Historia de la lógica

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La historia de la lógica, como estudio de la validez formal de una inferencia, comenzó con el desarrollo de las primeras grandes civilizaciones: Egipto, Mesopotamia, Grecia, India y China. Para el mundo occidental, fue particularmente importante la lógica griega y aristotélica, de donde viene la palabra lógica, siendo la base conceptual durante más de un milenio de la ciencia y las matemáticas, y considerada de amplia aceptación.

El trabajo de Aristóteles, como en el "Organon", sentó los preceptos más fundamentales sobre lógica en occidente, y algunas escuelas de pensamiento como los estoicos, especialmente Crisipo, comenzaron el desarrollo de la lógica de predicados.

En la Edad Media, filósofos cristianos e islámicos como Boecio (524), Avicena (Ibn Sina, 1037) y Guillermo de Ockham (1347), llevaron la lógica de Aristóteles al contexto del medievo, alcanzando su punto culminante en el siglo XIV con Jean Buridán. Sin embargo, desde el siglo XIV hasta principios del siglo XIX, la lógica experimentó un período de abandono, considerado por algunos historiadores como un "periodo estéril" en su evolución. Durante este tiempo, los métodos empíricos dominaron el panorama intelectual como puede verse en la obra "Novum Organon" de Sir Francis Bacon (1620).

La lógica volvería a tener impulso a mediados del siglo XIX, marcando el inicio de una era revolucionaria en esta disciplina, se transformó en un campo riguroso y formal, inspirándose en el método exacto de demostración propio de las matemáticas, retomando la tradición de la lógica griega. La creación de la "lógica simbólica" o "matemática moderna" por figuras como Boole, Frege, Russell y Peano, fue el evento más significativo en los dos mil años de historia de la lógica como ciencia, y se considera uno de los avances más notables en la historia intelectual humana.

El progreso de la lógica matemática en el siglo XX, particularmente a partir de las contribuciones de Gödel y Tarski, tuvo un impacto profundo en la filosofía analítica y la lógica filosófica. Desde la década de 1950, este avance ha influido en áreas como la lógica modal, la lógica temporal, la lógica deóntica y la lógica de relevancia.

HSD

Lógica en Oriente

Lógica en India

Lógica hindú

Origen

El Nasadiya Sukta del Rigveda (RV 10.129) contiene especulación ontológica en términos de varias divisiones lógicas que más tarde fueron reformuladas formalmente como los cuatro círculos de catuskoti: "A", "no A", "A y 'no A'", y "no A y no no A".

¿Quién sabe realmente?¿Quién lo proclamará aquí?¿De dónde se produjo? ¿De dónde es esta creación?Los dioses vinieron después, con la creación de este universo.¿Quién sabe entonces de dónde ha surgido?—  Nasadiya Sukta, se refiere al origen del universo, Rig Veda, 10:129-6

La lógica comenzó de forma independiente en la antigua India y continuó desarrollándose hasta los primeros tiempos modernos sin ninguna influencia conocida de la lógica griega.

Antes de Gautama

Aunque los orígenes en la India del debate público (pariṣad), una forma de investigación racional, no están claros, sabemos que los debates públicos eran comunes en la India preclásica, ya que se alude a ellos con frecuencia en varios Upaniṣads y en la literatura budista temprana. El debate público no es la única forma de deliberación pública en la India preclásica. Se convocaban regularmente asambleas (pariṣad o sabhā) de varios tipos, integradas por expertos relevantes, para deliberar sobre una variedad de asuntos, incluidos asuntos administrativos, legales y religiosos.

Dattatreya

En el Bhagavata purana se afirma que un filósofo llamado Dattatreya enseñó Anvlksikl a Aiarka, Prahlada y otros. Parece del Markandeya purana que el Anvlksikl-vidya expuesto por él consistía en una mera disquisición sobre el alma de acuerdo con la filosofía del yoga. Dattatreya expuso el lado filosófico de Anvlksiki y no su aspecto lógico.

Medhatithi Gautama

Si bien los maestros mencionados anteriormente trataron algunos temas particulares de Anviksiki, el mérito de fundar Anviksiki en su sentido especial de ciencia debe atribuirse a Medhatithi Gautama (c. Siglo VI a. C.). Guatama fundó la escuela de lógica anviksiki. El Mahabharata (12.173.45), alrededor del siglo V a. C., se refiere a las escuelas de lógica anviksiki y tarka.

Panini

Pāṇini (c. siglo V a. C.) desarrolló una forma de lógica (con la que la lógica booleana tiene algunas similitudes) para su formulación de la gramática sánscrita. Chanakya (c. 350-283 a. C.) describe la lógica en su Arthashastra como un campo de investigación independiente.

Nyaya-Vaisheshika

Dos de las seis escuelas indias de pensamiento se ocupan de la lógica: Nyaya y Vaisheshika. Los Nyaya Sutras de Aksapada Gautama (hacia el siglo II d. C.) constituyen los textos centrales de la escuela Nyaya, una de las seis escuelas ortodoxas de filosofía hindú. Esta escuela realista desarrolló un esquema rígido de inferencia de cinco miembros que involucraba una premisa inicial, una razón, un ejemplo, una aplicación y una conclusión. La filosofía budista idealista se convirtió en el principal oponente de los Naiyayikas.

Lógica jainista

Jain hizo su propia contribución única a este desarrollo principal de la lógica al ocuparse también de los problemas epistemológicos básicos, a saber, aquellos relacionados con la naturaleza del conocimiento, cómo se deriva el conocimiento y de qué manera se puede decir que el conocimiento es confiable. Jain lógica

Los jainistas tienen doctrinas de la relatividad utilizadas para la lógica y el razonamiento:

Estos conceptos filosóficos jainistas hicieron contribuciones muy importantes a la antigua filosofía india, especialmente en las áreas de escepticismo y relatividad. [4]

Lógica budista

Nagarjuna

Nagarjuna (c. 150-250 d. C.), el fundador de Madhyamika ("Camino Medio") desarrolló un análisis conocido como catuṣkoṭi (sánscrito), un sistema de argumentación de "cuatro esquinas" que implica el examen sistemático y el rechazo de cada uno. de las 4 posibilidades de una proposición, P:

  1. pag; es decir, ser.
  2. no P; es decir, no ser.
  3. P y no P; es decir, ser y no ser.
  4. no (P o no P); es decir, ni ser ni no ser.Bajo la lógica proposicional, las leyes de De Morgan implican que esto es equivalente al tercer caso (P y no P), y por lo tanto es superfluo; en realidad solo hay 3 casos a considerar.

Dignaga

Sin embargo, a veces se dice que Dignaga (c 480-540 dC) desarrolló un silogismo formal, y fue a través de él y su sucesor, Dharmakirti, que la lógica budista alcanzó su apogeo; se discute si su análisis constituye realmente un sistema silogístico formal. En particular, su análisis se centró en la definición de una relación de garantía de inferencia, "vyapti", también conocida como concomitancia o pervasión invariable. Con este fin, se desarrolló una doctrina conocida como "apoha" o diferenciación. Esto implicó lo que podría llamarse inclusión y exclusión de propiedades definitorias.

La famosa "rueda de la razón" de Dignāga (Hetucakra) es un método para indicar cuándo una cosa (como el humo) puede tomarse como un signo invariable de otra cosa (como el fuego), pero la inferencia es a menudo inductiva y se basa en observaciones pasadas. Matilal comenta que el análisis de Dignāga es muy parecido al Método Conjunto de Concordancia y Diferencia de John Stuart Mill, que es inductivo.

