Teoría del nudo

Ejemplos de diferentes nudos incluyendo el nudo trivial (top left) y el nudo de trefoil (bajo)

Un diagrama nudo del nudo trefoil, el nudo no-trivial más simple

En el campo matemático de la topología, teoría del nudo es el estudio de nudos matemáticos. Mientras se inspira en nudos que aparecen en la vida diaria, como los en cordones de zapato y cuerda, un nudo matemático difiere en que los extremos se unen por lo que no se puede deshacer, el nudo más simple es un anillo (o "nombre"). En lenguaje matemático, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional, R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}}. Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede ser transformado en el otro a través de una deformación de R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} sobre sí mismo (conocido como una isotopía ambiental); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortarla o pasarla por sí misma.

Los nudos se pueden describir de varias maneras. Usando diferentes métodos de descripción, puede haber más de una descripción del mismo nudo. Por ejemplo, un método común para describir un nudo es un diagrama plano llamado diagrama de nudos, en el que cualquier nudo se puede dibujar de muchas maneras diferentes. Por lo tanto, un problema fundamental en la teoría de nudos es determinar cuándo dos descripciones representan el mismo nudo.

Existe una solución algorítmica completa para este problema, que tiene una complejidad desconocida. En la práctica, los nudos a menudo se distinguen mediante un nudo invariante, una "cantidad" que es lo mismo cuando se calcula a partir de diferentes descripciones de un nudo. Los invariantes importantes incluyen polinomios de nudos, grupos de nudos e invariantes hiperbólicos.

La motivación original de los fundadores de la teoría de nudos fue crear una tabla de nudos y enlaces, que son nudos de varios componentes entrelazados entre sí. Se han tabulado más de seis mil millones de nudos y enlaces desde los comienzos de la teoría de nudos en el siglo XIX.

Para obtener más información, los matemáticos han generalizado el concepto de nudo de varias maneras. Los nudos se pueden considerar en otros espacios tridimensionales y se pueden usar objetos distintos de los círculos; ver nudo (matemáticas). Por ejemplo, un nudo de dimensiones superiores es una esfera de n dimensiones incrustada en un espacio euclidiano de (n+2) dimensiones.

Historia

Intrincados nudos celtas en el libro de Kells de 1200 años

Los arqueólogos han descubierto que los nudos se remontan a tiempos prehistóricos. Además de sus usos, como registrar información y unir objetos, los nudos han interesado a los humanos por su estética y simbolismo espiritual. Los nudos aparecen en varias formas de obras de arte chinas que datan de varios siglos antes de Cristo (ver nudos chinos). El nudo sin fin aparece en el budismo tibetano, mientras que los anillos borromeos han aparecido repetidamente en diferentes culturas, a menudo representando la fuerza en la unidad. Los monjes celtas que crearon el Libro de Kells prodigaron páginas enteras con intrincados nudos celtas.

El primer tabulador de nudos, Peter Guthrie Tait

Alexandre-Théophile Vandermonde desarrolló por primera vez una teoría matemática de los nudos en 1771, quien señaló explícitamente la importancia de las características topológicas al analizar las propiedades de los nudos relacionadas con la geometría de la posición. Los estudios matemáticos de los nudos comenzaron en el siglo XIX con Carl Friedrich Gauss, quien definió la integral de enlace (Silver 2006). En la década de 1860, la teoría de Lord Kelvin de que los átomos eran nudos en el éter llevó a Peter Guthrie Tait a crear las primeras tablas de nudos para una clasificación completa. Tait, en 1885, publicó una tabla de nudos con hasta diez cruces, y lo que se conoció como las conjeturas de Tait. Este registro motivó a los primeros teóricos de nudos, pero la teoría de nudos finalmente se convirtió en parte del tema emergente de la topología.

Estos topólogos de principios del siglo XX (Max Dehn, J. W. Alexander y otros) estudiaron los nudos desde el punto de vista del grupo de nudos y las invariantes de la teoría de la homología, como el polinomio de Alexander. Este sería el enfoque principal de la teoría de nudos hasta que una serie de avances transformaron el tema.

