Principio de Fermat

Fig. 1:Principio de Fermat en el caso de refracción de luz en una superficie plana entre aire y agua. Dado un punto de objeto A en el aire, y un punto de observación B en el agua, el punto de refracción P es aquello que minimiza el tiempo tomado por la luz para recorrer el camino APB. Si buscamos el valor requerido x, encontramos que los ángulos α y β satisfacer la ley de Snell.

Propuesto por primera vez por el matemático francés Pierre de Fermat en 1662, como un medio para explicar la ley ordinaria de refracción de la luz (Fig.1), el principio de Fermat fue inicialmente controvertido porque parecía atribuir conocimiento e intención. a la naturaleza. No fue sino hasta el siglo XIX que se entendió que la capacidad de la naturaleza para probar caminos alternativos es simplemente una propiedad fundamental de las ondas. Si se dan los puntos A y B, un frente de onda que se expande desde A barre todas las posibles trayectorias de rayos que irradian desde A, si pasan por B o no. Si el frente de onda alcanza el punto B, barre no solo la(s) trayectoria(s) del rayo de A a B, pero también una infinidad de caminos cercanos con los mismos puntos finales. El principio de Fermat describe cualquier rayo que alcance el punto B; no hay ninguna implicación de que el rayo "sabía" el camino más rápido o "previsto" para tomar ese camino.

Gráfico 2:Dos puntos P y P′ en un camino desde A a B. Para los propósitos del principio de Fermat, el tiempo de propagación de P a P′ se toma como fuente de referencia P, no (por ejemplo) para una onda arbitraria W pasando P. La superficie .(con unidad normal) n̂ a P′) es el locus de puntos que una perturbación en P puede llegar al mismo tiempo que se necesita para llegar P′; en otras palabras, . es la onda secundaria con radio PP′. (El medio es no asumido como homogéneo o isotrópico.)

Con el fin de comparar los tiempos de recorrido, el tiempo desde un punto hasta el siguiente punto designado se toma como si el primer punto fuera un punto de origen. Sin esta condición, el tiempo de recorrido sería ambiguo; por ejemplo, si el tiempo de propagación de P a P′ se calcularon a partir de un frente de onda arbitrario W que contenía P  (Fig. 2), ese tiempo podría hacerse arbitrariamente pequeño inclinando adecuadamente el frente de onda.

Tratar un punto en la ruta como una fuente es el requisito mínimo de Huygens' principio, y es parte de la explicación del principio de Fermat. Pero también se puede demostrar que la construcción geométrica mediante la cual Huygens trató de aplicar su propio principio (a diferencia del principio mismo) es simplemente una invocación del principio de Fermat. De ahí todas las conclusiones que Huygens extrajo de esa construcción, incluidas, entre otras, las leyes de la propagación rectilínea de la luz, la reflexión ordinaria, la refracción ordinaria y la refracción extraordinaria del "cristal de Islandia" (calcita), también son consecuencias del principio de Fermat.

Derivación

Condiciones suficientes

Supongamos que:

1. Una perturbación se propaga secuencialmente a través de un medio (un vacío o algún material, no necesariamente homogéneo o isotrópico), sin acción a distancia;
2. Durante la propagación, la influencia de la perturbación en cualquier punto intermedio P sobre los puntos circundantes tiene una extensión angular no cero (como si P eran una fuente), por lo que una perturbación originaria en cualquier punto A llega a cualquier otro punto B a través de una infinitud de caminos, por los cuales B recibe una infinitud de versiones retrasadas de la perturbación A; y
3. Estas versiones retrasadas de la perturbación se reforzarán entre sí en B si están sincronizados dentro de alguna tolerancia.

Entonces, las diversas rutas de propagación de A a B se ayudarán entre sí si sus tiempos de recorrido coinciden dentro de dicha tolerancia. Para una pequeña tolerancia (en el caso límite), el rango permisible de variaciones de la ruta se maximiza si la ruta es tal que su tiempo de recorrido es estacionario con respecto a las variaciones, de modo que una variación de la ruta provoca como máximo un cambio de segundo orden en el tiempo de recorrido.

