Teoría M

teoría M es una teoría de la física que unifica todas las versiones coherentes de la teoría de supercuerdas. Edward Witten conjeturó por primera vez la existencia de tal teoría en una conferencia de teoría de cuerdas en la Universidad del Sur de California en 1995. El anuncio de Witten inició una oleada de actividad de investigación conocida como la segunda revolución de las supercuerdas. Antes del anuncio de Witten, los teóricos de cuerdas habían identificado cinco versiones de la teoría de supercuerdas. Aunque estas teorías inicialmente parecían ser muy diferentes, el trabajo de muchos físicos mostró que las teorías estaban relacionadas de maneras intrincadas y no triviales. Los físicos descubrieron que teorías aparentemente distintas podían unificarse mediante transformaciones matemáticas llamadas S-dualidad y T-dualidad. La conjetura de Witten se basaba en parte en la existencia de estas dualidades y en parte en la relación de las teorías de cuerdas con una teoría de campos llamada supergravedad de once dimensiones.

Aunque no se conoce una formulación completa de la teoría M, dicha formulación debería describir objetos de dos y cinco dimensiones llamados branas y debería aproximarse a la supergravedad de once dimensiones a bajas energías. Los intentos modernos de formular la teoría M generalmente se basan en la teoría de matrices o la correspondencia AdS/CFT. Según Witten, M debería representar "magia", "misterio" o "membrana" según el gusto, y el verdadero significado del título debe decidirse cuando se conoce una formulación más fundamental de la teoría.

Las investigaciones de la estructura matemática de la teoría M han generado importantes resultados teóricos en física y matemáticas. Más especulativamente, la teoría M puede proporcionar un marco para desarrollar una teoría unificada de todas las fuerzas fundamentales de la naturaleza. Los intentos de conectar la teoría M con el experimento normalmente se centran en compactar sus dimensiones adicionales para construir modelos candidatos del mundo de cuatro dimensiones, aunque hasta ahora no se ha verificado que ninguno dé lugar a la física tal como se observa en los experimentos de física de alta energía.

Antecedentes

Gravedad cuántica y cuerdas

Los objetos fundamentales de la teoría de cuerdas son cuerdas abiertas y cerradas.

Uno de los problemas más profundos de la física moderna es el problema de la gravedad cuántica. La comprensión actual de la gravedad se basa en la teoría general de la relatividad de Albert Einstein, que se formula dentro del marco de la física clásica. Sin embargo, las fuerzas no gravitacionales se describen dentro del marco de la mecánica cuántica, un formalismo radicalmente diferente para describir fenómenos físicos basados en la probabilidad. Se necesita una teoría cuántica de la gravedad para reconciliar la relatividad general con los principios de la mecánica cuántica, pero surgen dificultades cuando se intenta aplicar las prescripciones usuales de la teoría cuántica a la fuerza de la gravedad.

La teoría de cuerdas es un marco teórico que intenta reconciliar la gravedad y la mecánica cuántica. En la teoría de cuerdas, las partículas puntuales de la física de partículas se reemplazan por objetos unidimensionales llamados cuerdas. La teoría de cuerdas describe cómo las cuerdas se propagan a través del espacio e interactúan entre sí. En una versión dada de la teoría de cuerdas, solo hay un tipo de cuerda, que puede parecer un pequeño lazo o un segmento de cuerda normal, y puede vibrar de diferentes maneras. En escalas de distancia mayores que la escala de la cuerda, una cuerda se verá como una partícula ordinaria, con su masa, carga y otras propiedades determinadas por el estado vibratorio de la cuerda. De esta forma, todas las diferentes partículas elementales pueden verse como cuerdas vibrantes. Uno de los estados vibratorios de una cuerda da lugar al gravitón, una partícula mecánica cuántica que transporta la fuerza gravitacional.

Hay varias versiones de la teoría de cuerdas: tipo I, tipo IIA, tipo IIB y dos tipos de teoría de cuerdas heterótica (SO(32) y E8×E8). Las diferentes teorías permiten diferentes tipos de cuerdas, y las partículas que surgen a bajas energías exhiben diferentes simetrías. Por ejemplo, la teoría del tipo I incluye cadenas abiertas (que son segmentos con extremos) y cadenas cerradas (que forman bucles cerrados), mientras que los tipos IIA y IIB incluyen solo cadenas cerradas. Cada una de estas cinco teorías de cuerdas surge como un caso límite especial de la teoría M. Esta teoría, como sus predecesores de la teoría de cuerdas, es un ejemplo de una teoría cuántica de la gravedad. Describe una fuerza como la familiar fuerza gravitatoria sujeta a las reglas de la mecánica cuántica.

Número de dimensiones

Un ejemplo de compactación: A grandes distancias, una superficie bidimensional con una dimensión circular se ve unidimensional.