Silogismo e influencia

Además, el silogismo indio tradicional de cinco miembros, aunque deductivamente válido, tiene repeticiones que son innecesarias para su validez lógica. Como resultado, algunos comentaristas ven el silogismo indio tradicional como una forma retórica que es completamente natural en muchas culturas del mundo y, sin embargo, no como una forma lógica, no en el sentido de que todos los elementos lógicamente innecesarios se han omitido en aras de la comprensión. análisis.

Lógica en China

En China, a un contemporáneo de Confucio, Mozi, "Maestro Mo", se le atribuye la fundación de la escuela mohista, cuyos cánones trataban cuestiones relacionadas con la inferencia válida y las condiciones de las conclusiones correctas. En particular, una de las escuelas que surgió del mohismo, los lógicos, recibe el crédito de algunos estudiosos por su investigación temprana de la lógica formal. Debido a la dura regla del legalismo en la dinastía Qin posterior, esta línea de investigación desapareció en China hasta la introducción de la filosofía india por parte de los budistas.

Lógica en Occidente

Prehistoria de la logica

Se ha empleado un razonamiento válido en todos los períodos de la historia humana. Sin embargo, la lógica estudia los principios del razonamiento válido, la inferencia y la demostración. Es probable que la idea de demostrar una conclusión surgiera por primera vez en relación con la geometría, que originalmente significaba lo mismo que "medida de la tierra". Los antiguos egipcios descubrieron la geometría, incluida la fórmula para el volumen de una pirámide truncada. La antigua Babilonia también era experta en matemáticas. El manual de diagnóstico médico de Esagil-kin-apli en el siglo XI a. C. se basó en un conjunto lógico de axiomas y suposiciones,mientras que los astrónomos babilónicos de los siglos VIII y VII a. C. emplearon una lógica interna dentro de sus sistemas planetarios predictivos, una importante contribución a la filosofía de la ciencia.

Grecia antigua antes de Aristóteles

Mientras que los antiguos egipcios descubrieron empíricamente algunas verdades de la geometría, el gran logro de los antiguos griegos fue reemplazar los métodos empíricos por pruebas demostrativas. Tanto Tales como Pitágoras de los filósofos presocráticos parecen conocer los métodos de la geometría.

Se conservan fragmentos de pruebas tempranas en las obras de Platón y Aristóteles, y la idea de un sistema deductivo probablemente se conocía en la escuela pitagórica y en la Academia platónica. Las demostraciones de Euclides de Alejandría son un paradigma de la geometría griega. Los tres principios básicos de la geometría son los siguientes:

Más evidencia de que los primeros pensadores griegos estaban preocupados por los principios del razonamiento se encuentra en el fragmento llamado dissoi logoi, probablemente escrito a principios del siglo IV a. Esto es parte de un prolongado debate sobre la verdad y la falsedad. En el caso de las ciudades-estado griegas clásicas, el interés por la argumentación también fue estimulado por las actividades de los retóricos u oradores y los sofistas, que usaban argumentos para defender o atacar una tesis, tanto en contextos legales como políticos.

Tales

Se dice que Tales, más ampliamente considerado como el primer filósofo de la tradición griega, midió la altura de las pirámides por sus sombras en el momento en que su propia sombra era igual a su altura. Se dice que Tales tuvo un sacrificio para celebrar el descubrimiento del teorema de Tales al igual que Pitágoras tuvo el teorema de Pitágoras.

Tales es el primer individuo conocido en utilizar el razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios de su teorema, y ​​el primer individuo conocido al que se le ha atribuido un descubrimiento matemático. Los matemáticos indios y babilónicos conocían su teorema para casos especiales antes de que lo probara. Se cree que Tales aprendió que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto durante sus viajes a Babilonia.

Pitágoras

Antes del 520 a. C., en una de sus visitas a Egipto o Grecia, Pitágoras pudo haber conocido al c. 54 años mayor que Tales. El estudio sistemático de la prueba parece haber comenzado con la escuela de Pitágoras (es decir, los pitagóricos) a fines del siglo VI a. De hecho, los pitagóricos, creyendo que todo era número, son los primeros filósofos en enfatizar la forma en lugar de la materia.

Heráclito y Parménides

Los escritos de Heráclito (c. 535 - c. 475 a. C.) fueron el primer lugar donde se prestó especial atención a la palabra logos en la filosofía griega antigua. Heráclito sostenía que todo cambia y todo era fuego y opuestos en conflicto, aparentemente unificados solo por este Logos.. Es conocido por sus dichos oscuros.

Este logos se mantiene siempre, pero los humanos siempre se muestran incapaces de comprenderlo, tanto antes de escucharlo como cuando lo han escuchado por primera vez. Porque aunque todas las cosas llegan a ser de acuerdo con este logos, los humanos son como los inexpertos cuando experimentan tales palabras y obras como yo las expongo, distinguiendo cada una según su naturaleza y diciendo cómo es. Pero otras personas no se dan cuenta de lo que hacen cuando están despiertas, al igual que olvidan lo que hacen mientras duermen.—  Diels-Kranz, 22B1

A diferencia de Heráclito, Parménides sostenía que todo es uno y nada cambia. Pudo haber sido un pitagórico disidente, que no estaba de acuerdo con que Uno (un número) produjera los muchos. "X no es" siempre debe ser falso o sin sentido. Lo que existe de ninguna manera puede no existir. Nuestras percepciones de los sentidos con su aviso de generación y destrucción están en un grave error. En lugar de la percepción de los sentidos, Parménides abogó por el logos como medio para llegar a la Verdad. Se le ha llamado el descubridor de la lógica,

Para este punto de vista, que Eso Que No Es existe, nunca puede predominar. Debes apartar tu pensamiento de este camino de búsqueda, no permitir que la experiencia ordinaria en su variedad te fuerce por este camino (es decir, el de permitir) el ojo, ciego como es, y el oído, lleno de sonido, y la lengua, mandar; pero (debes) juzgar por medio de la Razón (Logos) la prueba tan discutida que es expuesta por mí.—  B 7.1–8.2

Zenón de Elea, alumno de Parménides, tuvo la idea de un patrón de argumento estándar que se encuentra en el método de prueba conocido como reductio ad absurdum. Esta es la técnica de sacar una conclusión obviamente falsa (es decir, "absurda") de una suposición, demostrando así que la suposición es falsa. Por lo tanto, Zenón y su maestro son vistos como los primeros en aplicar el arte de la lógica. El diálogo Parménides de Platón retrata a Zenón afirmando haber escrito un libro defendiendo el monismo de Parménides al demostrar la absurda consecuencia de suponer que hay pluralidad. Zeno usó este método para desarrollar sus paradojas en sus argumentos contra el movimiento. Tal dialécticael razonamiento más tarde se hizo popular. Los miembros de esta escuela fueron llamados "dialécticos" (de una palabra griega que significa "discutir").

Platón

Que nadie ignorante de la geometría entre aquí.—  Inscrito sobre la entrada a la Academia de Platón.

