Transformacion afin

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Transformación geométrica que conserva líneas pero no ángulos ni origen

Una imagen de un fern-como fractal (el helecho de Barnsley) que exhibe afinidad auto-similaridad. Cada una de las hojas del helecho se relacionan entre sí con la hoja por una transformación afinada. Por ejemplo, la hoja roja se puede transformar tanto en la hoja azul oscura como en cualquiera de las hojas azules ligeras mediante una combinación de reflexión, rotación, escalada y traducción.

En geometría euclidiana, una transformación afín o afinidad (del latín, affinis, "conectado con") es una transformación geométrica que conserva líneas y paralelismo, pero no necesariamente distancias y ángulos euclidianos.

En términos más generales, una transformación afín es un automorfismo de un espacio afín (los espacios euclidianos son espacios afines específicos), es decir, una función que mapea un espacio afín sobre sí mismo mientras conserva tanto la dimensión de cualquier subespacio afín (lo que significa que envía puntos a puntos, líneas a líneas, planos a planos, etc.) y las proporciones de las longitudes de los segmentos de línea paralelos. En consecuencia, los conjuntos de subespacios afines paralelos permanecen paralelos después de una transformación afín. Una transformación afín no conserva necesariamente los ángulos entre las líneas o las distancias entre los puntos, aunque conserva las proporciones de las distancias entre los puntos que se encuentran en una línea recta.

Si $X$ es el conjunto de puntos de un espacio afín, entonces cada transformación afín en $X$ se puede representar como la composición de una transformación lineal en $X$ y una traducción de $X$ . A diferencia de una transformación puramente lineal, una transformación afín no necesita conservar el origen del espacio afín. Por tanto, toda transformación lineal es afín, pero no toda transformación afín es lineal.

Ejemplos de transformaciones afines incluyen traslación, escala, homotecia, similitud, reflexión, rotación, mapeo de corte y composiciones de ellas en cualquier combinación y secuencia.

Al ver un espacio afín como el complemento de un hiperplano en el infinito de un espacio proyectivo, las transformaciones afines son las transformaciones proyectivas de ese espacio proyectivo que dejan el hiperplano en el infinito invariante, restringido al complemento de ese hiperplano.

Una generalización de una transformación afín es un mapa afín (u homomorfismo afín o mapeo afín) entre dos espacios afines (potencialmente diferentes) sobre el mismo campo $k$ . Sean $(X, V, k)$ y $(Z, W, k)$ ser dos espacios afines con $X$ y $Z$ los conjuntos de puntos y $V$ y $W$ los respectivos espacios vectoriales asociados sobre el campo k. Un mapa $f : X \to Z$ es un mapa afín si existe un mapa lineal $m f : V \to W$ tal que $m f (x - y) = f (x) - f (y)$ para todos $x, y$ en $X$ .

Definición

Vamos $X$ ser un espacio afinado sobre un campo $k$ , y $V$ ser su espacio vectorial asociado. An affine transformation es una bijeción $f$ desde $X$ en sí mismo que es un mapa de afinidad; esto significa que ${displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x)}$ bien define un mapa lineal desde $V$ a $V$ ; aquí, como de costumbre, la resta de dos puntos denota el vector libre del segundo al primero, y "bien definido" significa que ${displaystyle y-x=y'-x'}$ implica que ${displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x'.)}$

Si la dimensión de $X$ es al menos dos, una transformación semiafín $f$ de $X$ es una biyección de $X$ en sí mismo satisfaciendo:

Por todos $d$ - subespacial affine dimensional $S$ de $X$ , entonces $f () S)$ es también un $d$ - subespacial affine dimensional $X$ .
Si $S$ y $T$ son subespaciales afines de $X$ , entonces $f () S)$ y $f () T)$ son paralelos.

Estas dos condiciones se cumplen mediante transformaciones afines y expresan lo que significa precisamente la expresión que " $f$ conserva el paralelismo".

Estas condiciones no son independientes ya que la segunda se deriva de la primera. Además, si el campo $k$ tiene al menos tres elementos, la primera condición se puede simplificar a: $f$ es una colineación, es decir, asigna líneas a líneas.

