Axioma de elección

Ilustración del axioma de elección, con cada S_i representado como un frasco y con sus elementos representados como mármoles. Cada uno x_i está representado como un mármol a la derecha. Los colores se utilizan para destacar la asociación de mármoles después de la aplicación del axioma de elección.

(S_i) es una familia infinita de conjuntos indexados sobre los números reales R; es decir, hay un conjunto S_i para cada número real i, con una pequeña muestra mostrada arriba. Cada conjunto contiene al menos uno, y posiblemente infinitamente muchos elementos. El axioma de elección nos permite seleccionar arbitrariamente un único elemento de cada conjunto, formando una familia correspondiente de elementos (x_i) también indexado sobre los números reales, con x_i de S_i. En general, las colecciones pueden ser indexadas sobre cualquier conjunto I, (llamado índice que elementos se utilizan como índices para elementos en un conjunto) no sólo R.

En matemáticas, la axioma de elección, o AC, es un axioma de la teoría de conjunto equivalente a la afirmación de que a Cartesian product of a collection of non-empty sets is non-empty. Dicho informalmente, el axioma de elección dice que dado cualquier colección de conjuntos, cada uno que contiene al menos un elemento, es posible construir un nuevo conjunto mediante la elección arbitraria de un elemento de cada conjunto, incluso si la colección es infinita. Formally, afirma que para cada familia indexada ()Si)i▪ ▪ I{displaystyle (S_{i})_{iin I} de conjuntos no vacíos, existe un conjunto indexado ()xi)i▪ ▪ I{displaystyle (x_{i})_{iin I} tales que xi▪ ▪ Si{displaystyle x_{i}in S_{i} para todos i▪ ▪ I{displaystyle iin I}. El axioma de elección fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo para formalizar su prueba del teorema bien ordenado.

En muchos casos, un conjunto que surge de elegir elementos arbitrariamente se puede hacer sin invocar el axioma de elección; este es, en particular, el caso si el número de conjuntos entre los que elegir los elementos es finito, o si se dispone de una regla canónica sobre cómo elegir los elementos, alguna propiedad distintiva que se cumple exactamente para un elemento en cada conjunto.. Un ejemplo ilustrativo son los conjuntos seleccionados de los números naturales. De tales conjuntos, siempre se puede seleccionar el número más pequeño, p. dados los conjuntos {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}} el conjunto que contiene cada elemento más pequeño es {4, 10, 1}. En este caso, "seleccione el número más pequeño" es una función de elección. Incluso si se recolectaran infinitos conjuntos de los números naturales, siempre será posible elegir el elemento más pequeño de cada conjunto para producir un conjunto. Es decir, la función de elección proporciona el conjunto de elementos elegidos. Sin embargo, no se conoce ninguna función de elección definida para la colección de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales (si hay reales no construibles). En ese caso, se debe invocar el axioma de elección.

Bertrand Russell acuñó una analogía: para cualquier colección (incluso infinita) de pares de zapatos, uno puede elegir el zapato izquierdo de cada par para obtener una colección adecuada (es decir, un juego) de zapatos; esto hace posible definir una función de elección directamente. Para una colección infinita de pares de calcetines (que se supone que no tienen características distintivas), no hay una manera obvia de hacer una función que forme un conjunto de seleccionar un calcetín de cada par, sin invocar el axioma de elección.

Aunque originalmente controvertido, el axioma de elección ahora se utiliza sin reservas por la mayoría de los matemáticos, y se incluye en la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC). Una motivación para este uso es que varios resultados matemáticos generalmente aceptados, como el teorema de Tychonoff, requieren el axioma de elección para sus pruebas. Los teóricos de conjuntos contemporáneos también estudian axiomas que no son compatibles con el axioma de elección, como el axioma de determinación. El axioma de elección se evita en algunas variedades de matemáticas constructivas, aunque hay variedades de matemáticas constructivas en las que se adopta el axioma de elección.

Declaración

Una función de elección (también llamada selector o selección) es una función f, definida en una colección X de conjuntos no vacíos, tal que para cada conjunto A en X, f(A) es un elemento de A. Con este concepto, se puede enunciar el axioma:

Formalmente, esto puede expresarse de la siguiente manera:

О О X[∅ ∅ ∉ ∉ X⟹ ⟹ ∃ ∃ f:: X→ → ⋃ ⋃ XО О A▪ ▪ X()f()A)▪ ▪ A)].{displaystyle forall Xleft[varnothing notin Ximplies exists fcolon Xrightarrow bigcup Xquad forall Ain X,(f(A)in A)right],.}

Así, la negación del axioma de elección establece que existe una colección de conjuntos no vacíos que no tienen función de elección. ()p→ → q⟺ ⟺ ¬ ¬ [p∧ ∧ ()¬ ¬ q)]{displaystyle prightarrow qLongleftrightarrow lnot [pland (lnot q)}Así que ¬ ¬ ()p→ → q)⟺ ⟺ p∧ ∧ ()¬ ¬ q){displaystyle lnot (prightarrow q)Longleftrightarrow pland (lnot q)} Donde ¬ ¬ {displaystyle lnot } es negación.)