En la vida cotidiana, existen tres dimensiones familiares del espacio: alto, ancho y profundidad. La teoría general de la relatividad de Einstein trata el tiempo como una dimensión a la par de las tres dimensiones espaciales; en la relatividad general, el espacio y el tiempo no se modelan como entidades separadas, sino que se unifican en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal. En este marco, el fenómeno de la gravedad es visto como una consecuencia de la geometría del espacio-tiempo.

A pesar de que el universo está bien descrito por el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, hay varias razones por las que los físicos consideran teorías en otras dimensiones. En algunos casos, al modelar el espacio-tiempo en un número diferente de dimensiones, una teoría se vuelve más manejable matemáticamente y uno puede realizar cálculos y obtener conocimientos generales más fácilmente. También hay situaciones en las que las teorías en dos o tres dimensiones del espacio-tiempo son útiles para describir fenómenos en la física de la materia condensada. Finalmente, existen escenarios en los que en realidad podría haber más de cuatro dimensiones del espacio-tiempo que, sin embargo, han logrado escapar a la detección.

Una característica notable de la teoría de cuerdas y la teoría M es que estas teorías requieren dimensiones adicionales de espacio-tiempo para su consistencia matemática. En la teoría de cuerdas, el espacio-tiempo es decadimensional (nueve dimensiones espaciales y una dimensión temporal), mientras que en M- teoría es de once dimensiones (diez dimensiones espaciales, y una dimensión de tiempo). Para describir fenómenos físicos reales utilizando estas teorías, uno debe imaginar escenarios en los que estas dimensiones adicionales no se observarían en los experimentos.

La compactación es una forma de modificar el número de dimensiones en una teoría física. En la compactación, se supone que algunas de las dimensiones adicionales se "cierran hacia arriba" sobre sí mismos para formar círculos. En el límite donde estas dimensiones enrolladas se vuelven muy pequeñas, se obtiene una teoría en la que el espacio-tiempo tiene efectivamente un menor número de dimensiones. Una analogía estándar para esto es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín. Si la manguera se ve desde una distancia suficiente, parece tener una sola dimensión, su longitud. Sin embargo, cuando uno se acerca a la manguera, descubre que contiene una segunda dimensión, su circunferencia. Así, una hormiga arrastrándose por la superficie de la manguera se movería en dos dimensiones.

Dualidades

Un diagrama de dualidades de teoría de cuerdas. Las flechas amarillas indican la dualidad S. Las flechas azules indican la T-duality. Estas dualidades pueden combinarse para obtener equivalencias de cualquiera de las cinco teorías con la teoría M.

Las teorías que surgen como diferentes límites de la teoría M resultan estar relacionadas de maneras muy poco triviales. Una de las relaciones que pueden existir entre estas diferentes teorías físicas se denomina S-dualidad. Esta es una relación que dice que una colección de partículas que interactúan fuertemente en una teoría puede, en algunos casos, ser vista como una colección de partículas que interactúan débilmente en una teoría completamente diferente. En términos generales, se dice que una colección de partículas interactúa fuertemente si se combinan y se descomponen con frecuencia y que interactúa débilmente si lo hace con poca frecuencia. La teoría de cuerdas tipo I resulta ser equivalente por S-dualidad a la SO(32) teoría de cuerdas heterótica. De manera similar, la teoría de cuerdas de tipo IIB está relacionada consigo misma de una manera no trivial por la S-dualidad.

Otra relación entre diferentes teorías de cuerdas es la dualidad T. Aquí uno considera cadenas que se propagan alrededor de una dimensión extra circular. La dualidad T establece que una cadena que se propaga alrededor de un círculo de radio R es equivalente a una cadena que se propaga alrededor de un círculo de radio 1/R en el sentido de que todas las cantidades observables en una descripción se identifican con cantidades en la descripción dual. Por ejemplo, una cuerda tiene impulso a medida que se propaga alrededor de un círculo y también puede enrollarse alrededor del círculo una o más veces. El número de veces que la cuerda se enrolla alrededor de un círculo se llama número de vueltas. Si una cuerda tiene un impulso p y un número de vueltas n en uno descripción, tendrá impulso n y número de bobinado p en la doble descripción. Por ejemplo, la teoría de cuerdas de tipo IIA es equivalente a la teoría de cuerdas de tipo IIB a través de la dualidad T, y las dos versiones de la teoría de cuerdas heterótica también están relacionadas por la dualidad T.

En general, el término dualidad se refiere a una situación en la que dos sistemas físicos aparentemente diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si dos teorías están relacionadas por una dualidad, significa que una teoría puede transformarse de alguna manera para que termine pareciéndose a la otra teoría. Entonces se dice que las dos teorías son dual entre sí bajo la transformación. Dicho de otra manera, las dos teorías son descripciones matemáticamente diferentes del mismo fenómeno.