El ejemplo más obvio de una estacionariedad en el tiempo transversal es un mínimo (local o global), es decir, un camino de menor tiempo, como en el "fuerte" forma del principio de Fermat. Pero esa condición no es esencial para el argumento.

Habiendo establecido que un camino de tiempo de recorrido estacionario es reforzado por un corredor de ancho máximo de caminos vecinos, todavía necesitamos explicar cómo este refuerzo corresponde a las nociones intuitivas de un rayo. Pero, para abreviar las explicaciones, primero definamos un camino de rayo como un camino de tiempo transversal estacionario.

Un rayo como trayectoria de la señal (línea de visión)

Si el corredor de trayectorias que refuerza la trayectoria de un rayo desde A a B está sustancialmente obstruido, esto alterará significativamente la perturbación que llega a B desde A: a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de cualquier corredor de este tipo, que bloquea los caminos que no se refuerzan entre sí. La primera obstrucción interrumpirá significativamente la señal que llega a B desde A, mientras que la última no lo hará; por lo tanto, el camino del rayo marca un camino de señal. Si la señal es luz visible, la primera obstrucción afectará significativamente la apariencia de un objeto en A visto por un observador en B, mientras que la última no lo hará; por lo que la trayectoria del rayo marca una línea de visión.

En los experimentos ópticos, se suele suponer que una línea de visión es la trayectoria de un rayo.

Un rayo como camino de energía (haz)

Fig. 3:Un experimento que demuestra refracción (y reflexión parcial) de Rayos - aproximado por, o contenido en, vigas estrechas

Si el corredor de trayectorias que refuerza la trayectoria de un rayo de A a B está sustancialmente obstruido, esto afectará significativamente la energía que llega a B de A, a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de cualquier corredor de este tipo. Por lo tanto, el camino del rayo marca un camino de energía, como lo hace un rayo.

Suponga que un frente de onda que se expande desde el punto A pasa por el punto P, que se encuentra en una trayectoria de rayo desde el punto A hasta el punto B. Por definición, todos los puntos del frente de onda tienen el mismo tiempo de propagación desde A. Ahora bloquee el frente de onda excepto por una ventana, centrada en P, y lo suficientemente pequeña como para estar dentro del corredor de caminos que refuerzan el camino del rayo desde A a B. Entonces todos los puntos en la porción no obstruida del frente de onda tendrán tiempos de propagación casi iguales a B, pero no a puntos en otras direcciones, de modo que B estará en la dirección de máxima intensidad del haz admitido a través de la ventana. Así que la trayectoria del rayo marca el haz. Y en los experimentos ópticos, un haz se considera rutinariamente como una colección de rayos o (si es estrecho) como una aproximación a un rayo (Fig.3).

Analogías

Según el "fuerte" forma del principio de Fermat, el problema de encontrar la trayectoria de un rayo de luz desde el punto A en un medio de propagación más rápida, hasta el punto B en un medio de la propagación más lenta (Fig.1), es análoga al problema que enfrenta un salvavidas al decidir por dónde entrar al agua para alcanzar a un nadador que se está ahogando lo antes posible, dado que el salvavidas puede correr más rápido de lo que puede nadar. Pero esa analogía se queda corta para explicar el comportamiento de la luz, porque el salvavidas puede pensar en el problema (aunque solo sea por un instante) mientras que la luz presumiblemente no puede. El descubrimiento de que las hormigas son capaces de realizar cálculos similares no cierra la brecha entre lo animado y lo inanimado.

Por el contrario, las suposiciones anteriores (1) a (3) se cumplen para cualquier perturbación ondulatoria y explican el principio de Fermat en términos puramente mecanicistas, sin ninguna imputación de conocimiento o propósito.

