Tromino

Un trominó o triominó es un poliominó de tamaño 3, es decir, un polígono en el plano formado por tres cuadrados de igual tamaño conectados de borde a borde.

Simetría y enumeración

Cuando las rotaciones y las reflexiones no se consideran formas distintas, sólo hay dos trominós libres diferentes: "I" y "L" (la forma de "L" también se llama "V").

Dado que ambos trominós libres tienen simetría de reflexión, también son los dos únicos trominós unilaterales (trominós con reflejos considerados distintos). Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay seis trominós fijos: dos en forma de I y cuatro en forma de L. Se pueden obtener girando los formularios anteriores 90°, 180° y 270°.

Rep-tiling y teorema del trominó de Golomb

Ambos tipos de trominó se pueden dividir en n² trominós más pequeños del mismo tipo, para cualquier número entero n > 1. Es decir, son rep-tiles. Continuar esta disección de forma recursiva conduce a un mosaico del plano, que en muchos casos es un mosaico aperiódico. En este contexto, el L-tromino se llama silla, y su mosaico mediante subdivisión recursiva en cuatro L-trominos más pequeños se llama mosaico de silla.

Motivado por el problema del tablero de ajedrez mutilado, Solomon W. Golomb utilizó este mosaico como base para lo que se conoce como el teorema del trominó de Golomb: si se elimina cualquier cuadrado de un 2ⁿ × 2ⁿ tablero de ajedrez, el resto del tablero se puede cubrir completamente con trominós en L. Para demostrar esto mediante inducción matemática, divida el tablero en un cuarto de tablero de tamaño 2ⁿ⁻¹ × 2ⁿ⁻¹ que contiene la escuadra retirada, y un gran trominó formado por los otros tres cuartos de tablero. El trominó se puede diseccionar de forma recursiva en trominós unitarios, y la hipótesis de inducción sigue una disección del cuarto de tablero con un cuadrado eliminado. Por el contrario, cuando a un tablero de ajedrez de este tamaño se le quita una casilla, no siempre es posible cubrir las casillas restantes con I-trominós.