A fines de la década de 1970, William Thurston introdujo la geometría hiperbólica en el estudio de los nudos con el teorema de hiperbolización. Se demostró que muchos nudos eran nudos hiperbólicos, lo que permitió el uso de la geometría para definir invariantes de nudos nuevos y potentes. El descubrimiento del polinomio de Jones por Vaughan Jones en 1984 (Sossinsky 2002, pp. 71–89), y las contribuciones posteriores de Edward Witten, Maxim Kontsevich y otros, revelaron profundas conexiones entre la teoría de nudos y los métodos matemáticos en la mecánica estadística y el campo cuántico. teoría. Desde entonces, se ha inventado una plétora de invariantes de nudos, utilizando herramientas sofisticadas como los grupos cuánticos y la homología de Floer.

En las últimas décadas del siglo XX, los científicos se interesaron en estudiar los nudos físicos para comprender el fenómeno de los nudos en el ADN y otros polímeros. La teoría de los nudos se puede utilizar para determinar si una molécula es quiral (tiene una 'partididad') o no (Simon 1986). Los enredos, cuerdas con ambos extremos fijos en su lugar, se han utilizado con eficacia para estudiar la acción de la topoisomerasa en el ADN (Flapan 2000). La teoría de nudos puede ser crucial en la construcción de computadoras cuánticas, a través del modelo de computación cuántica topológica (Collins 2006).

Equivalencia de nudos

A la izquierda, el nudo, y un nudo equivalente a él. Puede ser más difícil determinar si los nudos complejos, como el de la derecha, son equivalentes al unknot.

Un nudo se crea al principio con un segmento de línea unidimensional, envolviéndolo arbitrariamente, y luego fusionando sus dos extremos libres para formar un bucle cerrado (Adams 2004) (Sossinsky 2002). Simplemente, podemos decir un nudo K{displaystyle K} es una " curva cerrada simple" (ver Curve) — es decir: una función "cercamente" inyectable y continua K:: [0,1]→ → R3{displaystyle Kcolon [0,1]to mathbb {R} ^{3}, con la única "no-injetividad" ser K()0)=K()1){displaystyle K(0)=K(1)}. Los topólogos consideran nudos y otros enredos como enlaces y trenzas a ser equivalentes si el nudo puede ser empujado suavemente, sin intersecarse a sí mismo, para coincidir con otro nudo.

La idea de equivalencia nudo es dar una definición precisa de cuando dos nudos deben ser considerados iguales incluso cuando se colocan muy diferente en el espacio. Una definición matemática formal es que dos nudos K1,K2{displaystyle K_{1},K_{2} son equivalentes si hay un homeomorfismo orientador h:: R3→ → R3{displaystyle hcolon mathbb {R} ^{3}to mathbb {R} } {3} con h()K1)=K2{displaystyle h(K_{1}=K_{2}.

Lo que significa esta definición de equivalencia nudo es que dos nudos son equivalentes cuando hay una familia continua de homeomorfismos {}ht:R3→ → R3for0≤ ≤ t≤ ≤ 1}{displaystyle "Mathbb" {R} ^{3}derecha mathbb {R} ^{3} mathrm {for} 0leq tleq # de espacio sobre sí mismo, tal que el último de ellos lleva el primer nudo sobre el segundo nudo. (En detalle: Dos nudos K1{displaystyle K_{1} y K2{displaystyle K_{2} son equivalente si existe un mapeo continuo H:R3× × [0,1]→ → R3{displaystyle H:Mathbb {R} ^{3}times [0,1]rightarrow mathbb {R} ^{3} tal que a) para cada t▪ ▪ [0,1]{displaystyle tin [0,1]} la asignación x▪ ▪ R3{displaystyle xin mathbb [R] ^{3} a H()x,t)▪ ▪ R3{displaystyle H(x,t)in mathbb {R} ^{3} es un homeomorfismo R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} sobre sí mismo; b) H()x,0)=x{displaystyle H(x,0)=x} para todos x▪ ▪ R3{displaystyle xin mathbb [R] ^{3}; y c) H()K1,1)=K2{displaystyle H(K_{1},1)=K_{2}. Tal función H{displaystyle H. es conocido como una isotopía ambiente.)

