Número P-ádico

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Sistema de números para un p primitivo que extiende los racionales, definiendo la cercanía de manera diferente

Los enteros 3-adic, con caracteres correspondientes seleccionados en su grupo dual Pontryagin

En matemáticas, el $p$ -sistema numérico ádico para cualquier número primo $p$ extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente a la extensión del sistema de números racionales a los sistemas de números reales y complejos. La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de "cercanía" o valor absoluto. En particular, dos números $p$ -ádicos se consideran cercanos cuando su diferencia es divisible por una alta potencia de $p$ : cuanto mayor sea la potencia, más cerca estarán. Esta propiedad permite que los números $p$ -adic codifiquen información de congruencia de una manera que resulte tener aplicaciones poderosas en teoría de números, que incluyen, por ejemplo, en la famosa demostración del último teorema de Fermat de Andrew Wiles.

Estos números fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse implícitamente usando $p$ -números ádicos. Los números ádicos $p$ fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de series de potencias a la teoría de números. Su influencia ahora se extiende mucho más allá de esto. Por ejemplo, el campo del análisis p-ádico proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo.

Más formalmente, para un número primo $p$ , el campo $Q p$ de $p$ -números ádicos es una terminación de los números racionales. El campo $Q p$ también recibe una topología derivada de una métrica, que es en sí misma derivado del orden p-ádico, una valoración alternativa sobre los números racionales. Este espacio métrico es completo en el sentido de que toda sucesión de Cauchy converge en un punto en $Q p . Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo sobre Q p, y es la interacción de esta estructura analítica y algebraica que da a los sistemas numéricos p -ádicos su poder y utilidad.$

La $p$ en " $p$ -adic" es una variable y se puede reemplazar con un número primo (lo que produce, por ejemplo, 'los números 2-ádicos') u otra expresión que represente un número primo. El "adico" de " $p$ -adic" proviene de la terminación que se encuentra en palabras como diádica o triádica.

Expansión P-ádica de números racionales

La expansión decimal de un número racional positivo $r$ es su representación como una serie

{displaystyle r=sum _{i=k}^{infty }a_{i}10^{-i},}

Donde $k$ es un entero y cada uno $a_{i}$ es también un entero tal que $<math alttext="{displaystyle 0leq a_{i}0≤ ≤ ai.10.{displaystyle 0leq a_{i}cantado10.}<img alt="{displaystyle 0leq a_{i}$ Esta expansión puede ser calculada por la larga división del numerador por el denominador, que se basa en el siguiente teorema: Si ${displaystyle r={tfrac {n}{d}}}$ es un número racional tal que $<math alttext="{displaystyle 10^{k}leq r10k≤ ≤ r.10k+1,{displaystyle 10^{k}leq r made10^{k+1}<img alt="{displaystyle 10^{k}leq r$ hay un entero $a$ tales que $<math alttext="{displaystyle 0<a0.a.10,{displaystyle 0 se hizo realidad10,} <img alt="{displaystyle 0<a$ y ${displaystyle r=a,10^{k}+r',}$ con $<math alttext="{displaystyle r'r..10k.{displaystyle r'traducido10^{k}<img alt="{displaystyle r'$ La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto $r'$ que en la iteración asume el papel del número racional original $r$ .

El $p$ -adic expansion de un número racional se define de forma similar, pero con un paso de división diferente. Más precisamente, dado un número de primo fijo $p$ , cada número no cero racional $r$ puede ser escrito como ${displaystyle r=p^{k}{tfrac {n}{d}},}$ Donde $k$ es un entero (posiblemente negativo), $n$ y $d$ son los enteros coprime ambos coprime con $p$ , y $d$ es positivo. El entero $k$ es $p$ - valoración médica de $r$ , denotado ${displaystyle v_{p}(r),}$ y ${displaystyle p^{-k}}$ es su $p$ - valor absoluto adictivo, denotado ${displaystyle |r|_{p}}$ (el valor absoluto es pequeño cuando la valoración es grande). El paso de división consiste en escribir

{displaystyle r=a,p^{k}+r'}

Donde $a$ es un entero tal que $<math alttext="{displaystyle 0leq a$

0≤ ≤ a.p,{displaystyle 0leq aיp,}<img alt="{displaystyle 0leq a

y $r'$ es cero, o un número racional tal que $<math alttext="{displaystyle |r'|_{p}$

Silencior.Silenciop.p− − k{displaystyle Silencio.<img alt="{displaystyle |r'|_{p}

(es decir, $k}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">vp()r.)■k{displaystyle v_{p}(r')k}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4192817893b7c267e1120a5a5ac15a7741d290" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.039ex; height:3.176ex;"/>$ ).

