Velocidad de escape

En mecánica celeste, velocidad de escape o velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto libre, sin propulsión, escape de la influencia gravitacional de un cuerpo primario, alcanzando así una distancia infinita de él. Por lo general, se establece como una velocidad ideal, ignorando la fricción atmosférica. Aunque el término "velocidad de escape" es común, se describe con mayor precisión como rapidez que como velocidad porque es independiente de la dirección; la velocidad de escape aumenta con la masa del cuerpo primario y disminuye con la distancia desde el cuerpo primario. Por lo tanto, la velocidad de escape depende de la distancia que el objeto ya haya viajado, y su cálculo a una distancia dada tiene en cuenta que, sin una nueva aceleración, disminuirá la velocidad a medida que viaja, debido a la gravedad del cuerpo masivo, pero lo hará. nunca muy lento para detenerse.

Un cohete, continuamente acelerado por su escape, puede escapar sin alcanzar nunca la velocidad de escape, ya que continúa agregando energía cinética de sus motores. Puede lograr escapar a cualquier velocidad, con suficiente propulsor para proporcionar una nueva aceleración al cohete para contrarrestar la desaceleración de la gravedad y así mantener su velocidad.

En términos más generales, la velocidad de escape es la velocidad a la que la suma de la energía cinética de un objeto y su energía potencial gravitacional es igual a cero; un objeto que ha alcanzado la velocidad de escape no está ni en la superficie ni en una órbita cerrada (de cualquier radio). Con la velocidad de escape en una dirección que se aleja del suelo de un cuerpo masivo, el objeto se alejará del cuerpo, disminuyendo la velocidad para siempre y acercándose, pero nunca alcanzando la velocidad cero. Una vez que se alcanza la velocidad de escape, no es necesario aplicar ningún otro impulso para que continúe en su escape. En otras palabras, si se le da la velocidad de escape, el objeto se alejará del otro cuerpo, disminuyendo continuamente la velocidad, y se acercará asintóticamente a la velocidad cero a medida que la distancia del objeto se acerque al infinito, para nunca volver. Las velocidades superiores a la velocidad de escape retienen una velocidad positiva a una distancia infinita. Tenga en cuenta que la velocidad de escape mínima asume que no hay fricción (por ejemplo, arrastre atmosférico), lo que aumentaría la velocidad instantánea requerida para escapar de la influencia gravitacional, y que no habrá aceleración futura o desaceleración extraña (por ejemplo, de empuje o de gravedad de otros cuerpos), lo que cambiaría la velocidad instantánea requerida.

La velocidad de escape a una distancia d del centro de un cuerpo primario esféricamente simétrico (como una estrella o un planeta) con masa M viene dada por la fórmula

ve=2GMd=2gd{displaystyle {fn}={sqrt {2GM}}={sqrt {2gd}}

donde G es la constante gravitatoria universal (G ≈ 6,67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻²) y g es la aceleración gravitacional local (o la gravedad superficial, cuando d = r). La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto que escapa. Por ejemplo, la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es de unos 11,186 km/s (40 270 km/h; 25 020 mph; 36 700 pies/s) y la gravedad de la superficie es de unos 9,8 m/s² (9,8 N/kg, 32 pies/s²).

Cuando se le da una velocidad inicial V{displaystyle V} mayor que la velocidad de escape ve,{displaystyle v_{e},} el objeto se acercará asintoticamente al exceso de velocidad hiperbólica vJUEGO JUEGO ,{displaystyle v_{infty,} satisfacer la ecuación:

vJUEGO JUEGO 2=V2− − ve2.{displaystyle {v_{infty} - ¿Qué?

En estas ecuaciones no se tiene en cuenta la fricción atmosférica (resistencia al aire).

Resumen

Luna 1, lanzada en 1959, fue el primer objeto hecho por el hombre para alcanzar la velocidad de escape de la Tierra (ver abajo tabla).

