Luego la composición de la proyección de G en su segundo factor Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}, seguido f, seguido de la inclusión de S₃ en G como primer factor, proporciona un endomorfismo G bajo la cual la imagen del centro, Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}, no está contenido en el centro, así que aquí el centro no es un subgrupo completamente característico de G.

Grupos cíclicos

Todo subgrupo de un grupo cíclico es característico.

Funtores de subgrupos

El subgrupo derivado (o subgrupo conmutador) de un grupo es un subgrupo verbal. El subgrupo de torsión de un grupo abeliano es un subgrupo completamente invariante.

Grupos topológicos

El componente de identidad de un grupo topológico es siempre un subgrupo característico.