El $p$ -adic expansion de $r$ es la serie de poder formal

{displaystyle r=sum _{i=k}^{infty }a_{i}p^{i}}

obtenido repitiendo indefinidamente el paso anterior de la división sobre los restos sucesivos. En un $p$ - expansión médica, todo $a_{i}$ son enteros tales que $<math alttext="{displaystyle 0leq a_{i}$

0≤ ≤ ai.p.{displaystyle 0leq a.<img alt="{displaystyle 0leq a_{i}

Si ${displaystyle r=p^{k}{tfrac {n}{1}}}$ con $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ , el proceso se detiene eventualmente con un cero restante; en este caso, la serie se completa siguiendo términos con un coeficiente cero, y es la representación de $r$ en base-p.

La existencia y la computación de la $p$ -adic expansion of a rational number results from Bézout's identity in the following way. Si, como antes, ${displaystyle r=p^{k}{tfrac {n}{d}},}$ y $d$ y $p$ son coprime, existen enteros $t$ y $u$ tales que ${displaystyle td+up=1.}$ Así que...

{displaystyle r=p^{k}{tfrac {n}{d}}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}{frac {un}{d}}.}

Entonces, la división Euclideana de ${displaystyle nt}$ por $p$ da

{displaystyle nt=qp+a,}

con $<math alttext="{displaystyle 0leq a$

0≤ ≤ a.p.{displaystyle 0leq aיp.}<img alt="{displaystyle 0leq a

Esto da el paso de la división como

{displaystyle {begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{frac {un}{d}}\&=&ap^{k}+p^{k+1},{frac {qd+un}{d}},\end{array}}}

para que en la iteración

{displaystyle r'=p^{k+1},{frac {qd+un}{d}}}

es el nuevo número racional.

La singularidad del paso de división y del conjunto $p$ - la expansión adictiva es fácil: ${displaystyle p^{k}a_{1}+p^{k+1}s_{1}=p^{k}a_{2}+p^{k+1}s_{2},}$ uno tiene ${displaystyle a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1}).}$ Esto significa $p$ divideciones ${displaystyle a_{1}-a_{2}.}$ Desde $<math alttext="{displaystyle 0leq a_{1}$

0≤ ≤ a1.p{displaystyle 0leq a_{1}cantado<img alt="{displaystyle 0leq a_{1}

y $<math alttext="{displaystyle 0leq a_{2}$

0≤ ≤ a2.p,{displaystyle 0leq a_{2}cantadop,}<img alt="{displaystyle 0leq a_{2}

lo siguiente debe ser cierto: ${displaystyle 0leq a_{1}}$ y $<math alttext="{displaystyle a_{2}$

a2.p.{displaystyle a_{2}<img alt="{displaystyle a_{2}

Así, uno consigue $<math alttext="{displaystyle -p<a_{1}-a_{2}$

− − p.a1− − a2.p,{displaystyle - ¿Qué?<img alt="{displaystyle -p<a_{1}-a_{2}

y desde $p$ divideciones ${displaystyle a_{1}-a_{2}}$ Debe ser que ${displaystyle a_{1}=a_{2}.}$

La expansión $p$ -ádica de un número racional es una serie que converge al número racional, si se aplica la definición de una serie convergente con el valor absoluto $p$ -adic. En la notación estándar $p$ -adic, los dígitos se escriben en el mismo orden que en un sistema base-p estándar, es decir, con las potencias de la base aumentan hacia la izquierda. Esto significa que la producción de los dígitos se invierte y el límite ocurre en el lado izquierdo.

El $p$ - la expansión adictiva de un número racional es eventualmente periódica. Por el contrario, una serie ${textstyle sum _{i=k}^{infty }a_{i}p^{i},}$ con $<math alttext="{displaystyle 0leq a_{i}$

0≤ ≤ ai.p{displaystyle 0leq a.<img alt="{displaystyle 0leq a_{i}

converge (para el $p$ - valor absoluto adictivo) a un número racional si y sólo si es eventualmente periódico; en este caso, la serie es la $p$ - expansión adictiva de ese número racional. La prueba es similar a la del resultado similar para repetir decimales.

