Teoremas de isomorfismo

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Grupo de teoremas matemáticos

En matemáticas, específicamente en álgebra abstracta, los teoremas de isomorfismo (también conocidos como teoremas de isomorfismo de Noether) son teoremas que describen la relación entre cocientes, homomorfismos, y subobjetos. Existen versiones de los teoremas para grupos, anillos, espacios vectoriales, módulos, álgebras de Lie y varias otras estructuras algebraicas. En álgebra universal, los teoremas de isomorfismo se pueden generalizar al contexto de álgebras y congruencias.

Historia

Los teoremas de isomorfismo fueron formulados con cierta generalidad para homomorfismos de módulos por Emmy Noether en su artículo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, que se publicó en 1927 en Mathematische Annalen. Se pueden encontrar versiones menos generales de estos teoremas en el trabajo de Richard Dedekind y artículos anteriores de Noether.

Tres años después, B.L. van der Waerden publicó su influyente Moderne Algebra, el primer libro de texto de álgebra abstracta que adoptó el enfoque de grupos-anillos-campos del tema. Van der Waerden acreditó las conferencias de Noether sobre teoría de grupos y Emil Artin sobre álgebra, así como un seminario dirigido por Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier y el propio van der Waerden sobre ideales como las principales referencias. Los tres teoremas de isomorfismo, llamados teorema del homomorfismo, y dos leyes del isomorfismo cuando se aplican a grupos, aparecen explícitamente.

Grupos

Primero presentamos los teoremas de isomorfismo de los grupos.

Nota sobre números y nombres

A continuación presentamos cuatro teoremas, etiquetados como A, B, C y D. A menudo se numeran como "Primer teorema de isomorfismo", "Segundo..." y así; sin embargo, no existe un acuerdo universal sobre la numeración. Aquí damos algunos ejemplos de los teoremas de isomorfismo de grupos en la literatura. Observe que estos teoremas tienen análogos para anillos y módulos.

Comparación de los nombres del grupo isomorfismo teoremas
Comentario	Autor	Theorem A	Theorem B	Teorema C
No teorema "tercer"	Jacobson	Teorema fundamental de los homomorfismos	()Segundo teorema isomorfismo)	"a menudo llamado el primer teorema isomorfismo"
	van der Waerden, Durbin	Teorema fundamental de los homomorfismos	Primer teorema de isomorfismo	Segundo teorema isomorfismo
	Knapp	()No nombre)	Segundo teorema isomorfismo	Primer teorema de isomorfismo
	Grillet	Teorema de Homomorfismo	Segundo teorema isomorfismo	Primer teorema de isomorfismo
Tres teoremas numerados	()Otras convenciones por Grillet)	Primer teorema de isomorfismo	Tercer teorema isomorfismo	Segundo teorema isomorfismo
	Rotman	Primer teorema de isomorfismo	Segundo teorema isomorfismo	Tercer teorema isomorfismo
	Fraleigh	()No nombre)	Segundo teorema isomorfismo	Tercer teorema isomorfismo
	Dummit & Foote	Primer teorema de isomorfismo	Teorema de isomorfismo segundo o diamante	Tercer teorema isomorfismo
Sin numeración	Milne	Teorema de Homomorfismo	Teorema de somorfismo	Correspondencia teorema
Sin numeración	Scott	Teorema de Homomorfismo	Teorema de somorfismo	Teorema de hombre fresco

Es menos común incluir el Teorema D, generalmente conocido como el teorema de la red o el teorema de la correspondencia, como uno de los teoremas de isomorfismo, pero cuando se incluye, es el último.

Enunciado de los teoremas

Teorema A (grupos)

Diagrama del teorema fundamental sobre los homomorfismos

Sean G y H grupos, y sea f: G → H ser un homomorfismo. Después:

El núcleo f es un subgrupo normal de G,
La imagen de f es un subgrupo H, y
La imagen de f es isomorfo para el grupo cociente G/ ker(f).