Supersimetría

Otra idea teórica importante que juega un papel en la teoría M es la supersimetría. Esta es una relación matemática que existe en ciertas teorías físicas entre una clase de partículas llamadas bosones y una clase de partículas llamadas fermiones. En términos generales, los fermiones son los constituyentes de la materia, mientras que los bosones median en las interacciones entre partículas. En las teorías con supersimetría, cada bosón tiene una contraparte que es un fermión y viceversa. Cuando se impone la supersimetría como simetría local, automáticamente se obtiene una teoría mecánica cuántica que incluye la gravedad. Tal teoría se llama teoría de la supergravedad.

Una teoría de cuerdas que incorpora la idea de supersimetría se denomina teoría de supercuerdas. Hay varias versiones diferentes de la teoría de supercuerdas que se incluyen en el marco de la teoría M. A bajas energías, las teorías de supercuerdas se aproximan por supergravedad en diez dimensiones del espacio-tiempo. De manera similar, la teoría M se aproxima a bajas energías por supergravedad en once dimensiones.

Branas

En la teoría de cuerdas y teorías relacionadas, como las teorías de supergravedad, una brana es un objeto físico que generaliza la noción de partícula puntual a dimensiones superiores. Por ejemplo, una partícula puntual puede verse como una brana de dimensión cero, mientras que una cuerda puede verse como una brana de dimensión uno. También es posible considerar branas de dimensiones superiores. En la dimensión p, se denominan p-branas. Las branas son objetos dinámicos que pueden propagarse a través del espacio-tiempo según las reglas de la mecánica cuántica. Pueden tener masa y otros atributos como carga. Una brana p barre una (p + 1) -volumen dimensional en el espacio-tiempo llamado su worldvolume. Los físicos a menudo estudian campos análogos al campo electromagnético que vive en el volumen mundial de una brana. La palabra brana proviene de la palabra "membrana" que se refiere a una brana bidimensional.

En la teoría de cuerdas, los objetos fundamentales que dan origen a las partículas elementales son las cuerdas unidimensionales. Aunque los fenómenos físicos descritos por la teoría M aún no se comprenden bien, los físicos saben que la teoría describe branas de dos y cinco dimensiones. Gran parte de la investigación actual en teoría M intenta comprender mejor las propiedades de estas branas.

Historia y desarrollo

Teoría de Kaluza-Klein

A principios del siglo XX, físicos y matemáticos, incluidos Albert Einstein y Hermann Minkowski, fueron pioneros en el uso de la geometría de cuatro dimensiones para describir el mundo físico. Estos esfuerzos culminaron en la formulación de la teoría general de la relatividad de Einstein, que relaciona la gravedad con la geometría del espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

El éxito de la relatividad general condujo a esfuerzos para aplicar geometría de dimensiones superiores para explicar otras fuerzas. En 1919, el trabajo de Theodor Kaluza demostró que al pasar al espacio-tiempo de cinco dimensiones, uno puede unificar la gravedad y el electromagnetismo en una sola fuerza. Esta idea fue mejorada por el físico Oskar Klein, quien sugirió que la dimensión adicional propuesta por Kaluza podría tomar la forma de un círculo con radio alrededor de 10⁻³⁰ cm.

La teoría de Kaluza-Klein y los intentos posteriores de Einstein de desarrollar la teoría del campo unificado nunca tuvieron un éxito total. En parte esto se debió a que la teoría de Kaluza-Klein predijo una partícula (el radión), cuya existencia nunca se ha demostrado, y en parte a que no pudo predecir correctamente la relación entre la masa de un electrón y su carga. Además, estas teorías se estaban desarrollando justo cuando otros físicos comenzaban a descubrir la mecánica cuántica, que finalmente resultaría exitosa en la descripción de fuerzas conocidas como el electromagnetismo, así como nuevas fuerzas nucleares que se estaban descubriendo a lo largo de la mitad del siglo. Por lo tanto, se necesitarían casi cincuenta años para que la idea de las nuevas dimensiones se volviera a tomar en serio.

Primeros trabajos sobre la supergravedad

En los años 80, Edward Witten contribuyó a la comprensión de las teorías de la supergravedad. En 1995, introdujo la Teoría M, provocando la segunda revolución superestring.

Los nuevos conceptos y herramientas matemáticas proporcionaron nuevos conocimientos sobre la relatividad general, lo que dio lugar a un período en las décadas de 1960 y 1970 que ahora se conoce como la edad de oro de la relatividad general. A mediados de la década de 1970, los físicos comenzaron a estudiar teorías de dimensiones superiores que combinaban la relatividad general con la supersimetría, las denominadas teorías de la supergravedad.

La relatividad general no pone límites a las posibles dimensiones del espacio-tiempo. Aunque la teoría se formula normalmente en cuatro dimensiones, se pueden escribir las mismas ecuaciones para el campo gravitatorio en cualquier número de dimensiones. La supergravedad es más restrictiva porque establece un límite superior en el número de dimensiones. En 1978, el trabajo de Werner Nahm mostró que la dimensión máxima del espacio-tiempo en la que se puede formular una teoría supersimétrica consistente es once. En el mismo año, Eugène Cremmer, Bernard Julia y Joël Scherk de la École Normale Supérieure demostraron que la supergravedad no solo permite hasta once dimensiones sino que, de hecho, es más elegante en este número máximo de dimensiones.

