Teoría de categorías

La teoría de categorías es una teoría general de las estructuras matemáticas y sus relaciones que fue presentada por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane a mediados del siglo XX en su trabajo fundacional sobre la topología algebraica. Hoy en día, la teoría de categorías se utiliza en casi todas las áreas de las matemáticas y en algunas áreas de la informática. En particular, muchas construcciones de objetos matemáticos nuevos a partir de objetos anteriores, que aparecen de manera similar en varios contextos, se expresan y unifican convenientemente en términos de categorías. Los ejemplos incluyen espacios cocientes, productos directos, finalización y dualidad.

Una categoría está formada por dos clases de objetos, los objetos de la categoría y los morfismos, que relacionan dos objetos llamados origen y destino del morfismo. A menudo se dice que un morfismo es una flecha que mapea su fuente a su destino. Los morfismos pueden estar compuestos si el objetivo del primer morfismo es igual al origen del segundo, y la composición de morfismos tiene propiedades similares a las de la composición de funciones (asociatividad y existencia de morfismos de identidad). Los morfismos son a menudo algún tipo de función, pero no siempre es así. Por ejemplo, un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto, cuyos morfismos son los elementos del monoide.

El segundo concepto fundamental de categoría es el concepto de funtor, que desempeña el papel de un morfismo entre dos categorías y asigna objetos de a objetos de y morfismos de a morfismos de de tal manera que las fuentes se asignan a fuentes y los objetivos son se asignan a objetivos (o, en el caso de un funtor contravariante, las fuentes se asignan a objetivos y viceversa). Un tercer concepto fundamental es una transformación natural que puede verse como un morfismo de funtores.

Categorías, objetos y morfismos

Categorías

Una categoría C consta de las siguientes tres entidades matemáticas:

• Una clase ob(C), cuyos elementos se denominan objetos;
• Una clase hom(C), cuyos elementos se denominan morfismos o mapas o flechas. Cada morfismo f tiene un objeto de origen a y un objeto de destino b.La expresión f: a → b, se expresaría verbalmente como " f es un morfismo de a a b ".La expresión hom(a, b) – expresada alternativamente como hom _C (a, b), mor(a,b), o C (a, b) – denota laclase homde todos los morfismos deaab.
• Una operación binaria ∘, llamada composición de morfismos, tal que para tres objetos cualesquiera a, b y c, tenemos ∘: hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). La composición de f: a → b y g: b → c se escribe como g ∘ f o gf, gobernada por dos axiomas:
  • Asociatividad: Si f: a → b, g: b → c y h: c → d entonces h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, y
  • Identidad: Para todo objeto x, existe un morfismo 1 _x: x → x llamado morfismo identidad para x, tal que para todo morfismo f: a → b, tenemos 1 _b ∘ f = f = f ∘ 1 _a.

A partir de los axiomas, se puede demostrar que existe exactamente un morfismo de identidad para cada objeto. Algunos autores se desvían de la definición recién dada al identificar cada objeto con su morfismo de identidad.

Morfismos

Las relaciones entre morfismos (como fg = h) a menudo se representan mediante diagramas conmutativos, con "puntos" (esquinas) que representan objetos y "flechas" que representan morfismos.

Los morfismos pueden tener cualquiera de las siguientes propiedades. Un morfismo f: a → b es a:

• monomorfismo (o mónico) si f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂ implica g ₁ = g ₂ para todos los morfismos g ₁, g ₂: x → a.
• epimorfismo (o épica) si g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f implica g ₁ = g ₂ para todos los morfismos g ₁, g ₂: b → x.
• bimorfismo si f es tanto épica como mónica.
• isomorfismo si existe un morfismo g: b → a tal que f ∘ g = 1 _b y g ∘ f = 1 _a.
• endomorfismo si a = b. end(a) denota la clase de endomorfismos de a.
• automorfismo si f es tanto un endomorfismo como un isomorfismo. aut(a) denota la clase de automorfismos de a.
• retracción si existe una inversa derecha de f, es decir, si existe un morfismo g: b → a con f ∘ g = 1 _b.
• sección si existe una inversa izquierda de f, es decir, si existe un morfismo g: b → a con g ∘ f = 1 _a.

Cada retractación es un epimorfismo, y cada sección es un monomorfismo. Además, las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

• f es un monomorfismo y una retracción;
• f es un epimorfismo y una sección;
• f es un isomorfismo.

Funtores

Los funtores son mapas que preservan la estructura entre categorías. Pueden pensarse como morfismos en la categoría de todas las categorías (pequeñas).