En particular, si f es sobreyectiva entonces H es isomorfo a G / ker(f).

Teorema B (grupos)

Diagrama para el teorema B3. Los dos grupos cocientes (dotados) son isomorfos.

Vamos $G$ Sé un grupo. Vamos $S$ ser un subgrupo $G$ , y dejar $N$ ser un subgrupo normal $G$ . Luego la siguiente sujeción:

El producto ${displaystyle SN}$ es un subgrupo $G$ ,
La intersección ${displaystyle Scap N}$ es un subgrupo normal de $S$ , y
Grupos colaterales ${displaystyle (SN)/N}$ y ${displaystyle S/(Scap N)}$ son isomorfos.

Técnicamente, no es necesario para $N$ ser un subgrupo normal, siempre y cuando $S$ es un subgrupo del normalizador de $N$ dentro $G$ . En este caso, la intersección ${displaystyle Scap N}$ no es un subgrupo normal $G$ , pero sigue siendo un subgrupo normal $S$ .

Este teorema a veces se denomina teorema del isomorfismo, teorema del diamante o teorema del paralelogramo.

Una aplicación del segundo teorema de isomorfismo identifica grupos lineales proyectores: por ejemplo, el grupo en la compleja línea proyectiva comienza con el ajuste ${displaystyle G=operatorname {GL} _{2}(mathbb {C})}$ , el grupo de matrices complejas invertibles 2 × 2 ${displaystyle S=operatorname {SL} _{2}(mathbb {C})}$ , el subgrupo de determinante 1 matrices, y $N$ el subgrupo normal de matrices escalar ${displaystyle mathbb {C} ^{times }!I=left{left({begin{smallmatrix}a&0\0&aend{smallmatrix}}right):ain mathbb {C} ^{times }right}}$ , tenemos ${displaystyle Scap N={pm I}}$ , donde $I$ es la matriz de identidad, y ${displaystyle SN=operatorname {GL} _{2}(mathbb {C})}$ . Entonces el segundo teorema isomorfismo declara que:

{displaystyle operatorname {PGL} _{2}(mathbb {C}):=operatorname {GL} _{2}left(mathbb {C})/(mathbb {C} ^{times }!Iright)cong operatorname {SL} _{2}(mathbb {C})/{pm I}=:operatorname {PSL} _{2}(mathbb {C})}

Teorema C (grupos)

Vamos $G$ ser un grupo, y $N$ un subgrupo normal de $G$ . Entonces...

Si $K$ es un subgrupo $G$ tales que $Nsubseteq Ksubseteq G$ , entonces $G/N$ tiene un subgrupo isomorfo a $K/N$ .
Cada subgrupo de $G/N$ es de la forma $K/N$ para algunos subgrupos $K$ de $G$ tales que $Nsubseteq Ksubseteq G$ .
Si $K$ es un subgrupo normal de $G$ tales que $Nsubseteq Ksubseteq G$ , entonces $G/N$ tiene un subgrupo normal isomorfo a $K/N$ .
Cada subgrupo normal de $G/N$ es de la forma $K/N$ para algún subgrupo normal $K$ de $G$ tales que $Nsubseteq Ksubseteq G$ .
Si $K$ es un subgrupo normal de $G$ tales que $Nsubseteq Ksubseteq G$ , entonces el grupo cociente $(G/N)/(K/N)$ es isomorfo a $G/K$ .

Teorema D (grupos)

El teorema de correspondencia (también conocido como el teorema de la red) a veces se denomina tercer o cuarto teorema de isomorfismo.

El lema de Zassenhaus (también conocido como el lema de la mariposa) a veces se denomina el cuarto teorema del isomorfismo.