El principio se aplica a las ondas en general, incluidas (p. ej.) las ondas sonoras en los fluidos y las ondas elásticas en los sólidos. En una forma modificada, incluso funciona para ondas de materia: en mecánica cuántica, la trayectoria clásica de una partícula se obtiene aplicando el principio de Fermat a la onda asociada, excepto que, debido a que la frecuencia puede variar con la trayectoria, la la estacionariedad está en el cambio de fase (o número de ciclos) y no necesariamente en el tiempo.

Sin embargo, el principio de Fermat es más familiar en el caso de la luz visible: es el vínculo entre la óptica geométrica, que describe ciertos fenómenos ópticos en términos de rayos, y la onda teoría de la luz, que explica los mismos fenómenos sobre la hipótesis de que la luz consiste en ondas.

Equivalente a Huygens N#39; construcción

Gráfico 4:Dos iteraciones de la construcción de Huygens. En la primera iteración, el frente de onda posterior W. se deriva del frente de onda anterior W tomando el sobre de todos los frentes de onda secundaria (arcos grises) que se expanden en un tiempo dado de todos los puntos (por ejemplo, P) on W. Las flechas muestran las direcciones de rayos.

En este artículo distinguimos entre Huygens' principio, que establece que cada punto atravesado por una onda viajera se convierte en la fuente de una onda secundaria, y Huygens' construcción, que se describe a continuación.

Sea la superficie W un frente de onda en el tiempo t, y deje que la superficie W′ sea el mismo frente de onda en el momento posterior t + Δt (Fig.4). Sea P un punto general sobre W . Entonces, según Huygens' construcción,

1. W. es sobre (superficie tangente común), en el lado delantero W, de todas las ondas secundarias cada una de las cuales se expandiría en el tiempo Δt desde un punto en W, y
2. si la onda secundaria se expande desde el punto P en el tiempo Δt toca la superficie W. punto P′, entonces P y P′ miente en un rayo.

La construcción puede repetirse para encontrar posiciones sucesivas del frente de onda primario y puntos sucesivos en el rayo.

La dirección del rayo dada por esta construcción es la dirección radial del frente de onda secundario y puede diferir de la normal del frente de onda secundario (cf. Fig. 2) y, por lo tanto, de la normal del frente de onda primario en el punto de tangencia Por lo tanto, la velocidad del rayo, en magnitud y dirección, es la velocidad radial de un frente de onda secundario infinitesimal, y generalmente es una función de ubicación y dirección.

Ahora sea Q un punto en W cerca de P, y deja Q′ sea un punto en W′ cerca de P′. Entonces, por la construcción,

1. el tiempo tomado para una onda secundaria desde P para llegar Q′ tiene como máximo una dependencia de segundo orden del desplazamiento P′Q, y
2. el tiempo tomado para un frente de onda secundario para alcanzar P′ desde Q tiene como máximo una dependencia de segundo orden del desplazamiento PQ.

Por (i), la trayectoria del rayo es una trayectoria de tiempo transversal estacionario desde P hasta W′; y por (ii), es una ruta de tiempo transversal estacionario desde un punto en W hasta P′.

Así que Huygens' La construcción define implícitamente la trayectoria de un rayo como una trayectoria de tiempo transversal estacionario entre posiciones sucesivas de un frente de onda, el tiempo se calcula desde una fuente puntual en el frente de onda anterior. Esta conclusión sigue siendo válida si los frentes de onda secundarios son reflejados o refractados por superficies de discontinuidad en las propiedades del medio, siempre que la comparación se restrinja a las trayectorias afectadas y las porciones afectadas de los frentes de onda.

El principio de Fermat, sin embargo, se expresa convencionalmente en términos de punto a punto, no en términos de frente de onda a frente de onda. En consecuencia, modifiquemos el ejemplo suponiendo que el frente de onda que se convierte en superficie W en el momento t, y que se convierte en superficie W′ en el momento posterior < span class="texhtml">t + Δt, se emite desde el punto A a la hora 0. Sea P un punto sobre W< /span> (como antes) y B un punto en W′. Y vamos a A, W, W′ y B< /span>, por lo que el problema es encontrar P.