Cada función de elección en una colección X de conjuntos no vacíos es un elemento del producto cartesiano de los conjuntos en X. Esta no es la situación más general de un producto cartesiano de una familia de conjuntos, donde un conjunto dado puede ocurrir más de una vez como factor; sin embargo, uno puede enfocarse en elementos de tal producto que seleccionan el mismo elemento cada vez que un conjunto dado aparece como factor, y tales elementos corresponden a un elemento del producto cartesiano de todos los conjuntos distintos en la familia. El axioma de elección afirma la existencia de tales elementos; por lo tanto es equivalente a:

Dada cualquier familia de conjuntos no vacíos, su producto cartesiano es un conjunto no vacío.

Nomenclatura ZF, AC y ZFC

En este artículo y en otras discusiones sobre el Axioma de Elección, las siguientes abreviaturas son comunes:

• AC – el Axioma de la Elección.
• ZF – Zermelo–Fraenkel fijó teoría omitiendo el Axioma de la Elección.
• ZFC – Zermelo–Fraenkel teoría de conjunto, extendida para incluir el Axioma de la Elección.

Variantes

Hay muchas otras declaraciones equivalentes del axioma de elección. Estos son equivalentes en el sentido de que, en presencia de otros axiomas básicos de la teoría de conjuntos, implican el axioma de elección y están implícitos en él.

Una variación evita el uso de funciones de elección al reemplazar cada función de elección con su rango.

Dado cualquier conjunto X de conjuntos destilados pares, existe al menos un conjunto C que contiene exactamente un elemento en común con cada uno de los conjuntos en X.

Esto garantiza para cualquier partición de un conjunto X la existencia de un subconjunto C de X que contiene exactamente un elemento de cada parte del dividir.

Otro axioma equivalente solo considera colecciones X que son esencialmente conjuntos potencia de otros conjuntos:

Para cualquier conjunto A, el conjunto de potencia de A (con el conjunto vacío eliminado) tiene una función de elección.

Los autores que usan esta formulación a menudo hablan de la función de elección en A, pero esta es una noción ligeramente diferente de función de elección. Su dominio es el conjunto potencia de A (con el conjunto vacío eliminado), por lo que tiene sentido para cualquier conjunto A, mientras que con la definición utilizada en otras partes de este artículo, el el dominio de una función de elección en una colección de conjuntos es esa colección, por lo que solo tiene sentido para conjuntos de conjuntos. Con esta noción alternativa de función de elección, el axioma de elección puede expresarse de manera compacta como

Cada conjunto tiene una función de elección.

que es equivalente a

Para cualquier conjunto A hay una función f tales que para cualquier subconjunto B no vacío A, f()B) mentiras en B.

La negación del axioma se puede expresar así como:

Hay un juego A tal que para todas las funciones f (sobre el conjunto de subconjuntos no vacíos de AHay un B tales que f()B) no miente en B.

Restricción a conjuntos finitos

La declaración habitual del axioma de elección no especifica si la colección de conjuntos no vacíos es finita o infinita y, por lo tanto, implica que cada colección finita de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, ese caso particular es un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF); se prueba fácilmente por el principio de inducción finita. En el caso aún más simple de una colección de un conjunto, una función de elección solo corresponde a un elemento, por lo que esta instancia del axioma de elección dice que todo conjunto no vacío tiene un elemento; esto se sostiene trivialmente. Se puede considerar que el axioma de elección afirma la generalización de esta propiedad, ya evidente para colecciones finitas, a colecciones arbitrarias.

Uso

Hasta finales del siglo XIX, el axioma de elección a menudo se usaba implícitamente, aunque aún no se había declarado formalmente. Por ejemplo, después de haber establecido que el conjunto X contiene solo conjuntos no vacíos, un matemático podría haber dicho "sea F(s) ser uno de los miembros de s para todos los s en X" para definir una función F. En general, es imposible probar que F existe sin el axioma de elección, pero esto parece haber pasado desapercibido hasta Zermelo.

Ejemplos

La naturaleza de los conjuntos individuales no vacíos en la colección puede hacer posible evitar el axioma de elección incluso para ciertas colecciones infinitas. Por ejemplo, suponga que cada miembro de la colección X es un subconjunto no vacío de los números naturales. Cada uno de estos subconjuntos tiene un elemento más pequeño, por lo que para especificar nuestra función de elección, simplemente podemos decir que asigna cada conjunto al elemento mínimo de ese conjunto. Esto nos da una elección definida de un elemento de cada conjunto y hace innecesario agregar el axioma de elección a nuestros axiomas de la teoría de conjuntos.