Discusión

El primer teorema isomorfismo se puede expresar en la categoría teórica diciendo que la categoría de grupos es (normal epi, mono) factible; en otras palabras, los epimorfismos normales y los monomorfismos forman un sistema de factorización para la categoría. Esto se captura en el diagrama comunicativo en el margen, que muestra los objetos y morfismos cuya existencia puede deducirse del morfismo ${displaystyle f:Grightarrow H}$ . El diagrama muestra que cada morfismo en la categoría de grupos tiene un núcleo en el sentido teórico de la categoría; el morfismo arbitrario f factores $iota circ pi$ , donde . es un monomorfismo y π es un epimorfismo (en una categoría conormal, todos los epimorfismos son normales). Esto está representado en el diagrama por un objeto ${displaystyle ker f}$ y un monomorfismo ${displaystyle kappa:ker frightarrow G}$ (los conductos siempre son monomorfismos), que completan la breve secuencia exacta que va desde la izquierda inferior hasta la derecha superior del diagrama. El uso de la convención de secuencia exacta nos salva de tener que sacar los morfismos cero de ${displaystyle ker f}$ a $H$ y ${displaystyle G/ker f}$ .

Si la secuencia está dividida correctamente (es decir, hay un morfismo σ que mapas ${displaystyle G/operatorname {ker} f}$ a $π$ -preimage de sí mismo), entonces G es el producto semidirecto del subgrupo normal ${displaystyle operatorname {im} kappa }$ y el subgrupo ${displaystyle operatorname {im} sigma }$ . Si se deja dividir (es decir, hay algunos ${displaystyle rho:Grightarrow operatorname {ker} f}$ tales que ${displaystyle rho circ kappa =operatorname {id} _{{text{ker}}f}}$ ), entonces también debe ser la división correcta, y ${displaystyle operatorname {im} kappa times operatorname {im} sigma }$ es una descomposición directa del producto G. En general, la existencia de una división derecha no implica la existencia de una división izquierda; pero en una categoría abeliana (como la de los grupos abelianos), las divisiones izquierdas y las divisiones derechas son equivalentes por la lema dividida, y una división derecha es suficiente para producir una suma directa descomposición ${displaystyle operatorname {im} kappa oplus operatorname {im} sigma }$ . En una categoría abeliana, todos los monomorfismos son también normales, y el diagrama puede ser extendido por una segunda secuencia exacta corta ${displaystyle 0rightarrow G/operatorname {ker} frightarrow Hrightarrow operatorname {coker} frightarrow 0}$ .

En el segundo teorema del isomorfismo, el producto SN es la unión de S y N en la red de subgrupos de G , mientras que la intersección S ∩ N es el encuentro.

El tercer teorema del isomorfismo se generaliza mediante el lema de los nueve a categorías abelianas y aplicaciones más generales entre objetos.

Anillos

Las declaraciones de los teoremas para anillos son similares, con la noción de un subgrupo normal reemplazada por la noción de un ideal.

Teorema A (anillos)

Sean R y S anillos y φ : R → S sea un homomorfismo de anillos. Después:

El núcleo φ es un ideal R,
La imagen de φ es un subing de S, y
La imagen de φ es isomorfo al anillo cociente R/ ker(φ).

En particular, si φ es sobreyectiva entonces S es isomorfo a R / ker(φ).

Teorema B (anillos)

Sea R un anillo. Sea S un subanillo de R, y sea I un ideal de R. Después:

La suma S+I=s+iSilencios▪S,i▪I} es un subing de R,
La intersección S∩I es un ideal S, y
Los anillos cocientes (S+I)I y S/S∩I) son isomorfos.

Teorema C (anillos)

Sea R un anillo, y I un ideal de R. Después

Si $A$ es un subing de $R$ tales que ${displaystyle Isubseteq Asubseteq R}$ , entonces $A/I$ es un subing de $R/I$ .
Cada subing of $R/I$ es de la forma $A/I$ para algunos subring $A$ de $R$ tales que ${displaystyle Isubseteq Asubseteq R}$ .
Si $J$ es un ideal $R$ tales que ${displaystyle Isubseteq Jsubseteq R}$ , entonces ${displaystyle J/I}$ es un ideal $R/I$ .
Cada ideal de $R/I$ es de la forma ${displaystyle J/I}$ para algunos ideales $J$ de $R$ tales que ${displaystyle Isubseteq Jsubseteq R}$ .
Si $J$ es un ideal $R$ tales que ${displaystyle Isubseteq Jsubseteq R}$ , entonces el anillo cociente ${displaystyle (R/I)/(J/I)}$ es isomorfo a $R/J$ .