Si P satisface a Huygens' construcción, de modo que el frente de onda secundario de P sea tangencial a W′ en B, luego PB es una ruta de tiempo transversal estacionario desde W hasta B. Agregando el tiempo fijo de A a W , encontramos que APB es la ruta del tiempo de recorrido estacionario desde A a B (posiblemente con un dominio restringido de comparación, como se indica anterior), de acuerdo con el principio de Fermat. El argumento funciona igual de bien en la dirección inversa, siempre que W′ tenga un plano tangente bien definido en B. Así Huygens' la construcción y el principio de Fermat son geométricamente equivalentes.

A través de esta equivalencia, el principio de Fermat sostiene el principio de Huygens' construcción y de ahí todas las conclusiones que Huygens pudo sacar de esa construcción. En resumen, "Las leyes de la óptica geométrica pueden derivarse del principio de Fermat". Con la excepción del propio principio de Fermat-Huygens, estas leyes son casos especiales en el sentido de que dependen de suposiciones adicionales sobre los medios. Dos de ellos se mencionan bajo el siguiente encabezado.

Casos especiales

Medios isotrópicos: rayos normales a los frentes de onda

En un medio isotrópico, debido a que la velocidad de propagación es independiente de la dirección, los frentes de onda secundarios que se expanden desde puntos en un frente de onda primario en un tiempo infinitesimal dado son esféricos, por lo que sus radios son normales a su superficie tangente común en los puntos de tangencia. Pero sus radios marcan las direcciones de los rayos, y su superficie tangente común es un frente de onda general. Así, los rayos son normales (ortogonales) a los frentes de onda.

Debido a que gran parte de la enseñanza de la óptica se concentra en los medios isotrópicos, y se trata a los medios anisotrópicos como un tema opcional, la suposición de que los rayos son normales a los frentes de onda puede volverse tan generalizada que incluso el principio de Fermat se explica bajo esa suposición., aunque en realidad el principio de Fermat es más general.

Medios homogéneos: Propagación rectilínea

En un medio homogéneo (también llamado medio uniforme), todos los frentes de onda secundarios que se expanden desde un frente de onda primario dado W en un tiempo dado Δt son congruentes y tienen una orientación similar, de modo que su envolvente W′ puede considerarse como la envolvente de un frente de onda secundario único que conserva su orientación mientras su centro (fuente) se mueve sobre W. Si P es su centro, mientras que P′ es su punto de tangencia con W′, luego P′ se mueve paralelo a P, de modo que el plano tangencial a W′ en P′ es paralela a el plano tangencial a W en P< /lapso>. Deje que otro frente de onda secundario (congruente y orientado de manera similar) se centre en P′, moviéndose con estilo P, y haz que se encuentre con su envoltura W″ en el punto < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">P″. Luego, por el mismo razonamiento, el plano tangencial a W″ en P″ es paralelo a los otros dos planos. Por lo tanto, debido a la congruencia y orientaciones similares, las direcciones de los rayos PP′ y P′P″ son iguales (pero no necesariamente normales a los frentes de onda, ya que los frentes de onda secundarios no son necesariamente esféricos). Esta construcción puede repetirse cualquier número de veces, dando un rayo recto de cualquier longitud. Así, un medio homogéneo admite rayos rectilíneos.

