Torsión de una curva

En la geometría diferencial de las curvas en tres dimensiones, la torsión de una curva mide con qué brusquedad se sale del plano osculador. En conjunto, la curvatura y la torsión de una curva espacial son análogas a la curvatura de una curva plana. Por ejemplo, son coeficientes en el sistema de ecuaciones diferenciales para el marco de Frenet dado por las fórmulas de Frenet-Serret.

Definición

Sea r una curva espacial parametrizada por la longitud del arco s y con el vector unitario tangente T. Si la curvatura κ de r en un cierto punto no es cero entonces el vector normal principal y el vector binormal en ese punto son los vectores unitarios

N=T.κ κ ,B=T× × N{displaystyle mathbf {N} ={frac {mathbf {}{kappa }}}quad mathbf {B} =mathbf {T} times mathbf {N}

respectivamente, donde el número primo denota la derivada del vector con respecto al parámetro s. La torsión τ mide la velocidad de rotación del vector binormal en el punto dado. Se encuentra a partir de la ecuación

B.=− − τ τ N.{displaystyle mathbf {B}=-tau mathbf {N}

lo que significa

τ τ =− − N⋅ ⋅ B..{displaystyle tau =-mathbf {N} cdot mathbf {B}

As N⋅ ⋅ B=0{displaystyle mathbf {N} cdot mathbf {B} =0}, esto equivale a τ τ =N.⋅ ⋅ B{displaystyle tau =mathbf {N}cdot mathbf {B}.

Observación: La derivada del vector binormal es perpendicular tanto al binormal como a la tangente, por lo que tiene que ser proporcional al vector normal principal. El signo negativo es simplemente una cuestión de convención: es un subproducto del desarrollo histórico del tema.

Relevancia geométrica: La torsión τ(s) mide el giro de la vector binormal. Cuanto mayor es la torsión, más rápido gira el vector binormal alrededor del eje dado por el vector tangente (ver ilustraciones gráficas). En la figura animada la rotación del vector binormal es claramente visible en los picos de la función de torsión.

Propiedades

• Una curva plana con curvatura no-vanishing tiene torsión cero en todos los puntos. Por el contrario, si la torsión de una curva regular con curvatura no-vanishing es idénticamente cero, entonces esta curva pertenece a un plano fijo.
• La curvatura y la torsión de un helix son constantes. Por el contrario, cualquier curva espacial cuya curvatura y torsión son constantes y no cero es un helix. La torsión es positiva para una helix derecha y es negativa para una zurda.

Descripción alternativa

Sea r = r(t) la ecuación paramétrica de un espacio curva. Supongamos que se trata de una parametrización regular y que la curvatura de la curva no desaparece. Analíticamente, r(t) es una función tres veces diferenciable de t con valores en R³ y los vectores

r.()t),r.()t){displaystyle mathbf {r'} (t),mathbf {r'} (t)}

son linealmente independientes.

Entonces la torsión se puede calcular a partir de la siguiente fórmula:

τ τ =Det()r.,r.,r′′′).r.× × r..2=()r.× × r.)⋅ ⋅ r′′′.r.× × r..2.{displaystyle tau ={detdet left({mathbf {r} ',mathbf {r} '',mathbf {r} '''}right)}{leftfnf {r} 'times mathbf {r} ''justo 'pretensión ' {2}={frac {left({mathbf {r} 'times mathbf {r} ''justo'cdot mathbf {r] '''' {fnMitbf {r] 'times mathbf {r} ''justo 'pretensión'}

Aquí los números primos denotan las derivadas con respecto a t y la cruz denota el producto cruzado. Para r = (x, y, z) , la fórmula en componentes es

τ τ =x′′′()Sí..z.− − Sí..z.)+Sí.′′′()x.z.− − x.z.)+z′′′()x.Sí..− − x.Sí..)()Sí..z.− − Sí..z.)2+()x.z.− − x.z.)2+()x.Sí..− − x.Sí..)2.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}*