La existencia de la velocidad de escape es consecuencia de la conservación de la energía y de un campo de energía de profundidad finita. Para un objeto con una energía total dada, que se mueve sujeto a fuerzas conservativas (como un campo de gravedad estático), solo es posible que el objeto alcance combinaciones de ubicaciones y velocidades que tengan esa energía total; los lugares que tienen una energía potencial más alta que esta no se pueden alcanzar en absoluto. Al agregar velocidad (energía cinética) al objeto, éste expande las posibles ubicaciones a las que puede llegar, hasta que, con suficiente energía, se vuelven infinitas.

Para una energía potencial gravitatoria dada en una posición dada, la velocidad de escape es la velocidad mínima que un objeto sin propulsión necesita para poder "escapar" de la gravedad (es decir, para que la gravedad nunca consiga tirar de él hacia atrás). La velocidad de escape es en realidad una velocidad (no una velocidad) porque no especifica una dirección: no importa cuál sea la dirección de viaje, el objeto puede escapar del campo gravitatorio (siempre que su camino no intersecte al planeta).

Una manera elegante de derivar la fórmula para la velocidad de escape es utilizar el principio de conservación de la energía (por otro lado, basado en el trabajo, ver abajo). Por el bien de la simplicidad, a menos que se indique lo contrario, suponemos que un objeto escapará del campo gravitatorio de un planeta esférico uniforme al alejarse de él y que la única fuerza significativa que actúa en el objeto en movimiento es la gravedad del planeta. Imagina que una nave espacial de masas m está inicialmente a una distancia r desde el centro de masa del planeta, cuya masa es M, y su velocidad inicial es igual a su velocidad de escape, ve{displaystyle v_{e}. En su estado final, será una distancia infinita lejos del planeta, y su velocidad será insignificante. Energía cinética K y energía potencial gravitacional U_g son los únicos tipos de energía con los que vamos a tratar (nosotros ignoraremos el arrastre de la atmósfera), por lo que por la conservación de la energía,

()K+Ug)inicial=()K+Ug)final{displaystyle (K+U_{g})_{text{initial}=(K+U_{g})_{text{final}}

Podemos establecer K_final = 0 porque la velocidad final es arbitrariamente pequeña y U_g final = 0 porque la distancia final es infinita, entonces

⇒ ⇒ 12mve2+− − GMmr=0+0⇒ ⇒ ve=2GMr=2μ μ r{displaystyle {begin{aligned} Rightarrow {}{frac {2}mv_{e}{2}+{frac} {-GMm} {}=0+0[3pt]Rightarrow {}{e}={sqrt {frac {2GM}{r}}={sqrt {fnMicroc {2fnMicroc} } {r}end {aligned}

donde μ es el parámetro gravitatorio estándar.

El mismo resultado se obtiene mediante un cálculo relativista, en cuyo caso la variable r representa la coordenada radial o circunferencia reducida del Schwarzschild métrico.

Definido un poco más formalmente, "velocidad de escape" es la velocidad inicial requerida para ir desde un punto inicial en un campo de potencial gravitacional hasta el infinito y terminar en el infinito con una velocidad residual de cero, sin ninguna aceleración adicional. Todas las velocidades y velocidades se miden con respecto al campo. Además, la velocidad de escape en un punto del espacio es igual a la velocidad que tendría un objeto si partiera del reposo desde una distancia infinita y fuera atraído por la gravedad hasta ese punto.

En el uso común, el punto inicial está en la superficie de un planeta o luna. En la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es de aproximadamente 11,2 km/s, que es aproximadamente 33 veces la velocidad del sonido (Mach 33) y varias veces la velocidad inicial de una bala de rifle (hasta 1,7 km/s). Sin embargo, a 9.000 km de altitud en el 'espacio', es ligeramente inferior a 7,1 km/s. Tenga en cuenta que esta velocidad de escape es relativa a un marco de referencia no giratorio, no relativa a la superficie móvil del planeta o la luna (ver más abajo).

La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto escapante. No importa si la masa es de 1 kg o 1.000 kg; lo que difiere es la cantidad de energía necesaria. Para un objeto de masa m{displaystyle m} la energía necesaria para escapar del campo gravitacional de la Tierra es GMm / r, una función de la masa del objeto (donde r es radio de la Tierra, nominalmente 6,371 kilómetros (3.959 millas), G es la constante gravitacional, y M es la masa de la Tierra, M 5.9736 × 10²⁴ kg). Una cantidad relacionada es la energía orbital específica que es esencialmente la suma de la energía cinética y potencial dividida por la masa. Un objeto ha alcanzado la velocidad de escape cuando la energía orbital específica es mayor o igual a cero.

