Unión disjunta (topología)

En topología general y áreas relacionadas de las matemáticas, la unión disjunta (también llamada suma directa, unión libre, libre suma, suma topológica o coproducto) de una familia de espacios topológicos es un espacio formado equipando la unión disjunta de los conjuntos subyacentes con una topología natural llamada la topología de unión disjunta. En términos generales, en la unión disjunta los espacios dados se consideran parte de un único espacio nuevo donde cada uno parece como si estuviera solo y están aislados unos de otros.

El nombre coproducto se origina del hecho de que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción del espacio del producto.

Definición

Sea {X_i: i ∈ I} una familia de espacios topológicos indexados por I. Dejar

X=∐ ∐ iXi{displaystyle X=coprod ¿Qué?

ser la unión disjunta de los conjuntos subyacentes. Para cada i en I, sea

φ φ i:Xi→ → X{displaystyle varphi - Sí. X,}

ser el inyección canónica (definido por φ φ i()x)=()x,i){displaystyle varphi _{i}(x)=(x,i)}). El disjoint union topology on X se define como la topología más fina X para las cuales todas las inyecciones canónicas φ φ i{displaystyle varphi _{i} son continuos (es decir: es la topología final en X inducido por las inyecciones canónicas).

Explícitamente, la topología sindical disjoint puede describirse como sigue. A subset U de X está abierto X si y sólo si su preimage φ φ i− − 1()U){displaystyle varphi _{i}{-1}(U)} está abierto X_i para cada uno i ▪ I. Otra formulación es que un subconjunto V de X está abierto en relación con X sif su intersección con X_i está abierto en relación con X_i para cada uno i.

Propiedades

El espacio de unión disjunto X, junto con las inyecciones canónicas, se puede caracterizar por la siguiente propiedad universal: si Y es un espacio topológico, y f _i: X_i → Y es un mapa continuo para cada i ∈ I, entonces existe precisamente un mapa continuo f: X → Y tal que el siguiente conjunto de diagramas conmutan:

Esto muestra que la unión disjunta es el coproducto en la categoría de espacios topológicos. De la propiedad universal anterior se deduce que un mapa f: X → Y es continuo si f_i = f o φ_i es continua para todo i en I.

Además de ser continuas, las inyecciones canónicas φ_i: X_i → X son mapas abiertos y cerrados. De ello se deduce que las inyecciones son incrustaciones topológicas, de modo que cada X_i puede considerarse canónicamente como un subespacio de X.

Ejemplos

Si cada X_i es homeomorfo a un espacio fijo A, entonces la unión disjunta X es homeomorfo al espacio de producto A × I donde I tiene la topología discreta.

Preservación de propiedades topológicas

• Cada unión disyuntiva de espacios discretos es discreta
• Separación
  • Cada unión disyuntiva de espacios T0 es T₀
  • Cada unión disyuntiva de los espacios T1 es T₁
  • Cada unión descomunal de los espacios de Hausdorff es Hausdorff
• Conexión
  • La unión descomunal de dos o más espacios topológicos no vacíos está desconectada