Thoralf Skolem

Thoralf Albert Skolem (noruego: [ˈtùːrɑɫf ˈskùːlɛm]; 23 de mayo de 1887 - 23 de marzo de 1963) fue un matemático noruego que trabajó en lógica matemática y teoría de conjuntos.

Vida

Aunque el padre de Skolem era maestro de escuela primaria, la mayor parte de su familia eran agricultores. Skolem asistió a la escuela secundaria en Kristiania (más tarde rebautizada como Oslo), y aprobó los exámenes de ingreso a la universidad en 1905. Luego ingresó en la Det Kongelige Frederiks Universitet para estudiar matemáticas, y también tomó cursos de física, química, zoología y botánica.

En 1909, comenzó a trabajar como asistente del físico Kristian Birkeland, conocido por bombardear esferas magnetizadas con electrones y obtener efectos similares a las auroras; así, las primeras publicaciones de Skolem fueron artículos de física escritos conjuntamente con Birkeland. En 1913, Skolem aprobó los exámenes estatales con distinción y completó una disertación titulada Investigaciones sobre el álgebra de la lógica. También viajó con Birkeland al Sudán para observar la luz zodiacal. Pasó el semestre de invierno de 1915 en la Universidad de Göttingen, en ese momento el principal centro de investigación en lógica matemática, metamatemática y álgebra abstracta, campos en los que Skolem finalmente destacó. En 1916 fue nombrado investigador en la Det Kongelige Frederiks Universitet. En 1918, se convirtió en docente de matemáticas y fue elegido miembro de la Academia Noruega de Ciencias y Letras.

Al principio, Skolem no se matriculó formalmente como doctorado. candidato, creyendo que el Ph.D. era innecesario en Noruega. Más tarde cambió de opinión y presentó una tesis en 1926, titulada Algunos teoremas sobre soluciones integrales a ciertas ecuaciones y desigualdades algebraicas. Su asesor de tesis teórico fue Axel Thue, a pesar de que Thue había muerto en 1922.

En 1927 se casó con Edith Wilhelmine Hasvold.

Skolem continuó enseñando en Det kongelige Frederiks Universitet (rebautizada como Universidad de Oslo en 1939) hasta 1930, cuando se convirtió en investigador asociado en Chr. Instituto Michelsen de Bergen. Este puesto de alto nivel permitió a Skolem realizar investigaciones sin obligaciones administrativas ni docentes. Sin embargo, el puesto también requería que residiera en Bergen, una ciudad que entonces carecía de universidad y, por tanto, no tenía biblioteca de investigación, por lo que no podía mantenerse al tanto de la literatura matemática. En 1938 regresó a Oslo para asumir la cátedra de Matemáticas en la universidad. Allí impartió cursos de posgrado en álgebra y teoría de números, y sólo ocasionalmente en lógica matemática. El doctorado de Skolem. El estudiante Øystein Ore siguió su carrera en Estados Unidos.

Skolem se desempeñó como presidente de la Sociedad Noruega de Matemáticas y editó el Norsk Matematisk Tidsskrift ("La Revista Noruega de Matemáticas") durante muchos años. También fue el editor fundador de Mathematica Scandinavica.

Después de su jubilación en 1957, realizó varios viajes a los Estados Unidos, donde habló y enseñó en universidades de ese país. Permaneció intelectualmente activo hasta su repentina e inesperada muerte.

For more on Skolem 's academic life, see Fenstad (1970).

Matemáticas

Skolem publicó alrededor de 180 artículos sobre ecuaciones diofánticas, teoría de grupos, teoría de redes y, sobre todo, teoría de conjuntos y lógica matemática. Publicó principalmente en revistas noruegas con circulación internacional limitada, por lo que sus resultados fueron redescubiertos ocasionalmente por otros. Un ejemplo es el teorema de Skolem-Noether, que caracteriza los automorfismos de álgebras simples. Skolem publicó una prueba en 1927, pero Emmy Noether la redescubrió de forma independiente unos años más tarde.

Skolem fue uno de los primeros en escribir sobre celosías. En 1912, fue el primero en describir una red distributiva libre generada por elementos n. En 1919, demostró que toda red implicativa (ahora también llamada red de Skolem) es distributiva y, como recíproco parcial, que toda red distributiva finita es implicativa. Después de que otros redescubrieran estos resultados, Skolem publicó un artículo en alemán en 1936, "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", examinando su trabajo anterior en teoría de celosías.