Versión moderna

Formulación en términos de índice de refracción

Dejar un camino . se extiende desde el punto A al punto B. Vamos s ser la longitud del arco medido a lo largo del camino desde A, y dejar t ser el tiempo tomado para atravesar esa longitud del arco a la velocidad del rayo ${displaystyle v_{mathrm {}}}$ (es decir, a la velocidad radial de la onda secundaria local, para cada ubicación y dirección en el camino). Luego el tiempo de traversal de todo el camino . es

$${displaystyle T=int ¿Qué? ¿Qué? {ds}{,v_{mathrm},}} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

1)

(donde A y B simplemente indican los extremos y no deben interpretarse como valores de t o s). La condición para que Γ sea una ruta ray es que el cambio de primer orden en T debido a un cambio en Γ es cero; eso es,

$${displaystyle delta T=,delta int ¿Qué? {ds}{,v_{mathrm {r} },},=,0,0}$$

Ahora definamos la longitud óptica de un camino dado (longitud del camino óptico, OPL) como la distancia recorrida por un rayo en un medio de referencia isotrópico homogéneo (por ejemplo, un vacío) en el mismo tiempo que se tarda en recorrer la trayectoria dada a la velocidad del rayo local. Entonces, si c denota la velocidad de propagación en el medio de referencia (por ejemplo, la velocidad de la luz en el vacío), la longitud óptica de un camino recorrido en el tiempo dt es dS = c dt, y la longitud óptica de un camino recorrido en el tiempo T< /span> es S = cT.  Entonces, multiplicando la ecuación (1) por c, obtenemos

$${displaystyle S,=int ¿Qué? {fnMicroc} {fnMicroc} {fnK}},ds=int ¿Qué?$$

${displaystyle ,n_{mathrm {r} }=c/v_{mathrm {r},}$

${displaystyle ¿Qué?$

$${displaystyle delta S=delta int - ¿Qué?$$

2)

Esto tiene la forma del principio de Maupertuis en la mecánica clásica (para una sola partícula), con el índice de rayo en la óptica tomando el papel del momento o la velocidad en la mecánica.

En un medio isotrópico, para el cual la velocidad del rayo es también la velocidad de fase, podemos sustituir el índice de refracción habitual n para n_r.

Relación con el principio de Hamilton

Si x,y,z son coordenadas cartesianas y un sobrepunto denota diferenciación con respecto a s , el principio de Fermat (2) puede escribirse

$${displaystyle {begin{aligned}delta Spl=,delta int ¿Por qué? {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\\fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué? {x}{2}+{dot {y}{2}+{dot {fnMicrosoft Sans}$$

$${displaystyle ¿Qué? {y}{2}+{dot {Z}} {2}},}$$

$${displaystyle delta S=,delta int _{A}{B}!L(x,y,z,{dot {x}},{dot {y}},{dot {z}),ds,=,0,}$$

$${displaystyle L{big (}x(z),y(z),{dot {x}(z),{dot {y}(z),z{big)}=n(x,y,z),{sqrt {1+{dot {x}{2}+{dot {y}} {y}},}$$

$${displaystyle delta S=,delta int ¿Por qué?$$

Historia

Fermat vs. las cartesianas

Pierre de Fermat (1607 –1665)

Si un rayo sigue una línea recta, obviamente toma el camino de menor longitud. Hero of Alexandria, en su Catoptrics (siglo I d. C.), demostró que la ley ordinaria de reflexión en una superficie plana se deriva de la premisa de que la longitud total de la trayectoria del rayo es un minimo En 1657, Pierre de Fermat recibió de Marin Cureau de la Chambre una copia de un tratado recién publicado, en el que La Chambre destacaba el principio de Hero y se quejaba de que no funcionaba para la refracción.

Fermat respondió que la refracción se podría llevar al mismo marco suponiendo que la luz tomaba el camino de menor resistencia, y que diferentes medios ofrecían diferentes resistencias. Su solución final, descrita en una carta a La Chambre fechada el 1 de enero de 1662, interpretada como "resistencia" como inversamente proporcional a la velocidad, por lo que la luz tomó el camino de menos tiempo. Esa premisa produjo la ley ordinaria de refracción, siempre que la luz viajara más lentamente en el medio ópticamente más denso.

La solución de Fermat marcó un hito en el sentido de que unificó las leyes entonces conocidas de la óptica geométrica bajo un principio de variación o principio de acción, sentando el precedente para el principio de mínima acción en la mecánica clásica y los principios correspondientes en otros campos (ver Historia de los principios variacionales en la física). Fue más notable porque usó el método de adecuación, que puede entenderse en retrospectiva como encontrar el punto donde la pendiente de una cuerda infinitesimalmente corta es cero, sin el paso intermedio de encontrar una expresión general para la pendiente (la derivada).