Ninguna de las obras sobrevivientes del gran filósofo del siglo IV Platón (428–347 a. C.) incluye lógica formal alguna, pero incluyen importantes contribuciones al campo de la lógica filosófica. Platón plantea tres preguntas:

La primera cuestión surge en el diálogo Teeteto, donde Platón identifica pensamiento u opinión con habla o discurso (logos). La segunda pregunta es resultado de la teoría de las Formas de Platón. Las formas no son cosas en el sentido ordinario, ni estrictamente ideas en la mente, sino que corresponden a lo que los filósofos llamaron después universales, a saber, una entidad abstracta común a cada conjunto de cosas que tienen el mismo nombre. Tanto en la República como en el Sofista, Platón sugiere que la conexión necesaria entre los supuestos de un argumento válido y su conclusión corresponde a una conexión necesaria entre "formas".La tercera pregunta es sobre la definición. Muchos de los diálogos de Platón se refieren a la búsqueda de una definición de algún concepto importante (la justicia, la verdad, el Bien), y es probable que a Platón le impresionara la importancia de la definición en las matemáticas. Lo que subyace a toda definición es una Forma platónica, la naturaleza común presente en diferentes cosas particulares. Así, una definición refleja el objeto último de la comprensión y es el fundamento de toda inferencia válida. Esto tuvo una gran influencia en el alumno de Platón, Aristóteles, en particular, la noción de Aristóteles de la esencia de una cosa.

Aristóteles

La lógica de Aristóteles, y particularmente su teoría del silogismo, ha tenido una enorme influencia en el pensamiento occidental. Aristóteles fue el primer lógico en intentar un análisis sistemático de la sintaxis lógica, del sustantivo (o término) y del verbo. Fue el primer lógico formal, ya que demostró los principios del razonamiento empleando variables para mostrar la forma lógica subyacente de un argumento. Buscó las relaciones de dependencia que caracterizan la inferencia necesaria y distinguió la validez de estas relaciones de la verdad de las premisas. Fue el primero en tratar los principios de contradicción y tercero excluido de manera sistemática.

El organón

Sus trabajos lógicos, llamados Organon, son los primeros estudios formales de lógica que han llegado hasta los tiempos modernos. Aunque es difícil determinar las fechas, el orden probable de escritura de las obras lógicas de Aristóteles es:

Estas obras son de gran importancia en la historia de la lógica. En las Categorías, intenta discernir todas las cosas posibles a las que puede referirse un término; esta idea sustenta su obra filosófica Metafísica, que a su vez tuvo una profunda influencia en el pensamiento occidental.

También desarrolló una teoría de la lógica no formal (es decir, la teoría de las falacias), que se presenta en Temas y refutaciones sofísticas.

Sobre la interpretación contiene un tratamiento integral de las nociones de oposición y conversión; el capítulo 7 está en el origen del cuadrado de oposición (o cuadrado lógico); el capítulo 9 contiene el comienzo de la lógica modal.

El Prior Analytics contiene su exposición del "silogismo", donde se aplican tres importantes principios por primera vez en la historia: el uso de variables, un tratamiento puramente formal y el uso de un sistema axiomático.

Estoicos

La otra gran escuela de la lógica griega es la de los estoicos. La lógica estoica tiene sus raíces en el filósofo Euclides de Megara de finales del siglo V a. C., alumno de Sócrates y contemporáneo un poco mayor de Platón, probablemente siguiendo la tradición de Parménides y Zenón. Sus alumnos y sucesores fueron llamados "megarianos" o "erísticos", y más tarde "dialécticos". Los dos dialécticos más importantes de la escuela de Megara fueron Diodoro Cronos y Filón, que estuvieron activos a finales del siglo IV a.

Los estoicos adoptaron la lógica megariana y la sistematizaron. El miembro más importante de la escuela fue Crisipo (c. 278–c. 206 a. C.), quien fue su tercer líder y quien formalizó gran parte de la doctrina estoica. Se supone que escribió más de 700 obras, incluidas al menos 300 sobre lógica, casi ninguna de las cuales sobrevive. A diferencia de Aristóteles, no tenemos obras completas de los megarianos o de los primeros estoicos, y tenemos que confiar principalmente en relatos (a veces hostiles) de fuentes posteriores, entre las que se incluyen de forma destacada Diógenes Laercio, Sexto Empírico, Galeno, Aulo Gelio, Alejandro de Afrodisias y Cicerón.

Tres contribuciones significativas de la escuela estoica fueron (i) su explicación de la modalidad, (ii) su teoría del condicional material y (iii) su explicación del significado y la verdad.

Diodoro usó la plausibilidad de los dos primeros para probar que nada es posible si no es ni será verdad. Crisipo, por el contrario, negó la segunda premisa y dijo que lo imposible podía seguirse de lo posible.

El siguiente condicional no cumple con este requisito y, por lo tanto, es una declaración falsa según Philo:

De hecho, Sextus dice: "Según [Philo], hay tres formas en las que un condicional puede ser verdadero y una en la que puede ser falso". El criterio de verdad de Philo es lo que ahora se llamaría una definición funcional de verdad de "si... entonces"; es la definición utilizada en la lógica moderna.En contraste, Diodoro permitió la validez de las condicionales solo cuando la cláusula antecedente nunca podría conducir a una conclusión falsa. Un siglo después, el filósofo estoico Crisipo atacó las suposiciones tanto de Filón como de Diodoro.

Lógica medieval

Lógica en el Medio Oriente

Las obras de Al-Kindi, Al-Farabi, Avicena, Al-Ghazali, Averroes y otros lógicos musulmanes se basaron en la lógica aristotélica y fueron importantes para comunicar las ideas del mundo antiguo al Occidente medieval. Al-Farabi (Alfarabi) (873–950) fue un lógico aristotélico que discutió los temas de los futuros contingentes, el número y la relación de las categorías, la relación entre la lógica y la gramática y las formas de inferencia no aristotélicas. Al-Farabi también consideró las teorías de los silogismos condicionales y la inferencia analógica, que formaban parte de la tradición estoica de la lógica más que de la aristotélica.

Maimónides (1138-1204) escribió un Tratado de Lógica (en árabe: Maqala Fi-Sinat Al-Mantiq), refiriéndose a Al-Farabi como el "segundo maestro", siendo el primero Aristóteles.

Ibn Sina (Avicena) (980-1037) fue el fundador de la lógica aviceniana, que reemplazó a la lógica aristotélica como el sistema de lógica dominante en el mundo islámico, y también tuvo una influencia importante en los escritores medievales occidentales como Alberto Magno. Avicena escribió sobre el silogismo hipotético y el cálculo proposicional, que formaban parte de la tradición lógica estoica. Desarrolló una teoría silogística original "temporalmente modalizada", que involucraba la lógica temporal y la lógica modal. También hizo uso de la lógica inductiva, como los métodos de concordancia, diferencia y variación concomitante, que son fundamentales para el método científico.Una de las ideas de Avicena tuvo una influencia particularmente importante en los lógicos occidentales como Guillermo de Ockham: la palabra de Avicena para significado o noción (ma'na), fue traducida por los lógicos escolásticos como latín intentio; en la lógica y la epistemología medievales, este es un signo en la mente que naturalmente representa una cosa. Esto fue crucial para el desarrollo del conceptualismo de Ockham: un término universal (p. ej., "hombre") no significa una cosa que existe en la realidad, sino más bien un signo en la mente (intentio in intellectu) que representa muchas cosas en la realidad; Ockham cita el comentario de Avicena sobre Metafísica V en apoyo de este punto de vista.