Escenarios

Desde la superficie de un cuerpo

Una expresión alternativa para la velocidad de escape ve{displaystyle v_{e} particularmente útil en la superficie del cuerpo es:

ve=2gr{displaystyle {fnK}}

donde r es la distancia entre el centro del cuerpo y el punto en el que se calcula la velocidad de escape y g es la aceleración gravitacional a esa distancia (es decir, la gravedad superficial).

Para un cuerpo con una distribución esférica simétrica de masa, la velocidad de escape ve{displaystyle v_{e} de la superficie es proporcional al radio asumiendo densidad constante, y proporcional a la raíz cuadrada de la densidad media ρ.

ve=Kr*** *** {displaystyle - Sí.

Donde K=83π π G.. 2.364× × 10− − 5m1,5kg− − 0.5s− − 1{fnK={sqrt {fnK}pi G}approx 2.364times 10^{-5}{text{ m}}{1.5}{text{ kg}}{-0.5}{text{ s}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}

Tenga en cuenta que esta velocidad de escape es relativa a un marco de referencia no giratorio, no relativa a la superficie en movimiento del planeta o la luna, como se explica a continuación.

De un cuerpo giratorio

La velocidad de escape relativa a la superficie de un cuerpo giratorio depende de la dirección en la que se desplaza el cuerpo que escapa. Por ejemplo, como la velocidad de rotación de la Tierra es de 465 m/s en el ecuador, un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el este requiere una velocidad inicial de aproximadamente 10,735 km/s relativa a la superficie en movimiento en el punto de lanzamiento para escapar, mientras que un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el oeste requiere una velocidad inicial de aproximadamente 11,665 km/s en relación con esa superficie en movimiento. La velocidad superficial disminuye con el coseno de la latitud geográfica, por lo que las instalaciones de lanzamiento espacial a menudo se ubican lo más cerca posible del ecuador, p. el Cabo Cañaveral americano (latitud 28°28′ N) y el Centro Espacial de la Guayana Francesa (latitud 5°14′ N).

Consideraciones prácticas

En la mayoría de las situaciones, no es práctico lograr la velocidad de escape casi instantáneamente, debido a la aceleración implícita y también porque si hay una atmósfera, las velocidades hipersónicas involucradas (en la Tierra una velocidad de 11,2 km/s, o 40 320 km/ h) haría que la mayoría de los objetos se quemaran debido al calentamiento aerodinámico o se desgarraran por la resistencia atmosférica. Para una órbita de escape real, una nave espacial acelerará constantemente fuera de la atmósfera hasta que alcance la velocidad de escape apropiada para su altitud (que será menor que en la superficie). En muchos casos, la nave espacial se puede colocar primero en una órbita de estacionamiento (por ejemplo, una órbita terrestre baja a 160-2000 km) y luego se acelera a la velocidad de escape a esa altitud, que será ligeramente inferior (alrededor de 11,0 km/s a una órbita terrestre baja de 200 km). Sin embargo, el cambio de velocidad adicional requerido es mucho menor porque la nave espacial ya tiene una velocidad orbital significativa (en órbita terrestre baja, la velocidad es de aproximadamente 7,8 km/s, o 28 080 km/h).

De un cuerpo en órbita

La velocidad de escape a una altura dada es 2{displaystyle {sqrt {2}} veces la velocidad en una órbita circular a la misma altura (compare esto con la ecuación de velocidad en órbita circular). Esto corresponde al hecho de que la energía potencial con respecto al infinito de un objeto en tal órbita es menos dos veces su energía cinética, mientras que para escapar de la suma de energía potencial y cinética debe ser al menos cero. La velocidad correspondiente a la órbita circular se llama a veces primera velocidad cósmica, mientras que en este contexto la velocidad de escape se denomina segunda velocidad cósmica.