Estas dos nociones de equivalencia nudo coinciden exactamente sobre qué nudos son equivalentes: Dos nudos que son equivalentes bajo la definición de homeomorfismo que conserva la orientación también son equivalentes en la definición de isotopía ambiente, porque cualquier orientación-preservando homeomorfismos de R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} a sí mismo es la etapa final de una isotopía ambiente partiendo de la identidad. Por el contrario, dos nudos equivalentes bajo la definición de isotopía ambiente también son equivalentes en la definición de homeomorfismo que conserva orientación, porque la t=1{displaystyle t=1} (final) etapa de la isotopía ambiental debe ser un homeomorfismo orientador que lleva un nudo al otro.

El problema básico de la teoría de nudos, el problema de reconocimiento, es determinar la equivalencia de dos nudos. Existen algoritmos para resolver este problema, con el primero dado por Wolfgang Haken a fines de la década de 1960 (Hass 1998). No obstante, estos algoritmos pueden consumir mucho tiempo, y un problema importante en la teoría es comprender qué tan difícil es realmente este problema (Hass 1998). El caso especial de reconocer el desanudado, llamado problema de desanudado, es de particular interés (Hoste 2005). En febrero de 2021, Marc Lackenby anunció un nuevo algoritmo de reconocimiento de nudos que se ejecuta en tiempo cuasi-polinomio.

Diagramas de nudos

Una forma útil de visualizar y manipular nudos es proyectar el nudo en un plano; piense en el nudo proyectando una sombra en la pared. Un pequeño cambio en la dirección de proyección asegurará que sea uno a uno excepto en los puntos dobles, llamados cruces, donde la "sombra" del nudo se cruza una vez transversalmente (Rolfsen 1976). En cada cruce, para poder recrear el nudo original, la hebra superior debe distinguirse de la hebra inferior. Esto a menudo se hace creando una ruptura en el hilo que va debajo. El diagrama resultante es una curva plana sumergida con los datos adicionales de qué hebra está arriba y cuál está debajo en cada cruce. (Estos diagramas se llaman diagramas de nudos cuando representan un nudo y diagramas de enlace cuando representan un enlace). en 3 espacios.

Un diagrama reducido es un diagrama de nudos en el que no hay cruces reducibles (también nugatorios o cruces removibles), o en el que se hayan eliminado todos los cruces reducibles. Una proyección de pétalos es un tipo de proyección en la que, en lugar de formar puntos dobles, todas las hebras del nudo se encuentran en un solo punto de cruce, conectado a él por bucles que forman "pétalos" no anidados.

Movimientos de Reidemeister

En 1927, trabajando con esta forma esquemática de nudos, J. W. Alexander y Garland Baird Briggs, y de forma independiente Kurt Reidemeister, demostraron que dos diagramas de nudos pertenecientes al mismo nudo pueden relacionarse mediante una secuencia de tres tipos de movimientos en el diagrama., mostrado a continuación. Estas operaciones, ahora llamadas movimientos Reidemeister, son:

Reidemeister se mueve

Tipo I	Tipo II
Tipo III

La prueba de que los diagramas de nudos equivalentes están conectados por movimientos de Reidemeister se basa en un análisis de lo que sucede bajo la proyección plana del movimiento que lleva un nudo a otro. El movimiento se puede organizar de modo que casi todo el tiempo la proyección sea un diagrama de nudos, excepto en un número finito de veces cuando un "evento" o "catástrofe" ocurre, como cuando más de dos hilos se cruzan en un punto o varios hilos se vuelven tangentes en un punto. Una inspección minuciosa mostrará que los eventos complicados se pueden eliminar, dejando solo los eventos más simples: (1) un "torcedura" formando o enderezándose; (2) dos hilos que se vuelven tangentes en un punto y lo atraviesan; y (3) tres hebras que se cruzan en un punto. Estos son precisamente los movimientos de Reidemeister (Sossinsky 2002, cap. 3) (Lickorish 1997, cap. 1).

