Politopo

En geometría elemental, un politopo es un objeto geométrico con lados planos (caras). Es una generalización en cualquier número de dimensiones del poliedro tridimensional. Los politopos pueden existir en cualquier número general de dimensiones n como un politopo de n dimensiones o un politopo de n. En este contexto, "lados planos" significa que los lados de un (k + 1) -politopo consisten en k -politopos que pueden tener (k – 1) -politopos en común. Por ejemplo, un polígono bidimensional es un politopo de 2 y un poliedro tridimensional es un politopo de 3.

Algunas teorías generalizan aún más la idea para incluir objetos como apeirotopos y teselados ilimitados, descomposiciones o mosaicos de variedades curvas que incluyen poliedros esféricos y politopos abstractos de teoría de conjuntos.

Los politopos de más de tres dimensiones fueron descubiertos por primera vez por Ludwig Schläfli antes de 1853, quien llamó polisquema a tal figura. El término alemán polytop fue acuñado por el matemático Reinhold Hoppe, y fue presentado a los matemáticos ingleses como polytop por Alicia Boole Stott.

Aproximaciones a la definición

En la actualidad, el término politopo es un término amplio que abarca una amplia clase de objetos, y en la literatura matemática aparecen diversas definiciones. Muchas de estas definiciones no son equivalentes entre sí, lo que da como resultado diferentes conjuntos superpuestos de objetos que se denominan politopos. Representan diferentes enfoques para generalizar los politopos convexos para incluir otros objetos con propiedades similares.

El enfoque original ampliamente seguido por Ludwig Schläfli, Thorold Gosset y otros comienza con la extensión por analogía a cuatro o más dimensiones, de la idea de un polígono y poliedro respectivamente en dos y tres dimensiones.

Los intentos de generalizar la característica de Euler de los poliedros a politopos de dimensiones superiores llevaron al desarrollo de la topología y al tratamiento de una descomposición o complejo CW como análogo a un politopo. En este enfoque, un politopo puede considerarse como una teselación o descomposición de una variedad dada. Un ejemplo de este enfoque define un politopo como un conjunto de puntos que admite una descomposición simplicial. En esta definición, un politopo es la unión de un número finito de simples, con la propiedad adicional de que, para cualesquiera dos simples que tengan una intersección no vacía, su intersección es un vértice, una arista o una cara de mayor dimensión de las dos. Sin embargo, esta definición no permite politopos estelares con estructuras interiores, por lo que está restringida a ciertas áreas de las matemáticas.

El descubrimiento de poliedros en estrella y otras construcciones inusuales condujo a la idea de un poliedro como una superficie límite, ignorando su interior. En este sentido, los politopos convexos en el espacio p son equivalentes a los mosaicos de la (p −1) -esfera, mientras que otros pueden ser mosaicos de otras superficies elípticas, planas o toroidales (p −1) - ver mosaico elíptico y poliedro toroidal. Se entiende por poliedro una superficie cuyas caras son polígonos, un 4-politopo como una hipersuperficie cuyas facetas (celdas) son poliedros, etc.

La idea de construir un politopo superior a partir de los de menor dimensión también se extiende a veces hacia abajo en la dimensión, con un (borde) visto como un politopo 1 delimitado por un par de puntos, y un punto o vértice como un politopo 0. Este enfoque se utiliza, por ejemplo, en la teoría de los politopos abstractos.

En ciertos campos de las matemáticas, los términos "politopo" y "poliedro" se usan en un sentido diferente: un poliedro es el objeto genérico en cualquier dimensión (denominado politopo en este artículo) y politopo significa un poliedro acotado. Esta terminología generalmente se limita a politopos y poliedros que son convexos. Con esta terminología, un poliedro convexo es la intersección de un número finito de semiespacios y está definido por sus lados, mientras que un politopo convexo es el casco convexo de un número finito de puntos y está definido por sus vértices.

Los politopos en números más bajos de dimensiones tienen nombres estándar:

Elementos

Un politopo comprende elementos de diferente dimensionalidad como vértices, aristas, caras, celdas, etc. La terminología para estos no es completamente consistente entre los diferentes autores. Por ejemplo, algunos autores usan la cara para referirse a un elemento de (n − 1) dimensión, mientras que otros usan la cara para denotar específicamente dos caras. Los autores pueden usar j -face o j -facet para indicar un elemento de j dimensiones. Algunos usan borde para referirse a una cresta, mientras que HSM Coxeter usa celda para denotar un elemento dimensional (n − 1).

