Apertura numérica

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Características de un sistema óptico

La abertura numérica con respecto a un punto

P

depende del medio triángulo,

Silencio 1

, del cono máximo de luz que puede entrar o salir de la lente y el índice ambiente de refracción. Como un lápiz de luz pasa a través de un plano plano de vidrio, su medio-ángulo cambia a

Silencio 2

. Debido a la ley de Snell, la abertura numérica sigue siendo la misma:

{displaystyle {text{NA}}=n_{1}sin theta _{1}=n_{2}sin theta _{2}.}

En óptica, la apertura numérica (NA) de un sistema óptico es un número adimensional que caracteriza el rango de ángulos en los que el sistema puede aceptar o emitir luz. Al incorporar el índice de refracción en su definición, NA tiene la propiedad de que es constante para un haz cuando pasa de un material a otro, siempre que no haya potencia refractiva en la interfaz. La definición exacta del término varía ligeramente entre las diferentes áreas de la óptica. La apertura numérica se usa comúnmente en microscopía para describir el cono de aceptación de un objetivo (y, por lo tanto, su capacidad de captación de luz y resolución), y en fibra óptica, en la que describe el rango de ángulos dentro de los cuales la luz que incide en la fibra transmitirse a lo largo de ella.

Óptica general

Diagrama de rayos simples que muestra los típicos rayos principales y marginales

En la mayoría de las áreas de la óptica, y especialmente en la microscopía, la apertura numérica de un sistema óptico, como una lente de objetivo, se define por

{displaystyle mathrm {NA} =nsin theta}

donde $n$ es el índice de refracción del medio en el que trabaja la lente (1,00 para aire, 1,33 para agua pura y, por lo general, 1,52 para aceite de inmersión; consulte también la lista de índices de refracción), y $θ$ es la mitad del ángulo del cono máximo de luz que puede entrar o salir la lente En general, este es el ángulo del rayo marginal real en el sistema. Debido a que se incluye el índice de refracción, la NA de un lápiz de rayos es invariante cuando un lápiz de rayos pasa de un material a otro a través de una superficie plana. Esto se muestra fácilmente reorganizando la ley de Snell para encontrar que $n sin θ$ es constante en una interfaz.

En el aire, la apertura angular de la lente es aproximadamente el doble de este valor (dentro de la aproximación paraxial). El NA generalmente se mide con respecto a un objeto o punto de imagen en particular y variará a medida que se mueva ese punto. En microscopía, NA generalmente se refiere a NA en el espacio de objetos, a menos que se indique lo contrario.

En microscopía, NA es importante porque indica el poder de resolución de una lente. El tamaño del detalle más pequeño que se puede resolver (la resolución) es proporcional a $λ / 2NA$ , donde $λ$ es la longitud de onda de la luz. Una lente con una apertura numérica más grande podrá visualizar detalles más finos que una lente con una apertura numérica más pequeña. Asumiendo una óptica de calidad (difracción limitada), las lentes con aperturas numéricas más grandes recolectan más luz y generalmente proporcionarán una imagen más brillante, pero proporcionarán una profundidad de campo más superficial.

La apertura numérica se usa para definir el "tamaño del hoyo" en formatos de disco óptico.

Al aumentar el aumento y la apertura numérica del objetivo se reduce la distancia de trabajo, es decir, la distancia entre la lente frontal y la muestra.

Apertura numérica versus número f

Apertura numérica de una lente delgada

Normalmente, la apertura numérica no se usa en fotografía. En cambio, la apertura angular de una lente (o un espejo de imagen) se expresa mediante el número f, escrito f/N, donde N es el número f dado por la relación de la distancia focal $f$ al diámetro de la pupila de entrada $D$ :

{displaystyle N={frac {f}{D}}.}

Esta relación está relacionada con la apertura numérica del espacio de la imagen cuando la lente se enfoca al infinito. Según el diagrama de la derecha, la apertura numérica del espacio de la imagen de la lente es:

{displaystyle {text{NA}}_{text{i}}=nsin theta =nsin left[arctan left({frac {D}{2f}}right)right]approx n{frac {D}{2f}},}

así $N \approx 1 / 2NA i$ , suponiendo un uso normal en el aire (n = 1).