Estructura

Por la definición de un espacio afín, $V$ actúa sobre $X$ , de modo que, para cada par $(x, v)$ en $X \times V$ se asocia un punto $y$ en $X$ . Podemos denotar esta acción por $v \to (x) = y$ . Aquí usamos la convención de que $v \to = v$ son dos notaciones intercambiables para un elemento de $V$ . Fijando un punto $c$ en $X$ se puede definir una función $m c : X \to V$ por $m c (x) = cx \to$ . Para cualquier $c$ , esta función es uno a uno y, por lo tanto, tiene una función inversa <span class="texhtml" m_c⁻¹: V → X dado por $m c -1 (v) = v \to (c)$ . Estas funciones se pueden usar para convertir $X$ en un espacio vectorial (con respecto al punto $c$ ) definiendo:

${displaystyle x+y=m_{c}^{-1}left(m_{c}(x)+m_{c}(y)right),{text{ for all }}x,y{text{ in }}X,}$ y
${displaystyle rx=m_{c}^{-1}left(rm_{c}(x)right),{text{ for all }}r{text{ in }}k{text{ and }}x{text{ in }}X.}$

Este espacio vectorial tiene origen $c$ y debe distinguirse formalmente del espacio afín $X$ , pero la práctica común es indicarlo con el mismo símbolo y mencionar que es un espacio vectorial después de que se haya especificado un origen. Esta identificación permite visualizar los puntos como vectores y viceversa.

Para cualquier transformación lineal $λ$ de $V$ , podemos definir la función $L (c, λ): X \to X$ por

{displaystyle L(c,lambda)(x)=m_{c}^{-1}left(lambda (m_{c}(x))right)=c+lambda ({vec {cx}}).}

Entonces $L (c, λ)$ es una transformación afín de $X$ que deja el punto $c$ fijado. Es una transformación lineal de $X$ , vista como un espacio vectorial con origen $c$ .

Vamos $σ$ ser cualquier transformación afinada $X$ . Elige un punto $c$ dentro $X$ y considerar la traducción de $X$ por el vector ${displaystyle {mathbf {w}}={overrightarrow {csigma (c)}}}$ , denotado por $T w$ . Las traducciones son transformaciones afines y la composición de las transformaciones afinadas es una transformación afinada. Para esta elección de $c$ , existe una transformación lineal única $λ$ de $V$ tales que

{displaystyle sigma (x)=T_{mathbf {w}}left(L(c,lambda)(x)right).}

Es decir, una transformación afín arbitraria de $X$ es la composición de una transformación lineal de $X$ (visto como un espacio vectorial) y una traducción de $X.$

Esta representación de transformaciones afines a menudo se toma como la definición de una transformación afín (con la elección del origen implícita).

Representación

Como se muestra anteriormente, un mapa affine es la composición de dos funciones: una traducción y un mapa lineal. Álgebra vectorial ordinaria utiliza multiplicación de matriz para representar mapas lineales, y adición vectorial para representar traducciones. Formally, en el caso finito-dimensional, si el mapa lineal es representado como una multiplicación por una matriz invertible $A$ y la traducción como la adición de un vector $mathbf {b}$ , un mapa affine $f$ actuando en un vector $mathbf {x}$ puede ser representado como

{displaystyle mathbf {y} =f(mathbf {x})=Amathbf {x} +mathbf {b}.}

Matriz aumentada

Las transformaciones finas en el plano 2D se pueden realizar mediante transformaciones lineales en tres dimensiones. La traducción se hace por el tirón sobre el eje z, y la rotación se realiza alrededor del eje z.

Utilizando una matriz aumentada y un vector aumentado, es posible representar tanto la traducción como el mapa lineal utilizando una sola multiplicación de matriz. La técnica requiere que todos los vectores sean aumentados con un "1" al final, y todas las matrices se aumentan con una fila extra de ceros en la parte inferior, una columna adicional —el vector de traducción— a la derecha, y un "1" en la esquina inferior derecha. Si $A$ es una matriz,

{displaystyle {begin{bmatrix}mathbf {y} \1end{bmatrix}}=left[{begin{array}{ccc|c}&A&&mathbf {b} \0&cdots &0&1end{array}}right]{begin{bmatrix}mathbf {x} \1end{bmatrix}}}

es equivalente a lo siguiente

{displaystyle mathbf {y} =Amathbf {x} +mathbf {b}.}

La matriz aumentada mencionada se denomina una matriz de transformación. En el caso general, cuando el vector de última fila no está restringido a ser ${displaystyle left[{begin{array}{ccc|c}0&cdots &0&1end{array}}right]}$ , la matriz se convierte en matriz de transformación proyectiva (como también se puede utilizar para realizar transformaciones proyectivas).

