Toro

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Superficie de revolución en forma de donut

Un toro con una selección de círculos en su superficie

A medida que la distancia del eje de la revolución disminuye, el toro de anillo se convierte en un toro de cuerno, luego un toro de husillo, y finalmente degenera en una esfera doble cubierta.

Un toro con relación de aspecto 3 como el producto de un círculo más pequeño (rojo) y mayor (magenta).

En geometría, un toro (plural tori, coloquialmente donut o donut) es una superficie de revolución generado al girar un círculo en un espacio tridimensional alrededor de un eje que es coplanar con el círculo.

Si el eje de revolución no toca el círculo, la superficie tiene forma de anillo y se llama toroide de revolución. Si el eje de revolución es tangente a la circunferencia, la superficie es un toroide de cuerno. Si el eje de revolución pasa dos veces por el círculo, la superficie es un toroide de husillo. Si el eje de revolución pasa por el centro del círculo, la superficie es un toro degenerado, una esfera con doble cubierta. Si la curva girada no es un círculo, la superficie se denomina toroide, como en un toroide cuadrado.

Los objetos del mundo real que se aproximan a un toroide de revolución incluyen anillos de natación, cámaras de aire y anillos circulares. Los lentes para anteojos que combinan corrección esférica y cilíndrica son lentes tóricos.

Un toroide no debe confundirse con un toroide sólido, que se forma girando un disco, en lugar de un círculo, alrededor de un eje. Un toro sólido es un toro más el volumen dentro del toro. Los objetos del mundo real que se aproximan a un toroide sólido incluyen juntas tóricas, aros salvavidas no inflables, anillos de donas y bagels.

En la topología, un toro de anillo es homeomórfico al producto cartesiano de dos círculos: ${displaystyle S^{1}times S^{1}}$ , y este último se considera la definición en ese contexto. Es un doble compacto de género 1. El toro de anillo es una manera de incrustar este espacio en el espacio euclidiano, pero otra manera de hacerlo es el producto cartesiano de la incrustación de $S^{{1}}$ en el avión con sí mismo. Esto produce un objeto geométrico llamado el toro Clifford, una superficie en 4-espacio.

En el campo de la topología, un toro es cualquier espacio topológico que es homeomorfo a un toro. La superficie de una taza de café y una dona son toros topológicos con género uno.

Se puede construir un ejemplo de toroide tomando una tira rectangular de material flexible, por ejemplo, una lámina de caucho, y uniendo el borde superior con el borde inferior, y el borde izquierdo con el borde derecho, sin medias tintas. giros (compárese con la cinta de Möbius).

Geometría

Bottom-halves y
secciones transversales verticales

R ■ r

: anillo de toro o anillo de anclaje

R = r

: toro de cuerno

R . r

: husillo autointersecante torus

Un toro se puede definir paramétricamente por:

{displaystyle {begin{aligned}x(thetavarphi)&=(R+rcos theta)cos {varphi }\y(thetavarphi)&=(R+rcos theta)sin {varphi }\z(thetavarphi)&=rsin theta \{text{with:}}~thetavarphi in [0,2pi)end{aligned}}}

$Silencio$ , $φ$ son ángulos que hacen un círculo completo, por lo que sus valores comienzan y terminan en el mismo punto,
$R$ es la distancia del centro del tubo al centro del toro,
$r$ es el radio del tubo.

El ángulo $θ$ representa la rotación alrededor del tubo, mientras que $φ$ representa la rotación alrededor del toroide' eje de revolución. $R$ se conoce como el "radio mayor" y $r$ se conoce como "radio menor". La relación $R$ dividida por $r$ se conoce como "relación de aspecto". La confitería típica de donas tiene una relación de aspecto de aproximadamente 3 a 2.

Una ecuación implícita en coordenadas cartesianas para un toroide radialmente simétrico sobre el eje $z$ es

{displaystyle left({sqrt {x^{2}+y^{2}}}-Rright)^{2}+z^{2}=r^{2},}

o la solución de $f (x, y, z) = 0$ , donde

{displaystyle f(x,y,z)=left({sqrt {x^{2}+y^{2}}}-Rright)^{2}+z^{2}-r^{2}.}

La eliminación algebraica de la raíz cuadrada da como resultado una ecuación cuártica,

{displaystyle left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}right)^{2}=4R^{2}left(x^{2}+y^{2}right).}

Las tres clases de toros estándar corresponden a las tres relaciones de aspecto posibles entre $R$ y $r$ :

Cuando $R ■ r$ , la superficie será el toro de anillo familiar o anillo de anclaje.
$R = r$ corresponde al toro de cuerno, que en efecto es un toro sin "agujero".
$R . r$ describe el toro de husillo autointersecante; su cáscara interior es un limón y su caparazón exterior manzana
Cuando $R = 0$ , el toro degenera a la esfera.