Ejemplo

Computamos la expansión 5-adic ${displaystyle {frac {1}{3}}.}$ La identidad de Bézout para 5 y el denominador 3 es ${displaystyle 2cdot 3+(-1)cdot 5=1}$ (para ejemplos más grandes, esto se puede calcular con el algoritmo Euclideano extendido). Así

{displaystyle {frac {1}{3}}=2-{frac {5}{3}}.}

Para el siguiente paso, hay que "dividir" $-1/3$ (el factor 5 en el numerador de la fracción tiene que ser visto como un "hijo" del $p$ - valoración adic, y por lo tanto no está involucrado en la "división"). Multiplicando la identidad de Bézout $-1$ da

{displaystyle -{frac {1}{3}}=-2+{frac {5}{3}}.}

La "parte del entero" $-2$ no está en el intervalo correcto. Así que uno tiene que usar la división Euclideana por $5$ para conseguir ${displaystyle -2=3-1cdot 5,}$ dar

{displaystyle -{frac {1}{3}}=3-5+{frac {5}{3}}=3-{frac {10}{3}},}

{displaystyle {frac {1}{3}}=2+3cdot 5+{frac {-2}{3}}cdot 5^{2}.}

Del mismo modo, uno tiene

{displaystyle -{frac {2}{3}}=1-{frac {5}{3}},}

{displaystyle {frac {1}{3}}=2+3cdot 5+1cdot 5^{2}+{frac {-1}{3}}cdot 5^{3}.}

Como el "remanente" ${displaystyle -{tfrac {1}{3}}}$ ya se ha encontrado, el proceso se puede continuar fácilmente, dando coeficientes $3$ por poderes extraños de cinco, y $1$ para incluso poderes. O en la notación estándar 5-adic

{displaystyle {frac {1}{3}}=ldots 1313132_{5}}

con la elipsis ${displaystyle ldots }$ en el lado izquierdo.

Serie P-ádica

En este artículo, dado un número primo $p$ , un $p$ -adic series es una serie formal de la forma

{displaystyle sum _{i=k}^{infty }a_{i}p^{i},}

donde cada no cero $a_{i}$ es un número racional ${displaystyle a_{i}={tfrac {n_{i}}{d_{i}}},}$ tal que ninguno $n_{i}$ y $d_{i}$ es divisible por $p$ .

Cada número racional puede ser visto como $p$ - Serie ádica con un solo término, que consiste en su factorización de la forma ${displaystyle p^{k}{tfrac {n}{d}},}$ con $n$ y $d$ ambos coprime con $p$ .

A $p$ - La serie Adic es normalizado si cada uno $a_{i}$ es un entero en el intervalo ${displaystyle [0,p-1].}$ Así que... $p$ -adic expansion of a rational number is a normalized $p$ - Serie Adic.

La valoración p-adic, o orden p-adic de un nonzero $p$ - la serie adic es el número más bajo $i$ tales que ${displaystyle a_{i}neq 0.}$ El orden de la serie cero es infinito $infty.$

Dos $p$ -serie ádica son equivalentes si tienen el mismo orden $k$ , y si para cada entero $n \geq k$ la diferencia entre sus sumas parciales

{displaystyle sum _{i=k}^{n}a_{i}p^{i}-sum _{i=k}^{n}b_{i}p^{i}=sum _{i=k}^{n}(a_{i}-b_{i})p^{i}}

tiene un orden superior a $n$ (es decir, es un número racional de la forma ${displaystyle p^{k}{tfrac {a}{b}},}$ con $n,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■n,{displaystyle k títulon,}n,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b7dfba24bdf3374d14050d7c89c658a9dcc6a2" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.351ex; height:2.509ex;"/>$ y $a$ y $b$ ambos coprime con $p$ ).

Por todos $p$ - Serie ádica $S$ , hay una serie normalizada única $N$ tales que $S$ y $N$ son equivalentes. $N$ es normalización de $S.$ La prueba es similar a la prueba de existencia de la $p$ - expansión adictiva de un número racional. En particular, todo número racional puede considerarse como un $p$ - serie adic con un solo término no cero, y la normalización de esta serie es exactamente la representación racional del número racional.

