Teoría de categorías

La teoría de categorías es una teoría general de las estructuras matemáticas y sus relaciones que fue presentada por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane a mediados del siglo XX en su trabajo fundacional sobre la topología algebraica. Hoy en día, la teoría de categorías se utiliza en casi todas las áreas de las matemáticas y en algunas áreas de la informática. En particular, muchas construcciones de objetos matemáticos nuevos a partir de objetos anteriores, que aparecen de manera similar en varios contextos, se expresan y unifican convenientemente en términos de categorías. Los ejemplos incluyen espacios cocientes, productos directos, finalización y dualidad.

Una categoría está formada por dos clases de objetos, los objetos de la categoría y los morfismos, que relacionan dos objetos llamados origen y destino del morfismo. A menudo se dice que un morfismo es una flecha que mapea su fuente a su destino. Los morfismos pueden estar compuestos si el objetivo del primer morfismo es igual al origen del segundo, y la composición de morfismos tiene propiedades similares a las de la composición de funciones (asociatividad y existencia de morfismos de identidad). Los morfismos son a menudo algún tipo de función, pero no siempre es así. Por ejemplo, un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto, cuyos morfismos son los elementos del monoide.

El segundo concepto fundamental de categoría es el concepto de funtor, que desempeña el papel de un morfismo entre dos categorías C_{1}y { estilo de visualización C_ {2}:}asigna objetos de C_{1}a objetos de C_{2}y morfismos de C_{1}a morfismos de C_{2}de tal manera que las fuentes se asignan a fuentes y los objetivos son se asignan a objetivos (o, en el caso de un funtor contravariante, las fuentes se asignan a objetivos y viceversa). Un tercer concepto fundamental es una transformación natural que puede verse como un morfismo de funtores.

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