Cuando $R \geq r$ , el interior

<math alttext="{displaystyle left({sqrt {x^{2}+y^{2}}}-Rright)^{2}+z^{2}()x2+Sí.2− − R)2+z2.r2{displaystyle left({sqrt {x^{2}+y^{2}}-Rright)}{2}+z^{2}<img alt="{displaystyle left({sqrt {x^{2}+y^{2}}}-Rright)^{2}+z^{2}

{displaystyle {begin{aligned}A&=left(2pi rright)left(2pi Rright)=4pi ^{2}Rr\V&=left(pi r^{2}right)left(2pi Rright)=2pi ^{2}Rr^{2}.end{aligned}}}

Estas fórmulas son las mismas que para un cilindro de longitud $2π R$ y radio $r$ , obtenido al cortar el tubo a lo largo del plano de un círculo pequeño y desenrollarlo enderezando (rectificando) la línea que corre alrededor del centro del tubo. Las pérdidas en área superficial y volumen en el lado interior del tubo anulan exactamente las ganancias en el lado exterior.

Expresar el área de superficie y el volumen por la distancia $p$ de un punto más externo en la superficie del toro al centro, y la distancia $q$ de un punto más interior al centro (de modo que $R = p + q / 2$ y $r = p - q / 2$ ), rendimientos

{displaystyle {begin{aligned}A&=4pi ^{2}left({frac {p+q}{2}}right)left({frac {p-q}{2}}right)=pi ^{2}(p+q)(p-q)\V&=2pi ^{2}left({frac {p+q}{2}}right)left({frac {p-q}{2}}right)^{2}={tfrac {1}{4}}pi ^{2}(p+q)(p-q)^{2}end{aligned}}}

Dirección poloidal (flecha roja) y
Dirección toroidal (flecha azul)

Como un toro es el producto de dos círculos, a veces se usa una versión modificada del sistema de coordenadas esféricas. En las coordenadas esféricas tradicionales hay tres medidas, $R$ , la distancia desde el centro del sistema de coordenadas y $θ$ y $φ$ , ángulos medidos desde el centro punto.

Como un toro tiene, efectivamente, dos puntos centrales, los puntos centrales de los ángulos se mueven; $φ$ mide el mismo ángulo que en el sistema esférico, pero se conoce como "toroidal" dirección. El punto central de $θ$ se mueve al centro de $r$ , y se conoce como "poloidal" dirección. Estos términos se utilizaron por primera vez en una discusión sobre el campo magnético de la Tierra, donde "poloidal" se utilizó para denotar "la dirección hacia los polos".

En el uso moderno, toroidal y poloidal se usan más comúnmente para hablar sobre dispositivos de fusión por confinamiento magnético.

Topología

Topológicamente, un toro es una superficie cerrada definida como el producto de dos círculos: S¹ × S¹. Esto se puede ver como si estuviera en C2 y es un subconjunto de las 3 esferas S³ de radio √2. Este toroide topológico también suele llamarse toroide de Clifford. De hecho, S³ se completa con una familia de toros anidados de esta manera (con dos círculos degenerados), un hecho que es importante en el estudio de S³ como un haz de fibras sobre S² (el haz de Hopf).

La superficie descrita anteriormente, dada la topología relativa de $mathbb {R} ^{3}$ , es homeomórfico a un toro topológico mientras no intersecte su propio eje. Un homeomorfismo particular es dado por proyectar estereográficomente el toro topológico en $mathbb {R} ^{3}$ del polo norte S³.

El toro también se puede describir como un cociente del plano cartesiano bajo las identificaciones

{displaystyle (x,y)sim (x+1,y)sim (x,y+1),,}

o, de manera equivalente, como el cociente del cuadrado unitario pegando los bordes opuestos, descrito como un polígono fundamental ABA⁻¹B⁻¹.