Los términos adoptados en este artículo se dan en el siguiente cuadro:

Dimensióndel elemento	Término(en un n -politopo)
−1	Nulidad (necesaria en teoría abstracta)
0	Vértice
1	Borde
2	Cara
3	Célula
j	cara j – elemento de rango j = −1, 0, 1, 2, 3,..., n
norte - 3	Pico – (n − 3)-cara
norte - 2	Cresta o subfaceta – (n − 2)-cara
norte - 1	Faceta – (n − 1)-cara
norte	El politopo en sí

Un politopo n -dimensional está delimitado por un número de facetas (n − 1)-dimensionales. Estas facetas son en sí mismas politopos, cuyas facetas son (n - 2) crestas dimensionales del politopo original. Cada cresta surge como la intersección de dos facetas (pero la intersección de dos facetas no tiene por qué ser una cresta). Las crestas son una vez más politopos cuyas facetas dan lugar a (n - 3) límites dimensionales del politopo original, y así sucesivamente. Estos subpolitopos delimitadores pueden denominarse caras, o específicamente caras j -dimensionales o j -caras. Una cara de dimensión 0 se llama vértice., y consta de un solo punto. Una cara unidimensional se denomina arista y consta de un segmento de línea. Una cara bidimensional consta de un polígono y una cara tridimensional, a veces llamada celda, consta de un poliedro.

Clases importantes de politopos

Politopos convexos

Un politopo puede ser convexo. Los politopos convexos son el tipo de politopos más simple y forman la base de varias generalizaciones diferentes del concepto de politopos. Un politopo convexo a veces se define como la intersección de un conjunto de semiespacios. Esta definición permite que un politopo no sea ni acotado ni finito. Los politopos se definen de esta manera, por ejemplo, en programación lineal. Un politopo está acotado si hay una bola de radio finito que lo contiene. Se dice que un politopo es puntiagudo si contiene al menos un vértice. Todo politopo acotado no vacío es puntiagudo. Un ejemplo de politopo no puntiagudo es el conjunto . Un politopo es finito.si se define en términos de un número finito de objetos, por ejemplo, como una intersección de un número finito de semiplanos. Es un politopo integral si todos sus vértices tienen coordenadas enteras.

Cierta clase de politopos convexos son politopos reflexivos. Un politopo integral es reflexivo si para alguna matriz integral , , donde denota un vector de todos unos, y la desigualdad es por componentes. De esta definición se sigue que es reflexivo si y sólo si para todos . En otras palabras, un -dilate de difiere, en términos de puntos de red enteros, de un -dilate de solo por los puntos de red ganados en el límite. De manera equivalente, es reflexivo si y solo si su politopo dual es un politopo integral.

Politopos regulares

Los politopos regulares tienen el mayor grado de simetría de todos los politopos. El grupo de simetría de un politopo regular actúa transitivamente sobre sus banderas; por tanto, el politopo dual de un politopo regular también es regular.

Hay tres clases principales de politopos regulares que se presentan en cualquier número de dimensiones:

• Simples, incluyendo el triángulo equilátero y el tetraedro regular.
• Hipercubos o politopos de medida, incluidos el cuadrado y el cubo.
• Orthoplexes o politopos cruzados, incluyendo el octaedro cuadrado y regular.

Las dimensiones dos, tres y cuatro incluyen figuras regulares que tienen simetrías quíntuples y algunas de las cuales son estrellas no convexas, y en dos dimensiones hay infinitos polígonos regulares de simetría n, tanto convexos como (para n ≥ 5) estrellas. Pero en dimensiones superiores no existen otros politopos regulares.

En tres dimensiones, los sólidos platónicos convexos incluyen el dodecaedro y el icosaedro con simetría quíntuple, y también hay poliedros Kepler-Poinsot de cuatro estrellas con simetría quíntuple, lo que eleva el total a nueve poliedros regulares.