Invariantes de nudos

Una impresión 3D que representa el complemento de la figura ocho nudo
por François Guéritaud, Saul Schleimer, y Henry Segerman

Una invariante de nudo es una "cantidad" lo mismo ocurre con los nudos equivalentes (Adams 2004) (Lickorish 1997) (Rolfsen 1976). Por ejemplo, si el invariante se calcula a partir de un diagrama de nudos, debería dar el mismo valor para dos diagramas de nudos que representen nudos equivalentes. Un invariante puede tomar el mismo valor en dos nudos diferentes, por lo que por sí mismo puede ser incapaz de distinguir todos los nudos. Una invariante elemental es la tricolorabilidad.

"Clásica" Los invariantes de nudos incluyen el grupo de nudos, que es el grupo fundamental del complemento de nudos, y el polinomio de Alexander, que se puede calcular a partir del invariante de Alexander, un módulo construido a partir de la cobertura cíclica infinita del complemento de nudos (Lickorish 1997)(Rolfsen 1976). A finales del siglo XX, invariantes como "quantum" Se descubrieron polinomios de nudos, invariantes de Vassiliev e invariantes hiperbólicas. Estas invariantes antes mencionadas son solo la punta del iceberg de la teoría moderna de nudos.

Nudo de polinomios

Un polinomio de nudo es un invariante de nudo que es un polinomio. Los ejemplos bien conocidos incluyen los polinomios de Jones y Alexander. Una variante del polinomio de Alexander, el polinomio de Alexander-Conway, es un polinomio en la variable z con coeficientes enteros (Lickorish 1997).

El polinomio de Alexander-Conway en realidad se define en términos de enlaces, que consisten en uno o más nudos entrelazados entre sí. Los conceptos explicados anteriormente para nudos, p. diagramas y movimientos de Reidemeister, también válidos para enlaces.

Considere un diagrama de enlace orientado, i.e. uno en el que cada componente del enlace tiene una dirección preferida indicada por una flecha. Para un cruce dado del diagrama, dejemos L+,L− − ,L0{displaystyle L_{+},L_{-},L_{0} ser los diagramas de enlace orientados resultantes de cambiar el diagrama como se indica en la figura:

El diagrama original podría ser L+{displaystyle L_{+} o L− − {displaystyle L_{-}, dependiendo de la configuración del cruce elegido. Luego el polinomio Alexander-Conway, C()z){displaystyle C(z)}, se define recursivamente según las reglas:

• C()O)=1{displaystyle C(O)=1} (donde) O{displaystyle O. es cualquier diagrama del no-knot)
• C()L+)=C()L− − )+zC()L0).{displaystyle C(L_{+})=C(L_{-})+zC(L_{0}). }

La segunda regla es lo que a menudo se denomina relación de madeja. Para verificar que estas reglas dan una invariante de un enlace orientado, se debe determinar que el polinomio no cambia bajo los tres movimientos de Reidemeister. Muchos polinomios de nudo importantes se pueden definir de esta manera.

El siguiente es un ejemplo de un cálculo típico usando una relación de madeja. Calcula el polinomio de Alexander-Conway del nudo del trébol. Los parches amarillos indican dónde se aplica la relación.

C())C()) +z C())

proporciona el enlace de desunión y Hopf. Aplicando la relación al enlace Hopf donde se indica,

C()) C()) + z C())

da un vínculo deformable a uno con 0 cruces (en realidad es el desvinculo de dos componentes) y un nudo. El desvinculo requiere un poco de astucia:

C()) C()) + z C())

lo que implica que C(desvinculación de dos componentes) = 0, ya que los dos primeros polinomios son del desanudado y por lo tanto iguales.

Poniendo todo esto junto mostrará:

C()trefoil)=1+z()0+z)=1+z2{displaystyle C(mathrm {trefoil})=1+z(0+z)=1+z^{2}

Dado que el polinomio de Alexander-Conway es un nudo invariante, esto muestra que el trébol no es equivalente al desanudado. Así que el trébol realmente está "anudado".

• 

  El nudo de trefoil zurdo.

• 

  El nudo de trefoil derecho.