Turning a punctured torus inside-out

El grupo fundamental del toro es simplemente el producto directo del grupo fundamental del círculo consigo mismo:

{displaystyle pi _{1}(mathbb {T} ^{2})=pi _{1}(mathbb {S} ^{1})times pi _{1}(mathbb {S} ^{1})cong mathbb {Z} times mathbb {Z}.}

Intuitivamente hablando, esto significa que un camino cerrado que rodea el toroide' "agujero" (digamos, un círculo que traza una latitud particular) y luego rodea el toroide' "cuerpo" (digamos, un círculo que traza una longitud particular) se puede deformar en un camino que rodea el cuerpo y luego el agujero. Entonces, estrictamente 'latitudinal' y estrictamente 'longitudinal' los caminos conmutan. Se puede imaginar una declaración equivalente como dos cordones de zapatos que se cruzan, luego se desenrollan y luego se rebobinan.

Si se perfora un toroide y se le da la vuelta, se obtiene otro toroide, con líneas de latitud y longitud intercambiadas. Esto es equivalente a construir un toroide a partir de un cilindro, uniendo los extremos circulares de dos maneras: alrededor del exterior como unir dos extremos de una manguera de jardín, o por el interior como enrollar un calcetín (con la punta cortada). Además, si el cilindro se hizo pegando dos lados opuestos de un rectángulo, elegir los otros dos lados causará la misma inversión de orientación.

El primer grupo de homología del toro es isomorfo al grupo fundamental (esto se deriva del teorema de Hurewicz ya que el grupo fundamental es abeliano).

Portada de dos hojas

El 2-toroide cubre dos veces a la 2-esfera, con cuatro puntos de ramificación. Cada estructura conforme en el 2-toro se puede representar como una cubierta de dos hojas de la 2-esfera. Los puntos del toro correspondientes a los puntos de ramificación son los puntos de Weierstrass. De hecho, el tipo conforme del toro está determinado por la relación cruzada de los cuatro puntos.

Toroide N-dimensional

Una proyección estereográfica de un toro Clifford en cuatro dimensiones que realiza una rotación simple a través de la xz-plane

El toro tiene una generalización a dimensiones superiores, el toro n-dimensional, a menudo llamado n-torus o hipertorus para abreviar. (Este es el significado más típico del término "n-torus", el otro se refiere a agujeros n o del género n.) Recordando que el toroide es el producto espacial de dos círculos, el toroide n-dimensional es el producto de n círculos. Eso es:

{displaystyle mathbb {T} ^{n}=underbrace {mathbb {S} ^{1}times cdots times mathbb {S} ^{1}} _{n}.}

El estándar 1-torus es sólo el círculo: ${displaystyle mathbb {T} ^{1}=mathbb {S} ^{1}}$ . El toro discutido anteriormente es el estándar 2-torus, $mathbb{T}^2$ . Y similar al 2-torus, el n- Torus, ${mathbb {T}}^{{n}}$ puede describirse como un cociente $mathbb {R} ^{n}$ bajo cambios integrales en cualquier coordenadas. Es decir, el n- Torus es $mathbb {R} ^{n}$ modulo la acción de la integer lattice ${displaystyle mathbb {Z} ^{n}}$ (con la acción que se está adoptando como adición vectorial). Equivalentemente, el n-torus se obtiene del n- hipercubo dimensional al pegar las caras opuestas juntas.

Un n-torus en este sentido es un ejemplo de una variedad compacta n-dimensional. También es un ejemplo de un grupo de Lie abeliano compacto. Esto se deriva del hecho de que el círculo unitario es un grupo de Lie abeliano compacto (cuando se identifica con los números complejos unitarios con multiplicación). La multiplicación de grupos en el toro se define luego mediante la multiplicación por coordenadas.

Los grupos toroidales juegan un papel importante en la teoría de los grupos de Lie compactos. Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo de Lie compacto G uno siempre puede encontrar un toro máximo; es decir, un subgrupo cerrado que es un toro de la mayor dimensión posible. Dichos toros máximos T tienen un papel de control que desempeñar en la teoría de G conectado. Los grupos toroidales son ejemplos de protori, que (como tori) son grupos abelianos compactos conectados, que no requieren ser variedades.

Automorfismos de T son fácilmente construidos a partir de automorfismos de la celosía ${displaystyle mathbb {Z} ^{n}}$ , que se clasifican por matrices integrales invertibles de tamaño n con un inverso integral; estas son sólo las matrices integrales con determinante ±1. Hacer que actúen $mathbb {R} ^{n}$ de la manera habitual, uno tiene el típico automorfismo toral en el cociente.