También fue inmediatamente controvertido. La ley ordinaria de la refracción se atribuyó en ese momento a René Descartes (m. 1650), quien había tratado de explicarla suponiendo que la luz era una fuerza que se propagaba instantáneamente, o que la luz era análoga a un pelota de tenis que viajó más rápido en el medio más denso, cualquiera de las dos premisas es inconsistente con la de Fermat. Descartes El defensor más destacado, Claude Clerselier, criticó a Fermat por atribuir aparentemente conocimiento e intención a la naturaleza, y por no explicar por qué la naturaleza debería preferir economizar tiempo en lugar de distancia. Clerselier escribió en parte:

1. El principio que tomas como base de tu demostración, es decir, que la naturaleza siempre actúa de la manera más corta y simple, es meramente un principio moral y no uno físico; no es, y no puede ser, la causa de cualquier efecto en la naturaleza.... Porque de lo contrario atribuiríamos conocimiento a la naturaleza; pero aquí, por "naturaleza", sólo entendemos este orden y esta ley establecida en el mundo como es, que actúa sin previsión, sin elección, y por una determinación necesaria.

2. Este mismo principio haría irresolutar la naturaleza... Porque te pregunto... cuando un rayo de luz debe pasar de un punto en un medio raro a un punto en uno denso, ¿no hay razón para que la naturaleza dude si, por tu principio, debe elegir la línea recta tan pronto como la doblada, ya que si la última prueba más corta en el tiempo, la primera es más corta y más simple en la longitud? ¿Quién decidirá y quién pronunciará?

Fermat, al desconocer los fundamentos mecanicistas de su propio principio, no estaba bien situado para defenderlo, excepto como una proposición puramente geométrica y cinemática. La teoría ondulatoria de la luz, propuesta por primera vez por Robert Hooke en el año de la muerte de Fermat y rápidamente mejorada por Ignace-Gaston Pardies y (especialmente) Christiaan Huygens, contenía los fundamentos necesarios; pero el reconocimiento de este hecho fue sorprendentemente lento.

Supervisión de Huygens

Christiaan Huygens (1629-1695)

Huygens se refirió repetidamente a la envolvente de sus frentes de onda secundarios como la terminación del movimiento, lo que significa que el último frente de onda era el límite exterior que la perturbación podía alcanzar en un tiempo determinado, que era por lo tanto el tiempo mínimo en el que se podría alcanzar cada punto del último frente de onda. Pero no argumentó que la dirección del tiempo mínimo fuera la de la fuente secundaria al punto de tangencia; en cambio, dedujo la dirección del rayo a partir de la extensión de la superficie tangente común correspondiente a una extensión dada del frente de onda inicial. Su único respaldo al principio de Fermat fue de alcance limitado: habiendo derivado la ley de la refracción ordinaria, para la cual los rayos son normales a los frentes de onda, Huygens dio una prueba geométrica de que un rayo refractado de acuerdo con esta ley toma el camino de menos tiempo. Difícilmente habría pensado que esto era necesario si hubiera sabido que el principio del tiempo mínimo se seguía directamente de la misma construcción de tangente común mediante la cual había deducido no sólo la ley de la refracción ordinaria, sino también las leyes de propagación rectilínea y reflexión ordinaria (que también se sabía que se derivaban del principio de Fermat), y una ley previamente desconocida de refracción extraordinaria, la última por medio de frentes de onda secundarios que eran esferoidales en lugar de esféricos, con el resultado de que el los rayos eran generalmente oblicuos a los frentes de onda. Era como si Huygens no se hubiera dado cuenta de que su construcción implicaba el principio de Fermat, e incluso como si pensara que había encontrado una excepción a ese principio. Evidencia manuscrita citada por Alan E. Shapiro tiende a confirmar que Huygens creía que el principio del tiempo mínimo no era válido en la doble refracción, donde los rayos no son normales a los frentes de onda".