La dificultad aparece cuando no hay elección natural de elementos de cada conjunto. Si no podemos hacer elecciones explícitas, ¿cómo sabemos que nuestra selección forma un conjunto legítimo (como lo definen los otros axiomas ZF de la teoría de conjuntos)? Por ejemplo, suponga que X es el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales. Primero podríamos tratar de proceder como si X fuera finito. Si tratamos de elegir un elemento de cada conjunto, entonces, debido a que X es infinito, nuestro procedimiento de elección nunca terminará y, en consecuencia, nunca podremos producir una función de elección para todos de X. A continuación, podríamos intentar especificar el elemento mínimo de cada conjunto. Pero algunos subconjuntos de los números reales no tienen elementos mínimos. Por ejemplo, el intervalo abierto (0,1) no tiene un elemento mínimo: si x está en (0,1), entonces también lo está x/2, y x/2 siempre es estrictamente menor que x. Así que este intento también falla.

Además, considere, por ejemplo, el círculo unitario S y la acción sobre S de un grupo G que consta de todas las rotaciones racionales. Es decir, se trata de rotaciones por ángulos que son múltiplos racionales de π. Aquí G es contable mientras que S es incontable. Por lo tanto, S se divide en innumerables órbitas bajo G. Usando el axioma de elección, podríamos elegir un solo punto de cada órbita, obteniendo un subconjunto incontable X de S con la propiedad de que todas sus traslaciones por G son disjuntas de X. El conjunto de esos traduce divide el círculo en una colección contable de conjuntos disjuntos, que son todos congruentes por pares. Dado que X no se puede medir para ninguna medida finita contablemente aditiva invariable en rotación en S, encontrar un algoritmo para formar un conjunto a partir de la selección de un punto en cada órbita requiere que se sume el axioma de elección a nuestros axiomas de la teoría de conjuntos. Ver conjunto no medible para más detalles.

La razón por la que podemos elegir los elementos mínimos de los subconjuntos de los números naturales es el hecho de que los números naturales están bien ordenados: cada subconjunto no vacío de los números naturales tiene un único elemento mínimo bajo el ordenamiento natural. Se podría decir, 'Aunque el orden habitual de los números reales no funciona, es posible encontrar un orden diferente de los números reales que es un buen orden. Entonces nuestra función de elección puede elegir el elemento mínimo de cada conjunto bajo nuestro orden inusual." El problema entonces se convierte en el de construir un buen ordenamiento, que resulta requerir el axioma de elección para su existencia; cada conjunto puede estar bien ordenado si y solo si se cumple el axioma de elección.

Crítica y aceptación

Una prueba que requiera el axioma de elección puede establecer la existencia de un objeto sin definir explícitamente el objeto en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, mientras que el axioma de elección implica que hay un buen ordenamiento de los números reales, existen modelos de teoría de conjuntos con el axioma de elección en los que no es definible un buen ordenamiento de los números reales. De manera similar, aunque se puede demostrar que existe un subconjunto de los números reales que no es medible según Lebesgue usando el axioma de elección, es consistente que tal conjunto no es definible.

El axioma de elección prueba la existencia de estos intangibles (objetos que se demuestra que existen, pero que no se pueden construir explícitamente), que pueden entrar en conflicto con algunos principios filosóficos. Debido a que no existe un buen orden canónico de todos los conjuntos, una construcción que se basa en un buen orden puede no producir un resultado canónico, incluso si se desea un resultado canónico (como suele ser el caso en la teoría de categorías). Esto se ha utilizado como argumento en contra del uso del axioma de elección.

Otro argumento en contra del axioma de elección es que implica la existencia de objetos que pueden parecer contradictorios. Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski, que dice que es posible descomponer la bola unitaria sólida tridimensional en un número finito de piezas y, usando solo rotaciones y traslaciones, volver a ensamblar las piezas en dos bolas sólidas, cada una con el mismo volumen que la original.. Las piezas de esta descomposición, construidas mediante el axioma de elección, son conjuntos no medibles.

A pesar de estos hechos aparentemente paradójicos, la mayoría de los matemáticos aceptan el axioma de elección como un principio válido para probar nuevos resultados en matemáticas. Sin embargo, el debate es lo suficientemente interesante como para que se considere importante cuando un teorema en ZFC (ZF más AC) es lógicamente equivalente (con solo los axiomas de ZF) al axioma de elección, y los matemáticos buscan resultados que requieren el axioma de elección sea falsa, aunque este tipo de deducción es menos común que el tipo que requiere que el axioma de elección sea verdadero.