Teorema D (anillos)

Vamos $I$ ser un ideal $R$ . La correspondencia ${displaystyle Aleftrightarrow A/I}$ es una bijeción que conserva la inclusión entre el conjunto de subrings $A$ de $R$ que contienen $I$ y el conjunto de subrings de $R/I$ . Además, $A$ (a subring containing $I$ ) es un ideal $R$ si $A/I$ es un ideal $R/I$ .

Módulos

Las declaraciones de los teoremas isomorfistas para módulos son particularmente sencillas, ya que es posible formar un módulo de cociente de cualquier submodulo. Los teoremas isomorfistas para espacios vectoriales (módulos sobre un campo) y grupos abelianos (módulos sobre $mathbb {Z}$ ) son casos especiales de estos. Para espacios vectoriales finitos-dimensionales, todos estos teoremas siguen del teorema de rango-nullidad.

A continuación, "módulo" significará "R-módulo" para algún anillo fijo R.

Teorema A (módulos)

Sean módulos M y N y φ : M → N ser un módulo de homomorfismo. Después:

El núcleo φ es un submodulo de M,
La imagen de φ es un submodulo de N, y
La imagen de φ es isomorfo al módulo de cociente M/ ker(φ).

En particular, si φ es sobreyectiva entonces N es isomorfo a M / ker(φ).

Teorema B (módulos)

Sea M un módulo, y sean S y T submódulos de M. Después:

La suma S+T=s+tSilencios▪S,t▪T} es un submodulo de M,
La intersección S∩T es un submodulo de M, y
Los módulos de cociente (S+T)T y S/S∩T) son isomorfos.

Teorema C (módulos)

Sea M un módulo, T un submódulo de M.

Si $S$ es un submodulo de $M$ tales que $Tsubseteq Ssubseteq M$ , entonces $S/T$ es un submodulo de $M/T$ .
Cada submodulo de $M/T$ es de la forma $S/T$ para algunos submódulos $S$ de $M$ tales que $Tsubseteq Ssubseteq M$ .
Si $S$ es un submodulo de $M$ tales que $Tsubseteq Ssubseteq M$ , entonces el módulo de cociente $(M/T)/(S/T)$ es isomorfo a $M/S$ .

Teorema D (módulos)

Vamos $M$ ser un módulo, $N$ a submodule of $M$ . Hay una bijección entre los submódulos $M$ que contienen $N$ y los submódulos $M/N$ . La correspondencia es dada por ${displaystyle Aleftrightarrow A/N}$ para todos ${displaystyle Asupseteq N}$ . Esta correspondencia se comunica con los procesos de tomar sumas e intersecciones (es decir, es un isomorfismo de celo entre la celosía de los submódulos de $M/N$ y la celo de los submódulos $M$ que contienen $N$ ).

Álgebra universal

Para generalizar esto al álgebra universal, los subgrupos normales deben reemplazarse por relaciones de congruencia.

A congruencia en un álgebra $A$ es una relación de equivalencia ${displaystyle Phi subseteq Atimes A}$ que forma un subalgebra de $Atimes A$ considerado como un álgebra con operaciones de componente. Uno puede hacer el conjunto de clases de equivalencia $A/Phi$ en un álgebra del mismo tipo definiendo las operaciones a través de representantes; esto será bien definido desde $Phi$ es un subalgebra de $Atimes A$ . La estructura resultante es el álgebra cociente.