El grupo fundamental de un n-torus es un grupo abeliano libre de rango n. El k- grupo de homología de un n-torus es un grupo abeliano libre de rango n elegir k. De ahí que la característica de Euler n- Torus es 0 para todos n. El anillo de cohomología H^•() ${mathbb {T}}^{{n}}$ ,Z) se puede identificar con el álgebra exterior sobre el Z- Mobiliario ${displaystyle mathbb {Z} ^{n}}$ cuyos generadores son los duales de los n ciclos notriviales.

Espacio de configuración

El espacio de configuración de 2 puntos no necesariamente distintos en el círculo es el cociente orbifold del 2-torus, T²/S₂, que es la tira Möbius.

El Tonnetz es un ejemplo de un toro en la teoría musical.
El Tonnetz es sólo un toro si se asume la equivalencia enharmónica, de modo que el (F Presidente A Presidente) segmento del borde derecho del paralelograma repetido se identifica con el (G bebido-B) segmento del borde izquierdo.

Como n- La tortura es n- producto del círculo, el n-torus es el espacio de configuración n ordenado, no necesariamente puntos distintos en el círculo. Simbólicamente, ${displaystyle mathbb {T} ^{n}=(mathbb {S} ^{1})^{n}}$ . El espacio de configuración sin autorización, no necesariamente puntos distintos es en consecuencia el orbifold ${displaystyle mathbb {T} ^{n}/mathbb {S} _{n}}$ , que es el cociente del toro por el grupo simétrico en n letras (permutando las coordenadas).

Para n = 2, el cociente es la tira de Möbius, la arista correspondiente a los puntos del orbifold donde coinciden las dos coordenadas. Para n = 3 este cociente puede describirse como un toro sólido de sección transversal un triángulo equilátero, con un giro; de manera equivalente, como un prisma triangular cuyas caras superior e inferior están conectadas con un giro de 1/3 (120 °): el interior tridimensional corresponde a los puntos en el 3 toroide donde las 3 coordenadas son distintas, la cara bidimensional corresponde a puntos con 2 coordenadas iguales y la 3 diferente, mientras que el borde unidimensional corresponde a puntos con las 3 coordenadas idénticas.

Estos orbifolds han encontrado aplicaciones significativas a la teoría musical en el trabajo de Dmitri Tymoczko y colaboradores (Felipe Posada, Michael Kolinas, et al.), siendo utilizados para modelar tríadas musicales.

Toroide plano

En tres dimensiones, uno puede doblar un rectángulo en un toro, pero haciendo esto normalmente estira la superficie, como se ve por la distorsión del patrón comprobado.

Visto en proyección estereográfica, un 4D torus planas se puede proyectar en 3-dimensiones y girar en un eje fijo.

El revestimiento más simple de un toro plano es {4}1,0, construido sobre la superficie de un dócilndro con 1 vértice, 2 bordes ortogonales, y una cara cuadrada. Se ve aquí estereografiadamente proyectado en 3-espacio como un torus.

Un toro plano es un toro con la métrica heredada de su representación como el cociente, ${mathbb {R}}^{{2}}$ /L, donde L es un subgrupo discreto ${mathbb {R}}^{{2}}$ isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ . Esto da al cociente la estructura de un manifold Riemanniano. Tal vez el ejemplo más simple de esto es cuando L = ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ : ${displaystyle mathbb {R} ^{2}/mathbb {Z} ^{2}}$ , que también se puede describir como el plano cartesiano bajo las identificaciones ()x, Sí.~x + 1, Sí.~x, Sí. + 1). Este toro plano particular (y cualquier versión uniformemente escalada de él) se conoce como el toro plano "cuaro".

Esta métrica del toroide cuadrado plano también se puede realizar mediante incrustaciones específicas del familiar 2-toroide en el espacio euclidiano de 4 dimensiones o dimensiones superiores. Su superficie tiene curvatura gaussiana cero en todas partes. Su superficie es plana en el mismo sentido que la superficie de un cilindro es plana. En 3 dimensiones, se puede doblar una hoja plana de papel en un cilindro sin estirar el papel, pero este cilindro no se puede doblar en un toro sin estirar el papel (a menos que se renuncien a algunas condiciones de regularidad y diferenciabilidad, ver más abajo).