Shapiro informa además que las únicas tres autoridades que aceptaron "Huygens' principio" en los siglos XVII y XVIII, a saber, Philippe de La Hire, Denis Papin y Gottfried Wilhelm Leibniz, lo hizo porque explicaba la extraordinaria refracción del "cristal de Islandia" (calcita) de la misma manera que las leyes previamente conocidas de la óptica geométrica. Pero, por el momento, la correspondiente extensión del principio de Fermat pasó desapercibida.

Laplace, Young, Fresnel y Lorentz

Pierre-Simon Laplace (1749–1827)

El 30 de enero de 1809, Pierre-Simon Laplace, al informar sobre el trabajo de su protegido Étienne-Louis Malus, afirmó que la extraordinaria refracción de la calcita podía explicarse bajo la teoría corpuscular de la luz con la ayuda de Maupertuis principio de acción mínima: que la integral de la velocidad con respecto a la distancia era mínima. La velocidad corpuscular que cumplía este principio era proporcional al recíproco de la velocidad del rayo dada por el radio de Huygens' esferoide. Laplace continuó:

Según Huygens, la velocidad del rayo extraordinario, en el cristal, se expresa simplemente por el radio del esferoide; por consiguiente, su hipótesis no está de acuerdo con el principio de la menor acción: es notable que está de acuerdo con el principio de Fermat, que es, que la luz pasa, desde un punto dado sin el cristal, a un punto dado dentro de él, en el tiempo menos posible; porque es fácil ver que este principio coincide con el de la acción menos, si invertimos la expresión de la velocidad.

Thomas Young (1773-1829)

El informe de Laplace fue objeto de una amplia refutación por parte de Thomas Young, quien escribió en parte:

El principio de Fermat, aunque fue asumido por ese matemático por motivos hipotéticos, o incluso imaginarios, es de hecho una ley fundamental con respecto al movimiento undulatorio, y es explícitamente [sicLa base de cada determinación en la teoría huygeniana... El Sr. Laplace parece no estar familiarizado con este principio más esencial de una de las dos teorías que compara; porque dice, que "es notable", que la ley huygeniana de refracción extraordinaria está de acuerdo con el principio de Fermat, que apenas habría observado, si hubiera sido consciente de que la ley era una consecuencia inmediata del principio.

De hecho, Laplace era consciente de que el principio de Fermat se deriva del principio de Huygens; construcción en el caso de refracción de un medio isotrópico a uno anisotrópico; una prueba geométrica estaba contenida en la versión larga del informe de Laplace, impreso en 1810.

La afirmación de Young era más general que la de Laplace y también confirmaba el principio de Fermat incluso en el caso de una refracción extraordinaria, en la que los rayos generalmente no son perpendiculares a los frentes de onda. Desafortunadamente, sin embargo, la oración intermedia omitida del párrafo citado por Young comenzaba "El movimiento de cada ondulación debe ser necesariamente en una dirección perpendicular a su superficie..." (énfasis añadido), y por lo tanto estaba destinado a sembrar confusión en lugar de claridad.

Augustin-Jean Fresnel (1788-1827)

No existe tal confusión en "Second Memoir" de Augustin-Jean Fresnel; on double refraction (Fresnel, 1827), que aborda el principio de Fermat en varios lugares (sin nombrar a Fermat), partiendo del caso especial en el que los rayos son normales a los frentes de onda, al caso general en el que los rayos son caminos de menor tiempo o tiempo estacionario. (En el siguiente resumen, los números de página se refieren a la traducción de Alfred W. Hobson).

