Unimodalidad

En matemáticas, unimodalidad significa poseer un modo único. De manera más general, la unimodalidad significa que sólo hay un valor máximo, definido de alguna manera, de algún objeto matemático.

Distribución de probabilidad unimodal

En estadística, una distribución de probabilidad unimodal o una distribución unimodal es una distribución de probabilidad que tiene un único pico. El término "modo" en este contexto se refiere a cualquier pico de la distribución, no sólo a la definición estricta de moda que es habitual en estadística.

Si hay un solo modo, la función de distribución se llama "unimodal". Si tiene más modos es "bimodal" (2), "trimodal" (3), etc., o en general, "multimodal". La Figura 1 ilustra distribuciones normales, que son unimodales. Otros ejemplos de distribuciones unimodales incluyen la distribución de Cauchy, la distribución t de Student, la distribución chi-cuadrado y la distribución exponencial. Entre las distribuciones discretas, la distribución binomial y la distribución de Poisson pueden considerarse unimodales, aunque para algunos parámetros pueden tener dos valores adyacentes con la misma probabilidad.

La Figura 2 y la Figura 3 ilustran distribuciones bimodales.

Otras definiciones

También existen otras definiciones de unimodalidad en funciones de distribución.

En distribuciones continuas, la unimodalidad se puede definir a través del comportamiento de la función de distribución acumulativa (cdf). Si la CDF es convexa para x < m y cóncavo para x > m, entonces la distribución es unimodal, siendo m la moda. Tenga en cuenta que según esta definición la distribución uniforme es unimodal, así como cualquier otra distribución en la que se logre la distribución máxima para un rango de valores, p.e. distribución trapezoidal. Generalmente esta definición permite una discontinuidad en el modo; normalmente en una distribución continua la probabilidad de cualquier valor único es cero, mientras que esta definición permite una probabilidad distinta de cero, o un "átomo de probabilidad", en la moda.

Los criterios para la unimodalidad también se pueden definir a través de la función característica de la distribución o mediante su transformada de Laplace-Stieltjes.

Otra manera de definir una distribución discreta unimodal es por la ocurrencia de cambios de signos en la secuencia de diferencias de las probabilidades. Una distribución discreta con una función de masa de probabilidad, {}pn:n=... ... ,− − 1,0,1,... ... }{displaystyle {p_{n}:n=dots-1,0,1,dots {}}, se llama unimodal si la secuencia ... ... ,p− − 2− − p− − 1,p− − 1− − p0,p0− − p1,p1− − p2,... ... {displaystyle dotsp_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},dots } tiene exactamente un cambio de signo (cuando los ceros no cuentan).

Usos y resultados

Una de las razones de la importancia de la unimodalidad de distribución es que permite obtener varios resultados importantes. A continuación se dan varias desigualdades que solo son válidas para distribuciones unimodales. Por tanto, es importante evaluar si un conjunto de datos determinado proviene o no de una distribución unimodal. En el artículo sobre distribución multimodal se ofrecen varias pruebas de unimodalidad.

Desigualdades

La desigualdad de Gauss

Un primer resultado importante es la desigualdad de Gauss. La desigualdad de Gauss da un límite superior a la probabilidad de que un valor se encuentre a una distancia mayor que cualquier distancia dada de su moda. Esta desigualdad depende de la unimodalidad.

Desigualdad de Vysochanskiï-Petunin

Una segunda es la desigualdad de Vysochanskiï-Petunin, un refinamiento de la desigualdad de Chebyshev. La desigualdad de Chebyshev garantiza que en cualquier distribución de probabilidad, "casi todas" los valores están "cercanos a" el valor medio. La desigualdad de Vysochanskiï-Petunin refina esto a valores aún más cercanos, siempre que la función de distribución sea continua y unimodal. Sellke y Sellke mostraron más resultados.

Moda, mediana y media

Gauss también demostró en 1823 que para una distribución unimodal

σ σ ≤ ≤ ⋅ ⋅ ≤ ≤ 2σ σ {displaystyle sigma leq omega leq 2sigma }

y

Silencio. . − − μ μ Silencio≤ ≤ 34⋅ ⋅ ,{fnMicroc {}}omega}

donde la mediana es ν, la media es μ y ω es la desviación cuadrática media de la moda.

Se puede demostrar para una distribución unimodal que la mediana ν y la media μ se encuentran dentro de (3/5)^1/2 ≈ 0,7746 desviaciones estándar entre sí. En símbolos,

Silencio. . − − μ μ Silencioσ σ ≤ ≤ 35{displaystyle {frac {fnfnfnfnfnfn\fn\\fn\fn\fn\\\\\\fn\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ -mu Silencio. } 'leq {sqrt {frac {3}{5}}}

dónde |. | es el valor absoluto.

En 2020, Bernard, Kazzi y Vanduffel generalizaron la desigualdad anterior al derivar la distancia máxima entre el promedio cuntil simétrico qα α +q()1− − α α )2{displaystyle {frac {fnMicroc} {\fnMicrosoft {fn\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } y la media,