Es posible probar muchos teoremas usando ni el axioma de elección ni su negación; dichas declaraciones serán verdaderas en cualquier modelo de ZF, independientemente de la verdad o falsedad del axioma de elección en ese modelo en particular. La restricción a ZF hace que cualquier afirmación que se base en el axioma de elección o en su negación sea indemostrable. Por ejemplo, la paradoja de Banach-Tarski no es demostrable ni refutable solo a partir de ZF: es imposible construir la descomposición requerida de la bola unitaria en ZF, pero también es imposible demostrar que no existe tal descomposición. De manera similar, todas las declaraciones enumeradas a continuación que requieren elección o alguna versión más débil de las mismas para su prueba no son demostrables en ZF, pero dado que cada una es demostrable en ZF más el axioma de elección, hay modelos de ZF en los que cada declaración es verdadera. Los enunciados como la paradoja de Banach-Tarski se pueden reformular como enunciados condicionales, por ejemplo, "Si AC se cumple, entonces existe la descomposición en la paradoja de Banach-Tarski". Dichos enunciados condicionales son demostrables en ZF cuando los enunciados originales son demostrables a partir de ZF y el axioma de elección.

En matemáticas constructivas

Como se discutió anteriormente, en ZFC, el axioma de elección puede proporcionar "pruebas no constructivas" en el que se prueba la existencia de un objeto aunque no se construya un ejemplo explícito. ZFC, sin embargo, todavía está formalizado en la lógica clásica. El axioma de elección también se ha estudiado a fondo en el contexto de las matemáticas constructivas, donde se emplea la lógica no clásica. El estado del axioma de elección varía entre diferentes variedades de matemáticas constructivas.

En la teoría de tipos de Martin-Löf y en la aritmética de Heyting de orden superior, el enunciado apropiado del axioma de elección se incluye (dependiendo del enfoque) como un axioma o se puede demostrar como un teorema. Errett Bishop argumentó que el axioma de elección era constructivamente aceptable, diciendo

Una función de elección existe en matemáticas constructivas, porque una elección es implícita por el significado mismo de la existencia.

Sin embargo, en la teoría de conjuntos constructiva, el teorema de Diaconescu muestra que el axioma de elección implica la ley del tercero excluido (a diferencia de la teoría de tipos de Martin-Löf, donde no es así). Por lo tanto, el axioma de elección generalmente no está disponible en la teoría de conjuntos constructiva. Una causa de esta diferencia es que el axioma de elección en la teoría de tipos no tiene las propiedades de extensionalidad que tiene el axioma de elección en la teoría constructiva de conjuntos.

Algunos resultados en la teoría de conjuntos constructiva utilizan el axioma de elección contable o el axioma de elección dependiente, que no implican la ley del tercero excluido en la teoría de conjuntos constructiva. Aunque el axioma de elección contable en particular se usa comúnmente en matemáticas constructivas, su uso también ha sido cuestionado.

Independencia

En 1938, Kurt Gödel demostró que la negación del axioma de elección no es un teorema de ZF al construir un modelo interno (el universo construible) que satisface ZFC y así demostrar que ZFC es consistente si ZF en sí es consistente. En 1963, Paul Cohen empleó la técnica de forzar, desarrollada para este propósito, para demostrar que, asumiendo que ZF es consistente, el axioma de elección en sí mismo no es un teorema de ZF. Hizo esto construyendo un modelo mucho más complejo que satisface ZF¬C (ZF con la negación de AC añadida como axioma) y mostrando así que ZF¬C es consistente.

Juntos, estos resultados establecen que el axioma de elección es lógicamente independiente de ZF. La suposición de que ZF es consistente es inofensiva porque agregar otro axioma a un sistema ya inconsistente no puede empeorar la situación. Debido a la independencia, la decisión de usar el axioma de elección (o su negación) en una prueba no puede tomarse apelando a otros axiomas de la teoría de conjuntos. La decisión debe tomarse por otros motivos.

Un argumento dado a favor de usar el axioma de elección es que es conveniente usarlo porque permite probar algunas proposiciones simplificadas que de otro modo no podrían probarse. Muchos teoremas que son demostrables mediante elección son de un carácter general elegante: las cardinalidades de dos conjuntos cualesquiera son comparables, todo anillo no trivial con unidad tiene un ideal maximal, todo espacio vectorial tiene una base, todo grafo conexo tiene un árbol de expansión y todo producto de espacios compactos es compacto, entre muchos otros. Sin el axioma de elección, estos teoremas pueden no ser válidos para objetos matemáticos de gran cardinalidad.

El resultado de la demostración de la independencia también muestra que una amplia clase de enunciados matemáticos, incluidos todos los enunciados que se pueden expresar en el lenguaje de la aritmética de Peano, son demostrables en ZF si y solo si son demostrables en ZFC. Los enunciados de esta clase incluyen el enunciado de que P = NP, la hipótesis de Riemann y muchos otros problemas matemáticos sin resolver. Cuando uno intenta resolver problemas de esta clase, no importa si se emplea ZF o ZFC si la única pregunta es la existencia de una demostración. Sin embargo, es posible que haya una demostración más corta de un teorema de ZFC que de ZF.