Skolem fue un teórico de modelos pionero. En 1920, simplificó enormemente la demostración de un teorema que Leopold Löwenheim demostró por primera vez en 1915, lo que dio como resultado el teorema de Löwenheim-Skolem, que establece que si una teoría contable de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo contable. Su prueba de 1920 empleó el axioma de elección, pero más tarde (1922 y 1928) dio pruebas utilizando el lema de Kőnig en lugar de ese axioma. Es notable que Skolem, al igual que Löwenheim, escribiera sobre lógica matemática y teoría de conjuntos empleando la notación de sus colegas teóricos de modelos pioneros Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder, incluyendo Π, Σ como cuantificadores de vinculación de variables, en contraste con las notaciones de Peano, Principia Mathematica y Principios de lógica matemática. Skolem (1934) fue pionero en la construcción de modelos no estándar de aritmética y teoría de conjuntos.

Skolem (1922) refinó los axiomas de Zermelo para la teoría de conjuntos reemplazando la vaga noción de Zermelo de un concepto "definido" propiedad con cualquier propiedad que pueda codificarse en lógica de primer orden. El axioma resultante es ahora parte de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos. Skolem también señaló que una consecuencia del teorema de Löwenheim-Skolem es lo que ahora se conoce como la paradoja de Skolem: si los axiomas de Zermelo son consistentes, entonces deben ser satisfacibles dentro de un dominio contable, aunque demuestren que la existencia de conjuntos incontables.

Integridad

La integridad de la lógica de primer orden es un corolario de los resultados que Skolem demostró a principios de la década de 1920 y los discutió en Skolem (1928), pero no notó este hecho, tal vez porque los matemáticos y los lógicos no se volvieron plenamente conscientes de la integridad como un problema metamatemático fundamental hasta que la primera edición de 1928 de los Principios de lógica matemática de Hilbert y Ackermann lo articuló claramente. En cualquier caso, Kurt Gödel demostró por primera vez esta exhaustividad en 1930.

Skolem desconfiaba del infinito completo y fue uno de los fundadores del finitismo en matemáticas. Skolem (1923) expone su primitiva aritmética recursiva, una contribución muy temprana a la teoría de funciones computables, como un medio para evitar las llamadas paradojas del infinito. Aquí desarrolló la aritmética de los números naturales definiendo primero los objetos mediante recursividad primitiva y luego ideando otro sistema para demostrar las propiedades de los objetos definidos por el primer sistema. Estos dos sistemas le permitieron definir los números primos y exponer una cantidad considerable de teoría de números. Si el primero de estos sistemas puede considerarse como un lenguaje de programación para definir objetos y el segundo como una lógica de programación para demostrar propiedades de los objetos, Skolem puede considerarse un pionero involuntario de la informática teórica.

En 1929, Presburger demostró que la aritmética de Peano sin multiplicación era consistente, completa y decidible. Al año siguiente, Skolem demostró que lo mismo ocurría con la aritmética de Peano sin suma, un sistema llamado aritmética de Skolem en su honor. El famoso resultado de Gödel de 1931 es que la aritmética de Peano en sí (tanto con la suma como con la multiplicación) es incompleto y, por tanto, a posteriori indecidible.

Hao Wang praised Skolem 's work as follows:

Skolem tiende a tratar problemas generales por ejemplos concretos. A menudo parecía presentar pruebas en el mismo orden que vino a descubrirlas. Esto resulta en una informalidad fresca, así como una cierta inconclusividad. Muchos de sus documentos se presentan como informes de progreso. Sin embargo, sus ideas son a menudo embarazadas y potencialmente capaces de una amplia aplicación. Era mucho un "espíritu libre": no pertenecía a ninguna escuela, no encontró una escuela propia, no solía hacer uso pesado de los resultados conocidos... era muy un innovador y la mayoría de sus papeles pueden ser leídos y comprendidos por aquellos sin mucho conocimiento especializado. Parece muy probable que si fuera joven hoy, la lógica no hubiera apelado a él. (Skolem 1970: 17-18)

For more on Skolem 's accomplishments, see Hao Wang (1970).