Al principio, muchos físicos esperaban que al compactar la supergravedad de once dimensiones, sería posible construir modelos realistas de nuestro mundo de cuatro dimensiones. La esperanza era que dichos modelos proporcionaran una descripción unificada de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza: el electromagnetismo, las fuerzas nucleares fuerte y débil y la gravedad. El interés en la supergravedad de once dimensiones pronto se desvaneció cuando se descubrieron varios defectos en este esquema. Uno de los problemas fue que las leyes de la física parecen distinguir entre el sentido de las agujas del reloj y el sentido contrario a las agujas del reloj, un fenómeno conocido como quiralidad. Edward Witten y otros observaron que esta propiedad de quiralidad no se puede derivar fácilmente mediante la compactación de once dimensiones.

En la primera revolución de las supercuerdas en 1984, muchos físicos recurrieron a la teoría de cuerdas como una teoría unificada de la física de partículas y la gravedad cuántica. A diferencia de la teoría de la supergravedad, la teoría de cuerdas pudo acomodar la quiralidad del modelo estándar y proporcionó una teoría de la gravedad consistente con los efectos cuánticos. Otra característica de la teoría de cuerdas que atrajo a muchos físicos en las décadas de 1980 y 1990 fue su alto grado de singularidad. En las teorías de partículas ordinarias, se puede considerar cualquier colección de partículas elementales cuyo comportamiento clásico se describa mediante un Lagrangiano arbitrario. En la teoría de cuerdas, las posibilidades son mucho más restringidas: en la década de 1990, los físicos habían argumentado que solo había cinco versiones supersimétricas consistentes de la teoría.

Relaciones entre teorías de cuerdas

Aunque solo había un puñado de teorías de supercuerdas consistentes, seguía siendo un misterio por qué no había una sola formulación consistente. Sin embargo, a medida que los físicos comenzaron a examinar la teoría de cuerdas más de cerca, se dieron cuenta de que estas teorías están relacionadas de formas intrincadas y no triviales.

A fines de la década de 1970, Claus Montonen y David Olive habían conjeturado una propiedad especial de ciertas teorías físicas. Una versión mejorada de su conjetura se refiere a una teoría llamada teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4, que describe partículas teóricas formalmente similares a los quarks y gluones que forman los núcleos atómicos. La fuerza con la que interactúan las partículas de esta teoría se mide mediante un número llamado constante de acoplamiento. El resultado de Montonen y Olive, ahora conocido como dualidad Montonen-Olive, establece que N = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills con constante de acoplamiento g es equivalente a la misma teoría con la constante de acoplamiento 1/g. En otras palabras, un sistema de partículas que interactúan fuertemente (constante de acoplamiento grande) tiene una descripción equivalente a un sistema de partículas que interactúan débilmente (constante de acoplamiento pequeña) y viceversa por momento de espín.

En la década de 1990, varios teóricos generalizaron la dualidad Montonen-Olive a la relación de dualidad S, que conecta diferentes teorías de cuerdas. Ashoke Sen estudió la dualidad S en el contexto de cadenas heteróticas en cuatro dimensiones. Chris Hull y Paul Townsend demostraron que la teoría de cuerdas de tipo IIB con una constante de acoplamiento grande es equivalente a través de la dualidad S a la misma teoría con una constante de acoplamiento pequeña. Los teóricos también encontraron que las diferentes teorías de cuerdas pueden estar relacionadas por la T-dualidad. Esta dualidad implica que las cadenas que se propagan en geometrías de espacio-tiempo completamente diferentes pueden ser físicamente equivalentes.

Membranas y cinco branas

La teoría de cuerdas amplía la física de partículas ordinaria reemplazando partículas puntuales de dimensión cero por objetos unidimensionales llamados cuerdas. A fines de la década de 1980, era natural que los teóricos intentaran formular otras extensiones en las que las partículas fueran reemplazadas por supermembranas bidimensionales o por objetos de dimensiones superiores llamados branas. Dichos objetos habían sido considerados ya en 1962 por Paul Dirac, y fueron reconsiderados por un pequeño pero entusiasta grupo de físicos en la década de 1980.

La supersimetría restringe severamente el número posible de dimensiones de una brana. En 1987, Eric Bergshoeff, Ergin Sezgin y Paul Townsend demostraron que la supergravedad de once dimensiones incluye branas de dos dimensiones. Intuitivamente, estos objetos parecen láminas o membranas que se propagan a través del espacio-tiempo de once dimensiones. Poco después de este descubrimiento, Michael Duff, Paul Howe, Takeo Inami y Kellogg Stelle consideraron una compactación particular de la supergravedad de once dimensiones con una de las dimensiones acurrucada en un círculo. En este escenario, uno puede imaginar la membrana envolviendo la dimensión circular. Si el radio del círculo es lo suficientemente pequeño, entonces esta membrana parece una cuerda en un espacio-tiempo de diez dimensiones. De hecho, Duff y sus colaboradores demostraron que esta construcción reproduce exactamente las cuerdas que aparecen en la teoría de supercuerdas de tipo IIA.