La aproximación se mantiene cuando la apertura numérica es pequeña, pero resulta que para sistemas ópticos bien corregidos, como lentes de cámara, un análisis más detallado muestra que $N$ es casi exactamente igual a $1 / 2NA i$ incluso con grandes aperturas numéricas. Como explica Rudolf Kingslake, "Es un error común suponer que la relación [ $D / 2 f$ ] es en realidad igual a $tan θ$ , y no $sin θ$ ... La tangente sería, por supuesto, correcta si los planos principales fueran realmente planos. Sin embargo, la teoría completa de la condición del seno de Abbe muestra que si se corrige el coma y la aberración esférica de una lente, como deben ser todos los buenos objetivos fotográficos, el segundo plano principal se convierte en una porción de una esfera de radio $f$ centrado sobre el punto focal". En este sentido, la definición tradicional de lente delgada y la ilustración del número f son engañosas, y definirlo en términos de apertura numérica puede ser más significativo.

Número f de trabajo (efectivo)

El número $f$ describe la capacidad de captación de luz de la lente en el caso en que los rayos marginales en el lado del objeto son paralelas al eje de la lente. Este caso se encuentra comúnmente en la fotografía, donde los objetos que se fotografían suelen estar lejos de la cámara. Sin embargo, cuando el objeto no está lejos de la lente, la imagen ya no se forma en el plano focal de la lente y $f$ -número ya no describe con precisión la capacidad de captación de luz de la lente o la apertura numérica del lado de la imagen. En este caso, la apertura numérica está relacionada con lo que a veces se denomina el "número f de trabajo" o "efectivo $f$ -number".

El número $f$ de trabajo se define modificando la relación anterior, teniendo en cuenta la ampliación del objeto a la imagen:

{displaystyle {frac {1}{2{text{NA}}_{text{i}}}}=N_{text{w}}=left(1-{frac {m}{P}}right)N,}

donde $N w$ es el $f$ -number, $m$ es el aumento de la lente para un objeto a una distancia particular, $P$ es el aumento de la pupila, y la NA se define en términos del ángulo del rayo marginal como antes. El aumento aquí suele ser negativo, y se suele suponer que el aumento de la pupila es 1, como explica Allen R. Greenleaf: "La iluminancia varía inversamente al cuadrado de la distancia entre la pupila de salida de la lente y la posición de la placa o película. Debido a que el usuario de una lente generalmente desconoce la posición de la pupila de salida, en su lugar se usa la distancia focal conjugada trasera; el error teórico resultante así introducido es insignificante con la mayoría de los tipos de lentes fotográficos."

En fotografía, el factor a veces se escribe como $1 + m$ , donde $m$ representa el valor absoluto de la ampliación; en cualquier caso, el factor de corrección es 1 o mayor. Las dos igualdades en la ecuación anterior son tomadas por varios autores como la definición del número $f$ de trabajo, como ilustran las fuentes citadas. Ambos no son necesariamente exactos, pero a menudo se tratan como si lo fueran.

Por el contrario, la apertura numérica del lado del objeto está relacionada con el número $f$ mediante la ampliación (que tiende a cero para un objeto distante):

{displaystyle {frac {1}{2{text{NA}}_{text{o}}}}={frac {m-P}{mP}}N.}

Física láser

En física láser, la apertura numérica se define de forma ligeramente diferente. Los rayos láser se extienden a medida que se propagan, pero lentamente. Lejos de la parte más estrecha del haz, la dispersión es aproximadamente lineal con la distancia: el haz láser forma un cono de luz en el "campo lejano". La relación utilizada para definir la AN del rayo láser es la misma que la utilizada para un sistema óptico,

{displaystyle {text{NA}}=nsin theta}

pero $θ$ se define de manera diferente. Los rayos láser normalmente no tienen bordes afilados como el cono de luz que pasa a través de la apertura de una lente. En cambio, la irradiancia cae gradualmente alejándose del centro del haz. Es muy común que la viga tenga un perfil gaussiano. Los físicos del láser normalmente eligen hacer $θ$ la divergencia del haz: el ángulo de campo lejano entre el eje del haz y el distancia desde el eje en el que la irradiancia cae a $e -2$ veces la irradiancia en el eje. La AN de un rayo láser gaussiano se relaciona con su tamaño de punto mínimo ("cintura del haz") mediante

{displaystyle {text{NA}}simeq {frac {lambda _{0}}{pi w_{0}}},}

donde $λ 0$ es la longitud de onda de vacío de la luz, y $2 w 0$ es el diámetro del haz en su punto más estrecho, medido entre $e -2$ puntos de irradiación ("Ancho total en $e -2$ máximo de la intensidad"). Esto significa que un rayo láser que se enfoca en un punto pequeño se dispersará rápidamente a medida que se aleja del foco, mientras que un rayo láser de gran diámetro puede permanecer aproximadamente del mismo tamaño en una distancia muy larga. Ver también: ancho de haz gaussiano.