Silencioqα α +q()1− − α α )2− − μ μ Silencioσ σ ≤ ≤ {}49()1− − α α )− − 1 + 1− − α α 1/3+α α 2para α α ▪ ▪ [56,1),3α α 4− − 3α α + 1− − α α 1/3+α α 2para α α ▪ ▪ ()16,56),3α α 4− − 3α α + 49α α − − 12para α α ▪ ▪ ()0,16].{fnMicroc {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {} {} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros} {} {f} {f} {fnMicroc} {f}} {f}} {f}f}} {f}f}} {f}f}f}f} {f}f}f}f} {f} {f}fnMicrocf}f}f}f}f} {f}f}fnMicrocfnf}fnun} {f}f}}}f}f}f}f} {f}fnun} {fnMicrocf}fnfnMicrocf}}}}}}}fn #{1/3+alpha }} {2} {text{for }alpha in left[{frac {5}{6}},1right)!, {fnMicroc {fnMicrosoft Sans}{4-3alpha }{text{ {fnMicroc {1-fnMicrosoft Sans Serif} #{1/3+alpha }} {2}} {text{for }alpha in left({frac {1}{6}}},{frac {5}{6}}right)! {fnMicroc {fnMicrosoft Sans}{4-3alpha }{text{ {fnMicroc {4}{}{}{}} {f} {f} {f}} {f} {fn0}} {fn0} {}}}} {2}} {text{for }alpha in left(0,{frac {1}{6}}right]!.end{array}}right.}

Vale la pena señalar que la distancia máxima es minimizada α α =0.5{displaystyle alpha =0.5} (es decir, cuando el promedio cuantil simétrico es igual a q0.5=. . {displaystyle q_{0.5}=nu }), que de hecho motiva la elección común de la mediana como un estimador robusto para la media. Además, cuando α α =0.5{displaystyle alpha =0.5}, el límite es igual a 3/5{displaystyle {sqrt {3/5}}, que es la distancia máxima entre la mediana y la media de una distribución unimodal.

Una relación similar se mantiene entre la mediana y el modo Silencio: se encuentran dentro de 3^1/2 Ω 1.732 desviaciones estándar entre sí:

Silencio. . − − Silencio Silencio Silencioσ σ ≤ ≤ 3.{displaystyle {frac {nunu -theta Silencio.

También se puede demostrar que la media y la moda se encuentran a 3^1/2 entre sí:

Silencioμ μ − − Silencio Silencio Silencioσ σ ≤ ≤ 3.{displaystyle {frac {fnMicrosoft Sans Serif} Silencio.

Asimetría y curtosis

Rohatgi y Szekely afirmaron que la asimetría y la curtosis de una distribución unimodal están relacionadas por la desigualdad:

γ γ 2− − κ κ ≤ ≤ 65=1.2{displaystyle gamma ^{2}-kappa leq {frac {6}{5}=1.2}

donde κ es la curtosis y γ es la asimetría. Klaassen, Mokveld y van Es demostraron que esto sólo se aplica en ciertos entornos, como el conjunto de distribuciones unimodales donde la moda y la media coinciden.

Derivaron una desigualdad más débil que se aplica a todas las distribuciones unimodales:

γ γ 2− − κ κ ≤ ≤ 186125=1.488{displaystyle gamma ^{2}-kappa leq {frac {186}{125}=1.488}

Este límite es definido, ya que se alcanza mediante la mezcla de pesos iguales de la distribución uniforme en [0,1] y la distribución discreta en {0}.

Función unimodal

Como el término "modal" se aplica a conjuntos de datos y distribución de probabilidad, y no en general a funciones, las definiciones anteriores no se aplican. La definición de término "unimodal" También se extendió a funciones de números reales.

Una definición común es la siguiente: una función f(x) es una función unimodal si para algún valor m, aumenta monótonamente para x ≤ m y disminuye monótonamente para x ≥ m. En ese caso, el valor máximo de f(x) es f(m) y no hay otros máximos locales.

Demostrar la unimodalidad suele ser difícil. Una forma consiste en utilizar la definición de esa propiedad, pero resulta adecuada sólo para funciones simples. Existe un método general basado en derivadas, pero no funciona para todas las funciones a pesar de su simplicidad.

Ejemplos de funciones unimodales incluyen funciones polinómicas cuadráticas con un coeficiente cuadrático negativo, funciones de mapa de tiendas y más.

Lo anterior a veces se relaciona con unimodalidad fuerte, por el hecho de que la monotonicidad implícita es monotonicidad fuerte. Una función f(x) es una función débilmente unimodal si existe un valor m para el cual es débilmente unimodal. monótonamente creciente para x ≤ m y débilmente monótono decreciente para x ≥ m. En ese caso, se puede alcanzar el valor máximo f(m) para un rango continuo de valores de x. Un ejemplo de una función débilmente unimodal que no es fuertemente unimodal es cada dos filas del triángulo de Pascal.

Dependiendo del contexto, la función unimodal también puede referirse a una función que tiene solo un mínimo local, en lugar de un máximo. Por ejemplo, el muestreo unimodal local, un método para realizar optimización numérica, a menudo se demuestra con dicha función. Se puede decir que una función unimodal bajo esta extensión es una función con un único extremo local.

Una propiedad importante de las funciones unimodales es que el extremo se puede encontrar utilizando algoritmos de búsqueda como la búsqueda de sección áurea, la búsqueda ternaria o la interpolación parabólica sucesiva.

Otras extensiones

Una función f()x) es "S-unimodal" (a menudo referido como "Mapaje S-unimodal") si su derivado Schwarziano es negativo para todos xل ل c{displaystyle xneq c}, donde c{displaystyle c} es el punto crítico.

En geometría computacional si una función es unimodal permite el diseño de algoritmos eficientes para encontrar la extrema de la función.

Una definición más general, aplicable a una función f(X) de una variable vectorial X es que f es unimodal si existe una asignación diferenciable uno a uno X = G(Z) tal que f(G(Z)) es convexo. Por lo general, uno querría que G(Z) fuera continuamente diferenciable con una matriz jacobiana no singular.

Las funciones cuasiconvexas y cuasicóncavas extienden el concepto de unimodalidad a funciones cuyos argumentos pertenecen a espacios euclidianos de dimensiones superiores.