En otras palabras, la equivalencia de $p$ -serie ádica es una relación de equivalencia, y cada clase de equivalencia contiene exactamente una serie normalizada $p$ -serie ádica.

Las operaciones habituales de serie (addición, resta, multiplicación, división) mapa $p$ - Serie ádica a $p$ -adic series, y son compatibles con equivalencia de $p$ - Serie Adic. Es decir, denotando la equivalencia con $~$ , si $S$ , $T$ y $U$ son no cero $p$ - serie adic tal que ${displaystyle Ssim T,}$ uno tiene

{displaystyle {begin{aligned}Spm U&sim Tpm U,\SU&sim TU,\1/S&sim 1/T.end{aligned}}}

Además, $S$ y $T$ tienen el mismo orden y el mismo primer término.

Notación posicional

Es posible usar una notación posicional similar a la que se usa para representar números en base $p$ .

Vamos ${textstyle sum _{i=k}^{infty }a_{i}p^{i}}$ ser normalizado $p$ - Serie Adic, es decir, cada uno $a_{i}$ es un entero en el intervalo ${displaystyle [0,p-1].}$ Uno puede suponer que ${displaystyle kleq 0}$ por configuración $a_i=0$ para $<math alttext="{displaystyle 0leq i0\leq \leq i.k{displaystyle 0leq i obedeció} <img alt="{displaystyle 0leq i$ (si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■0{displaystyle k]0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b3af208b148139eefc03f0f80fa94c38c5af45" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;"/>$ ), y añadir los términos cero resultantes a la serie.

Si ${displaystyle kgeq 0,}$ la notación posicional consiste en escribir la $a_{i}$ consecutivamente, ordenada por la disminución de los valores $i$ , a menudo con $p$ aparece en la derecha como índice:

{displaystyle ldots a_{n}ldots a_{1}{a_{0}}_{p}}

Entonces, el cálculo del ejemplo anterior muestra que

{displaystyle {frac {1}{3}}=ldots 1313132_{5},}

{displaystyle {frac {25}{3}}=ldots 131313200_{5}.}

Cuando $<math alttext="{displaystyle kk.0,{displaystyle k made0,} <img alt="{displaystyle k$ un punto de separación se añade antes de los dígitos con índice negativo, y, si el índice $p$ está presente, aparece justo después del punto de separación. Por ejemplo,

{displaystyle {frac {1}{15}}=ldots 3131313._{5}2,}

{displaystyle {frac {1}{75}}=ldots 1313131._{5}32.}

Si $p$ - la representación adictiva es finita a la izquierda (es decir, $a_i=0$ para grandes valores $i$ ), entonces tiene el valor de un número racional no negativo de la forma ${displaystyle np^{v},}$ con ${displaystyle n,v}$ enteros. Estos números racionales son exactamente los números racionales no negativos que tienen una representación finita en la base $p$ . Para estos números racionales, las dos representaciones son las mismas.

Definición

Hay varias definiciones equivalentes de $p$ -números ádicos. El que se da aquí es relativamente elemental, ya que no implica ningún otro concepto matemático que los introducidos en las secciones anteriores. Otras definiciones equivalentes utilizan la terminación de un anillo de valoración discreto (ver § enteros p-ádicos), la terminación de un espacio métrico (ver § Propiedades topológicas) o límites inversos (ver § Propiedades modulares).

Un $p$ -número ádico se puede definir como un normalizado $p$ -serie ádica. Dado que hay otras definiciones equivalentes que se usan comúnmente, se dice a menudo que una serie normalizada $p$ -adic representa un $p$ -número ádico, en lugar de decir que es un $p$ -número ádico.

También se puede decir que cualquier serie $p$ -adic representa una $p$ -número ádico, ya que cada serie $p$ -ádico es equivalente a un único serie $p$ -adic normalizada. Esto es útil para definir operaciones (suma, resta, multiplicación, división) de $p$ -números ádicos: el resultado de tal operación se obtiene normalizando el resultado de la operación correspondiente en serie. Esto define bien las operaciones sobre $p$ -números ádicos, ya que las operaciones en serie son compatibles con la equivalencia de $p$ -serie ádica.