Una simple incrustación euclidiana de 4 dimensiones de un toro plano rectangular (más general que el cuadrado) es la siguiente:

{displaystyle (x,y,z,w)=(Rcos u,Rsin u,Pcos v,Psin v)}

donde R y P son constantes positivas que determinan la relación de aspecto. Es difeomorfo a un toro regular pero no isométrico. No se puede incrustar analíticamente (suave de clase C^k, 2 ≤ k ≤ ∞) en espacio tridimensional euclidiano. Mapearlo en un espacio 3 requiere que uno lo estire, en cuyo caso parece un toro normal. Por ejemplo, en el siguiente mapa:

{displaystyle (x,y,z)=((R+Psin v)cos u,(R+Psin v)sin u,Pcos v).}

Si R y P en la parametrización del toro plano anterior forman un vector unitario (R, P) = (cos(η), sin(η)) luego u, v, y 0 < η < $π$ /2 parametriza la unidad 3-esfera como coordenadas Hopf. En particular, para ciertas opciones muy específicas de un toroide plano cuadrado en las 3 esferas S³, donde η = $π$ /4 arriba, el toro dividirá las 3 esferas en dos subconjuntos de toros sólidos congruentes con la superficie toroidal plana antes mencionada como su límite común. Un ejemplo es el toroide T definido por

{displaystyle T=left{(x,y,z,w)in mathbb {S} ^{3}mid x^{2}+y^{2}={frac {1}{2}}, z^{2}+w^{2}={frac {1}{2}}right}.}

Otros tori en S³ tener esta propiedad de partición incluye el tori cuadrado del formulario Q⋅T, donde Q es una rotación del espacio dimensional ${mathbb {R}}^{{4}}$ , o en otras palabras Q es miembro del grupo Lie SO(4).

Se sabe que no existe ninguna incrustación C² (dos veces continuamente diferenciable) de un toro plano en el espacio tridimensional. (La idea de la prueba es tomar una esfera grande que contenga un toro plano en su interior y reducir el radio de la esfera hasta que toque el toro por primera vez. Tal punto de contacto debe ser una tangencia. Pero eso implicaría que parte del toro, ya que tiene curvatura cero en todas partes, debe estar estrictamente fuera de la esfera, lo cual es una contradicción.) Por otro lado, según el teorema de Nash-Kuiper, que se demostró en la década de 1950, un existe incrustación isométrica C¹. Esta es únicamente una prueba de existencia y no proporciona ecuaciones explícitas para tal incrustación.

En abril de 2012, explícito C¹ (continuamente diferenciable) la incrustación de un toro plano en el espacio euclidiano tridimensional $mathbb {R} ^{3}$ fue encontrado. Es un toro plano en el sentido de que como espacios métricos, es isométrico a un toro cuadrado plano. Es similar en la estructura a un fractal ya que está construido por repetidamente ondeando un toro ordinario. Como fractales, no tiene curvatura Gausiana definida. Sin embargo, a diferencia de los fractales, tiene normalidades de superficie definidas, dando un llamado "fractal de espuma". La clave para obtener la suavidad de este toro corrugado es tener las amplitudes de las ondas sucesivas disminuyendo más rápido que sus "longitudes de onda". (Estas ondulaciones infinitamente recursivas se utilizan sólo para incrustar en tres dimensiones; no son una característica intrínseca del toro plano.) Esta es la primera vez que cualquier incrustación se definió por ecuaciones explícitas o representadas por gráficos informáticos.

Superficie de género g

En la teoría de las superficies hay otro objeto, el "género" superficie g. En lugar del producto de n círculos, una superficie de género g es la suma conectada de g dos toros. Para formar una suma conectada de dos superficies, retire de cada una el interior de un disco y "pegue" las superficies juntas a lo largo de los círculos límite. Para formar la suma conectada de más de dos superficies, suma dos de ellas a la vez hasta que estén todas conectadas. En este sentido, una superficie de género g se asemeja a la superficie de donas g pegadas una al lado de la otra, o una esfera de 2 con asas g unidas..

Como ejemplos, una superficie de género cero (sin límite) es la dos esferas, mientras que una superficie de género uno (sin límite) es el toro ordinario. Las superficies de género superior a veces se denominan toros con agujeros n (o, rara vez, toros con pliegues n). Los términos toro doble y toro triple también se utilizan ocasionalmente.