Un funtor (covariante) F de una categoría C a una categoría D, escrito F: C → D, consta de:

• para cada objeto x en C, un objeto F (x) en D; y
• para cada morfismo f: x → y en C, un morfismo F (f): F (x) → F (y),

tal que se cumplen las siguientes dos propiedades:

• Para todo objeto x en C, F (1 _x) = 1 _{F (x)};
• Para todos los morfismos f: x → y y g: y → z, F (g ∘ f) = F (g) ∘ F (f).

Un funtor contravariante F: C → D es como un funtor covariante, excepto que "invierte los morfismos" ("invierte todas las flechas"). Más específicamente, cada morfismo f: x → y en C debe ser asignado a un morfismo F (f): F (y) → F (x) en D. En otras palabras, un funtor contravariante actúa como un funtor covariante de la categoría opuesta C a D.

Transformaciones naturales

Una transformación natural es una relación entre dos funtores. Los funtores a menudo describen "construcciones naturales" y las transformaciones naturales luego describen "homomorfismos naturales" entre dos de tales construcciones. A veces, dos construcciones muy diferentes dan "el mismo" resultado; esto se expresa mediante un isomorfismo natural entre los dos funtores.

Si F y G son funtores (covariantes) entre las categorías C y D, entonces una transformación natural η de F a G asocia a todo objeto X en C un morfismo η _X: F (X) → G (X) en D tal que para todo morfismo f: X → Y en C, tenemos η _Y ∘ F (f) = G(f) ∘ η _X; esto significa que el siguiente diagrama es conmutativo:

Los dos funtores F y G se llaman naturalmente isomorfos si existe una transformación natural de F a G tal que η _X es un isomorfismo para todo objeto X en C.

Otros conceptos

Construcciones universales, límites y colimits.

Utilizando el lenguaje de la teoría de categorías, se pueden categorizar muchas áreas de estudio matemático. Las categorías incluyen conjuntos, grupos y topologías.

Cada categoría se distingue por propiedades que todos sus objetos tienen en común, como el conjunto vacío o el producto de dos topologías, sin embargo, en la definición de una categoría, los objetos se consideran atómicos, es decir, no sabemos si un objeto A es un conjunto, una topología o cualquier otro concepto abstracto. Por lo tanto, el desafío es definir objetos especiales sin hacer referencia a la estructura interna de esos objetos. Para definir el conjunto vacío sin hacer referencia a elementos, o la topología del producto sin hacer referencia a conjuntos abiertos, uno puede caracterizar estos objetos en términos de sus relaciones con otros objetos, dadas por los morfismos de las respectivas categorías. Por lo tanto, la tarea es encontrar propiedades universales que determinen de manera única los objetos de interés.

Numerosas construcciones importantes se pueden describir de una manera puramente categórica si el límite de la categoría se puede desarrollar y dualizar para producir la noción de un colímite.

Categorías equivalentes

Es natural preguntarse: ¿bajo qué condiciones dos categorías pueden considerarse esencialmente iguales, en el sentido de que los teoremas sobre una categoría pueden transformarse fácilmente en teoremas sobre la otra categoría? La principal herramienta que se emplea para describir tal situación se llama equivalencia de categorías, que viene dada por los funtores apropiados entre dos categorías. La equivalencia categórica ha encontrado numerosas aplicaciones en matemáticas.

Otros conceptos y resultados

Las definiciones de categorías y funtores proporcionan solo los conceptos básicos del álgebra categórica; temas importantes adicionales se enumeran a continuación. Aunque existen fuertes interrelaciones entre todos estos temas, el orden dado puede considerarse como una guía para lecturas adicionales.

• La categoría de funtores D tiene como objetos los funtores de C a D y como morfismos las transformaciones naturales de dichos funtores. El lema de Yoneda es uno de los resultados básicos más famosos de la teoría de categorías; describe funtores representables en categorías de funtores.
• Dualidad: cada afirmación, teorema o definición en la teoría de categorías tiene un dual que se obtiene esencialmente "invirtiendo todas las flechas". Si un enunciado es verdadero en una categoría C, entonces su dual es verdadero en la categoría dual C. Esta dualidad, que es transparente al nivel de la teoría de categorías, a menudo se oscurece en las aplicaciones y puede dar lugar a relaciones sorprendentes.
• Funtores adjuntos: un funtor puede ser adjunto a la izquierda (o a la derecha) de otro funtor que se mapea en la dirección opuesta. Tal par de funtores adjuntos típicamente surge de una construcción definida por una propiedad universal; esto puede verse como una visión más abstracta y poderosa de las propiedades universales.

Categorías de dimensiones superiores

Muchos de los conceptos anteriores, especialmente la equivalencia de categorías, pares de funtores adjuntos y categorías de funtores, pueden situarse en el contexto de categorías de dimensiones superiores. Brevemente, si consideramos un morfismo entre dos objetos como un "proceso que nos lleva de un objeto a otro", entonces las categorías de dimensiones superiores nos permiten generalizar esto de manera rentable al considerar "procesos de dimensiones superiores".