En cuatro dimensiones, los 4 politopos regulares incluyen un sólido convexo adicional con simetría cuádruple y dos con simetría quíntuple. Hay diez politopos de 4 estrellas Schläfli-Hess, todos con simetría quíntuple, lo que da un total de dieciséis 4 politopos regulares.

Politopos estrella

Un politopo no convexo puede intersecarse a sí mismo; esta clase de politopos incluye los politopos estrella. Algunos politopos regulares son estrellas.

Propiedades

Característica de Euler

Dado que un politopo P convexo (lleno) en dimensiones es contraible a un punto, la característica de Euler de su límite ∂P viene dada por la suma alterna:, donde es el número de caras dimensionales.

Esto generaliza la fórmula de Euler para poliedros.

ángulos internos

El teorema de Gram-Euler generaliza de manera similar la suma alterna de ángulos internos de poliedros convexos a politopos de dimensiones superiores:

Generalizaciones de un politopo

Politopos infinitos

No todas las variedades son finitas. Donde un politopo se entiende como un mosaico o descomposición de una variedad, esta idea puede extenderse a infinitas variedades. Las teselaciones planas, las que llenan espacios (panales de abeja) y las teselaciones hiperbólicas son, en este sentido, politopos y, a veces, se denominan apeirotopos porque tienen infinitas celdas.

Entre estos, hay formas regulares que incluyen los poliedros oblicuos regulares y la serie infinita de mosaicos representados por el apeirogon regular, el mosaico cuadrado, el panal cúbico, etc.

Politopos abstractos

La teoría de los politopos abstractos intenta separar los politopos del espacio que los contiene, considerando sus propiedades puramente combinatorias. Esto permite ampliar la definición del término para incluir objetos para los que es difícil definir un espacio subyacente intuitivo, como el de 11 celdas.

Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado de elementos o miembros, que obedece a ciertas reglas. Es una estructura puramente algebraica, y la teoría se desarrolló para evitar algunos de los problemas que dificultan la reconciliación de las diversas clases geométricas dentro de un marco matemático consistente. Se dice que un politopo geométrico es una realización en algún espacio real del politopo abstracto asociado.

Politopos complejos

Existen estructuras análogas a los politopos en espacios complejos de Hilbert donde n dimensiones reales están acompañadas por n imaginarias. Los politopos complejos regulares se tratan más apropiadamente como configuraciones.

Dualidad

Cada n -politopo tiene una estructura dual, obtenida intercambiando sus vértices por facetas, bordes por crestas, y así sucesivamente, generalmente intercambiando sus elementos (j − 1)-dimensionales por elementos (n − j)-dimensionales (para j = 1 a n − 1), conservando la conectividad o incidencia entre elementos.

Para un politopo abstracto, esto simplemente invierte el orden del conjunto. Esta inversión se ve en los símbolos de Schläfli para politopos regulares, donde el símbolo del politopo dual es simplemente el reverso del original. Por ejemplo, {4, 3, 3} es dual a {3, 3, 4}.

En el caso de un politopo geométrico, es necesaria alguna regla geométrica para la dualización, véanse, por ejemplo, las reglas descritas para poliedros duales. Dependiendo de las circunstancias, la figura dual puede o no ser otro politopo geométrico.

Si se invierte el dual, se recupera el politopo original. Así, los politopos existen en pares duales.

Politopos autoduales

Si un politopo tiene el mismo número de vértices que de facetas, de aristas que de crestas, etc., y las mismas conectividades, entonces la figura dual será similar a la original y el politopo será autodual.

Algunos politopos autoduales comunes incluyen:

• Cada n -simplex regular, en cualquier número de dimensiones, con el símbolo de Schläfli {3 }. Estos incluyen el triángulo equilátero {3}, el tetraedro regular {3,3} y el de 5 celdas {3,3,3}.
• Cada panal hipercúbico, en cualquier número de dimensiones. Estos incluyen el apeirogon {∞}, mosaico cuadrado {4,4} y panal cúbico {4,3,4}.
• Numerosos mosaicos hiperbólicos compactos, paracompactos y no compactos, como el panal icosaédrico {3,5,3} y el mosaico pentagonal de orden 5 {5,5}.
• En 2 dimensiones, todos los polígonos regulares (2 politopos regulares)
• En 3 dimensiones, las pirámides poligonales canónicas y las pirámides alargadas, y el dodecaedro tetraédricamente disminuido.
• En 4 dimensiones, el de 24 celdas, con el símbolo de Schläfli {3,4,3}. También el gran {5,5/2,5} de 120 celdas y el gran {5/2,5,5/2} estrellado de 120 celdas.