Con estas operaciones, $p$ - los números ádicos forman un campo llamado sobre el terreno $p$ - números adictivos y denotado ${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$ o ${displaystyle mathbf {Q} _{p}.}$ Hay un homomorfismo de campo único de los números racionales en el $p$ - números ádicos, que mapea un número racional a su $p$ - expansión médica. La imagen de este homomorfismo es comúnmente identificada con el campo de los números racionales. Esto permite considerar el $p$ - números adic como campo de extensión de los números racionales, y los números racionales como subcampo del $p$ - números médicos.

El Valoración of a nonzero $p$ - Número adictivo $x$ , comúnmente denotado ${displaystyle v_{p}(x),}$ es el exponente de $p$ en el primer término no cero de cada $p$ - Serie ádica que representa $x$ . Por convención, ${displaystyle v_{p}(0)=infty;}$ es decir, la valoración de cero es $infty.$ Esta valoración es una valoración discreta. La restricción de esta valoración a los números racionales es la $p$ -adic valoración de ${displaystyle mathbb {Q}}$ es decir, el exponente $v$ en la factorización de un número racional ${displaystyle {tfrac {n}{d}}p^{v},}$ con ambos $n$ y $d$ coprime con $p$ .

Enteros P-ádicos

Los $p$ -ádicos enteros son los $p$ -números ádicos con una valoración no negativa.

Un entero $p$ -adic se puede representar como una secuencia

{displaystyle x=(x_{1}operatorname {mod} p,~x_{2}operatorname {mod} p^{2},~x_{3}operatorname {mod} p^{3},~ldots)}

de residuos $x e$ mod $p e$ para cada entero $e$ , satisfacción de las relaciones de compatibilidad ${displaystyle x_{i}equiv x_{j}~(operatorname {mod} p^{i})}$ para $i$ .

Cada entero es un $p$ - entero médico (incluyendo cero, desde $<math alttext="{displaystyle 00.JUEGO JUEGO {displaystyle 0 madeinfty} <img alt="{displaystyle 0$ ). Los números racionales de la forma ${textstyle {tfrac {n}{d}}p^{k}}$ con $d$ coprime con $p$ y $kgeq 0$ también $p$ - enteros adictivos (por la razón de que $d$ tiene un mod inverso $p e$ para todos $e$ ).

El $p$ - los enteros adictivos forman un anillo conmutativo, denotado ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ o ${displaystyle mathbf {Z} _{p}}$ , que tiene las siguientes propiedades.

Es un dominio integral, ya que es una subringe de un campo, o desde el primer término de la serie representación del producto de dos no cero $p$ - la serie adic es el producto de sus primeros términos.
Las unidades (elementos invertibles) ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ son $p$ - números de valoración cero.
Es un dominio ideal principal, tal que cada ideal es generado por un poder de $p$ .
Es un anillo local de la dimensión Krull uno, ya que sus únicos ideales primos son el cero ideal y el ideal generado por $p$ , el ideal maximal único.
Es un anillo de valoración discreto, ya que esto resulta de las propiedades anteriores.
Es la terminación del anillo local ${displaystyle mathbb {Z} _{(p)}={{tfrac {n}{d}}mid n,din mathbb {Z},dnot in pmathbb {Z} },}$ que es la localización de $mathbb {Z}$ en el ideal principal ${displaystyle pmathbb {Z}.}$

La última propiedad proporciona una definición de los $p$ -números ádicos que es equivalente a la anterior: el campo de la $p$ -números ádicos es el campo de fracciones de la finalización de la localización de los enteros en el ideal primo generado por p.

Propiedades topológicas

La valoración $p$ -adic permite definir un valor absoluto en $p$ -números ádicos: el $p$ -valor absoluto ádico de una p-número ádico $x$ es

{displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}

Donde ${displaystyle v_{p}(x)}$ es $p$ -adic valoración de $x$ . El $p$ - valor absoluto adictivo ${displaystyle 0}$ es ${displaystyle |0|_{p}=0.}$ Este es un valor absoluto que satisface la fuerte desigualdad triángulo desde, por cada $x$ y $Sí.$ uno tiene

${displaystyle |x|_{p}=0}$ si ${displaystyle x=0;}$
${displaystyle |x|_{p}cdot |y|_{p}=|xy|_{p}}$
${displaystyle |x+y|_{p}leq max(|x|_{p},|y|_{p})leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

Además, si ${displaystyle |x|_{p}neq |y|_{p},}$ uno tiene ${displaystyle |x+y|_{p}=max(|x|_{p},|y|_{p}).}$