En 1990, Andrew Strominger publicó un resultado similar que sugería que las cuerdas de diez dimensiones que interactúan fuertemente podrían tener una descripción equivalente en términos de branas de cinco dimensiones que interactúan débilmente. Inicialmente, los físicos no pudieron probar esta relación por dos razones importantes. Por un lado, la dualidad Montonen-Olive aún no estaba probada, por lo que la conjetura de Strominger era aún más tenue. Por otro lado, hubo muchos problemas técnicos relacionados con las propiedades cuánticas de las branas de cinco dimensiones. El primero de estos problemas se resolvió en 1993 cuando Ashoke Sen estableció que ciertas teorías físicas requieren la existencia de objetos con carga eléctrica y magnética que fueron predichas por el trabajo de Montonen y Olive.

A pesar de este progreso, la relación entre las cuerdas y las branas de cinco dimensiones siguió siendo una conjetura porque los teóricos no pudieron cuantificar las branas. A partir de 1991, un equipo de investigadores que incluía a Michael Duff, Ramzi Khuri, Jianxin Lu y Ruben Minasian consideró una compactación especial de la teoría de cuerdas en la que cuatro de las diez dimensiones se enrollan. Si uno considera una brana de cinco dimensiones envuelta alrededor de estas dimensiones adicionales, entonces la brana parece una cuerda unidimensional. De esta forma, la relación conjeturada entre cuerdas y branas se reducía a una relación entre cuerdas y cuerdas, y esta última podía ser comprobada utilizando técnicas teóricas ya establecidas.

Segunda revolución de supercuerdas

Una ilustración esquemática de la relación entre la teoría M, las cinco teorías de superestring, y la supergravedad oncedimensional. La región sombreada representa una familia de diferentes escenarios físicos que son posibles en la teoría M. En ciertos casos limitantes correspondientes a los cusps, es natural describir la física utilizando una de las seis teorías etiquetadas allí.

Hablando en la conferencia de teoría de cuerdas en la Universidad del Sur de California en 1995, Edward Witten del Instituto de Estudios Avanzados hizo la sorprendente sugerencia de que las cinco teorías de supercuerdas eran, de hecho, solo casos límite diferentes de una sola teoría en once dimensiones del espacio-tiempo.. El anuncio de Witten reunió todos los resultados anteriores sobre la dualidad S y T y la aparición de branas de dos y cinco dimensiones en la teoría de cuerdas. En los meses posteriores al anuncio de Witten, aparecieron cientos de artículos nuevos en Internet que confirmaban que la nueva teoría involucraba a las membranas de manera importante. Hoy en día, esta ráfaga de trabajo se conoce como la segunda revolución de las supercuerdas.

Uno de los desarrollos importantes que siguieron al anuncio de Witten fue el trabajo de Witten en 1996 con el teórico de cuerdas Petr Hořava. Witten y Hořava estudiaron la teoría M sobre una geometría especial del espacio-tiempo con dos componentes de contorno de diez dimensiones. Su trabajo arrojó luz sobre la estructura matemática de la teoría M y sugirió posibles formas de conectar la teoría M con la física del mundo real.

Origen del término

Al principio, algunos físicos sugirieron que la nueva teoría era una teoría fundamental de las membranas, pero Witten se mostró escéptico sobre el papel de las membranas en la teoría. En un artículo de 1996, Hořava y Witten escribieron

Como se ha propuesto que la teoría de once dimensiones es una teoría supermembrana, pero hay algunas razones para dudar de esa interpretación, no lo llamaremos la teoría M, dejando al futuro la relación de M a las membranas.

En ausencia de una comprensión del verdadero significado y estructura de la teoría M, Witten ha sugerido que la M debería representar "magia", "misterio& #34; o "membrana" según el gusto, y el verdadero significado del título debe decidirse cuando se conoce una formulación más fundamental de la teoría. Años más tarde, diría: 'Pensé que mis colegas entenderían que realmente significaba membrana'. Desafortunadamente, confundió a la gente."

Teoría de matrices

Modelo matricial BFSS

En matemáticas, una matriz es una matriz rectangular de números u otros datos. En física, un modelo de matriz es un tipo particular de teoría física cuya formulación matemática involucra la noción de matriz de manera importante. Un modelo matricial describe el comportamiento de un conjunto de matrices en el marco de la mecánica cuántica.

Un ejemplo importante de modelo matricial es el modelo matricial BFSS propuesto por Tom Banks, Willy Fischler, Stephen Shenker y Leonard Susskind en 1997. Esta teoría describe el comportamiento de un conjunto de nueve matrices grandes. En su artículo original, estos autores mostraron, entre otras cosas, que el límite de baja energía de este modelo de matriz está descrito por la supergravedad de once dimensiones. Estos cálculos los llevaron a proponer que el modelo de matriz BFSS es exactamente equivalente a la teoría M. Por lo tanto, el modelo de matriz BFSS se puede utilizar como prototipo para una formulación correcta de la teoría M y una herramienta para investigar las propiedades de la teoría M en un entorno relativamente simple.

