Axiomas de probabilidad

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Los axiomas de Kolmogorov son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducida por Andrey Kolmogorov en 1933. Estos axiomas siguen siendo centrales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real. El teorema de Cox proporciona un enfoque alternativo para formalizar la probabilidad, favorecido por algunos bayesianos.

Axiomas

Los supuestos para establecer los axiomas se pueden resumir de la siguiente manera: Sea $( Omega, F, P)$ un espacio de medida $EDUCACIÓN FÍSICA)$ siendo la probabilidad de algún evento E , y ${displaystyle P(Omega)=1}$ . Entonces $( Omega, F, P)$ es un espacio de probabilidad, con espacio muestral, espacio $Omega$ de eventos $F$ y medida de probabilidad $PAG$ .

Primer axioma

La probabilidad de un evento es un número real no negativo: ${displaystyle P(E)in mathbb {R},P(E)geq 0qquad forall Ein F}$

¿ Dónde $F$ está el espacio para eventos? De ello se deduce que $EDUCACIÓN FÍSICA)$ siempre es finito, en contraste con la teoría de la medida más general. Las teorías que asignan probabilidad negativa relajan el primer axioma.

Segundo axioma

Esta es la suposición de unidad de medida: que la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos elementales en todo el espacio muestral es 1 $P(Omega)=1.$

Tercer axioma

Esta es la suposición de σ-aditividad:Cualquier secuencia contable de conjuntos disjuntos (sinónimo de eventos mutuamente excluyentes) ${displaystyle E_{1},E_{2},ldots}$ satisface $Pleft(bigcup _{i=1}^{infty }E_{i}right)=sum _{i=1}^{infty }P(E_{i}).$

Algunos autores consideran simplemente espacios de probabilidad finitamente aditivos, en cuyo caso uno solo necesita un álgebra de conjuntos, en lugar de un σ-álgebra. Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.

Consecuencias

De los axiomas de Kolmogorov, se pueden deducir otras reglas útiles para estudiar probabilidades. Las pruebas de estas reglas son un procedimiento muy perspicaz que ilustra el poder del tercer axioma y su interacción con los dos axiomas restantes. A continuación se muestran cuatro de los corolarios inmediatos y sus demostraciones:

Monotonicidad

$quad {text{si}}quad Asubseteq Bquad {text{entonces}}quad P(A)leq P(B).$

Si A es un subconjunto de o igual a B, entonces la probabilidad de A es menor o igual que la probabilidad de B.

Prueba de monotonicidad

Para verificar la propiedad de monotonicidad establecemos $E_{1}=A$ and ${displaystyle E_{2}=Bsetminus A}$ , where $Asubconjunto B$ y ${displaystyle E_{i}=varnada}$ for $igeq 3$ . A partir de las propiedades del conjunto vacío ( $varnada$ ), es fácil ver que los conjuntos $E_{yo}$ son disjuntos por parejas y ${displaystyle E_{1}taza E_{2}taza cdots =B}$ . Por tanto, del tercer axioma se obtiene que ${displaystyle P(A)+P(Bsetminus A)+sum _{i=3}^{infty }P(E_{i})=P(B).}$

Como, por el primer axioma, el lado izquierdo de esta ecuación es una serie de números no negativos, y como converge a $P(B)$ lo que es finito, obtenemos tanto $P(A)leq P(B)$ como $P(varnada)=0$ .

La probabilidad del conjunto vacío.

$P(varnada)=0.$

En muchos casos, $varnada$ no es el único evento con probabilidad 0.

Prueba de probabilidad del conjunto vacío

Defina ${displaystyle E_{i}:=varnada}$ para $yoenmathbb {N}$ , entonces estos son disjuntos, y ${displaystyle bigcup _{i=1}^{infty}E_{i}=varnada =E_{1}}$ , por lo tanto, por el tercer axioma ${displaystyle sum_{i=1}^{infty}P(E_{i})=P(E_{1})}$ ; restando ${displaystyle PAG(E_{1})}$ (que es finito por el primer axioma) se obtiene ${displaystyle sum_{i=2}^{infty}P(E_{i})=0}$ . De esto se sigue, junto con el primer axioma ${displaystyle 0leq PAGS(E_{2})leq sum _{i=2}^{infty}P(E_{i})=0}$ , así ${displaystyle P(E_{2})=P(varnada)=0}$ .

La regla del complemento

{displaystyle Pleft(A^{c}right)=P(Omega setminus A)=1-P(A)}

Prueba de la regla del complemento

Dados $UN$ y $A^{{c}}$ son mutuamente excluyentes y que ${displaystyle Ataza A^{c}=Omega}$ :

${displaystyle P(Ataza A^{c})=P(A)+P(A^{c})}$ ... (por el axioma 3)

y, ${displaystyle P(Acup A^{c})=P(Omega)=1}$ ... (por el axioma 2)

{ Displaystyle Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}

{displaystyle por lo tanto P(A^{c})=1-P(A)}

El límite numérico

De la propiedad de monotonicidad se sigue inmediatamente que $0leq P(E)leq 1qquad forall Ein F.$

Prueba del límite numérico

Dada la regla del complemento ${displaystyle PAG(E^{c})=1-P(E)}$ y el axioma 1 ${displaystyle PAG(E^{c})geq 0}$ :

{ estilo de visualización 1-P (E) geq 0}

{ estilo de visualización flecha derecha 1 geq P (E)}

{displaystyle por lo tanto 0leq P(E)leq 1}

Otras consecuencias

Otra propiedad importante es: $P(Ataza B)=P(A)+P(B)-P(Atapa B).$

Esto se llama la ley de probabilidad de la suma, o la regla de la suma. Es decir, la probabilidad de que suceda un evento en A o B es la suma de la probabilidad de un evento en A y la probabilidad de un evento en B, menos la probabilidad de un evento que está tanto en A como en B. La prueba de esto es la siguiente:

En primer lugar, ${displaystyle P(Acup B)=P(A)+P(Bsetminus A)}$ ... (por el Axioma 3)

Asi que, ${displaystyle P(Acup B)=P(A)+P(Bsetminus (Acap B))}$ (por ${displaystyle Bsetminus A=Bsetminus (Acap B)}$ ).

También, $P(B)=P(Bsetminus (Acap B))+P(Acap B)$

y eliminando $P(Bsetminus (Acap B))$ de ambas ecuaciones nos da el resultado deseado.

Una extensión de la ley de la adición a cualquier número de conjuntos es el principio de inclusión-exclusión.

Poniendo B al complemento A de A en la ley de la suma se obtiene ${displaystyle Pleft(A^{c}right)=P(Omega setminus A)=1-P(A)}$

Es decir, la probabilidad de que cualquier evento no suceda (o el complemento del evento) es 1 menos la probabilidad de que suceda.

Ejemplo simple: lanzamiento de moneda

Considere un solo lanzamiento de moneda y suponga que la moneda caerá cara (H) o cruz (T) (pero no ambas). No se hace ninguna suposición sobre si la moneda es justa.

Podemos definir: $Omega ={H,T}$ $F={varnada,{H},{T},{H,T}}$