Fakhr al-Din al-Razi (n. 1149) criticó la "primera figura" de Aristóteles y formuló un sistema temprano de lógica inductiva, presagiando el sistema de lógica inductiva desarrollado por John Stuart Mill (1806-1873). Los eruditos islámicos posteriores consideraron que el trabajo de Al-Razi marcaba una nueva dirección para la lógica islámica, hacia una lógica posavicena. Esto fue más elaborado por su alumno Afdaladdîn al-Khûnajî (m. 1249), quien desarrolló una forma de lógica que gira en torno al tema de las concepciones y asentimientos. En respuesta a esta tradición, Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) inició una tradición de lógica neoavicena que se mantuvo fiel a la obra de Avicena y existió como una alternativa a la escuela posavicena más dominante durante los siglos siguientes.

La escuela iluminacionista fue fundada por Shahab al-Din Suhrawardi (1155-1191), quien desarrolló la idea de "necesidad decisiva", que se refiere a la reducción de todas las modalidades (necesidad, posibilidad, contingencia e imposibilidad) al único modo de necesidad.. Ibn al-Nafis (1213-1288) escribió un libro sobre la lógica aviceniana, que era un comentario de Al-Isharat (Los signos) y Al-Hidayah (La guía) de Avicena. Ibn Taymiyyah (1263-1328), escribió Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyyin, donde argumentó en contra de la utilidad, aunque no de la validez, del silogismo y a favor del razonamiento inductivo.Ibn Taymiyyah también argumentó en contra de la certeza de los argumentos silogísticos ya favor de la analogía; su argumento es que los conceptos basados ​​en la inducción no son ciertos en sí mismos sino sólo probables, y por lo tanto un silogismo basado en tales conceptos no es más seguro que un argumento basado en la analogía. Además, afirmó que la inducción misma se basa en un proceso de analogía. Su modelo de razonamiento analógico se basaba en el de los argumentos jurídicos. Este modelo de analogía se ha utilizado en el trabajo reciente de John F. Sowa.

El Sharh al-takmil fi'l-mantiq escrito por Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani en el siglo XV es el último trabajo árabe importante sobre lógica que se ha estudiado. Sin embargo, se escribieron "miles y miles de páginas" sobre lógica entre los siglos XIV y XIX, aunque los historiadores han estudiado solo una fracción de los textos escritos durante este período, por lo que se sabe poco sobre el trabajo original sobre lógica islámica producido durante este período posterior.

Lógica en la Europa medieval

"Lógica medieval" (también conocida como "lógica escolástica") generalmente significa la forma de lógica aristotélica desarrollada en la Europa medieval durante aproximadamente el período 1200-1600. Durante siglos después de que se formulara la lógica estoica, fue el sistema de lógica dominante en el mundo clásico. Cuando se reanudó el estudio de la lógica después de la Edad Media, la fuente principal fue el trabajo del filósofo cristiano Boecio, que estaba familiarizado con parte de la lógica de Aristóteles, pero casi nada con el trabajo de los estoicos. Hasta el siglo XII, las únicas obras de Aristóteles disponibles en Occidente eran las Categorías, Sobre la interpretación y la traducción de Boecio del Isagoge de Porfirio (un comentario sobre las Categorías). Estas obras fueron conocidas como la "Lógica Vieja"o Ars Vetus). Una obra importante en esta tradición fue la Logica Ingredientibus de Peter Abelard (1079-1142). Su influencia directa fue pequeña, pero su influencia a través de alumnos como Juan de Salisbury fue grande, y su método de aplicar un análisis lógico riguroso a la teología dio forma a la forma en que se desarrolló la crítica teológica en el período que siguió. La prueba del principio de explosión, también conocida como el principio de seudo-Scotus, la ley según la cual cualquier proposición puede probarse a partir de una contradicción (incluida su negación), fue dada por primera vez por el lógico francés del siglo XII William of Soissons.

A principios del siglo XIII, las obras restantes del Organon de Aristóteles, incluidos los Análisis previos, los Análisis posteriores y las Refutaciones sofísticas (conocidas colectivamente como Logica Nova o "Nueva lógica"), se habían recuperado en Occidente. El trabajo lógico hasta entonces era principalmente paráfrasis o comentario sobre la obra de Aristóteles. El período comprendido entre mediados del siglo XIII y mediados del siglo XIV fue uno de desarrollos significativos en lógica, particularmente en tres áreas que eran originales, con poco fundamento en la tradición aristotélica anterior. Éstas eran:

Las últimas grandes obras de esta tradición son la Lógica de John Poinsot (1589-1644, conocido como Juan de Santo Tomás), las Disputas metafísicas de Francisco Suárez (1548-1617) y la Logica Demostrativa de Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733).).

Lógica tradicional

La tradición de los libros de texto

La lógica tradicional generalmente significa la tradición de los libros de texto que comienza con la Lógica de Antoine Arnauld y Pierre Nicole , o el Arte de pensar, mejor conocida como la Lógica de Port-Royal. Publicado en 1662, fue el trabajo de lógica más influyente después de Aristóteles hasta el siglo XIX. El libro presenta una doctrina vagamente cartesiana (que la proposición es una combinación de ideas en lugar de términos, por ejemplo) dentro de un marco que se deriva ampliamente de la lógica de términos aristotélicos y medievales. Entre 1664 y 1700 hubo ocho ediciones y el libro tuvo una influencia considerable después de eso. El Port-Royal introduce los conceptos de extensión e intensión. El relato de las proposiciones que da Locke en el Ensayoes esencialmente la de Port-Royal: "Las proposiciones verbales, que son palabras, [son] los signos de nuestras ideas, reunidas o separadas en oraciones afirmativas o negativas. De modo que esa proposición consiste en juntar o separar estos signos, según como las cosas que representan concuerdan o no".

Dudley Fenner ayudó a popularizar la lógica ramista, una reacción contra Aristóteles. Otro trabajo influyente fue el Novum Organum de Francis Bacon, publicado en 1620. El título se traduce como "nuevo instrumento". Esta es una referencia a la obra de Aristóteles conocida como Organon. En esta obra, Bacon rechaza el método silogístico de Aristóteles en favor de un procedimiento alternativo "que mediante un trabajo lento y fiel reúne información de las cosas y las lleva a la comprensión". Este método se conoce como razonamiento inductivo, método que parte de la observación empírica y procede a axiomas o proposiciones inferiores; de estos axiomas inferiores se pueden inducir otros más generales. Por ejemplo, al encontrar la causa de una naturaleza fenoménicacomo el calor, se deben construir 3 listas:

Entonces, la forma naturaleza (o causa) del calor puede definirse como aquello que es común a cada situación de la lista de presencia, y que falta en cada situación de la lista de ausencia, y que varía según el grado en cada situación de la variabilidad lista.

Otras obras en la tradición de los libros de texto incluyen Logick: Or, the Right Use of Reason (1725) de Isaac Watts, Logic de Richard Whately (1826) y A System of Logic de John Stuart Mill (1843). Aunque este último fue uno de los últimos grandes trabajos de la tradición, la visión de Mill de que los fundamentos de la lógica se encuentran en la introspección influyó en la opinión de que la lógica se entiende mejor como una rama de la psicología, una visión que dominó los siguientes cincuenta años de su desarrollo. especialmente en Alemania.