Esta representación exhibe el conjunto de todas las transformaciones invertibles de afina como el producto semidireccional $K^{n}$ y ${displaystyle operatorname {GL} (n,K)}$ . Este es un grupo bajo el funcionamiento de la composición de las funciones, llamado el grupo affine.

La multiplicación ordinaria de la matriz-vectora siempre mapea el origen al origen, y por lo tanto nunca podría representar una traducción, en la que el origen debe necesariamente ser mapeado a algún otro punto. En función de la coordinación adicional "1" a cada vector, se considera esencialmente el espacio a ser mapeado como un subconjunto de un espacio con una dimensión adicional. En ese espacio, el espacio original ocupa el subconjunto en el que la coordenadas adicional es 1. Así el origen del espacio original se puede encontrar en ${displaystyle (0,0,dotsc0,1)}$ . Una traducción dentro del espacio original por medio de una transformación lineal del espacio de dimensiones superiores es entonces posible (específicamente, una transformación rugosa). Las coordenadas en el espacio de dimensiones superiores son un ejemplo de coordenadas homogéneas. Si el espacio original es Euclidean, el espacio dimensional superior es un espacio real proyector.

La ventaja de usar coordenadas homogéneas es que uno puede combinar cualquier cantidad de transformaciones afines en una sola multiplicando las matrices respectivas. Esta propiedad se usa ampliamente en gráficos por computadora, visión por computadora y robótica.

Ejemplo de matriz aumentada

Si los vectores ${displaystyle mathbf {x} _{1},dotscmathbf {x} _{n+1}}$ son una base del espacio vectorial proyectado del dominio y si ${displaystyle mathbf {y} _{1},dotscmathbf {y} _{n+1}}$ son los vectores correspondientes en el espacio vectorial codomain y luego la matriz aumentada $M$ que logra esta transformación afinada

{displaystyle {begin{bmatrix}mathbf {y} \1end{bmatrix}}=M{begin{bmatrix}mathbf {x} \1end{bmatrix}}}

{displaystyle M={begin{bmatrix}mathbf {y} _{1}&cdots &mathbf {y} _{n+1}\1&cdots &1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}mathbf {x} _{1}&cdots &mathbf {x} _{n+1}\1&cdots &1end{bmatrix}}^{-1}.}

Esta formulación funciona independientemente de si alguno de los espacios vectoriales de dominio, codominio e imagen tiene el mismo número de dimensiones.

Por ejemplo, la transformación afinada de un plano vectorial se determina únicamente desde el conocimiento de donde los tres vértices ( ${displaystyle mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2},mathbf {x} _{3}}$ ) de un triángulo no degenerado se mapeado a ( ${displaystyle mathbf {y} _{1},mathbf {y} _{2},mathbf {y} _{3}}$ ), independientemente del número de dimensiones del codomain y sin importar si el triángulo no es degenerado en el codomain.

Propiedades

Propiedades conservadas

Una transformación afín conserva:

collinearidad entre puntos: tres o más puntos que se encuentran en la misma línea (llamados puntos collinear) siguen siendo colineales después de la transformación.
paralelismo: dos o más líneas paralelas, siguen siendo paralelas después de la transformación.
convexidad de conjuntos: un conjunto convexo sigue siendo convexo después de la transformación. Además, los puntos extremos del conjunto original se mapean a los puntos extremos del conjunto transformado.
ratios de longitudes de segmentos paralelos: para segmentos paralelos distintos definidos por puntos $p_{1}$ y $p_{2}$ , $p_{3}$ y $p_4$ , la relación de ${overrightarrow {p_{1}p_{2}}}$ y ${displaystyle {overrightarrow {p_{3}p_{4}}}}$ es lo mismo que el de ${overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}$ y ${displaystyle {overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}}$ .
barycenters de colecciones ponderadas de puntos.

Grupos

Como una transformación afinada es invertible, la matriz cuadrada $A$ aparecer en su representación matriz es invertible. La representación matriz de la transformación inversa es así

{displaystyle left[{begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{vec {b}} \0&ldots &0&1end{array}}right].}

Las transformaciones invertibles de afine (de un espacio afinado en sí mismo) forman el grupo affine, que tiene el grupo lineal general de grado $n$ como subgrupo y es en sí mismo un subgrupo del grupo lineal general de grado $n+1$ .