En realidad, hay dos nudos de trébol, llamados tréboles para diestros y zurdos, que son imágenes especulares entre sí (tome un diagrama del trébol anterior y cambie cada cruce a la otra forma para obtener la imagen especular). Estos no son equivalentes entre sí, lo que significa que no son anfiquirales. Esto fue demostrado por Max Dehn, antes de la invención de los polinomios de nudos, utilizando métodos de teoría de grupos (Dehn 1914). Pero el polinomio de Alexander-Conway de cada tipo de trébol será el mismo, como se puede ver al realizar el cálculo anterior con la imagen especular. De hecho, el polinomio de Jones puede distinguir entre los nudos de trébol de mano izquierda y derecha (Lickorish 1997).

Invariables hiperbólicas

William Thurston demostró que muchos nudos son hiperbólicos, lo que significa que el complemento del nudo (es decir, el conjunto de puntos de 3 espacios que no están en el nudo) admite una estructura geométrica, en particular la de la geometría hiperbólica. La estructura hiperbólica depende solo del nudo, por lo que cualquier cantidad calculada a partir de la estructura hiperbólica es entonces un nudo invariante (Adams 2004).

Los anillos Borromean son un enlace con la propiedad que la eliminación de un anillo desvincula a los demás.

Vista cusp de SnapPea: los anillos Borromean complementan desde la perspectiva de un habitante que vive cerca del componente rojo.

La geometría nos permite visualizar cómo se ve el interior de un complemento de nudo o enlace imaginando rayos de luz viajando a lo largo de las geodésicas de la geometría. Un ejemplo lo proporciona la imagen del complemento de los anillos borromeos. El habitante de este complemento de enlace está viendo el espacio desde cerca del elemento rojo. Las bolas de la imagen son vistas de los barrios horoball del link. Al engrosar el enlace de forma estándar, se obtienen las vecindades horoball de los componentes del enlace. Aunque el límite de una vecindad es un toro, cuando se ve desde dentro del complemento de enlace, parece una esfera. Cada componente del enlace se muestra como un número infinito de esferas (de un color) ya que hay un número infinito de rayos de luz desde el observador hasta el componente del enlace. El paralelogramo fundamental (que se indica en la imagen), teselas tanto vertical como horizontalmente y muestra cómo extender el patrón de esferas infinitamente.

Este patrón, el patrón horoball, es en sí mismo un invariante útil. Otras invariantes hiperbólicas incluyen la forma del paralelogramo fundamental, la longitud de la geodésica más corta y el volumen. Los esfuerzos modernos de tabulación de nudos y eslabones han utilizado estas invariantes de manera efectiva. Las computadoras rápidas y los métodos inteligentes para obtener estos invariantes hacen que calcular estos invariantes, en la práctica, sea una tarea simple (Adams, Hildebrand & Weeks 1991).

Dimensiones superiores

Un nudo en tres dimensiones se puede desatar cuando se coloca en un espacio de cuatro dimensiones. Esto se hace cambiando los cruces. Supongamos que una hebra está detrás de otra vista desde un punto elegido. Levántelo a la cuarta dimensión, para que no haya obstáculos (el hilo frontal no tiene ningún componente allí); luego deslízalo hacia adelante y déjalo caer hacia atrás, ahora al frente. Las analogías para el avión serían levantar una cuerda de la superficie o quitar un punto del interior de un círculo.

De hecho, en cuatro dimensiones, cualquier bucle cerrado de cuerda unidimensional que no se intersecte es equivalente a un nudo. Primer "empuje" el bucle en un subespacio tridimensional, que siempre es posible, aunque técnico para explicar.

Sin embargo, el espacio de cuatro dimensiones aparece en la teoría de nudos clásica y un tema importante es el estudio de los nudos de corte y los nudos de cinta. Un problema abierto notorio pregunta si cada nudo de rebanada es también una cinta.