La lógica en la filosofía de Hegel

GWF Hegel indicó la importancia de la lógica para su sistema filosófico cuando condensó su extensa Ciencia de la Lógica en un trabajo más corto publicado en 1817 como el primer volumen de su Enciclopedia de las Ciencias Filosóficas. La Lógica "Breve" o "Enciclopédica", como se la suele denominar, plantea una serie de transiciones que conducen desde la más vacía y abstracta de las categorías -Hegel comienza con "Puro Ser" y "Pura Nada"- hasta el "Absoluto". ", la categoría que contiene y resuelve todas las categorías que la precedieron. A pesar del título, la Lógica de Hegelno es realmente una contribución a la ciencia de la inferencia válida. En lugar de derivar conclusiones sobre conceptos a través de inferencias válidas a partir de premisas, Hegel busca mostrar que pensar en un concepto obliga a pensar en otro concepto (argumenta que uno no puede poseer el concepto de "Calidad" sin el concepto de "Cantidad"); esta compulsión, supuestamente, no es una cuestión de psicología individual, porque surge casi orgánicamente del contenido de los conceptos mismos. Su propósito es mostrar la estructura racional del "Absoluto", de hecho, de la racionalidad misma. El método por el cual el pensamiento es conducido de un concepto a su contrario, y luego a otros conceptos, se conoce como la dialéctica hegeliana.

Aunque la Lógica de Hegel ha tenido poco impacto en los estudios lógicos principales, su influencia se puede ver en otros lugares:

Lógica y psicología

Entre el trabajo de Mill y Frege se extendió medio siglo durante el cual la lógica fue ampliamente tratada como una ciencia descriptiva, un estudio empírico de la estructura del razonamiento y, por lo tanto, esencialmente como una rama de la psicología. El psicólogo alemán Wilhelm Wundt, por ejemplo, discutió derivar "lo lógico de las leyes psicológicas del pensamiento", enfatizando que "el pensamiento psicológico es siempre la forma más completa de pensamiento". Esta opinión estaba muy extendida entre los filósofos alemanes de la época:

Tal fue la visión dominante de la lógica en los años que siguieron al trabajo de Mill. Este enfoque psicológico de la lógica fue rechazado por Gottlob Frege. También fue objeto de una crítica extensa y destructiva por parte de Edmund Husserl en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas (1900), un asalto que ha sido descrito como "abrumador". Husserl argumentó enérgicamente que basar la lógica en observaciones psicológicas implicaba que todas las verdades lógicas permanecían sin probar y que el escepticismo y el relativismo eran consecuencias inevitables.

Tales críticas no extirparon inmediatamente lo que se llama "psicologismo". Por ejemplo, el filósofo estadounidense Josiah Royce, aunque reconocía la fuerza de la crítica de Husserl, seguía siendo "incapaz de dudar" de que el progreso de la psicología iría acompañado del progreso de la lógica, y viceversa.

El surgimiento de la lógica moderna

El período comprendido entre el siglo XIV y principios del siglo XIX había sido en gran medida de declive y abandono, y los historiadores de la lógica lo consideran generalmente estéril. El renacimiento de la lógica se produjo a mediados del siglo XIX, al comienzo de un período revolucionario en el que el tema se convirtió en una disciplina rigurosa y formalista cuyo ejemplo fue el método exacto de demostración utilizado en matemáticas. El desarrollo de la lógica "simbólica" o "matemática" moderna durante este período es el más significativo en los 2000 años de historia de la lógica, y podría decirse que es uno de los eventos más importantes y notables en la historia intelectual humana.

Una serie de características distinguen a la lógica moderna de la antigua lógica aristotélica o tradicional, las más importantes son las siguientes: La lógica moderna es fundamentalmente un cálculo cuyas reglas de operación están determinadas solo por la forma y no por el significado de los símbolos que emplea., como en matemáticas. Muchos lógicos quedaron impresionados por el "éxito" de las matemáticas, en el sentido de que no había habido una disputa prolongada sobre ningún resultado verdaderamente matemático. CS Peirce señalóque aunque un error en la evaluación de una integral definida por Laplace condujo a un error relativo a la órbita de la luna que persistió durante casi 50 años, el error, una vez detectado, fue corregido sin ninguna disputa seria. Peirce contrastó esto con la disputa y la incertidumbre que rodea a la lógica tradicional, y especialmente al razonamiento en metafísica. Argumentó que una lógica verdaderamente "exacta" dependería del pensamiento matemático, es decir, "diagramático" o "icónico". "Aquellos que siguen tales métodos... escaparán de todo error, excepto que se corregirá rápidamente después de que se sospeche". La lógica moderna también es "constructiva" en lugar de "abstractiva"; es decir, en lugar de abstraer y formalizar teoremas derivados del lenguaje ordinario (o de intuiciones psicológicas sobre la validez), construye teoremas mediante métodos formales y luego busca una interpretación en el lenguaje ordinario. Es completamente simbólico, lo que significa que incluso las constantes lógicas (que los lógicos medievales llamaron "syncategoremata") y los términos categóricos se expresan en símbolos.

Lógica moderna

El desarrollo de la lógica moderna se divide aproximadamente en cinco períodos:

Periodo embrionario

La idea de que la inferencia podría representarse mediante un proceso puramente mecánico se encuentra ya en Raymond Llull, quien propuso un método (algo excéntrico) de sacar conclusiones mediante un sistema de anillos concéntricos. El trabajo de lógicos como los Calculadores de Oxford llevó a un método de usar letras en lugar de escribir cálculos lógicos (calculados) en palabras, un método usado, por ejemplo, en la Logica magna de Pablo de Venecia. Trescientos años después de Llull, el filósofo y lógico inglés Thomas Hobbes sugirió que toda lógica y razonamiento podía reducirse a las operaciones matemáticas de suma y resta.La misma idea se encuentra en la obra de Leibniz, que había leído tanto a Llull como a Hobbes, y que defendía que la lógica puede representarse mediante un proceso combinatorio o cálculo. Pero, al igual que Llull y Hobbes, no logró desarrollar un sistema completo o detallado, y su trabajo sobre este tema no se publicó hasta mucho después de su muerte. Leibniz dice que los lenguajes ordinarios están sujetos a "innumerables ambigüedades" y no son adecuados para un cálculo, cuya tarea es exponer errores en la inferencia que surgen de las formas y estructuras de las palabras; por lo tanto, propuso identificar un alfabeto del pensamiento humano que comprendiera conceptos fundamentales que pudieran componerse para expresar ideas complejas y crear un cálculo raciocinador.eso haría todos los argumentos "tan tangibles como los de los matemáticos, de modo que podemos encontrar nuestro error de un vistazo, y cuando hay disputas entre personas, podemos simplemente decir: calculemos".

Gergonne (1816) decía que el razonamiento no tiene por qué versar sobre objetos de los que se tienen ideas perfectamente claras, porque las operaciones algebraicas se pueden realizar sin tener idea del significado de los símbolos involucrados. Bolzano anticipó una idea fundamental de la teoría de la demostración moderna cuando definió la consecuencia lógica o "deducibilidad" en términos de variables:

Por eso digo que las proposiciones METRO, norte, O,... son deducibles de las proposiciones UN, B, C, D,... con respecto a las partes variables i, j,..., si toda clase de ideas cuya sustitución por i, j,... hace todo UN, B, C, D,... verdadero, también hace todo de METRO, norte, O,… cierto. Ocasionalmente, como es costumbre, diré que las proposiciones METRO, norte, O,... se siguen, o pueden inferirse o derivarse, de UN, B, C, D,…. Proposiciones UN, B, C,D,… A las premisas las llamaré, METRO, norte, O,… las conclusiones.

Esto ahora se conoce como validez semántica.