Historia

Los polígonos y los poliedros se conocen desde la antigüedad.

Un indicio temprano de dimensiones superiores se produjo en 1827 cuando August Ferdinand Möbius descubrió que dos sólidos de imagen especular se pueden superponer girando uno de ellos a través de una cuarta dimensión matemática. En la década de 1850, un puñado de otros matemáticos como Arthur Cayley y Hermann Grassmann también habían considerado dimensiones superiores.

Ludwig Schläfli fue el primero en considerar análogos de polígonos y poliedros en estos espacios superiores. Describió los seis 4 politopos regulares convexos en 1852, pero su trabajo no se publicó hasta 1901, seis años después de su muerte. En 1854, Habilitationsschrift de Bernhard Riemann había establecido firmemente la geometría de dimensiones superiores y, por lo tanto, el concepto de politopos n -dimensionales se hizo aceptable. Los politopos de Schläfli fueron redescubiertos muchas veces en las décadas siguientes, incluso durante su vida.

En 1882 Reinhold Hoppe, escribiendo en alemán, acuñó la palabra polytop para referirse a este concepto más general de polígonos y poliedros. A su debido tiempo, Alicia Boole Stott, hija del lógico George Boole, introdujo el politopo anglicanizado en el idioma inglés.

En 1895, Thorold Gosset no solo redescubrió los politopos regulares de Schläfli, sino que también investigó las ideas de politopos semirregulares y teselaciones que llenan espacios en dimensiones superiores. Los politopos también comenzaron a estudiarse en espacios no euclidianos como el espacio hiperbólico.

Se alcanzó un hito importante en 1948 con el libro Regular Polytopes de HSM Coxeter, que resume el trabajo hasta la fecha y agrega nuevos hallazgos propios.

Mientras tanto, el matemático francés Henri Poincaré había desarrollado la idea topológica de un politopo como la descomposición por partes (por ejemplo, complejo CW) de una variedad. Branko Grünbaum publicó su influyente trabajo sobre politopos convexos en 1967.

En 1952 Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea como politopos complejos en un espacio complejo, donde cada dimensión real tiene asociada una imaginaria. Coxeter desarrolló aún más la teoría.

Las cuestiones conceptuales planteadas por los politopos complejos, la no convexidad, la dualidad y otros fenómenos llevaron a Grünbaum y a otros al estudio más general de las propiedades combinatorias abstractas que relacionan vértices, aristas, caras, etc. Una idea relacionada fue la de los complejos de incidencia, que estudiaban la incidencia o conexión de los diversos elementos entre sí. Estos desarrollos condujeron finalmente a la teoría de los politopos abstractos como conjuntos parcialmente ordenados, o posets, de tales elementos. Peter McMullen y Egon Schulte publicaron su libro Abstract Regular Polytopes en 2002.

Enumerar los politopos uniformes, convexos y no convexos, en cuatro o más dimensiones sigue siendo un problema pendiente.

En los tiempos modernos, los politopos y los conceptos relacionados han encontrado muchas aplicaciones importantes en campos tan diversos como gráficos por computadora, optimización, motores de búsqueda, cosmología, mecánica cuántica y muchos otros campos. En 2013 se descubrió el amplituedro como una construcción simplificadora en ciertos cálculos de física teórica.

Aplicaciones

En el campo de la optimización, la programación lineal estudia los máximos y mínimos de las funciones lineales; estos máximos y mínimos ocurren en el límite de un politopo n -dimensional. En la programación lineal, los politopos ocurren en el uso de coordenadas baricéntricas generalizadas y variables de holgura.

En la teoría del twistor, una rama de la física teórica, se utiliza un politopo llamado amplituedro para calcular las amplitudes de dispersión de las partículas subatómicas cuando chocan. La construcción es puramente teórica sin manifestación física conocida, pero se dice que simplifica enormemente ciertos cálculos.