Anudando esferas de mayor dimensión

Puesto que un nudo puede ser considerado topológicamente una esfera 1-dimensional, la siguiente generalización es considerar una esfera bidimensional (S2{displaystyle mathbb {S} {2}) incrustado en espacio Euclideano 4dimensional (R4{displaystyle mathbb {R} {4}}). Tal embedida está anudada si no hay homeomorfismo R4{displaystyle mathbb {R} {4}} sobre sí mismo tomando la incrustada 2-sphere a la incrustación "redondeada" estándar de la 2-sphere. Los nudos sostenidos y los nudos de punta son dos familias típicas de estos nudos de 2-sfera.

La técnica matemática llamada "posición general" implica que para un determinado n- Esfera en m-dimensional Espacio euclidiano, si m es lo suficientemente grande (dependiendo de n), la esfera debe ser no anotada. En general, las n-esféricas lineales en sentido parcial forman nudos solamente en (n+ 2) espacio dimensional (Zeeman 1963), aunque esto ya no es un requisito para las esferas ligeramente anudadas. De hecho, hay un nudo suavemente ()4k− − 1){displaystyle (4k-1)}- Esferas en 6k- espacio dimensional; por ejemplo, hay una suavemente anudada 3-sfere en R6{displaystyle mathbb {R} {6}} (Haefliger 1962) (Levine 1965). Así la codimensión de un nudo suave puede ser arbitrariamente grande cuando no se fija la dimensión de la esfera nuda; sin embargo, cualquier suave k- esfera incrustada en Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} con 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2n− − 3k− − 3■0{displaystyle 2n-3k-3}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f4bd67175fe6d6b322b56055f7a3c19a0ea599" style="vertical-align: -0.505ex; width:16.035ex; height:2.343ex;"/> no está anotado. La noción de un nudo tiene más generalizaciones en matemáticas, ver: Knot (mathematics), clasificación de isotopía de las incrustaciones.

Cada nudo en la esfera n Sn{displaystyle mathbb {S} es el enlace de un conjunto real-algebraico con singularidad aislada en Rn+1{displaystyle mathbb {R} {n+1} (Akbulut " King 1981).

An n- no es un solo Sn{displaystyle mathbb {S} incrustado en Rm{displaystyle mathbb {R} {} {m}. An n-El enlace consiste en k-copias de Sn{displaystyle mathbb {S} incrustado en Rm{displaystyle mathbb {R} {} {m}, donde k es un número natural. Ambos m=n+2{displaystyle m=n+2} y el n+2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m■n+2{displaystyle m confían+2}n+2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a777e81e5204aeb3379fdfa516e7dff5bdf02b8" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.536ex; height:2.343ex;"/> los casos están bien estudiados, y también el 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1{displaystyle n confía1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> caso.

Agregar nudos

Añadiendo dos nudos

Se pueden agregar dos nudos cortando ambos nudos y uniendo los pares de extremos. La operación se denomina suma de nudos, o a veces suma conectada o composición de dos nudos. Esto se puede definir formalmente de la siguiente manera (Adams 2004): considere una proyección plana de cada nudo y suponga que estas proyecciones son disjuntas. Encuentra un rectángulo en el plano donde un par de lados opuestos son arcos a lo largo de cada nudo mientras que el resto del rectángulo está separado de los nudos. Forme un nuevo nudo eliminando el primer par de lados opuestos y uniendo el otro par de lados opuestos. El nudo resultante es una suma de los nudos originales. Dependiendo de cómo se haga esto, pueden resultar dos nudos diferentes (pero no más). Esta ambigüedad en la suma se puede eliminar considerando los nodos como orientados, es decir, teniendo una dirección preferida de viaje a lo largo del nudo, y requiriendo que los arcos de los nodos en la suma estén orientados consistentemente con el límite orientado de el rectángulo

La suma de nudos de nudos orientados es conmutativa y asociativa. Un nudo es primo si no es trivial y no puede escribirse como la suma de dos nudos no triviales. Un nudo que se puede escribir como tal suma es compuesto. Existe una descomposición en primos para los nudos, análoga a los números primos y compuestos (Schubert 1949). Para nudos orientados, esta descomposición también es única. También se pueden agregar nudos de dimensiones superiores, pero hay algunas diferencias. Si bien no puede formar el desanudado en tres dimensiones agregando dos nudos no triviales, puede hacerlo en dimensiones más altas, al menos cuando se consideran nudos suaves en codimensión al menos 3.