• Para la refracción de una ola de avión a la incidencia paralela en una cara de una cuña cristalina anisotrópica (pág. 291–2), con el fin de encontrar el "primer rayo llegó" en un punto de observación más allá de la otra cara de la cuña, basta tratar los rayos fuera del cristal como normales a los frentes de onda, y dentro del cristal considerar sólo los frentes paralelos de onda (cualquier dirección de rayos). Así que en este caso, Fresnel no intenta rastrear la ruta completa de los rayos.
• A continuación, Fresnel considera un rayo refractado de una fuente de punto M dentro de un cristal, a través de un punto A sobre la superficie, a un punto de observación B fuera (pág. 294 a 6). La superficie que pasa por B y dado por el "locus de las perturbaciones que llegan primero" es, según la construcción de Huygens, normal a "el rayo AB de llegada más rápida". Pero esta construcción requiere el conocimiento de la "superficie de la onda" (es decir, la onda secundaria) dentro del cristal.
• Luego considera un frente de onda plana que se propaga en un medio con ondas secundarias no esféricas, orientadas para que el camino de rayos dado por la construcción de Huygens —desde la fuente del frente de onda secundario hasta su punto de tangencia con el siguiente frente primario de onda— sea no normal a los frentes de onda primaria (pág. 296). Muestra que este camino es, sin embargo, "el camino de la llegada más rápida de la perturbación" desde la anterior ola principal hasta el punto de la tangencia.
• En un encabezamiento posterior (pág. 305) declara que "la construcción de Huygens, que determina el camino de la llegada más rápida", es aplicable a las ondas secundarias de cualquier forma. A continuación, señala que cuando aplicamos la construcción de Huygens para refraccionar en un cristal con un frente de onda secundaria de dos puntas, y dibujamos las líneas desde los dos puntos de la tangencia hasta el centro de la onda secundaria, "tendremos las direcciones de los dos caminos de la llegada más rápida, y en consecuencia de la corriente y del rayo extraordinario".
• Bajo el título "Definición de la palabra Ray"(p. 309), concluye que este término debe ser aplicado a la línea que se une al centro de la onda secundaria a un punto en su superficie, cualquiera que sea la inclinación de esta línea a la superficie.
• Como "nueva consideración" (pág. 310–11), señala que si se pasa una onda plana a través de un pequeño agujero centrado en el punto E, entonces la dirección ED de la intensidad máxima del rayo resultante será la en la que la onda secundaria a partir de E "arrive allí el primero", y los frentes de onda secundaria de los lados opuestos del agujero (equidista de E) será "arrive at D en el mismo tiempo" como el uno al otro. Esta dirección es no supuso que era normal en cualquier onda.

Así, Fresnel demostró, incluso para medios anisotrópicos, que la trayectoria del rayo dada por Huygens' construcción es el camino de menor tiempo entre posiciones sucesivas de un plano o frente de onda divergente, que las velocidades de los rayos son los radios de la "superficie de onda" secundaria; después de la unidad de tiempo, y que un tiempo de recorrido estacionario representa la dirección de máxima intensidad de un haz. Sin embargo, establecer la equivalencia general entre Huygens' la construcción y el principio de Fermat habrían requerido una mayor consideración del principio de Fermat en términos punto a punto.

Hendrik Lorentz, en un artículo escrito en 1886 y vuelto a publicar en 1907, dedujo el principio del tiempo mínimo en forma punto a punto de Huygens' construcción. Pero la esencia de su argumento estaba algo oscurecida por una aparente dependencia del éter y el arrastre del éter.

El trabajo de Lorentz fue citado en 1959 por Adriaan J. de Witte, quien luego ofreció su propio argumento, que "aunque en esencia es el mismo, se cree que es más convincente y más general". 34; El tratamiento de De Witte es más original de lo que podría sugerir esa descripción, aunque se limita a dos dimensiones; usa cálculo de variaciones para mostrar que Huygens' La construcción y el principio de Fermat conducen a la misma ecuación diferencial para la trayectoria del rayo, y en el caso del principio de Fermat, se cumple lo contrario. De Witte también señaló que "el asunto parece haber escapado al tratamiento en los libros de texto".