Por ejemplo, una categoría 2 (estricta) es una categoría junto con "morfismos entre morfismos", es decir, procesos que nos permiten transformar un morfismo en otro. Entonces podemos "componer" estos "bimorfismos" tanto horizontal como verticalmente, y necesitamos una "ley de intercambio" bidimensional para cumplir, relacionando las dos leyes de composición. En este contexto, el ejemplo estándar es Cat, la categoría 2 de todas las categorías (pequeñas), y en este ejemplo, los bimorfismos de los morfismos son simplemente transformaciones naturales de los morfismos en el sentido habitual. Otro ejemplo básico es considerar una categoría 2 con un solo objeto; estas son esencialmente categorías monoidales. Las bicategorías son una noción más débil de categorías bidimensionales en las que la composición de los morfismos no es estrictamente asociativa,

Este proceso se puede extender para todos los números naturales n, y estos se llaman n -categorías. Incluso existe una noción de categoría ω correspondiente al número ordinal ω.

Las categorías de dimensiones superiores son parte del campo matemático más amplio del álgebra de dimensiones superiores, un concepto introducido por Ronald Brown. Para una introducción conversacional a estas ideas, véase John Baez, 'A Tale of n -categories' (1996).

Notas históricas

Debe observarse primero que todo el concepto de categoría es esencialmente auxiliar; nuestros conceptos básicos son esencialmente los de un funtor y de una transformación natural [...]—  Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane, Teoría general de las equivalencias naturales

En 1942-1945, Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane introdujeron categorías, funtores y transformaciones naturales como parte de su trabajo en topología, especialmente topología algebraica. Su trabajo fue una parte importante de la transición de la homología intuitiva y geométrica al álgebra homológica. Eilenberg y Mac Lane escribieron más tarde que su objetivo era comprender las transformaciones naturales. Eso requería definir funtores, que requerían categorías.

Stanislaw Ulam, y algunos escritos en su nombre, han afirmado que las ideas relacionadas eran corrientes a fines de la década de 1930 en Polonia. Eilenberg era polaco y estudió matemáticas en Polonia en la década de 1930. La teoría de categorías también es, en cierto sentido, una continuación del trabajo de Emmy Noether (una de las maestras de Mac Lane) en la formalización de procesos abstractos; Noether se dio cuenta de que comprender un tipo de estructura matemática requiere comprender los procesos que preservan esa estructura (homomorfismos). Eilenberg y Mac Lane introdujeron categorías para comprender y formalizar los procesos (funtores) que relacionan estructuras topológicas con estructuras algebraicas (invariantes topológicos) que las caracterizan.

La teoría de categorías se introdujo originalmente por la necesidad del álgebra homológica y se extendió ampliamente por la necesidad de la geometría algebraica moderna (teoría de esquemas). La teoría de categorías puede verse como una extensión del álgebra universal, ya que esta última estudia estructuras algebraicas, y la primera se aplica a cualquier tipo de estructura matemática y estudia también las relaciones entre estructuras de diferente naturaleza. Por esta razón, se utiliza en todas las matemáticas. Las aplicaciones a la lógica matemática y la semántica (máquina abstracta categórica) llegaron más tarde.

Ciertas categorías llamadas topoi (singular topos) pueden incluso servir como una alternativa a la teoría axiomática de conjuntos como fundamento de las matemáticas. Un topos también se puede considerar como un tipo específico de categoría con dos axiomas de topos adicionales. Estas aplicaciones fundamentales de la teoría de categorías se han elaborado con bastante detalle como base y justificación de las matemáticas constructivas. La teoría de Topos es una forma de teoría abstracta de haces, con orígenes geométricos, y conduce a ideas como la topología sin sentido.

La lógica categórica es ahora un campo bien definido basado en la teoría de tipos para lógicas intuicionistas, con aplicaciones en programación funcional y teoría de dominios, donde una categoría cerrada cartesiana se toma como una descripción no sintáctica de un cálculo lambda. Como mínimo, el lenguaje de la teoría de categorías aclara qué es exactamente lo que estas áreas relacionadas tienen en común (en algún sentido abstracto).

La teoría de categorías también se ha aplicado en otros campos. Por ejemplo, John Baez ha mostrado un vínculo entre los diagramas de Feynman en física y las categorías monoidales. Otra aplicación de la teoría de categorías, más específicamente: la teoría del topos, se ha realizado en la teoría matemática de la música, véase, por ejemplo, el libro The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance de Guerino Mazzola.

Los esfuerzos más recientes para introducir a los estudiantes universitarios en categorías como base para las matemáticas incluyen los de William Lawvere y Rosebrugh (2003) y Lawvere y Stephen Schanuel (1997) y Mirroslav Yotov (2012).