Cierre algebraico

En matemáticas, particularmente en álgebra abstracta, un cierre algebraico de un campo K es una extensión algebraica de K que es algebraicamente cerrado. Es uno de los muchos cierres en matemáticas.

Usando el lema de Zorn o el lema de ultrafiltro más débil, se puede demostrar que todo campo tiene una clausura algebraica, y que la clausura algebraica de un campo K es única salvo un isomorfismo que corrige a todos los miembros de K. Debido a esta singularidad esencial, a menudo hablamos de el cierre algebraico de K, en lugar de un cierre algebraico de K.

La clausura algebraica de un campo K puede considerarse como la mayor extensión algebraica de K. Para ver esto, tenga en cuenta que si L es cualquier extensión algebraica de K, entonces la clausura algebraica de L es también una clausura algebraica de K, por lo que L está contenido dentro de la clausura algebraica de K. El cierre algebraico de K es también el campo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene K, porque si M es cualquier campo algebraicamente cerrado que contiene K, entonces los elementos de M que son algebraicos sobre K forman un cierre algebraico de K.

La clausura algebraica de un campo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito, y es contablemente infinito si K es finito.

Ejemplos

• El teorema fundamental del álgebra establece que el cierre algebraico del campo de números reales es el campo de números complejos.
• El cierre algebraico del campo de números racionales es el campo de los números algebraicos.
• Hay muchos campos algebraicamente cerrados contables dentro de los números complejos, y que contienen estrictamente el campo de números algebraicos; estos son los cierres algebraicos de extensiones trascendentales de los números racionales, por ejemplo el cierre algebraico de Q(π).
• Para un campo finito de orden de potencia principal q, el cierre algebraico es un campo contablemente infinito que contiene una copia del campo de orden qⁿ para cada entero positivo n (y es de hecho la unión de estas copias).

Existencia de un cierre algebraico y división de campos

Vamos S={}fλ λ Silencioλ λ ▪ ▪ ▪ ▪ }{displaystyle S={f_{lambda }sobrevivientelambda in Lambda }} ser el conjunto de todos los polinomios irreducibles monicos en K[x]. Para cada uno fλ λ ▪ ▪ S{displaystyle f_{lambda}in S}, introducir nuevas variables uλ λ ,1,...... ,uλ λ ,d{displaystyle u_{lambda1},ldotsu_{lambdad} Donde d=degree()fλ λ ){displaystyle d={rm {degree}(f_{lambda }}. Vamos R ser el anillo polinomio K generados por uλ λ ,i{displaystyle u_{lambdai} para todos λ λ ▪ ▪ ▪ ▪ {displaystyle lambda in Lambda } y todos i≤ ≤ degree()fλ λ ){displaystyle ileq {rm {degree} {f_{lambda}}}}. Escriba

fλ λ − − ∏ ∏ i=1d()x− − uλ λ ,i)=.. j=0d− − 1rλ λ ,j⋅ ⋅ xj▪ ▪ R[x]{displaystyle f_{fnfnfnfnMicrosoft f }-prod ¿Por qué? ¿Por qué?

con rλ λ ,j▪ ▪ R{displaystyle r_{lambdaj}in R.. Vamos I ser el ideal en R generado por el rλ λ ,j{displaystyle r_{lambdaj}. Desde I es estrictamente menor que R, La lema de Zorn implica que existe un ideal máximo M dentro R que contiene I. El campo K₁=R/M tiene la propiedad que cada polinomio fλ λ {displaystyle f_{lambda}} con coeficientes en K divisiones como el producto de x− − ()uλ λ ,i+M),{displaystyle x-(u_{lambdai}+M),} y por lo tanto tiene todas las raíces K₁. Del mismo modo, una extensión K₂ de K₁ se puede construir, etc. La unión de todas estas extensiones es el cierre algebraico de K, porque cualquier polinomio con coeficientes en este nuevo campo tiene sus coeficientes en algunos K_n con suficientemente grande n, y luego sus raíces están en K_n+1, y por lo tanto en la unión misma.

Se puede mostrar de la misma manera que para cualquier subconjunto S de K[x], existe un campo de división de S sobre K.

Cierre separable

Un cierre algebraico K^alg de K contiene una única extensión separable K^sep de K que contiene todas las extensiones separables (algebraicas) de K dentro de K^alg. Esta subextensión se denomina cierre separable de K. Dado que una extensión separable de una extensión separable es nuevamente separable, no hay extensiones separables finitas de K^sep, de grado > 1. Dicho de otra manera, K está contenido en un campo de extensión algebraico separablemente cerrado. Es único (salvo isomorfismo).

El cierre separable es el cierre algebraico completo si y sólo si K es un campo perfecto. Por ejemplo, si K es un campo de características p y si X es trascendental K, K()X)()Xp).. K()X){displaystyle K(X)({sqrt[{p}})supset K(X)} es una extensión algebraica no estable.

En general, el grupo de Galois absoluto de K es el grupo de Galois de K^sep sobre K.