Período algebraico

La lógica moderna comienza con lo que se conoce como la "escuela algebraica", que tiene su origen en Boole e incluye a Peirce, Jevons, Schröder y Venn. Su objetivo era desarrollar un cálculo para formalizar el razonamiento en el área de clases, proposiciones y probabilidades. La escuela comienza con el trabajo seminal de Boole, Análisis matemático de la lógica, que apareció en 1847, aunque De Morgan (1847) es su precursor inmediato. La idea fundamental del sistema de Boole es que se pueden usar fórmulas algebraicas para expresar relaciones lógicas. Esta idea se le ocurrió a Boole en su adolescencia, cuando trabajaba como ujier en una escuela privada en Lincoln, Lincolnshire. Por ejemplo, dejemos que x e y representen clases, dejemos el símbolo =significa que las clases tienen los mismos miembros, xy representa la clase que contiene todos y solo los miembros de x e y y así sucesivamente. Boole llama a estos símbolos electivos, es decir, símbolos que seleccionan ciertos objetos para su consideración. Una expresión en la que se utilizan símbolos electivos se llama función electiva, y una ecuación cuyos miembros son funciones electivas, es una ecuación electiva. La teoría de las funciones electivas y su "desarrollo" es esencialmente la idea moderna de las funciones de verdad y su expresión en forma normal disyuntiva.

El sistema de Boole admite dos interpretaciones, en lógica de clases y en lógica proposicional. Boole distinguió entre "proposiciones primarias" que son el tema de la teoría silogística y "proposiciones secundarias", que son el tema de la lógica proposicional, y mostró cómo bajo diferentes "interpretaciones" el mismo sistema algebraico podría representar a ambos. Un ejemplo de proposición primaria es "Todos los habitantes son europeos o asiáticos". Un ejemplo de una proposición secundaria es "O todos los habitantes son europeos o todos son asiáticos". Estos se distinguen fácilmente en la lógica de predicados moderna, donde también es posible mostrar que el primero se sigue del segundo,

En su Lógica simbólica (1881), John Venn utilizó diagramas de áreas superpuestas para expresar relaciones booleanas entre clases o condiciones de verdad de proposiciones. En 1869, Jevons se dio cuenta de que los métodos de Boole podían mecanizarse y construyó una "máquina lógica" que mostró a la Royal Society al año siguiente. En 1885, Allan Marquand propuso una versión eléctrica de la máquina que aún existe (imagen en la Biblioteca Firestone).

Todos los defectos del sistema de Boole (como el uso de la letra v para las proposiciones existenciales) fueron subsanados por sus seguidores. Jevons publicó Pure Logic, o la lógica de la calidad aparte de la cantidad en 1864, donde sugirió un símbolo para significar exclusivo o, lo que permitió simplificar enormemente el sistema de Boole. Schröder aprovechó esto de manera útil cuando estableció teoremas en columnas paralelas en su Vorlesungen (1890-1905). Peirce (1880) mostró cómo todas las funciones electivas booleanas podrían expresarse mediante el uso de una única operación binaria primitiva, "ni... ni..." e igualmente bien "no ambos... y...",sin embargo, como muchas de las innovaciones de Peirce, esto permaneció desconocido o desapercibido hasta que Sheffer lo redescubrió en 1913. Los primeros trabajos de Boole también carecen de la idea de la suma lógica que se origina en Peirce (1867), Schröder (1877) y Jevons (1890), y el concepto de inclusión, sugerido por primera vez por Gergonne (1816) y claramente articulado por Peirce (1870).

El éxito del sistema algebraico de Boole sugirió que toda lógica debe ser capaz de representación algebraica, y hubo intentos de expresar una lógica de relaciones en tal forma, de los cuales el más ambicioso fue el monumental Vorlesungen über die Algebra der Logik de Schröder ("Conferencias sobre el Algebra of Logic", vol iii 1895), aunque la idea original fue nuevamente anticipada por Peirce.

La aceptación inquebrantable de Boole de la lógica de Aristóteles es enfatizada por el historiador de la lógica John Corcoran en una introducción accesible a Laws of Thought Corcoran también escribió una comparación punto por punto de Prior Analytics y Laws of Thought. Según Corcoran, Boole aceptó y respaldó plenamente la lógica de Aristóteles. Los objetivos de Boole eran "pasar por debajo, por encima y más allá" de la lógica de Aristóteles 1) brindándole fundamentos matemáticos relacionados con ecuaciones, 2) ampliando la clase de problemas que podía tratar, desde evaluar la validez hasta resolver ecuaciones, y 3) ampliando el rango de aplicaciones que podría manejar, por ejemplo, desde proposiciones que tienen solo dos términos hasta aquellas que tienen muchos arbitrariamente.

Más específicamente, Boole estuvo de acuerdo con lo que dijo Aristóteles; Los 'desacuerdos' de Boole, si se les puede llamar así, se refieren a lo que Aristóteles no dijo. Primero, en el campo de los fundamentos, Boole redujo las cuatro formas proposicionales de la lógica aristotélica a fórmulas en forma de ecuaciones, una idea revolucionaria en sí misma. En segundo lugar, en el ámbito de los problemas lógicos, la adición de Boole de la resolución de ecuaciones a la lógica —otra idea revolucionaria— involucró la doctrina de Boole de que las reglas de inferencia de Aristóteles (los "silogismos perfectos") deben complementarse con reglas para la resolución de ecuaciones. En tercer lugar, en el ámbito de las aplicaciones, el sistema de Boole podía manejar proposiciones y argumentos de varios términos, mientras que Aristóteles solo podía manejar proposiciones y argumentos de sujeto-predicado de dos términos. Por ejemplo, Aristóteles

Período logicista

Después de Boole, el matemático alemán Gottlob Frege hizo los siguientes grandes avances. El objetivo de Frege era el programa del Logicismo, es decir, demostrar que la aritmética es idéntica a la lógica. Frege fue mucho más lejos que cualquiera de sus predecesores en su enfoque riguroso y formal de la lógica, y su cálculo o Begriffsschrift es importante. Frege también trató de demostrar que el concepto de número puede definirse por medios puramente lógicos, de modo que (si tenía razón) la lógica incluye la aritmética y todas las ramas de las matemáticas que son reducibles a la aritmética. No fue el primer escritor en sugerir esto. En su obra pionera Die Grundlagen der Arithmetik(The Foundations of Arithmetic), secciones 15 a 17, reconoce los esfuerzos de Leibniz, JS Mill y Jevons, citando la afirmación de este último de que "el álgebra es una lógica altamente desarrollada y el número es una discriminación lógica".