Esto hace que $p$ -adic numera un espacio métrico, e incluso un espacio ultramétrico, con el $p$ - distancia adictiva definida por ${displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

Como espacio métrico, los números $p$ -ádicos forman la terminación de los números racionales equipados con el $p$ -valor absoluto ádico. Esto proporciona otra forma de definir los números ádicos $p$ . Sin embargo, la construcción general de una terminación se puede simplificar en este caso, porque la métrica se define por una valoración discreta (en resumen, uno puede extraer de cada secuencia de Cauchy una subsecuencia tal que las diferencias entre dos términos consecutivos tienen valores absolutos estrictamente decrecientes; tal subsecuencia es la secuencia de las sumas parciales de una $p$ -serie ádica y, por lo tanto, una única p-adic se pueden asociar a cada clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy, por lo que para construir la completación basta con considerar p-serie ádica en lugar de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy).

Como la métrica se define a partir de una valoración discreta, cada bola abierta también está cerrada. Más precisamente, la bola abierta $<math alttext="{displaystyle B_{r}(x)={ymid d_{p}(x,y)Br()x)={}Sí.▪ ▪ dp()x,Sí.).r}{displaystyle B_{r}(x)={ymid d_{p}(x,y)cantador}<img alt="{displaystyle B_{r}(x)={ymid d_{p}(x,y)$ iguala la bola cerrada ${displaystyle B_{p^{-v}}[x]={ymid d_{p}(x,y)leq p^{-v}},}$ Donde $v$ es el menor entero tal que $<math alttext="{displaystyle p^{-v}p− − v.r.{displaystyle p^{-v}cantador.}<img alt="{displaystyle p^{-v}$ Análogamente, ${displaystyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$ Donde $w$ es el mayor entero tal que $r.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p− − w■r.{displaystyle p^{-w} {fnMicrosoft Sans Serif}r.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601b1fd1589aa6e706e720a7946976032b3d3652" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:8.74ex; height:2.843ex;"/>$

Esto implica que $p$ - los números ádicos forman un espacio localmente compacto, y el $p$ - enteros adictivos - es decir, la pelota ${displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$ —forme un espacio compacto.

Propiedades modulares

El anillo cociente ${displaystyle mathbb {Z} _{p}/p^{n}mathbb {Z} _{p}}$ puede ser identificado con el anillo ${displaystyle mathbb {Z} /p^{n}mathbb {Z} }$ de los enteros modulo ${displaystyle p^{n}.}$ Esto se puede mostrar haciendo notar que cada $p$ - entero médico, representado por su normalizado $p$ - serie adic, es modulo congruente $p^{n}$ con su suma parcial ${textstyle sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$ cuyo valor es un entero en el intervalo ${displaystyle [0,p^{n}-1].}$ Una verificación directa muestra que esto define un isomorfismo de anillo desde ${displaystyle mathbb {Z} _{p}/p^{n}mathbb {Z} _{p}}$ a ${displaystyle mathbb {Z} /p^{n}mathbb {Z}.}$

El límite inverso de los anillos ${displaystyle mathbb {Z} _{p}/p^{n}mathbb {Z} _{p}}$ se define como el anillo formado por las secuencias ${displaystyle a_{0},a_{1},ldots }$ tales que ${displaystyle a_{i}in mathbb {Z} /p^{i}mathbb {Z} }$ y ${textstyle a_{i}equiv a_{i+1}{pmod {p^{i}}}}$ para todos $i$ .

El mapeo que mapea un normalizado $p$ - Serie adictiva a la secuencia de sus sumas parciales es un isomorfismo anillo de ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ al límite inverso del ${displaystyle mathbb {Z} _{p}/p^{n}mathbb {Z} _{p}.}$ Esto proporciona otra manera de definir $p$ - enteros adictivos (hasta un isomorfismo).

Esta definición de enteros $p$ -ádicos es especialmente útil para cálculos prácticos, ya que permite construir $p$ -enteros ádicos por aproximaciones sucesivas.