Para un cuerpo en una órbita elíptica que desea acelerar a una órbita de escape, la velocidad requerida variará y será mayor en el periapsis cuando el cuerpo esté más cerca del cuerpo central. Sin embargo, la velocidad orbital del cuerpo también será máxima en este punto, y el cambio de velocidad requerido será mínimo, como se explica por el efecto Oberth.

Velocidad de escape baricéntrica

La velocidad de escape se puede medir ya sea en relación con el otro, cuerpo central o relativo al centro de masa o baricentro del sistema de cuerpos. Así, para los sistemas de dos cuerpos, el término Velocidad de escape puede ser ambiguo, pero generalmente se pretende significar la velocidad de escape barícéntrico del cuerpo menos masivo. La velocidad de escape generalmente se refiere a la velocidad de escape de partículas de prueba de masa cero. Para las partículas de prueba de masa cero tenemos que el "relativo al otro" y las velocidades de escape 'barycentric' son las mismas, es decir, ve=2GMd{displaystyle {fnK}}.
Pero cuando no podemos descuidar la masa más pequeña (por ejemplo m{displaystyle m}Llegamos a fórmulas ligeramente diferentes.
Debido a que el sistema tiene que obedecer la ley de conservación del impulso vemos que tanto la masa más grande como la más pequeña debe ser acelerada en el campo gravitacional. Relativo al centro de masa la velocidad de la masa mayor (vp{displaystyle V_{p} para el planeta) se puede expresar en términos de la velocidad de la masa más pequeña (vr{displaystyle v_{r}, para cohete). Tenemos vp=− − mMvr{displaystyle v_{p}=-{frac {M}v_{r}.
La velocidad de escape 'barycentric' ahora se convierte en: vr=2GM2d()M+m).. 2GMd{displaystyle {fnK} {fnMicroc {2GM^{2}{d(M+m)}}approx {fnMicroc} {2GM} {d}}}} mientras que la velocidad de escape "relativa a la otra" se convierte en: vr− − vp=2G()m+M)d.. 2GMd{displaystyle {fnMicroc {2G(m+M)}approx} {fnMicroc} {2GM} {d}}}}.

Altura de trayectorias de menor velocidad

Ignorando todos los factores que no sean la fuerza gravitacional entre el cuerpo y el objeto, un objeto proyectado verticalmente a velocidad v{displaystyle v} de la superficie de un cuerpo esférico con velocidad de escape ve{displaystyle v_{e} y radio R{displaystyle R. alcanzará una altura máxima h{displaystyle h} satisfacción de la ecuación

v=vehR+h,{displaystyle v=v_{e}{sqrt {frac} {h}{R+h}}}

que, al resolver para h da como resultado

h=x21− − x2R,{displaystyle h={frac {x^{2}{1-x^{2}} R.

Donde x=v/ve{textstyle x=v/v_{e} es la relación de la velocidad original v{displaystyle v} a la velocidad de escape ve.{displaystyle v_{e}

A diferencia de la velocidad de escape, la dirección (verticalmente hacia arriba) es importante para alcanzar la altura máxima.

Trayectoria

Si un objeto alcanza exactamente la velocidad de escape, pero no se aleja directamente del planeta, seguirá una trayectoria o trayectoria curva. Aunque esta trayectoria no forma una forma cerrada, puede denominarse órbita. Suponiendo que la gravedad es la única fuerza significativa en el sistema, la velocidad de este objeto en cualquier punto de la trayectoria será igual a la velocidad de escape en ese punto debido a la conservación de la energía, su la energía total siempre debe ser 0, lo que implica que siempre tiene velocidad de escape; ver la derivación anterior. La forma de la trayectoria será una parábola cuyo foco se encuentra en el centro de masa del planeta. Un escape real requiere un curso con una trayectoria que no se cruce con el planeta o su atmósfera, ya que esto haría que el objeto se estrellara. Al alejarse de la fuente, este camino se llama órbita de escape. Las órbitas de escape se conocen como C3 = 0 órbitas. C3 es la energía característica, = −GM/2a, donde a es el semieje mayor, que es infinito para trayectorias parabólicas.