El primer trabajo de Frege, Begriffsschrift ("guion conceptual") es un sistema de lógica proposicional rigurosamente axiomatizado, que se basa en solo dos conectivos (negacional y condicional), dos reglas de inferencia (modus ponens y sustitución) y seis axiomas. Frege se refirió a la "integridad" de este sistema, pero no pudo demostrarlo. La innovación más significativa, sin embargo, fue su explicación del cuantificador en términos de funciones matemáticas. La lógica tradicional considera que la oración "César es un hombre" tiene fundamentalmente la misma forma que "todos los hombres son mortales". Las oraciones con un sujeto de nombre propio se consideraban de carácter universal, interpretable como "todo César es un hombre".y predicado ", reemplazándolos con argumento y función respectivamente, que él cree que "resistirán la prueba del tiempo". Es fácil ver cómo la consideración de un contenido en función de un argumento conduce a la formación de conceptos. Además, la demostración de la conexión entre los significados de las palabras si, y no, o, hay, algunos, todos, etcétera, merece atención". Frege argumentó que la expresión cuantificadora "todos los hombres" no tiene el misma forma lógica o semántica que "todos los hombres", y que la proposición universal "todo A es B" es una proposición compleja que involucra dos funciones, a saber, '- es A' y '- es B' tales que todo lo que satisface el primero, también satisface el segundo. En notación moderna, esto se expresaría como{displaystyle forall ;x{big (}A(x)rightarrow B(x){big)}}

En inglés, "para todo x, si Ax entonces Bx". Así, sólo las proposiciones singulares tienen forma de sujeto-predicado, y son irreductiblemente singulares, es decir, no reducibles a una proposición general. Las proposiciones universales y particulares, por el contrario, no tienen en absoluto la forma simple de sujeto y predicado. Si "todos los mamíferos" fuera el sujeto lógico de la oración "todos los mamíferos son habitantes de la tierra", entonces para negar la oración completa tendríamos que negar el predicado para dar "todos los mamíferos no son habitantes de la tierra". Pero este no es el caso. Este análisis funcional de las oraciones del lenguaje ordinario tuvo más tarde un gran impacto en la filosofía y la lingüística.

Esto significa que en el cálculo de Frege, las proposiciones "primarias" de Boole pueden representarse de manera diferente a las proposiciones "secundarias". "Todos los habitantes son hombres o mujeres" es{displaystyle forall ;x{Big (}I(x)rightarrow {big (}M(x)lor W(x){big)}{Big)}}

mientras que "Todos los habitantes son hombres o todos los habitantes son mujeres" es{displaystyle forall ;x{big (}I(x)rightarrow M(x){big)}lor forall ;x{big (}I(x)rightarrow W(x) {grande)}}

Como señaló Frege en una crítica del cálculo de Boole:"La verdadera diferencia es que evito la división [booleana] en dos partes... y doy una presentación homogénea del lote. En Boole, las dos partes corren una al lado de la otra, de modo que una es como la imagen especular de la otra, pero por esa misma razón no tiene ninguna relación orgánica con él.

Además de proporcionar un sistema de lógica unificado y completo, el cálculo de Frege también resolvió el antiguo problema de la generalidad múltiple. La ambigüedad de "todas las chicas besaron a un chico" es difícil de expresar en la lógica tradicional, pero la lógica de Frege resuelve esto a través del alcance diferente de los cuantificadores. Por lo tanto{displaystyle forall ;x{Big (}G(x)rightarrow exists ;y{big (}B(y)land K(x,y){big)}{Big) }}

significa que a toda chica le corresponde algún chico (cualquiera vale) a quien la chica besó. Pero{displaystyle existe ;x{Big (}B(x)land forall ;y{big (}G(y)rightarrow K(y,x){big)}{Big) }}

significa que hay un chico en particular a quien besaron todas las chicas. Sin este dispositivo, el proyecto del logicismo hubiera sido dudoso o imposible. Usándolo, Frege proporcionó una definición de la relación ancestral, de la relación de muchos a uno y de la inducción matemática.

Este período se superpone con el trabajo de lo que se conoce como la "escuela matemática", que incluía a Dedekind, Pasch, Peano, Hilbert, Zermelo, Huntington, Veblen y Heyting. Su objetivo era la axiomatización de ramas de las matemáticas como la geometría, la aritmética, el análisis y la teoría de conjuntos. El más notable fue el Programa de Hilbert, que buscaba fundamentar todas las matemáticas en un conjunto finito de axiomas, probando su consistencia por medios "finitistas" y proporcionando un procedimiento que decidiría la verdad o falsedad de cualquier enunciado matemático. La axiomatización estándar de los números naturales se denomina axiomas de Peano del mismo nombre. Peano mantuvo una clara distinción entre símbolos matemáticos y lógicos. Aunque desconocía el trabajo de Frege, recreó de forma independiente su aparato lógico basado en el trabajo de Boole y Schröder.

El proyecto logicista recibió un revés casi fatal con el descubrimiento de una paradoja en 1901 por Bertrand Russell. Esto probó que la ingenua teoría de conjuntos de Frege conducía a una contradicción. La teoría de Frege contenía el axioma de que para cualquier criterio formal, existe un conjunto de todos los objetos que cumplen el criterio. Russell demostró que un conjunto que contiene exactamente los conjuntos que no son miembros de sí mismos contradiría su propia definición (si no es miembro de sí mismo, es miembro de sí mismo, y si es miembro de sí mismo, no lo es). Esta contradicción ahora se conoce como la paradoja de Russell. Ernst Zermelo propuso un método importante para resolver esta paradoja.La teoría de conjuntos de Zermelo fue la primera teoría de conjuntos axiomática. Se convirtió en la ahora canónica teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel (ZF). La paradoja de Russell simbólicamente es la siguiente:{text{Sea }}R={xmid xnot in x}{text{, luego }}Rin Riff Rnot in R

El monumental Principia Mathematica, una obra de tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas, escrita por Russell y Alfred North Whitehead y publicada entre 1910 y 1913, también incluía un intento de resolver la paradoja por medio de un elaborado sistema de tipos: un conjunto de elementos es de diferente tipo que cada uno de sus elementos (el conjunto no es el elemento; un elemento no es el conjunto) y no se puede hablar del "conjunto de todos los conjuntos". Los Principia fueron un intento de derivar todas las verdades matemáticas de un conjunto bien definido de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica.

Período metamatemático

Los nombres de Gödel y Tarski dominan la década de 1930,un período crucial en el desarrollo de las metamatemáticas: el estudio de las matemáticas utilizando métodos matemáticos para producir metateorías o teorías matemáticas sobre otras teorías matemáticas. Las primeras investigaciones sobre metamatemáticas habían sido impulsadas por el programa de Hilbert. El trabajo sobre metamatemáticas culminó con el trabajo de Gödel, quien en 1929 demostró que una oración dada de primer orden es deducible si y solo si es lógicamente válida, es decir, es verdadera en todas las estructuras de su lenguaje. Esto se conoce como el teorema de completitud de Gödel. Un año más tarde, demostró dos teoremas importantes, que demostraron que el programa de Hibert era inalcanzable en su forma original. La primera es que ningún sistema consistente de axiomas cuyos teoremas puedan enumerarse mediante un procedimiento efectivo como un algoritmo o programa de computadora es capaz de probar todos los hechos sobre los números naturales. Para cualquier sistema de este tipo, siempre habrá afirmaciones sobre los números naturales que sean verdaderas, pero que no se puedan probar dentro del sistema. La segunda es que si tal sistema también es capaz de probar ciertos hechos básicos acerca de los números naturales, entonces el sistema no puede probar la consistencia del sistema mismo. Estos dos resultados se conocen como teoremas de incompletitud de Gödel, o simplemente La segunda es que si tal sistema también es capaz de probar ciertos hechos básicos acerca de los números naturales, entonces el sistema no puede probar la consistencia del sistema mismo. Estos dos resultados se conocen como teoremas de incompletitud de Gödel, o simplemente La segunda es que si tal sistema también es capaz de probar ciertos hechos básicos acerca de los números naturales, entonces el sistema no puede probar la consistencia del sistema mismo. Estos dos resultados se conocen como teoremas de incompletitud de Gödel, o simplementeTeorema de Gödel. Más adelante en la década, Gödel desarrolló el concepto de constructibilidad de la teoría de conjuntos, como parte de su prueba de que el axioma de elección y la hipótesis del continuo son consistentes con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. En la teoría de la demostración, Gerhard Gentzen desarrolló la deducción natural y el cálculo secuente. El primero intenta modelar el razonamiento lógico como ocurre 'naturalmente' en la práctica y se aplica más fácilmente a la lógica intuicionista, mientras que el segundo fue ideado para aclarar la derivación de pruebas lógicas en cualquier sistema formal. Desde el trabajo de Gentzen, la deducción natural y los cálculos secuenciales se han aplicado ampliamente en los campos de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la informática.