El axioma de elección no es la única declaración significativa que es independiente de ZF. Por ejemplo, la hipótesis del continuo generalizado (GCH) no solo es independiente de ZF, sino también independiente de ZFC. Sin embargo, ZF más GCH implica AC, lo que hace que GCH sea un reclamo estrictamente más fuerte que AC, aunque ambos son independientes de ZF.

Axiomas más fuertes

El axioma de constructibilidad y la hipótesis del continuo generalizado implican cada uno el axioma de elección y, por lo tanto, son estrictamente más fuertes que él. En las teorías de clases, como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley, hay un axioma llamado axioma de elección global que es más fuerte que el axioma de elección de conjuntos porque también se aplica a las clases adecuadas. El axioma de elección global se deriva del axioma de limitación de tamaño. El axioma de Tarski, que se utiliza en la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck y establece (en la lengua vernácula) que cada conjunto pertenece a algún universo de Grothendieck, es más fuerte que el axioma de elección.

Equivalentes

Hay declaraciones importantes que, asumiendo los axiomas de ZF pero ni AC ni ¬AC, son equivalentes al axioma de elección. Los más importantes entre ellos son el lema de Zorn y el teorema del buen orden. De hecho, Zermelo inicialmente introdujo el axioma de elección para formalizar su demostración del teorema del buen orden.

• Teoría de conjunto
  • Teorema de Tarski sobre elección: Para cada conjunto infinito A, hay un mapa bijetivo entre los conjuntos A y A×A.
  • Tricotomía: Si se dan dos conjuntos, entonces o tienen la misma cardenalidad, o uno tiene una cardenalidad más pequeña que la otra.
  • Dados dos conjuntos no vacíos, uno tiene una subjeción al otro.
  • Cada función subjetiva tiene un inverso derecho.
  • El producto cartesiano de cualquier familia de conjuntos no vacíos no es vacío. En otras palabras, cada familia de conjuntos no vacíos tiene una función de elección (i.e. a función que mapea cada uno de los conjuntos no vacíos a uno de sus elementos).
  • El teorema de König: Coloquialmente, la suma de una secuencia de cardenales es estrictamente menos que el producto de una secuencia de cardenales más grandes. (La razón para el término "colloquialmente" es que la suma o producto de una "sequencia" de los cardenales no puede definirse sin algún aspecto del axioma de elección.)
  • Teorema de orden: Cada conjunto puede ser bien ordenado. En consecuencia, cada cardenal tiene un ordinal inicial.
  • Cada elemento de un conjunto parcialmente ordenado S es el elemento mínimo de un subconjunto bien ordenado que no tiene un límite superior estricto en S.
  • La lema de Zorn: Cada non-empty parcialmente ordenado conjunto en el que cada cadena (i.e., subconjunto totalmente ordenado) tiene un límite superior contiene por lo menos un elemento maximal.
  • Hausdorff principio máximo: Cada conjunto parcialmente ordenado tiene una cadena máxima. Equivalentemente, en cualquier conjunto parcialmente ordenado, cada cadena se puede extender a una cadena máxima.
  • Tukey's lemma: Cada colección no vacía de carácter finito tiene un elemento maximal con respecto a la inclusión.
  • Principio antichain: Cada conjunto parcialmente ordenado tiene un antichain maximal. Equivalentemente, en cualquier conjunto parcialmente ordenado, cada antichain se puede extender a un antichain maximal.
• Álgebra abstracta
  • Cada espacio vectorial tiene una base (i.e., un subconjunto linealmente independiente. En otras palabras, los espacios vectoriales son equivalentes a módulos gratuitos.
  • El teorema de Krull: Cada anillo unitario (excepto el anillo trivial) contiene un ideal máximo. Equivalentemente, en cualquier anillo unitario notrivial, cada ideal puede ser extendido a un ideal máximo.
  • Para cada conjunto no vacío S hay una operación binaria definida en S que le da una estructura de grupo. (Una operación binaria cancelada es suficiente, vea la estructura del grupo y el axioma de elección.)
  • Cada grupo abeliano libre es proyectivo.
  • El criterio de Baer: Cada grupo abeliano divisible es inyectable.
  • Cada conjunto es un objeto proyector en la categoría Set de conjuntos.
• Análisis funcional
  • La bola de unidad cerrada de la dualidad de un espacio vectorial normal sobre los reales tiene un punto extremo.
• Topología de punta
  • El producto cartesiano de cualquier familia de espacios topológicos conectados está conectado.
  • Teorema de Tychonoff: El producto cartesiano de cualquier familia de espacios topológicos compactos es compacto.
  • En la topología del producto, el cierre de un producto de subconjuntos es igual al producto de los cierres.
• Lógica matemática
  • Si S es un conjunto de oraciones de primera orden lógica y B es un subconjunto consistente de S, entonces B se incluye en un conjunto que es maximal entre subconjuntos consistentes de S. El caso especial donde S es el conjunto de Todos Las oraciones de primera orden en una firma dada es más débil, equivalente al teorema ideal de Boolean; vea la sección "Formas de Weaker" a continuación.
• Topología algebraica
  • Cada gráfico conectado tiene un árbol de azotes. Equivalentemente, cada gráfico no vacío tiene un bosque azotado.