Si el cuerpo tiene una velocidad mayor que la velocidad de escape entonces su camino formará una trayectoria hiperbólica y tendrá un exceso de velocidad hiperbólica, equivalente a la energía extra que tiene el cuerpo. Un delta-v adicional relativamente pequeño por encima del necesario para acelerar a la velocidad de escape puede dar como resultado una velocidad relativamente grande en el infinito. Algunas maniobras orbitales hacen uso de este hecho. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11,2 km/s, la suma de 0,4 km/s produce un exceso de velocidad hiperbólico de 3,02 km/s:

vJUEGO JUEGO =V2− − ve2=()11.6km/s)2− − ()11.2km/s)2.. 3.02km/s.{displaystyle v_{infty }={sqrt [V^{2}-{v_{e}}={2}={sqrt {(11.6{text{ km/s}})^{2}-(11.2{text{ km/s})}}approx 3.02{text{ km/s}}}}}} {f} {fnMicrox}}}}}}}

Si un cuerpo en órbita circular (o en el periápside de una órbita elíptica) acelera a lo largo de su dirección de viaje para escapar de la velocidad, el punto de aceleración formará el periápside de la trayectoria de escape. La dirección final de viaje será de 90 grados con respecto a la dirección en el punto de aceleración. Si el cuerpo acelera más allá de la velocidad de escape, la dirección final del viaje será en un ángulo más pequeño, y estará indicado por una de las asíntotas de la trayectoria hiperbólica que ahora está tomando. Esto significa que el momento de la aceleración es crítico si la intención es escapar en una dirección particular.

Si la velocidad en el periapsis es v, entonces la excentricidad de la trayectoria viene dada por:

e=2()v/ve)2− − 1{displaystyle e=2(v/v_{e}}{2}-1}

Esto es válido para trayectorias elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Si la trayectoria es hiperbólica o parabólica, se acercará asintomáticamente a un ángulo Silencio Silencio {displaystyle theta } desde la dirección en periapsis, con

pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio =1/e.{displaystyle sin theta =1/e.}

La velocidad se acercará asintóticamente

v2− − ve2.{fnMicrosoft Sans Serif}

Lista de velocidades de escape

En esta tabla, la mitad izquierda da la velocidad de escape desde la superficie visible (que puede ser gaseosa como Júpiter, por ejemplo), en relación con el centro del planeta o la luna (es decir, no en relación con su movimiento). superficie). En la mitad derecha, V_e se refiere a la velocidad relativa al cuerpo central (por ejemplo, el sol), mientras que V_te es la velocidad (en la superficie visible del cuerpo más pequeño) relativa al cuerpo más pequeño (planeta o luna).

Las dos últimas columnas dependerán precisamente en qué parte de la órbita se alcance la velocidad de escape, ya que las órbitas no son exactamente circulares (particularmente Mercurio y Plutón).

Derivación de la velocidad de escape usando cálculo

Sea G la constante gravitatoria y sea M la masa de la tierra (u otro cuerpo gravitatorio) y m la masa del cuerpo o proyectil que escapa. A una distancia r del centro de gravedad el cuerpo siente una fuerza de atracción

F=GMmr2.{displaystyle F=G{frac {Mm}{2}}}}

El trabajo necesario para mover el cuerpo a lo largo de una pequeña distancia dr contra esta fuerza está dado por lo tanto por

dW=Fdr=GMmr2dr.{displaystyle DW=F,dr=G{frac {Mm}{2},dr.}

El trabajo total necesario para mover el cuerpo desde la superficie r₀ del cuerpo que gravita hasta el infinito es entonces

W=∫ ∫ r0JUEGO JUEGO GMmr2dr=GMmr0=mgr0.{displaystyle W=int ¿Qué? {Mm}{2},dr=G{frac} {Mm}{0}=mgr_{0}

Para realizar este trabajo para alcanzar el infinito, la energía cinética mínima del cuerpo al partir debe coincidir con este trabajo, por lo que la velocidad de escape v₀ satisface

12mv02=GMmr0,{displaystyle {frac {2}mv_{0}{2}=G{frac} {Mm}{0}}}

lo que resulta en

v0=2GMr0=2gr0.{displaystyle {fnK}}={sqrt {2GM}}={sqrt {2gr_{0}}}}