Nodos de tabulación

Una tabla de nudos primos hasta siete cruces. Los nudos se etiquetan con la notación Alexander-Briggs

Tradicionalmente, los nudos se han catalogado en términos de número de cruce. Las tablas de nudos generalmente incluyen solo nudos primos y solo una entrada para un nudo y su imagen especular (incluso si son diferentes) (Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998). El número de nudos no triviales de un número de cruce dado aumenta rápidamente, lo que dificulta la tabulación desde el punto de vista computacional (Hoste 2005, p. 20). Los esfuerzos de tabulación han logrado enumerar más de 6 mil millones de nudos y enlaces (Hoste 2005, p. 28). La secuencia del número de nudos primos de un número de cruce dado, hasta el número de cruce 16, es 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46972, 253293, 1388705... (secuencia A002863 en el OEIS). Si bien se conocen los límites exponenciales superior e inferior de esta secuencia, no se ha demostrado que esta secuencia sea estrictamente creciente (Adams 2004).

Las primeras tablas de nudos de Tait, Little y Kirkman usaban diagramas de nudos, aunque Tait también usó un precursor de la notación Dowker. Se han inventado diferentes notaciones para los nudos que permiten una tabulación más eficiente (Hoste 2005).

Las primeras tablas intentaban enumerar todos los nudos de un máximo de 10 cruces y todos los nudos alternos de 11 cruces (Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998). El desarrollo de la teoría de nudos debido a Alexander, Reidemeister, Seifert y otros facilitó la tarea de verificación y Alexander-Briggs y Reidemeister publicaron tablas de nudos de hasta 9 cruces a fines de la década de 1920.

La primera verificación importante de este trabajo fue realizada en la década de 1960 por John Horton Conway, quien no solo desarrolló una nueva notación sino también el polinomio de Alexander-Conway (Conway 1970) (Doll & Hoste 1991). Esto verificó la lista de nudos de un máximo de 11 cruces y una nueva lista de enlaces de hasta 10 cruces. Conway encontró varias omisiones pero solo una duplicación en las tablas Tait-Little; sin embargo, se perdió los duplicados llamados el par Perko, que solo se notarían en 1974 por Kenneth Perko (Perko 1974). Este famoso error se propagaría cuando Dale Rolfsen agregó una tabla de nudos en su influyente texto, basado en el trabajo de Conway. El artículo de 1970 de Conway sobre la teoría de nudos también contiene una duplicación tipográfica en su página de 11 nudos cruzados no alternos y omite 4 ejemplos: 2 enumerados anteriormente en la tesis principal de Princeton de 1968 de D. Lombardero y 2 más descubiertos posteriormente. por Alain Caudron. [ver Perko (1982), Primalidad de ciertos nudos, Procedimientos de topología] Menos famoso es el duplicado en su tabla de 10 enlaces cruzados: 2.-2.-20.20 es el espejo de 8*-20:-20. [Véase Perko (2016), Puntos destacados históricos de la teoría de nudos no cíclicos, J. Ramificaciones de la teoría de nudos].

A fines de la década de 1990, Hoste, Thistlethwaite y Weeks tabularon todos los nudos a través de 16 cruces (Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998). En 2003, Rankin, Flint y Schermann tabularon los nudos alternos a través de 22 cruces (Hoste 2005). En 2020, Burton tabuló todos los nudos principales con hasta 19 cruces (Burton 2020).

Notación de Alexander-Briggs

Esta es la notación más tradicional, debido al artículo de 1927 de James W. Alexander y Garland B. Briggs y luego ampliada por Dale Rolfsen en su tabla de nudos (vea la imagen de arriba y la Lista de nudos primos). La notación simplemente organiza los nudos por su número de cruce. Uno escribe el número de cruce con un subíndice para indicar su orden entre todos los nudos con ese número de cruce. Este orden es arbitrario y, por lo tanto, no tiene un significado especial (aunque en cada número de cruces el nudo torcido viene después del nudo toroide). Los enlaces se escriben por número de cruce con un superíndice para indicar el número de componentes y un subíndice para indicar su orden dentro de los enlaces con el mismo número de componentes y cruces. Por lo tanto, el nudo del trébol se anota 3₁ y el enlace Hopf es 2 ²
₁. Los nombres de Alexander-Briggs en el rango 10₁₆₂ a 10₁₆₆ son ambiguos, debido al descubrimiento del par Perko en las tablas de nudos originales y posteriores de Charles Newton Little., y diferencias en el enfoque para corregir este error en tablas de nudos y otras publicaciones creadas después de este punto.