Teoría de categorías

Hay varios resultados en la teoría de categorías que invocan el axioma de elección para su prueba. Estos resultados pueden ser más débiles, equivalentes o más fuertes que el axioma de elección, dependiendo de la solidez de los fundamentos técnicos. Por ejemplo, si se definen categorías en términos de conjuntos, es decir, como conjuntos de objetos y morfismos (normalmente llamados categoría pequeña), o incluso categorías localmente pequeñas, cuyos hom-objetos son conjuntos, entonces no existe una categoría de todos los conjuntos., por lo que es difícil que una formulación de teoría de categorías se aplique a todos los conjuntos. Por otro lado, otras descripciones fundamentales de la teoría de categorías son considerablemente más fuertes, y una declaración de elección teórica de categorías idéntica puede ser más fuerte que la formulación estándar, a la teoría de clases, mencionada anteriormente.

Ejemplos de enunciados teóricos de categorías que requieren elección incluyen:

• Cada pequeña categoría tiene un esqueleto.
• Si dos categorías pequeñas son débilmente equivalentes, entonces son equivalentes.
• Cada functor continuo en una categoría pequeña-completa que satisface la condición adecuada de conjunto de solución tiene un conjunto izquierdo-adjoint (el teorema de funcionista adjoint Freyd).

Formas más débiles

Hay varias declaraciones más débiles que no son equivalentes al axioma de elección, pero están estrechamente relacionadas. Un ejemplo es el axioma de elección dependiente (DC). Un ejemplo aún más débil es el axioma de elección contable (AC_ω o CC), que establece que existe una función de elección para cualquier conjunto contable de conjuntos no vacíos. Estos axiomas son suficientes para muchas pruebas en el análisis matemático elemental y son consistentes con algunos principios, como la mensurabilidad de Lebesgue de todos los conjuntos de reales, que son refutables a partir del axioma de elección completo.

Dado un parámetro ordinal α ≥ ω+2 — para cada conjunto S con rango menor que α, S es bien ordenable. Dado un parámetro ordinal α ≥ 1, para cada conjunto S con un número de Hartogs menor que ω_α, S es bien ordenable. A medida que aumenta el parámetro ordinal, estos se aproximan cada vez más al axioma de elección completo.

Otros axiomas de elección más débiles que el axioma de elección incluyen el teorema del ideal primo booleano y el axioma de uniformización. El primero es equivalente en ZF al lema del ultrafiltro de 1930 de Tarski: cada filtro es un subconjunto de algún ultrafiltro.

Resultados que requieren AC (o formas más débiles) pero más débiles que él

Uno de los aspectos más interesantes del axioma de elección es la gran cantidad de lugares en matemáticas que muestra. Aquí hay algunas afirmaciones que requieren el axioma de elección en el sentido de que no se pueden probar con ZF pero sí con ZFC (ZF más AC). De manera equivalente, estas afirmaciones son verdaderas en todos los modelos de ZFC pero falsas en algunos modelos de ZF.

• Teoría de conjunto
  • El ultrafilter lemma (con ZF) se puede utilizar para probar el Axioma de elección para conjuntos finitos: Dado Iل ل ∅ ∅ {displaystyle I 'neq varnothing } y una colección ()Xi)i▪ ▪ I{displaystyle left(X_{i}right)_{iin I} of non-empty finito juegos, su producto ∏ ∏ i▪ ▪ IXi{displaystyle prod _{iin Yo... no está vacío.
  • La unión de cualquier familia contable de conjuntos contables es contable (esto requiere elección contable pero no el axioma completo de elección).
  • Si el set A es infinita, entonces existe una inyección de los números naturales N a A (ver Dedekind infinite).
  • Ocho definiciones de un conjunto finito son equivalentes.
  • Cada juego infinito GS{displaystyle G_{S} en que S{displaystyle S. es un subconjunto Borel del espacio de Baire está determinado.
• Measure theory
  • El teorema de Vitali sobre la existencia de conjuntos no mensurables que afirma que hay un subconjunto de los números reales que no es mensurable Lebesgue.
  • La paradoja Hausdorff.
  • La paradoja Banach-Tarski.
• Álgebra
  • Cada campo tiene un cierre algebraico.
  • Cada extensión de campo tiene una base de trascendencia.
  • Cada campo vectorial infinita contiene un subconjunto infinitamente independiente (esto requiere elección dependiente, pero no el axioma completo de elección).
  • El teorema de representación de Piedra para álgebras booleanas necesita el teorema ideal booleano.
  • El teorema Nielsen-Schreier, que cada subgrupo de un grupo libre es libre.
  • Los grupos aditivos R y C son isomorfos.
• Análisis funcional
  • El teorema Hahn-Banach en análisis funcional, permitiendo la extensión de las funciones lineales
  • El teorema de que cada espacio Hilbert tiene una base ortonormal.
  • El Teorema Banach-Alaoglu sobre la compactidad de conjuntos de funcionales.
  • El teorema de la categoría Baire sobre los espacios métricos completos, y sus consecuencias, como el teorema de mapa abierto y el teorema de gráfico cerrado.
  • En cada espacio vectorial topológico infinita hay un mapa lineal discontinua.
• Topología general
  • Un espacio uniforme es compacto si es completo y totalmente atado.
  • Cada espacio Tychonoff tiene una compactación Stone-Čech.
• Lógica matemática
  • El teorema de integridad de Gödel para la lógica de primer orden: cada conjunto consistente de oraciones de primer orden tiene una terminación. Es decir, cada conjunto consistente de oraciones de primer orden se puede extender a un conjunto máximo consistente.
  • El teorema de compactidad: Si .. {displaystyle Sigma } es un conjunto de oraciones de primer orden (o alternativamente, cero-orden) tal que cada subconjunto finito de .. {displaystyle Sigma } tiene un modelo, entonces .. {displaystyle Sigma } tiene un modelo.