Las transformaciones de similitud forman el subgrupo donde $A$ es un escalar tiempos una matriz ortogonal. Por ejemplo, si la transformación afinada actúa en el plano y si el determinante $A$ es 1 o −1 entonces la transformación es un mapeo equiareal. Tales transformaciones forman un subgrupo llamado el grupo equi-affine. Una transformación que es equi-affine y una similitud es una isometría del plano tomada con la distancia euclidiana.

Cada uno de estos grupos tiene un subgrupo orientación-preservación o positivo transformaciones afines: aquellos donde el determinante de $A$ es positivo. En el último caso esto es en 3D el grupo de transformaciones rígidas (rotaciones apropiadas y traducciones puras).

Si hay un punto fijo, podemos tomarlo como el origen y la transformación afín se reduce a una transformación lineal. Esto puede facilitar la clasificación y comprensión de la transformación. Por ejemplo, describir una transformación como una rotación de cierto ángulo con respecto a un cierto eje puede dar una idea más clara del comportamiento general de la transformación que describirla como una combinación de traslación y rotación. Sin embargo, esto depende de la aplicación y el contexto.

Mapas afines

Un mapa de ataúdes ${displaystyle fcolon {mathcal {A}}to {mathcal {B}}}$ entre dos espacios afines es un mapa en los puntos que actúa linealmente en los vectores (es decir, los vectores entre puntos del espacio). En símbolos, $f$ determina una transformación lineal $varphi$ tal que, para cualquier par de puntos $P,Qin {mathcal {A}}$ :

{overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=varphi ({overrightarrow {PQ}})

f(Q)-f(P)=varphi (Q-P)

Podemos interpretar esta definición de otras maneras, como sigue.

Si un origen $Oin {mathcal {A}}$ es elegido, y $B$ denota su imagen $f(O)in {mathcal {B}}$ , entonces esto significa que para cualquier vector ${vec {x}}$ :

{displaystyle fcolon (O+{vec {x}})mapsto (B+varphi ({vec {x}}))}

Si un origen $O'in {mathcal {B}}$ es también elegido, esto se puede descomponer como una transformación afine ${displaystyle gcolon {mathcal {A}}to {mathcal {B}}}$ que envía $Omapsto O'$ , a saber

{displaystyle gcolon (O+{vec {x}})mapsto (O'+varphi ({vec {x}}))}

seguido de la traducción de un vector ${vec {b}}={overrightarrow {O'B}}$ .

La conclusión es que, intuitivamente, $f$ consta de una traducción y un mapa lineal.

Definición alternativa

Dados dos espacios afines ${mathcal {A}}$ y ${mathcal {B}}$ , sobre el mismo campo, una función ${displaystyle fcolon {mathcal {A}}to {mathcal {B}}}$ es un mapa affine si y sólo si para cada familia ${(a_{i},lambda _{i})}_{iin I}$ de puntos ponderados en ${mathcal {A}}$ tales que

{displaystyle sum _{iin I}lambda _{i}=1}

tenemos

{displaystyle fleft(sum _{iin I}lambda _{i}a_{i}right)=sum _{iin I}lambda _{i}f(a_{i})}

En otras palabras, $f$ conserva barycenters.

Historia

La palabra "afín" como término matemático se define en relación con las tangentes a las curvas en la Introductio in analysin infinitorum de Euler de 1748. Felix Klein atribuye el término "transformación afín" a Möbius y Gauss.

Transformación de imágenes

En sus aplicaciones al procesamiento de imágenes digitales, las transformaciones afines son análogas a imprimir en una lámina de caucho y estirar los bordes de la lámina en forma paralela al plano. Esta transformación reubica los píxeles que requieren interpolación de intensidad para aproximar el valor de los píxeles movidos, la interpolación bicúbica es el estándar para las transformaciones de imágenes en las aplicaciones de procesamiento de imágenes. Las transformaciones afines escalan, rotan, trasladan, reflejan y distorsionan imágenes como se muestra en los siguientes ejemplos:

Nombre de transformación	Affine matriz	Ejemplo
Identidad (transforme a la imagen original)	${displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{bmatrix}}}$
Traducción	$0\0&1&v_{y}=0\0&0&1end{bmatrix}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">[10vx■001vSí.=0001]{fncipes {fncip {bmatrix}1}0}}}}}}}}0\0&1&v_{y}=0\0&0&1end{bmatrix}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae64b30dad5b7486e59a4f738daa07528717b4f" style="vertical-align: -4.171ex; width:17.383ex; height:9.509ex;"/>$
Reflexión	${displaystyle {begin{bmatrix}-1&0&0\0&1&0\0&0&1end{bmatrix}}}$
Escala	${displaystyle {begin{bmatrix}c_{x}=2&0&0\0&c_{y}=1&0\0&0&1end{bmatrix}}}$
Rotación	${displaystyle {begin{bmatrix}cos(theta)&-sin(theta)&0\sin(theta)&cos(theta)&0\0&0&1end{bmatrix}}}$	Donde $Silencio = π / 6 = 30°$
Shear	${displaystyle {begin{bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\c_{y}=0&1&0\0&0&1end{bmatrix}}}$

Las transformaciones afines se aplican al proceso de registro en el que se alinean (registran) dos o más imágenes. Un ejemplo de registro de imágenes es la generación de imágenes panorámicas que son el producto de múltiples imágenes unidas.

Deformación afín

La transformación afín conserva líneas paralelas. Sin embargo, las transformaciones de estiramiento y corte deforman las formas, como muestra el siguiente ejemplo:

Este es un ejemplo de deformación de imagen. Sin embargo, las transformaciones afines no facilitan la proyección sobre una superficie curva ni las distorsiones radiales.

En el avión

Una dilatación central. Los triángulos A1B1Z, A1C1Z y B1C1Z se mapean a A2B2Z, A2C2Z, y B2C2Z, respectivamente.

Las transformaciones afines en dos dimensiones reales incluyen:

traducciones puras,
escalando en una dirección dada, con respecto a una línea en otra dirección (no necesariamente perpendicular), combinado con la traducción que no es puramente en la dirección del escalado; tomando "scaling" en un sentido generalizado incluye los casos que el factor de escala es cero (proyección) o negativo; el último incluye reflexión, y combinado con la traducción incluye la reflexión de deslizamiento,
rotación combinada con una homoteca y una traducción,
cartografía de lana combinada con una homoteca y una traducción, o
mapeo de expresion combinado con una homothety y una traducción.

Para visualizar la transformación afín general del plano euclidiano, tome los paralelogramos etiquetados ABCD y A′B′C′D′. Cualesquiera que sean las elecciones de puntos, hay una transformación afín T del plano que lleva A a A′, y cada vértice de manera similar. Suponiendo que excluyamos el caso degenerado donde ABCD tiene área cero, existe una única transformación afín T. Al dibujar una cuadrícula completa de paralelogramos basada en ABCD, la imagen T(P) de cualquier punto P es determinado al notar que T(A) = A′, T aplicado al segmento de línea AB es A′B′, T aplicado al segmento de línea AC es A′C′, y T respeta múltiplos escalares de vectores basados en A. [Si A, E, F son colineales entonces la relación longitud(AF)/longitud( AE) es igual a longitud(A′F′)/longitud(A′E ′).] Geométricamente, T transforma la cuadrícula basada en ABCD en la basada en A′B′C′D′.

Las transformaciones afines no respetan longitudes ni ángulos; multiplican el area por un factor constante

zona de A′B′C′D / área de ABCD.

Una T dada puede ser directa (respetar la orientación), o indirecta (orientación inversa), y esto puede estar determinado por su efecto en áreas firmadas (como se define, por ejemplo, por el producto cruzado de vectores).

Ejemplos

Sobre los números reales

Funciones ${displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R};f(x)=mx+c}$ con $m$ y $c$ dentro $mathbb {R}$ y $mne 0$ , son precisamente las transformaciones afines de la línea real.

En geometría plana

Una simple transformación afinada en el plano real

Efecto de la aplicación de varias matrices de transformación 2D affine en un cuadrado de unidad. Tenga en cuenta que las matrices de reflexión son casos especiales de la matriz de escalado.

In $mathbb {R} ^{2}$ , la transformación que se muestra a la izquierda se realiza utilizando el mapa dado por:

{begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}mapsto {begin{bmatrix}0&1\2&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}+{begin{bmatrix}-100\-100end{bmatrix}}

Al transformar los tres puntos de las esquinas del triángulo original (en rojo) se obtienen tres nuevos puntos que forman el nuevo triángulo (en azul). Esta transformación sesga y traslada el triángulo original.

De hecho, todos los triángulos están relacionados entre sí por transformaciones afines. Esto también es cierto para todos los paralelogramos, pero no para todos los cuadriláteros.

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