Notación Dowker-Thistlethwaite

Un diagrama de nudos con cruces etiquetados para una secuencia Dowker

La notación Dowker-Thistlethwaite, también llamada notación o código Dowker, porque un nudo es una secuencia finita de números enteros pares. Los números se generan siguiendo el nudo y marcando los cruces con enteros consecutivos. Dado que cada cruce se visita dos veces, esto crea un emparejamiento de números enteros pares con números enteros impares. Se da una señal apropiada para indicar cruces excesivos o insuficientes. Por ejemplo, en esta figura el diagrama de nudos tiene cruces etiquetados con los pares (1,6) (3,−12) (5,2) (7,8) (9,−4) y (11,−10). La notación de Dowker-Thistlethwaite para este etiquetado es la secuencia: 6, −12, 2, 8, −4, −10. Un diagrama de nudos tiene más de una notación Dowker posible, y existe una ambigüedad bien entendida al reconstruir un nudo a partir de una notación Dowker-Thistlethwaite.

Notación Conway

La notación de Conway para nudos y enlaces, llamada así por John Horton Conway, se basa en la teoría de los enredos (Conway 1970). La ventaja de esta notación es que refleja algunas propiedades del nudo o enlace.

La notación describe cómo construir un diagrama de enlace particular del enlace. Comience con un poliedro básico, un gráfico plano conectado de 4 valentes sin regiones de dígitos. Tal poliedro se denota primero por el número de vértices y luego por un número de asteriscos que determinan la posición del poliedro en una lista de poliedros básicos. Por ejemplo, 10** denota el segundo poliedro de 10 vértices en la lista de Conway.

Cada vértice tiene una maraña algebraica sustituida (cada vértice está orientado para que no haya elección arbitraria en la sustitución). Cada una de estas marañas tiene una notación que consta de números y signos + o −.

Un ejemplo es 1*2 −3 2. El 1* denota el único poliedro básico de 1 vértice. El 2 −3 2 es una secuencia que describe la fracción continua asociada a un enredo racional. Uno inserta esta maraña en el vértice del poliedro básico 1*.

Un ejemplo más complicado es 8*3.1.2 0.1.1.1.1.1 Aquí nuevamente 8* se refiere a un poliedro básico con 8 vértices. Los puntos separan la notación de cada enredo.

Cualquier enlace admite tal descripción, y está claro que esta es una notación muy compacta incluso para números de cruce muy grandes. Hay algunas abreviaturas adicionales que se usan generalmente. El último ejemplo suele escribirse 8*3:2 0, donde se omiten los unos y se mantiene el número de puntos excepto los puntos al final. Para un nudo algebraico como el del primer ejemplo, a menudo se omite 1*.

El artículo pionero de Conway sobre el tema enumera poliedros básicos de hasta 10 vértices que utiliza para tabular enlaces, que se han convertido en estándar para esos enlaces. Para obtener una lista adicional de poliedros de vértice superior, hay opciones no estándar disponibles.

Código de Gauss

El código de Gauss, similar a la notación de Dowker-Thistlethwaite, representa un nudo con una secuencia de números enteros. Sin embargo, en lugar de que cada cruce esté representado por dos números diferentes, los cruces se etiquetan con un solo número. Cuando el cruce es un cruce excesivo, se enumera un número positivo. En un cruce inferior, un número negativo. Por ejemplo, el nudo del trébol en el código de Gauss se puede dar como: 1,−2,3,−1,2,−3

El código de Gauss tiene una capacidad limitada para identificar nudos. Este problema se aborda parcialmente con el código de Gauss extendido.