Posiblemente implicaciones equivalentes de AC

Hay varios enunciados teóricos de conjuntos históricamente importantes implícitos en AC cuya equivalencia con AC está abierta. El principio de partición, que fue formulado antes del mismo AC, fue citado por Zermelo como justificación para creer en AC. En 1906, Russell declaró que PP era equivalente, pero si el principio de partición implica que AC sigue siendo el problema abierto más antiguo en la teoría de conjuntos, y las equivalencias de las otras declaraciones son problemas abiertos igualmente difíciles. En todos los modelos conocidos de ZF donde falla la elección, estas declaraciones también fallan, pero se desconoce si pueden mantenerse sin elección.

• Teoría de conjunto
  • Principio de la partición: si hay una subjeción de A a B, hay una inyección de B a A. Equivalentemente, cada partición P de un conjunto S es menor o igual a S en tamaño.
  • Converse Schröder–Bernstein theorem: si dos conjuntos tienen subjeciones entre sí, son equinumerosos.
  • Principio de partición débil: si hay una inyección y un surjection de A a B, entonces A y B son equinosos. Equivalentemente, una partición de un conjunto S no puede ser estrictamente mayor que S. Si WPP sostiene, esto ya implica la existencia de un conjunto no mensurable. Cada una de las tres declaraciones anteriores está implícita por la anterior, pero se desconoce si se puede invertir alguna de estas consecuencias.
  • No hay una secuencia infinita decreciente de cardenales. La equivalencia fue conjeturada por Schoenflies en 1905.
• Álgebra abstracta
  • Hahn incrustando teorema: Cada grupo abeliano ordenado G orden-embeds como subgrupo del grupo aditivo RΩ Ω {displaystyle mathbb {R} } {Omega} dotada de una orden lexicográfica, donde Ω es el conjunto de clases de equivalencia arquímica G. Esta equivalencia fue conjeturada por Hahn en 1907.

Formas más fuertes de la negación de AC

Si abreviamos por BP la afirmación de que todo conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire, entonces BP es más fuerte que ¬AC, lo que afirma la inexistencia de cualquier función de elección en quizás solo un único conjunto de conjuntos no vacíos. Las negaciones fortalecidas pueden ser compatibles con formas debilitadas de AC. Por ejemplo, ZF + DC + BP es consistente, si ZF lo es.

También es consistente con ZF + DC que cada conjunto de reales es medible según Lebesgue; sin embargo, este resultado de consistencia, debido a Robert M. Solovay, no se puede probar en ZFC en sí mismo, sino que requiere una suposición cardinal grande leve (la existencia de un cardinal inaccesible). El axioma de determinación, o AD, mucho más fuerte, implica que todo conjunto de reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de Baire y tiene la propiedad del conjunto perfecto (los tres resultados son refutados por el mismo AC). ZF + DC + AD es consistente siempre que un axioma cardinal grande suficientemente fuerte sea consistente (la existencia de infinitos cardinales de Woodin).

El sistema de teoría axiomática de conjuntos de Quine, "New Foundations" (NF), toma su nombre del título ("Nuevos fundamentos para la lógica matemática") del artículo de 1937 que lo presentó. En el sistema axiomático NF, el axioma de elección puede ser refutado.

Declaraciones consistentes con la negación de AC

Hay modelos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en los que el axioma de elección es falso. Abreviaremos "Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más la negación del axioma de elección" por ZF¬C. Para ciertos modelos de ZF¬C, es posible probar la negación de algunos hechos estándar. Cualquier modelo de ZF¬C es también un modelo de ZF, por lo que para cada una de las siguientes declaraciones, existe un modelo de ZF en el que esa declaración es verdadera.