Teorema A (álgebra universal)

Vamos $f:Arightarrow B$ ser un homomorfismo álgebra. Entonces la imagen de $f$ es un subalgebra de $B$ , la relación dada por $Phi:f(x)=f(y)$ (es decir, el núcleo de $f$ Es una congruencia $A$ , y los álgebras $A/Phi$ y $operatorname {im}f$ son isomorfos. (Nota eso en el caso de un grupo, $f(x)=f(y)$ Sip ${displaystyle f(xy^{-1})=1}$ , por lo que se recupera la noción del núcleo utilizado en la teoría del grupo en este caso.)

Teorema B (álgebra universal)

Dado un álgebra $A$ , un subalgebra $B$ de $A$ , y una congruencia $Phi$ on $A$ , vamos $Phi _{B}=Phi cap (Btimes B)$ ser el rastro de $Phi$ dentro $B$ y $[B]^{Phi }={Kin A/Phi:Kcap Bneq emptyset }$ la colección de clases de equivalencia que intersectan $B$ . Entonces...

$Phi _{B}$ es una congruencia $B$ ,
$[B]^{Phi }$ es un subalgebra de $A/Phi$ , y
el álgebra $[B]^{Phi }$ es isomorfo al álgebra $B/Phi _{B}$ .

Teorema C (álgebra universal)

Vamos $A$ ser un álgebra y $PhiPsi$ dos relaciones de congruencia $A$ tales que $Psi subseteq Phi$ . Entonces... ${displaystyle Phi /Psi ={([a']_{Psi },[a'']_{Psi }):(a',a'')in Phi }=[ ]_{Psi }circ Phi circ [ ]_{Psi }^{-1}}$ es una congruencia $A/Psi$ , y $A/Phi$ es isomorfo a ${displaystyle (A/Psi)/(Phi /Psi).}$

Teorema D (álgebra universal)

Vamos $A$ ser un álgebra y denota ${displaystyle operatorname {Con} A}$ el conjunto de todas las congruencias en $A$ . El set ${displaystyle operatorname {Con} A}$ es una prenda completa ordenada por la inclusión. Si ${displaystyle Phi in operatorname {Con} A}$ es una congruencia y denotamos ${displaystyle left[PhiAtimes Aright]subseteq operatorname {Con} A}$ el conjunto de todas las congruencias que contienen $Phi$ (i.e. ${displaystyle left[PhiAtimes Aright]}$ es un filtro principal en ${displaystyle operatorname {Con} A}$ , por otra parte es un sublattice), entonces el mapa ${displaystyle alpha:left[PhiAtimes Aright]to operatorname {Con} (A/Phi),Psi mapsto Psi /Phi }$ es un isomorfismo de celo.

Nota

^ Jacobson (2009), sec 1.10
^ van der Waerden, Álgebra (1994).
^ Durbin (2009), sec. 54
^ [los nombres son] esencialmente los mismos que [van der Waerden 1994]
^ Knapp (2016), sec IV 2
^ Grillet (2007), sec. I 5
^ Rotman (2003), sec. 2.6
^ Fraleigh (2003), cap. 34
^ Dummit, David Steven (2004). Álgebra abstracta. Richard M. Foote (Third ed.). Hoboken, NJ. pp. 97–98. ISBN 0-471-43334-9. OCLC 52559229.
^ a b Milne (2013), Chap. 1, sec. Teoremas sobre homomorfismos
^ Scott (1964), secs 2.2 y 2.3
^ I. Martin Isaacs (1994). Álgebra: un curso de posgrado. American Mathematical Soc. p. 33. ISBN 978-0-8218-4799-2.
^ Paul Moritz Cohn (2000). Álgebra clásica. Wiley. p. 245. ISBN 978-0-471-87731-8.
^ Wilson, Robert A. (2009). Los grupos simples finitos. Textos de Graduación en Matemáticas 251. Springer-Verlag London. p. 7. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-4471-2527-3.
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