Geometría no conmutativa

En geometría, suele ser útil introducir coordenadas. Por ejemplo, para estudiar la geometría del plano euclidiano, se definen las coordenadas x y y como las distancias entre cualquier punto del plano y un par de ejes. En geometría ordinaria, las coordenadas de un punto son números, por lo que se pueden multiplicar y el producto de dos coordenadas no depende del orden de la multiplicación. Es decir, xy = yx. Esta propiedad de la multiplicación se conoce como la ley conmutativa, y esta relación entre la geometría y el álgebra conmutativa de coordenadas es el punto de partida de gran parte de la geometría moderna.

La geometría no conmutativa es una rama de las matemáticas que intenta generalizar esta situación. En lugar de trabajar con números ordinarios, uno considera algunos objetos similares, como matrices, cuya multiplicación no satisface la ley conmutativa (es decir, objetos para los cuales xy no es necesariamente igual a yx). Uno se imagina que estos objetos que no conmutan son coordenadas de alguna noción más general de "espacio" y prueba teoremas sobre estos espacios generalizados explotando la analogía con la geometría ordinaria.

En un artículo de 1998, Alain Connes, Michael R. Douglas y Albert Schwarz demostraron que algunos aspectos de los modelos de matrices y la teoría M se describen mediante una teoría cuántica de campos no conmutativa, un tipo especial de teoría física en la que las coordenadas en el espacio-tiempo no satisfacen la propiedad de conmutatividad. Esto estableció un vínculo entre los modelos matriciales y la teoría M, por un lado, y la geometría no conmutativa, por el otro. Rápidamente condujo al descubrimiento de otros vínculos importantes entre la geometría no conmutativa y varias teorías físicas.

Correspondencia de AdS/CFT

Resumen

Una tessellación del plano hiperbólico por triángulos y cuadrados

La aplicación de la mecánica cuántica a objetos físicos como el campo electromagnético, que se extienden en el espacio y el tiempo, se conoce como teoría cuántica de campos. En física de partículas, las teorías cuánticas de campos constituyen la base de nuestra comprensión de las partículas elementales, que se modelan como excitaciones en los campos fundamentales. Las teorías cuánticas de campos también se utilizan en la física de la materia condensada para modelar objetos similares a partículas llamados cuasipartículas.

Un enfoque para formular la teoría M y estudiar sus propiedades es proporcionado por la correspondencia anti-de Sitter/teoría de campo conforme (AdS/CFT). Propuesta por Juan Maldacena a finales de 1997, la correspondencia AdS/CFT es un resultado teórico que implica que la teoría M es en algunos casos equivalente a una teoría cuántica de campos. Además de proporcionar información sobre la estructura matemática de la teoría de cuerdas y M, la correspondencia AdS/CFT ha arrojado luz sobre muchos aspectos de la teoría cuántica de campos en regímenes en los que las técnicas de cálculo tradicionales son ineficaces.

En la correspondencia AdS/CFT, la geometría del espacio-tiempo se describe en términos de cierta solución de vacío de la ecuación de Einstein llamada espacio anti-de Sitter. En términos muy elementales, el espacio anti-de Sitter es un modelo matemático del espacio-tiempo en el que la noción de distancia entre puntos (la métrica) es diferente de la noción de distancia en la geometría euclidiana ordinaria. Está estrechamente relacionado con el espacio hiperbólico, que puede verse como un disco, como se ilustra a la izquierda. Esta imagen muestra una teselación de un disco por triángulos y cuadrados. Se puede definir la distancia entre los puntos de este disco de tal manera que todos los triángulos y cuadrados sean del mismo tamaño y el límite exterior circular esté infinitamente lejos de cualquier punto del interior.

Antide tridimensional El espacio seco es como una pila de discos hiperbólicos, cada uno representando el estado del universo en un momento dado. Uno puede estudiar teorías de la gravedad cuántica como la teoría M en la hora espacial resultante.

Ahora imagina una pila de discos hiperbólicos donde cada disco representa el estado del universo en un momento dado. El objeto geométrico resultante es un espacio tridimensional anti-de Sitter. Parece un cilindro sólido en el que cualquier sección transversal es una copia del disco hiperbólico. El tiempo corre a lo largo de la dirección vertical en esta imagen. La superficie de este cilindro juega un papel importante en la correspondencia AdS/CFT. Al igual que con el plano hiperbólico, el espacio anti-de Sitter se curva de tal manera que cualquier punto en el interior está infinitamente lejos de esta superficie límite.

Esta construcción describe un universo hipotético con solo dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal, pero se puede generalizar a cualquier número de dimensiones. De hecho, el espacio hiperbólico puede tener más de dos dimensiones y una puede "apilarse" copias del espacio hiperbólico para obtener modelos de mayor dimensión del espacio anti-de Sitter.