Por ejemplo, para computar el $p$ -adic (multiplicativa) inverso de un entero, se puede utilizar el método de Newton, comenzando por el modulo inverso $p$ ; entonces, cada paso de Newton compute el modulo inverso ${textstyle p^{n^{2}}}$ del modulo inverso ${textstyle p^{n}.}$

El mismo método se puede utilizar para calcular el $p$ - raíz cuadrada ádica de un entero que es un modulo de residuos cuadráticos $p$ . Este parece ser el método más rápido conocido para probar si un entero grande es un cuadrado: basta para probar si el entero dado es el cuadrado del valor encontrado en ${displaystyle mathbb {Z} _{p}/p^{n}mathbb {Z} _{p}}$ . Aplicar el método de Newton para encontrar la raíz cuadrada requiere ${textstyle p^{n}}$ para ser más grande que dos veces el entero dado, que es rápidamente satisfecho.

El levantamiento de la cáscara es un método similar que permite "conducir" el modulo de factorización $p$ de un polinomio con coeficientes enteros a un modulo de factorización ${textstyle p^{n}}$ para grandes valores $n$ . Esto es comúnmente utilizado por algoritmos de factorización polinomio.

Notación

Hay varias convenciones diferentes para escribir expansiones $p$ -adic. Hasta ahora, este artículo ha utilizado una notación para las expansiones $p$ -adic en las que las potencias de $p$ aumentar de derecha a izquierda. Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión 3-ádica de 1⁄5 , por ejemplo, se escribe como

dfrac{1}{5}=dots 121012102_3.

Al realizar operaciones aritméticas en esta notación, los dígitos se desplazan hacia la izquierda. También es posible escribir expansiones $p$ -adic para que los poderes de $p$ aumentan de izquierda a derecha y los dígitos se trasladan a la derecha. Con esta notación de izquierda a derecha, la expansión 3-ádica de 1⁄5 es

dfrac{1}{5}=2.01210121dots_3mbox{ or }dfrac{1}{15}=20.1210121dots_3.

Las expansiones

$p$ -adic se pueden escribir con otros conjuntos de dígitos en lugar de {0, 1, ..., p − 1}. Por ejemplo, la expansión 3-ádica de ¹/₅ se puede escribir usando dígitos ternarios balanceados {1,0,1} como

{displaystyle {dfrac {1}{5}}=dots {underline {1}}11{underline {11}}11{underline {11}}11{underline {1}}_{text{3}}.}

De hecho, cualquier conjunto de $p$ enteros que están en distintas clases de residuos módulo $p$ se puede usar como $p$ -dígitos ádicos. En teoría de números, los representantes de Teichmüller a veces se usan como dígitos.

Notación de comillas es una variante de la representación $p$ -adic de números racionales que fue propuesta en 1979 por Eric Hehner y Nigel Horspool para implementar en computadoras la aritmética (exacta) con estos números.

Cardinalidad

Ambos ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ y ${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$ son incontables y tienen la cardinalidad del continuum. Para ${displaystyle mathbb {Z} _{p},}$ este resultado de la $p$ - representación adictiva, que define una bijeción de ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ en el sistema de energía ${displaystyle {0,ldotsp-1}^{mathbb {N} }.}$ Para ${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$ esto resulta de su expresión como una unión contablemente infinita de copias ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ :

{displaystyle mathbb {Q} _{p}=bigcup _{i=0}^{infty }{frac {1}{p^{i}}}mathbb {Z} _{p}.}

Cierre algebraico

$Q p$ contiene $Q$ y es un campo de característica $0$ .

Debido a que $0$ se puede escribir como suma de cuadrados, $Q p$ no se puede convertir en un campo ordenado.

$R$ tiene sólo una extensión algebraica adecuada: $C$ ; en otras palabras, esta extensión cuadrática ya está cerrada algebraicamente. Por contraste, el cierre algebraico de $Q p$ , denotado ${displaystyle {overline {mathbf {Q} _{p}}},}$ tiene un grado infinito, es decir, $Q p$ tiene infinitamente muchas extensiones algebraicas inequivalentes. También contrasta el caso de números reales, aunque hay una extensión única del $p$ - valoración médica a ${displaystyle {overline {mathbf {Q} _{p}}},}$ este último no está (metralmente) completo. Su terminación (métrica) se llama $C p$ o $Ω p$ . Aquí se llega un final, como $C p$ está cerrado algebraicamente. Sin embargo a diferencia $C$ este campo no es localmente compacto.

$C p$ y $C$ son isomorfos como anillos, por lo que podemos considerar $C p$ como $C$ dotado de una métrica exótica. La prueba de la existencia de tal isomorfismo de campo se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito de tal isomorfismo (es decir, no es constructivo).