• Hay un conjunto que se puede dividir en clases de equivalencia estrictamente más que el conjunto original tiene elementos, y una función cuyo dominio es estrictamente menor que su rango. De hecho, este es el caso en todos conocido modelos.
• Hay una función f de los números reales a los números reales tal que f no es continuo a, pero f es secuencialmente continuo aPara cualquier secuencia {x_nConvergiendo a, lim_n fx_n)=f(a).
• Hay un conjunto infinito de números reales sin un subconjunto contablemente infinito.
• Los números reales son una unión contable de conjuntos contables. Esto no implica que los números reales sean contables: Como se señaló anteriormente, para demostrar que una unión contable de conjuntos contables es en sí mismo contable requiere el Axioma de elección contable.
• Hay un campo sin cierre algebraico.
• En todos los modelos de ZF¬ C hay un espacio vectorial sin base.
• Hay un espacio vectorial con dos bases de diferentes cardenalidades.
• Hay un álgebra booleana completa libre con muchos generadores.
• Hay un conjunto que no puede ser ordenado linealmente.
• Existe un modelo de ZF¬C en el que cada conjunto en Rⁿ es mensurable. Por lo tanto, es posible excluir resultados contraintuitivos como la paradoja Banach-Tarski que son provables en ZFC. Además, esto es posible a la vez que se asume el Axioma de elección dependiente, que es más débil que AC pero suficiente para desarrollar la mayor parte de análisis real.
• En todos los modelos de ZF¬C, la hipótesis continuum generalizada no sostiene.

Para ver las pruebas, consulte Jech (2008).

Además, al imponer condiciones de definibilidad a los conjuntos (en el sentido de la teoría descriptiva de conjuntos), a menudo se pueden probar versiones restringidas del axioma de elección a partir de axiomas incompatibles con la elección general. Esto aparece, por ejemplo, en el lema de codificación de Moschovakis.

Axioma de elección en teoría de tipos

En la teoría de tipos, un tipo diferente de afirmación se conoce como axioma de elección. Esta forma comienza con dos tipos, σ y τ, y una relación R entre objetos de tipo σ y objetos de tipo τ. El axioma de elección establece que si para cada x de tipo σ existe una y de tipo τ tal que R(x,y), entonces hay una función f de objetos de tipo σ a objetos de tipo τ tal que R(x,f(x)) se cumple para todos los x de tipo σ:

()О О xσ σ )()∃ ∃ Sí.τ τ )R()x,Sí.)→ → ()∃ ∃ fσ σ → → τ τ )()О О xσ σ )R()x,f()x)).{displaystyle (forall x^{sigma })(exists y^{tau })R(x,y)to (exists f^{sigmato tau })(forall x^{sigma })R(x,f(x)). }

A diferencia de la teoría de conjuntos, el axioma de elección en la teoría de tipos generalmente se establece como un esquema de axioma, en el que R varía en todas las fórmulas o en todas las fórmulas de una forma lógica particular.

Citas

El axioma de la elección es obviamente cierto, el principio bien ordenado obviamente falso, ¿y quién puede hablar sobre la lema de Zorn?

—Jerry Bona

Esto es una broma: aunque los tres son matemáticamente equivalentes, muchos matemáticos encuentran que el axioma de elección es intuitivo, el principio de buena ordenación es contraintuitivo y el lema de Zorn es demasiado complejo para cualquier intuición..

El Axiom of Choice es necesario para seleccionar un conjunto de un número infinito de pares de calcetines, pero no un número infinito de pares de zapatos.

—Bertrand Russell

La observación aquí es que se puede definir una función para seleccionar entre un número infinito de pares de zapatos, por ejemplo, eligiendo el zapato izquierdo de cada par. Sin el axioma de elección, no se puede afirmar que tal función exista para pares de calcetines, porque los calcetines izquierdo y derecho son (presumiblemente) indistinguibles.

Tarski trató de publicar su teorema [la equivalencia entre AC y "todo conjunto infinito A tiene la misma cardinalidad A × A", ver arriba] en Comptes Rendus, pero Fréchet y Lebesgue se negaron a presentarlo. Fréchet escribió que una implicación entre dos proposiciones [verdaderas] bien conocidas no es un nuevo resultado, y Lebesgue escribió que una implicación entre dos proposiciones falsas no es de ningún interés.

El matemático polaco-estadounidense Jan Mycielski relata esta anécdota en un artículo de 2006 en Notices of the AMS.

El axioma recibe su nombre no porque los matemáticos lo prefieren a otros axiomas.

—A. K. Dewdney

Esta cita proviene del famoso April Fools' Artículo del día en la columna recreaciones informáticas del Scientific American, abril de 1989.