El teorema de clasificación para superficies establece que cada superficie compacta conectada es topológicamente equivalente a la esfera o la suma conectada de algún número de toros, discos y planos proyectivos reales.

género dos	género tres

Poliedros toroidales

Un poliedro toroidal con 6 × 4 = 24 caras cuadrilátricas

Los poliedros con el tipo topológico de un toro se denominan poliedros toroidales y tienen la característica de Euler V − E + F = 0. Para cualquier número de agujeros, la fórmula se generaliza a V − E + F = 2 − 2N, donde N es el número de agujeros.

El término "poliedro toroidal" también se utiliza para poliedros de género superior y para inmersiones de poliedros toroidales.

Automorfismos

El grupo homeomorfismo (o el subgrupo de diffeomorfismos) del toro se estudia en topología geométrica. Su grupo de clase de mapeo (los componentes conectados del grupo homeomorfismo) es subjetivo al grupo ${displaystyle operatorname {GL} (n,mathbb {Z})}$ de matrices enteros invertibles, que se pueden realizar como mapas lineales en el espacio de cobertura universal $mathbb {R} ^{n}$ que preservan la ropa estándar ${displaystyle mathbb {Z} ^{n}}$ (esto corresponde a coeficientes enteros) y así descender al cociente.

A nivel de homotopía y homología, el grupo de clase de mapeo puede identificarse como la acción sobre la primera homología (o de manera equivalente, la primera cohomología, o sobre el grupo fundamental, ya que todos estos son naturalmente isomorfos; también el primer grupo de cohomología genera el álgebra de cohomología:

{displaystyle operatorname {MCG} _{operatorname {Ho} }(mathbb {T} ^{n})=operatorname {Aut} (pi _{1}(X))=operatorname {Aut} (mathbb {Z} ^{n})=operatorname {GL} (n,mathbb {Z}).}

Dado que el toro es un espacio de Eilenberg-MacLane K(G, 1), sus equivalencias de homotopía, hasta la homotopía, pueden identificarse con automorfismos del grupo fundamental); todas las equivalencias de homotopía del toro pueden realizarse mediante homeomorfismos: cada equivalencia de homotopía es homotópica para un homeomorfismo.

Así, la breve secuencia exacta de las divisiones del grupo de mapeo (una identificación del torus como el cociente de $mathbb {R} ^{n}$ da una división, a través de los mapas lineales, como arriba):

{displaystyle 1to operatorname {Homeo} _{0}(mathbb {T} ^{n})to operatorname {Homeo} (mathbb {T} ^{n})to operatorname {MCG} _{operatorname {TOP} }(mathbb {T} ^{n})to 1.}

El grupo de clase de mapeo de superficies de género superior es mucho más complicado y es un área de investigación activa.

Colorear un toroide

El número cromático del toro es siete, lo que significa que cada gráfico que puede ser incrustado en el toro tiene un número cromático de la mayoría siete. (Desde el gráfico completo ${displaystyle {mathsf {K_{7}}}}$ puede ser incrustado en el torus, y ${displaystyle chi ({mathsf {K_{7}}})=7}$ , el borde superior es apretado.) Equivalentemente, en un toro dividido en regiones, siempre es posible colorear las regiones usando no más de siete colores para que ninguna región vecina sea el mismo color. (Contraste con el teorema de cuatro colores para el avión.)

Esta construcción muestra el toro dividido en siete regiones, cada una de las cuales toca cada una, lo que significa que cada uno debe ser asignado un color único.

Toro de De Bruijn

Modelo STL de Bruijn torus (16,32;3,3)₂ con 1s como paneles y 0s como agujeros en la malla – con orientación consistente, cada matriz 3×3 aparece exactamente una vez

En matemáticas combinatorias, un toroide de Bruijn es una matriz de símbolos de un alfabeto (a menudo solo 0 y 1) que contiene cada m-por- n matriz exactamente una vez. Es un toro porque los bordes se consideran envolventes con el fin de encontrar matrices. Su nombre proviene de la sucesión de De Bruijn, que puede considerarse un caso especial donde n es 1 (una dimensión).

Cortar un toroide

Un toro de revolución sólido puede ser cortado por n (> 0) planos en máximo

{displaystyle {begin{pmatrix}n+2\n-1end{pmatrix}}+{begin{pmatrix}n\n-1end{pmatrix}}={tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)}

partes.

Los primeros 11 números de partes, para 0 ≤ n ≤ 10 (incluido el caso de n = 0, no cubierto por las fórmulas anteriores), son los siguientes:

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230... A003600 en el OEIS).

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