Fibra óptica

Una fibra multimodo de índice

n 1

con revestimiento de índice

n 2

Una fibra óptica multimodo solo propagará la luz que ingrese a la fibra dentro de un cierto rango de ángulos, conocido como el cono de aceptación de la fibra. El semiángulo de este cono se llama ángulo de aceptación, $θ max$ . Para fibra multimodo de índice escalonado en un medio determinado, el ángulo de aceptación está determinado únicamente por los índices de refracción del núcleo, el revestimiento y el medio:

nsin theta _{max }={sqrt {n_{text{core}}^{2}-n_{text{clad}}^{2}}},

donde $n$ es el índice de refracción del medio alrededor de la fibra, $n núcleo$ es el índice de refracción del núcleo de la fibra y $n revestido$ es el índice de refracción del revestimiento. Si bien el núcleo aceptará luz en ángulos más altos, esos rayos no se reflejarán totalmente en la interfaz núcleo-revestimiento y, por lo tanto, no se transmitirán al otro extremo de la fibra. La derivación de esta fórmula se da a continuación.

Cuando un rayo de luz incide desde un medio de índice de refracción $n$ al núcleo de índice $n núcleo$ en el ángulo de máxima aceptación, la ley de Snell en la interfaz medio-núcleo da

{displaystyle nsin theta _{max }=n_{text{core}}sin theta _{r}. }

De la geometría de la figura anterior tenemos:

{displaystyle sin theta _{r}=sin left({90^{circ }}-theta _{c}right)=cos theta _{c}}

dónde

{displaystyle theta _{c}=arcsin {frac {n_{text{clad}}}{n_{text{core}}}}}

es el ángulo crítico para la reflexión interna total.

Sustituyendo $cos θ c$ por $sin θ r$ en la ley de Snell obtenemos:

{displaystyle {frac {n}{n_{text{core}}}}sin theta _{max }=cos theta _{c}.}

Al elevar al cuadrado ambos lados

{displaystyle {frac {n^{2}}{n_{text{core}}^{2}}}sin ^{2}theta _{max }=cos ^{2}theta _{c}=1-sin ^{2}theta _{c}=1-{frac {n_{text{clad}}^{2}}{n_{text{core}}^{2}}}.}

Resolviendo, encontramos la fórmula indicada anteriormente:

nsin theta _{max }={sqrt {n_{text{core}}^{2}-n_{text{clad}}^{2}}},

Tiene la misma forma que la apertura numérica (NA) en otros sistemas ópticos, por lo que se ha vuelto común definir la NA de cualquier tipo de fibra como

{displaystyle mathrm {NA} ={sqrt {n_{text{core}}^{2}-n_{text{clad}}^{2}}},}

donde $n núcleo$ es el índice de refracción a lo largo del eje central de la fibra. Tenga en cuenta que cuando se usa esta definición, la conexión entre la NA y el ángulo de aceptación de la fibra se vuelve solo una aproximación. En particular, los fabricantes suelen citar "NA" para fibra monomodo basada en esta fórmula, aunque el ángulo de aceptación para fibra monomodo es bastante diferente y no puede determinarse a partir de los índices de refracción únicamente.

El número de modos vinculados, el volumen del modo, está relacionado con la frecuencia normalizada y, por lo tanto, con la NA.

En fibras multimodo, a veces se utiliza el término apertura numérica de equilibrio. Esto se refiere a la apertura numérica con respecto al ángulo de salida extremo de un rayo que emerge de una fibra en la que se ha establecido una distribución de modo de equilibrio.

Apertura numérica

Óptica general

Apertura numérica versus número f

Número f de trabajo (efectivo)

Física láser

Fibra óptica

Calor de fusión

Constante física

Dalton (unidad)