Alfred Tarski, alumno de Łukasiewicz, es mejor conocido por su definición de verdad y consecuencia lógica, y el concepto semántico de satisfacción lógica. En 1933, publicó (en polaco) El concepto de verdad en lenguajes formalizados, en el que proponía su teoría semántica de la verdad: una oración como "la nieve es blanca" es verdadera si y solo si la nieve es blanca. La teoría de Tarski separó el metalenguaje, que hace la declaración sobre la verdad, del lenguaje objeto, que contiene la oración cuya verdad se afirma, y ​​dio una correspondencia (el esquema T) entre frases en el lenguaje objeto y elementos de una interpretación. El enfoque de Tarski sobre la difícil idea de explicar la verdad ha tenido una influencia duradera en la lógica y la filosofía, especialmente en el desarrollo de la teoría de modelos. Tarski también produjo un trabajo importante sobre la metodología de los sistemas deductivos y sobre principios fundamentales como la completitud, la decidibilidad, la consistencia y la definibilidad. Según Anita Feferman, Tarski "cambió el rostro de la lógica en el siglo XX".

Alonzo Church y Alan Turing propusieron modelos formales de computabilidad, dando soluciones negativas independientes al Entscheidungsproblem de Hilbert en 1936 y 1937, respectivamente. El Entscheidungsproblem solicitó un procedimiento que, dado cualquier enunciado matemático formal, determinaría algorítmicamente si el enunciado es verdadero. Church y Turing demostraron que no existe tal procedimiento; El artículo de Turing introdujo el problema de la detención como un ejemplo clave de un problema matemático sin una solución algorítmica.

El sistema de cálculo de Church se convirtió en el cálculo λ moderno, mientras que la máquina de Turing se convirtió en un modelo estándar para un dispositivo informático de propósito general. Pronto se demostró que muchos otros modelos de computación propuestos eran equivalentes en potencia a los propuestos por Church y Turing. Estos resultados llevaron a la tesis de Church-Turing de que cualquier algoritmo determinista que pueda ser realizado por un ser humano puede ser realizado por una máquina de Turing. Church probó resultados adicionales de indecidibilidad, mostrando que tanto la aritmética de Peano como la lógica de primer orden son indecidibles. El trabajo posterior de Emil Post y Stephen Cole Kleene en la década de 1940 amplió el alcance de la teoría de la computabilidad e introdujo el concepto de grados de insolubilidad.

Los resultados de las primeras décadas del siglo XX también tuvieron un impacto en la filosofía analítica y la lógica filosófica, particularmente a partir de la década de 1950, en temas como la lógica modal, la lógica temporal, la lógica deóntica y la lógica de relevancia.

Lógica después de la Segunda Guerra Mundial

Después de la Segunda Guerra Mundial, la lógica matemática se ramificó en cuatro áreas de investigación interrelacionadas pero separadas: teoría de modelos, teoría de pruebas, teoría de computabilidad y teoría de conjuntos.

En la teoría de conjuntos, el método de forzar revolucionó el campo al proporcionar un método robusto para construir modelos y obtener resultados independientes. Paul Cohen introdujo este método en 1963 para demostrar la independencia de la hipótesis del continuo y el axioma de elección de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Su técnica, que se simplificó y amplió poco después de su introducción, se ha aplicado desde entonces a muchos otros problemas en todas las áreas de la lógica matemática.

La teoría de la computabilidad tiene sus raíces en el trabajo de Turing, Church, Kleene y Post en las décadas de 1930 y 1940. Se convirtió en un estudio de la computabilidad abstracta, que se conoció como teoría de la recursión. El método de prioridad, descubierto de forma independiente por Albert Muchnik y Richard Friedberg en la década de 1950, condujo a importantes avances en la comprensión de los grados de insolubilidad y las estructuras relacionadas. La investigación sobre la teoría de la computabilidad de orden superior demostró sus conexiones con la teoría de conjuntos. Los campos de análisis constructivo y análisis computable se desarrollaron para estudiar el contenido efectivo de los teoremas matemáticos clásicos; estos a su vez inspiraron el programa de matemáticas inversas. Una rama separada de la teoría de la computabilidad, la teoría de la complejidad computacional, también se caracterizó en términos lógicos como resultado de investigaciones sobre la complejidad descriptiva.

La teoría de modelos aplica los métodos de la lógica matemática para estudiar modelos de teorías matemáticas particulares. Alfred Tarski publicó muchos trabajos pioneros en el campo, que lleva el nombre de una serie de artículos que publicó bajo el título Contribuciones a la teoría de modelos. En la década de 1960, Abraham Robinson utilizó técnicas de teoría de modelos para desarrollar cálculos y análisis basados ​​en infinitesimales, un problema que había sido propuesto por primera vez por Leibniz.

En la teoría de la demostración, la relación entre las matemáticas clásicas y las matemáticas intuicionistas se aclaró a través de herramientas como el método de realizabilidad inventado por Georg Kreisel y la interpretación Dialéctica de Gödel. Este trabajo inspiró el área contemporánea de la minería de prueba. La correspondencia de Curry-Howard surgió como una analogía profunda entre la lógica y la computación, incluida una correspondencia entre los sistemas de deducción natural y los cálculos lambda tipificados utilizados en informática. Como resultado, la investigación de esta clase de sistemas formales comenzó a abordar aspectos tanto lógicos como computacionales; esta área de investigación llegó a conocerse como teoría de tipos moderna. También se lograron avances en el análisis ordinal y el estudio de los resultados independientes en aritmética como el teorema de París-Harrington.

Este fue también un período, particularmente en la década de 1950 y después, cuando las ideas de la lógica matemática comenzaron a influir en el pensamiento filosófico. Por ejemplo, la lógica temporal es un sistema formalizado para representar y razonar sobre proposiciones calificadas en términos de tiempo. El filósofo Arthur Prior jugó un papel importante en su desarrollo en la década de 1960. Las lógicas modales amplían el alcance de la lógica formal para incluir los elementos de modalidad (por ejemplo, posibilidad y necesidad). Las ideas de Saul Kripke, particularmente sobre los mundos posibles, y el sistema formal ahora llamado semántica de Kripke, han tenido un profundo impacto en la filosofía analítica. Su obra más conocida e influyente es Naming and Necessity (1980).Las lógicas deónticas están estrechamente relacionadas con las lógicas modales: intentan capturar las características lógicas de obligación, permiso y conceptos relacionados. Aunque Bolzano mostró algunas novedades básicas que sincretizaban la lógica matemática y filosófica a principios del siglo XIX, fue Ernst Mally, alumno de Alexius Meinong, quien propondría el primer sistema deóntico formal en su Grundgesetze des Sollens, basado en la sintaxis de Whitehead. y el cálculo proposicional de Russell.

Otro sistema lógico fundado después de la Segunda Guerra Mundial fue la lógica difusa del matemático azerbaiyano Lotfi Asker Zadeh en 1965.