Si $K$ es una extensión galois finita de $Q p$ , el grupo Galois ${displaystyle operatorname {Gal} left(mathbf {K} /mathbf {Q} _{p}right)}$ es solvable. Así, el grupo Galois ${displaystyle operatorname {Gal} left({overline {mathbf {Q} _{p}}}/mathbf {Q} _{p}right)}$ es prosolvable.

Grupo multiplicativo

$Q p$ contiene el $n$ -ésimo campo ciclotómico ( $n > 2$ ) si y solo si $n | p - 1$ . Por ejemplo, el campo ciclotómico $n$ -th es un subcampo de $Q 13$ si y solo si $n = 1, 2, 3, 4, 6$ , o $12$ . En particular, no hay $p$ -torsión multiplicativa en $Q p$ , si $p > 2$ . Además, $-1$ es el único elemento de torsión no trivial en $Q 2 .$

Dado un número natural $k$ , el índice del grupo multiplicador $k$ -th powers of the non-zero elements of $Q p$ dentro ${displaystyle mathbf {Q} _{p}^{times }}$ es finito.

El número $e$ , definido como la suma de reciprocales de factoriales, no es miembro de ninguna $p$ - campo ádico; pero $e p ▪ Q p () p \sqrt\geq 2)$ . Para $p = 2$ uno debe tomar al menos el cuarto poder. (Así un número con propiedades similares $e$ - a saber: $p$ -la raíz de $e p$ - es miembro de $overline {{mathbf {Q}}_{p}}$ para todos $p$ .)

Principio local-global

Se dice que el principio local-global de Helmut Hasse se cumple para una ecuación si se puede resolver sobre los números racionales si y solo si se puede resolver sobre los números reales y sobre el $p$ -números ádicos para cada número primo $p$ . Este principio se cumple, por ejemplo, para ecuaciones dadas por formas cuadráticas, pero falla para polinomios superiores en varios indeterminados.

Aritmética racional con levantamiento de Hensel

Generalizaciones y conceptos relacionados

Los reales y los números $p$ -ádicos son los complementos de los racionales; también es posible completar otros campos, por ejemplo campos numéricos algebraicos generales, de manera análoga. Esto se describirá ahora.

Suponga que D es un dominio de Dedekind y E es su campo de fracciones. Elija un ideal primo distinto de cero P de D. Si x es un elemento distinto de cero de E, entonces xD es un ideal fraccionario y se puede factorizar de forma única como un producto de positivo y negativo potencias de ideales primos distintos de cero de D. Escribimos ord_P(x) para el exponente de P en esta factorización, y para cualquier elección de número c mayor que 1 podemos establecer

{displaystyle |x|_{P}=c^{-!operatorname {ord} _{P}(x)}.}

Completando con respecto a este valor absoluto |. |_P produce un campo E_P, la generalización adecuada del campo de p-números ádicos a esta configuración. La elección de c no cambia la finalización (diferentes opciones producen el mismo concepto de secuencia de Cauchy, por lo que la misma finalización). Es conveniente, cuando el campo residual D/P es finito, tomar por c el tamaño de D /P.

Por ejemplo, cuando E es un cuerpo numérico, el teorema de Ostrowski dice que cada valor absoluto no trivial no arquimediano en E surge como algún |. |_P. Los valores absolutos no triviales restantes en E surgen de las diferentes incrustaciones de E en los números reales o complejos. (De hecho, los valores absolutos no arquimedianos pueden considerarse simplemente como las diferentes incorporaciones de E en los campos C_p, poniendo así la descripción de todos los valores absolutos no triviales de un campo numérico en una base común).

A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las finalizaciones mencionadas anteriormente cuando E es un campo numérico (o, más generalmente, un campo global), que se considera que codifica "local& #34; información. Esto se logra mediante anillos adele y grupos idele.

p- los enteros ádicos se pueden extender a los solenoides p-adic ${displaystyle mathbb {T} _{p}}$ . Hay un mapa de ${displaystyle mathbb {T} _{p}}$ al grupo círculo cuyas fibras son las p- enteros adictivos $mathbb {Z} _{p}$ , en analogía con cómo hay un mapa de $mathbb {R}$ al círculo cuyas fibras son $mathbb {Z}$ .