Una característica importante del espacio anti-de Sitter es su límite (que parece un cilindro en el caso del espacio tridimensional anti-de Sitter). Una propiedad de este límite es que, dentro de una pequeña región en la superficie alrededor de cualquier punto, se parece al espacio de Minkowski, el modelo de espacio-tiempo utilizado en la física no gravitacional. Por lo tanto, se puede considerar una teoría auxiliar en la que "espaciotiempo" viene dado por el límite del espacio anti-de Sitter. Esta observación es el punto de partida para la correspondencia AdS/CFT, que establece que el límite del espacio anti-de Sitter puede considerarse como el "espaciotiempo" para una teoría cuántica de campos. La afirmación es que esta teoría cuántica de campos es equivalente a la teoría gravitatoria en el espacio masivo anti-de Sitter en el sentido de que hay un "diccionario" para traducir entidades y cálculos en una teoría a sus contrapartes en la otra teoría. Por ejemplo, una sola partícula en la teoría gravitatoria podría corresponder a una colección de partículas en la teoría de límites. Además, las predicciones en las dos teorías son cuantitativamente idénticas, de modo que si dos partículas tienen un 40 por ciento de posibilidades de colisionar en la teoría gravitacional, entonces las colecciones correspondientes en la teoría de límites también tendrían un 40 por ciento de posibilidades de colisionar.

6D (2,0) teoría del campo superconforme

La teoría de seis dimensiones (2,0) se ha utilizado para entender los resultados de la teoría matemática de los nudos.

Una realización particular de la correspondencia AdS/CFT establece que la teoría M en el espacio del producto AdS₇×S ⁴ es equivalente a la llamada teoría (2,0) sobre el límite de seis dimensiones. Aquí "(2,0)" se refiere al tipo particular de supersimetría que aparece en la teoría. En este ejemplo, el espacio-tiempo de la teoría gravitatoria es efectivamente de siete dimensiones (de ahí la notación AdS₇), y hay cuatro "compactos" dimensiones (codificadas por el factor S4). En el mundo real, el espacio-tiempo es tetradimensional, al menos macroscópicamente, por lo que esta versión de la correspondencia no proporciona un modelo realista de la gravedad. Asimismo, la teoría dual no es un modelo viable de ningún sistema del mundo real, ya que describe un mundo con seis dimensiones de espacio-tiempo.

Sin embargo, la teoría (2,0) ha demostrado ser importante para estudiar las propiedades generales de las teorías cuánticas de campos. De hecho, esta teoría subsume muchas teorías de campos cuánticos efectivos matemáticamente interesantes y apunta a nuevas dualidades que relacionan estas teorías. Por ejemplo, Luis Alday, Davide Gaiotto y Yuji Tachikawa demostraron que al compactar esta teoría en una superficie, se obtiene una teoría cuántica de campo de cuatro dimensiones, y existe una dualidad conocida como correspondencia AGT que relaciona la física de esta teoría con ciertos conceptos físicos asociados con la propia superficie. Más recientemente, los teóricos han ampliado estas ideas para estudiar las teorías obtenidas compactando hasta tres dimensiones.

Además de sus aplicaciones en la teoría cuántica de campos, la teoría (2,0) ha generado importantes resultados en matemáticas puras. Por ejemplo, Witten usó la existencia de la teoría (2,0) para dar una idea "física" explicación de una relación conjetural en matemáticas llamada correspondencia geométrica de Langlands. En un trabajo posterior, Witten demostró que la teoría (2,0) podría usarse para comprender un concepto matemático llamado homología de Khovanov. Desarrollada por Mikhail Khovanov alrededor del año 2000, la homología de Khovanov proporciona una herramienta en la teoría de nudos, la rama de las matemáticas que estudia y clasifica las diferentes formas de los nudos. Otra aplicación de la teoría (2,0) en matemáticas es el trabajo de Davide Gaiotto, Greg Moore y Andrew Neitzke, que utilizaron ideas físicas para derivar nuevos resultados en geometría hiperkähler.

Teoría del campo superconforme ABJM

Otra realización de la correspondencia AdS/CFT establece que la teoría M en AdS₄×S ⁷ es equivalente a una teoría cuántica de campos denominada teoría ABJM en tres dimensiones. En esta versión de la correspondencia, siete de las dimensiones de la teoría M están enrolladas, dejando cuatro dimensiones no compactas. Dado que el espacio-tiempo de nuestro universo es tetradimensional, esta versión de la correspondencia proporciona una descripción algo más realista de la gravedad.

La teoría ABJM que aparece en esta versión de la correspondencia también es interesante por varias razones. Presentado por Aharony, Bergman, Jafferis y Maldacena, está estrechamente relacionado con otra teoría cuántica de campos llamada teoría de Chern-Simons. La última teoría fue popularizada por Witten a fines de la década de 1980 debido a sus aplicaciones a la teoría de nudos. Además, la teoría ABJM sirve como un modelo simplificado semirrealista para resolver problemas que surgen en la física de la materia condensada.

Fenomenología

Resumen

Una sección transversal de un manifold de Calabi-Yau

Además de ser una idea de considerable interés teórico, la teoría M proporciona un marco para construir modelos de física del mundo real que combinan la relatividad general con el modelo estándar de física de partículas. La fenomenología es la rama de la física teórica en la que los físicos construyen modelos realistas de la naturaleza a partir de ideas teóricas más abstractas. La fenomenología de cuerdas es la parte de la teoría de cuerdas que intenta construir modelos realistas de física de partículas basados en la teoría de cuerdas y M.

Por lo general, estos modelos se basan en la idea de compactación. Comenzando con el espacio-tiempo de diez u once dimensiones de la teoría de cuerdas o M, los físicos postulan una forma para las dimensiones adicionales. Al elegir esta forma de manera adecuada, pueden construir modelos más o menos similares al modelo estándar de la física de partículas, junto con partículas adicionales no descubiertas, generalmente parejas supersimétricas de análogos de partículas conocidas. Una forma popular de derivar física realista de la teoría de cuerdas es comenzar con la teoría heterótica en diez dimensiones y asumir que las seis dimensiones adicionales del espacio-tiempo tienen la forma de una variedad de Calabi-Yau de seis dimensiones. Este es un tipo especial de objeto geométrico que lleva el nombre de los matemáticos Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau. Las variedades de Calabi-Yau ofrecen muchas formas de extraer física realista de la teoría de cuerdas. Se pueden usar otros métodos similares para construir modelos con una física que se asemeje hasta cierto punto a la de nuestro mundo de cuatro dimensiones basado en la teoría M.

En parte debido a dificultades teóricas y matemáticas y en parte debido a las energías extremadamente altas (más allá de lo que es tecnológicamente posible en el futuro previsible) necesarias para probar estas teorías experimentalmente, hasta el momento no hay evidencia experimental que apunte inequívocamente a cualquiera de siendo estos modelos una correcta descripción fundamental de la naturaleza. Esto ha llevado a algunos en la comunidad a criticar estos enfoques de unificación y cuestionar el valor de la investigación continua sobre estos problemas.

Compactación sobre colectores G2

En un enfoque de la fenomenología de la teoría M, los teóricos suponen que las siete dimensiones adicionales de la teoría M tienen la forma de una variedad G2. Este es un tipo especial de forma de siete dimensiones construida por el matemático Dominic Joyce de la Universidad de Oxford. Estas variedades G₂ todavía no se comprenden matemáticamente, y este hecho ha dificultado que los físicos desarrollen completamente este enfoque. a la fenomenología.

Por ejemplo, los físicos y matemáticos a menudo asumen que el espacio tiene una propiedad matemática llamada suavidad, pero esta propiedad no se puede asumir en el caso de una G ₂ múltiples si se desea recuperar la física de nuestro mundo cuatridimensional. Otro problema es que las variedades G₂ no son variedades complejas, por lo que los teóricos no pueden utilizar herramientas de la rama de las matemáticas. conocido como análisis complejo. Finalmente, hay muchas preguntas abiertas sobre la existencia, unicidad y otras propiedades matemáticas de las variedades G₂ y los matemáticos carecen de una forma sistemática de buscar estas variedades.

Teoría M heterótica

Debido a las dificultades con las variedades G₂, la mayoría de los intentos de construir teorías físicas realistas basadas en M- han adoptado un enfoque más indirecto para compactar el espacio-tiempo de once dimensiones. Un enfoque, iniciado por Witten, Hořava, Burt Ovrut y otros, se conoce como teoría M heterótica. En este enfoque, uno imagina que una de las once dimensiones de la teoría M tiene forma de círculo. Si este círculo es muy pequeño, entonces el espacio-tiempo se vuelve efectivamente de diez dimensiones. Entonces se supone que seis de las diez dimensiones forman una variedad de Calabi-Yau. Si esta variedad de Calabi-Yau también se toma como pequeña, nos queda una teoría en cuatro dimensiones.

La teoría M heterótica se ha utilizado para construir modelos de cosmología de brana en los que se cree que el universo observable existe en una brana en un espacio ambiental de dimensiones superiores. También ha generado teorías alternativas del universo primitivo que no se basan en la teoría de la inflación cósmica.

Popularización

• BBC Horizon: "Parallel Universes" – 2002 documental de BBC Horizon, episodio "Parallel Universes" se centra en la historia y el surgimiento de la teoría M, y científicos involucrados
• [1] PBS.org-NOVA: El Universo Elegante] – 2003 Emmy Premio ganador, miniserie de tres horas de Nova con Brian Greene, adaptado de su El Universo Elegante libro (original PBS fechas de emisión: 28 de octubre, 8 a 10 p.m. y 4 de noviembre, 8 a 9 p.m., 2003)